2025年中考第二次模擬考試卷：數(shù)學(xué)（青島卷）（解析版）

這是一份2025年中考第二次模擬考試卷：數(shù)學(xué)（青島卷）（解析版），共26頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，作圖題請用直尺等內(nèi)容，歡迎下載使用。
（考試時(shí)間：120分鐘 試卷滿分：120分）
第Ⅰ卷
一、選擇題（本大題共9個(gè)小題，每小題3分，共27分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）
1．自2025年1月11日，全球上線以來，這款中國AI應(yīng)用以驚人的速度改寫了行業(yè)格局，1月28日單日下載峰值沖至11040000次，創(chuàng)下全球AI應(yīng)用單日下載量新紀(jì)錄．11040000用科學(xué)記數(shù)法可表示為（ ）
A．元B．元C．元D．元
【答案】D
【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的一般形式為，其中，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值時(shí)，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值小于1時(shí)，n是負(fù)整數(shù)．據(jù)此確定a的值以及n的值即可．
【詳解】解：11040000用科學(xué)記數(shù)法可表示為，
故選：D．
2．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題考查軸對稱及中心對稱的定義，掌握中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，要注意：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)度后與原圖重合．
【詳解】解：A．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不符合題意；
B．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故符合題意；
C．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故不符合題意；
D．不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不符合題意．
故答案為：B．
3．如圖，數(shù)軸上點(diǎn) A 表示的數(shù)是（ ）
A．3B．3的相反數(shù)C．3的絕對值D．3的倒數(shù)
【答案】B
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，相反數(shù)的意義，絕對值的定義以及倒的定義，數(shù)軸上點(diǎn) A 表示的數(shù)是，根據(jù)相反數(shù)的定義即可得出答案，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由題可知，數(shù)軸上點(diǎn) A 表示的數(shù)是，即3的相反數(shù)，
故選：B．
4．若一個(gè)機(jī)器零件放置位置如圖1所示，其主（正）視圖如圖2所示，則其俯視圖是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】由幾何體和它的主視圖可知，該幾何體由一個(gè)小長方體和一個(gè)大長方體組成，且小長方體位于大長方體上方的中間位置，所以該幾何體的俯視圖是D.
故選D.
5．下列計(jì)算正確的是（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)單項(xiàng)式的除法法則、冪的乘方法則、同底數(shù)冪的乘法法則和合并同類項(xiàng)法則依次判斷即可．
【詳解】解：A、等式左邊，故運(yùn)算正確，符合題意；
B、等式左邊，故運(yùn)算不正確，不符合題意；
C、等式左邊，故運(yùn)算不正確，不符合題意；
D、等式左邊，故運(yùn)算不正確，不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式的除法法則、冪的乘方法則、同底數(shù)冪的乘法法則和合并同類項(xiàng)法則，解題關(guān)鍵是牢記運(yùn)算法則．
6．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，在軸上，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換的圖形變化與坐標(biāo)的關(guān)系，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)前后兩圖形的大小不變是解題的關(guān)鍵． 根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀與大小，可知點(diǎn)C的橫坐標(biāo)的長度等于，縱坐標(biāo)的長度等于，然后根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【詳解】解：設(shè)，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，
將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，
，，
，
，
，
，
，
，
故選：．
7．如圖，邊長相等的正五邊形和正邊形（）拼接在一起，則度數(shù)可能是（ ）
A．54°B．30°C．24°D．18°
【答案】C
【分析】本題考查了多邊形內(nèi)角和公式，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握多邊形內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．先由內(nèi)角和公式得出與的度數(shù)，再求出的度數(shù)，最后根據(jù)，可知，即可求出的度數(shù)．
【詳解】解：根據(jù)題意，，
且為整數(shù)，
若，則
故選：C．
8．如圖，在中，，將繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得，將線段繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得線段，分別以為圓心，長為半徑畫弧和弧，連接，則圖中陰影部分面積是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本題考查的是扇形面積的計(jì)算、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、勾股定理，扇形的面積公式為．作于H，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)陰影部分面積的面積的面積扇形的面積扇形的面積、利用扇形面積公式計(jì)算即可．
【詳解】解：作于H，如圖所示：
∵，，，
∴，
由旋轉(zhuǎn)，得，
∴，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
陰影部分面積的面積的面積扇形的面積扇形的面積
．
故選：D．
9．二次函數(shù)的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①；②；③m為任意實(shí)數(shù)，則；④；⑤若，且，則．其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
【答案】C
【分析】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關(guān)系．根據(jù)圖象正確的獲取信息，利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷，是解題的關(guān)鍵．
①根據(jù)開口方向，對稱軸，與軸的交點(diǎn)位置，進(jìn)行判斷；②利用對稱軸進(jìn)行判斷；③利用最值進(jìn)行判斷；④根據(jù)對稱性和圖象上的點(diǎn)，進(jìn)行判斷；⑤利用對稱性進(jìn)行判斷．
【詳解】解：∵拋物線開口向上，則，
∵對稱軸為直線，則，
∴，故②正確
拋物線與軸交于負(fù)半軸，則，
∴，故①錯(cuò)誤；
∵當(dāng)時(shí)，取得小值，
∴，
當(dāng)m為任意實(shí)數(shù)，則，故③正確，
④∵拋物線關(guān)于對稱，
∴和的函數(shù)值相同，
即：，
由圖象知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值大于0，
∴，故④正確；
⑤當(dāng)關(guān)于對稱時(shí)：即：時(shí)，
對應(yīng)的函數(shù)值相同，
即：，
∴
∴若，且，則；故⑤正確；
綜上所述，正確的是②③④⑤，共4個(gè)，
故選：C．
第Ⅱ卷
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
10． ．
【答案】3
【分析】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，涉及零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值，正確求解是解答的關(guān)鍵．先計(jì)算零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值，再加減運(yùn)算即可．
【詳解】解：
，
故答案為：3．
11．甲、乙、丙、丁四人進(jìn)行射擊測試，每人10次射擊成績的平均數(shù)都為8.8環(huán)，方差分別為，，，，則四人中成績最穩(wěn)定的是 ．
【答案】乙
【分析】此題考查了方差的意義，方差就是和中心偏離的程度，用來衡量一批數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，方差越小，說明數(shù)據(jù)越穩(wěn)定，據(jù)此進(jìn)行判斷即可 ．
【詳解】∵，即，
∴四人中成績最穩(wěn)定的是乙．
故答案為：乙
12．四邊形是菱形，E是的中點(diǎn)，連接交延長線于點(diǎn)C，連接．若，，則的長等于 ．
【答案】
【分析】由菱形的性質(zhì)得，，則，所以，則，所以，由，可證明是等邊三角形，則，可求得，則，所以，于是得到問題的答案．
【詳解】解：四邊形是菱形，
，，
，
是的中點(diǎn)，
，
，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角形函數(shù)與解直角三角形等知識，證明是解題的關(guān)鍵．
13．為了喜迎元旦，某區(qū)籌備了精彩的文藝演出，籌辦組在一塊正方形的廣場空地上搭建舞臺，并設(shè)計(jì)了如圖所示的方案，其中陰影部分為舞臺．舞臺區(qū)域的寬均為6米，中間空白的面積為216平方米，若設(shè)正方形空地的邊長為x米，則可列方程 ．

【答案】
【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用．若設(shè)正方形空地的邊長為x米，則中間空白的長為米，寬為米，根據(jù)長方形面積公式即可列出方程．
【詳解】解：根據(jù)題意，得，
故答案為：．
14．如圖，，，以為直徑作半圓O，P為弧上一點(diǎn)，且最大，延長、，交于點(diǎn)D．則的值為 ．
【答案】/0.6
【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)和判定，切線長定理，根據(jù)切線的性質(zhì)和判定得到，利用切線長定理得到，證明，設(shè)，，則，利用相似的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，再根據(jù)正弦的定義求解，即可解題．
【詳解】解：連接，
P為弧上一點(diǎn)，且最大，
，，
，
與圓相切于點(diǎn)，與圓相切于點(diǎn)，
，，
，
，
，
，
設(shè)，，則，
，
，，
，
，
，
，
．
15．用如圖①中的長方形和正方形紙板作側(cè)而和底面，做成如圖②的豎式和橫式的兩種無蓋紙盒．現(xiàn)在倉庫里有m張正方形紙板和n張長方形紙板，如果做兩種紙盒若干個(gè)，恰好使庫存的紙板用完，則的值可能是 ．（填序號）
①2022 ②2021 ③2020 ④2019 ⑤2018
【答案】③
【分析】設(shè)做豎式和橫式的兩種無蓋紙盒分別為x個(gè)、y個(gè)，然后根據(jù)所需長方形紙板和正方形紙板的張數(shù)列出方程組，再根據(jù)x、y的系數(shù)表示出m+n并判斷m+n為5的倍數(shù)，然后選擇答案即可．
【詳解】設(shè)做豎式和橫式的兩種無蓋紙盒分別為x個(gè)、y個(gè)，
根據(jù)題意得，
兩式相加得，m+n=5（x+y），
∵x、y都是正整數(shù)，
∴m+n是5的倍數(shù)，
∵①2022、②2021、③2020、④2019、⑤2018五個(gè)數(shù)中只有2020是5的倍數(shù)，
∴m+n的值可能是2020．
故答案為：③．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)未知數(shù)系數(shù)的特點(diǎn)，觀察出所需兩種紙板的張數(shù)的和正好是5的倍數(shù)是解題的關(guān)鍵．
三、作圖題（本大題滿分4分）請用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡。
16．請用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．
已知：和線段a．求作：，使它與的兩邊相切，半徑等于線段a．
【答案】圖見解析
【分析】本題考查作圖—復(fù)雜作圖，根據(jù)與的兩邊相切，得到圓心在的角平分線上，作的角平分線，在上找一點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，以點(diǎn)為圓心，線段的長為半徑，畫弧，交垂線于點(diǎn)，過點(diǎn)，作的垂線，交于點(diǎn)，再以點(diǎn)為圓心，線段的長為半徑，畫圓即可．
【詳解】解，如圖，即為所求．
三、解答題（本大題共9個(gè)小題，共71分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17．（9分）（1）化簡：
（2）求不等式組的整數(shù)解．
【答案】（1）（2）；
【分析】本題主要考查分式的化簡運(yùn)算，不等式組的解法；
（1）根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）先求出不等式組的解集，再求整數(shù)解即可．
【詳解】解：（1）原式
．
（2），
由①得：
解得：，
由②得：
解得：，
該不等式組的解集為：
該不等式組的整數(shù)解為：．
18．（6分）為緩解交通高峰期學(xué)校周邊交通擁堵問題，學(xué)校對學(xué)生到校方式做了抽樣調(diào)查，經(jīng)調(diào)查學(xué)生主要有步行、乘私家車、乘學(xué)生班車、騎自行車等四種到校方式．根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了下面兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請根據(jù)圖中提供的信息，解答下面的問題：
(1)此次共調(diào)查了多少名同學(xué)？
(2)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整，并計(jì)算扇形統(tǒng)計(jì)圖中騎自行車方式到校部分的圓心角度數(shù)；
(3)如果該校共有名學(xué)生，學(xué)校通過動(dòng)員希望乘坐私家車到校的有改乘學(xué)生班車，從安全考慮，每輛學(xué)生班車可以乘坐30名學(xué)生，那么估計(jì)學(xué)校至少需要安排多少輛班車？
【答案】(1)200名
(2)圖見解析，
(3)至少需要11輛車
【分析】此題考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖信息關(guān)聯(lián)．
（1）用步行的人數(shù)除以對應(yīng)的百分比即可；
（2）求出騎自行車人數(shù)，補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖，再用騎自行車的百分比乘以即可得到答案；
（3）求出原來坐班車人和后來私家車改乘班車人數(shù)的和，再除以30即可得到答案．
【詳解】（1）解：（人）
答：此次共調(diào)查了200名同學(xué)；
（2）騎自行車人數(shù)為：（人）
補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如下：
即扇形統(tǒng)計(jì)圖中騎自行車方式到校部分的圓心角度數(shù)為；
（3）（人）
……15人
答：至少需要11輛車
19．（6分）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小明設(shè)計(jì)了一個(gè)配紫色的游戲．游戲規(guī)則是：在一個(gè)不透明的袋子里裝有除顏色以外其它均相同的4個(gè)小球，其中2個(gè)紅球，2個(gè)藍(lán)球．甲先從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，乙再從袋中剩下的3個(gè)小球中隨機(jī)摸出一個(gè)小球．若摸出的兩個(gè)小球的顏色恰好能配成紫色（紅色和藍(lán)色可以配成紫色），則甲獲勝；否則乙獲勝．
(1)用樹狀圖或列表法求出甲獲勝的概率；
(2)你認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎？請說明理由．
【答案】(1)
(2)不公平，理由見解析
【分析】本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)人取勝的概率，概率相等就公平，否則就不公平．用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
（1）根據(jù)題意先畫出樹狀圖，得出一共有12種情況，兩個(gè)小球的顏色恰好能配成紫色的有8種情況，即可求出甲獲勝的概率；
（2）求出乙獲勝的概率，再與甲比較即可．
【詳解】（1）解：由題意，列表格得：
∵共有12種結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，其中甲獲勝的有8種，
∴甲獲勝的概率是：；
（2）不公平，理由如下：
由（1）知，
∵，
∴這個(gè)游戲不公平．
20．（6分）阿代的數(shù)學(xué)研學(xué)日記
請你回答阿代的問題．若能，請求出旗桿的高度；若不能，請說明理由．
（參考數(shù)據(jù)：，，；，，）
【答案】；旗桿高度可求，為米
【分析】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，相似三角形的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握解直角三角形的方法．
（1）首先證明出，得到，然后代入即可求出；
（2）如圖所示，過點(diǎn)H，作于N，設(shè)米，解直角三角形得到的長，進(jìn)而求解即可．
【詳解】（1）解：因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以，
所以，
所以；
（2）如圖所示，過點(diǎn)H，作于N，
設(shè)米，
米，
在中，，
，
在中，，，
，
，
，
解得：，
答：旗桿高度可求，為米．
21．（8分）某校計(jì)劃組織開展“勞動(dòng)技能”比賽活動(dòng)，活動(dòng)計(jì)劃評出100名獲獎(jiǎng)參賽個(gè)人，并設(shè)立一、二、三等獎(jiǎng)，分別獎(jiǎng)勵(lì)一件A、B、C三種價(jià)格不同的獎(jiǎng)品．已知購買1件A獎(jiǎng)品和2件B獎(jiǎng)品共63元；購買2件A獎(jiǎng)品和3件B獎(jiǎng)品共108元．設(shè)獲一、二、三等獎(jiǎng)的人數(shù)分別為a，b，c，且，．
(1)求A獎(jiǎng)品和B獎(jiǎng)品的單價(jià)；
(2)因購買數(shù)量較多，商家同時(shí)給予以下兩種優(yōu)惠：
①每購買1件A獎(jiǎng)品贈(zèng)送2件C獎(jiǎng)品；
②購買A獎(jiǎng)品15件以內(nèi)（含15件）按原價(jià)，超過15件時(shí)，每多購買一件，所有A獎(jiǎng)品的單價(jià)降低0.2元（單價(jià)最多降低4元）．已知C獎(jiǎng)品的單價(jià)是10元，贈(zèng)送的C獎(jiǎng)品不足以獎(jiǎng)勵(lì)所有獲得三等獎(jiǎng)的學(xué)生，需要再購買一部分C獎(jiǎng)品．問：怎樣設(shè)置一等獎(jiǎng)人數(shù)使購買方案最省錢？并求出購買獎(jiǎng)品費(fèi)用的最小值．
【答案】(1)A獎(jiǎng)品的單價(jià)為27元，B獎(jiǎng)品的單價(jià)為18元
(2)設(shè)置一等獎(jiǎng)16人可使購買方案最省錢，購買獎(jiǎng)品費(fèi)用的最小值為1140.8元
【分析】本題考查二次函數(shù)、二元一次方程組和一元一次不等式的應(yīng)用，掌握二元一次方程組和一元一次不等式的解法和二次函數(shù)最值的求法是解題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)A獎(jiǎng)品的單價(jià)為x元，B獎(jiǎng)品的單價(jià)為y元，根據(jù)“獎(jiǎng)品的單價(jià)獎(jiǎng)品的數(shù)量獎(jiǎng)品的單價(jià)獎(jiǎng)品的數(shù)量金額”列方程組并求解即可；
（2）根據(jù)題意，得三等獎(jiǎng)的人數(shù)為人.設(shè)購買獎(jiǎng)品費(fèi)用為元，根據(jù)“購買獎(jiǎng)品費(fèi)用獎(jiǎng)品的單價(jià)購買獎(jiǎng)品的數(shù)量比件多出的件數(shù)購買獎(jiǎng)品的數(shù)量獎(jiǎng)品的單價(jià)購買獎(jiǎng)品的數(shù)量獎(jiǎng)品的單價(jià)購買獎(jiǎng)品的數(shù)量購買獎(jiǎng)品的數(shù)量”寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，然后求出的取值范圍，然后根據(jù)函數(shù)性質(zhì)得到最值解題即可．
【詳解】（1）解：設(shè)A獎(jiǎng)品的單價(jià)為x元，B獎(jiǎng)品的單價(jià)為y元．
根據(jù)題意，得，
解得，
∴A獎(jiǎng)品的單價(jià)為27元，B獎(jiǎng)品的單價(jià)為18元．
（2）解：根據(jù)題意，得三等獎(jiǎng)的人數(shù)為人．
設(shè)購買獎(jiǎng)品費(fèi)用為w元，則，
，
解得，
∵，
∴，
∵，且a為整數(shù)，
∴當(dāng)時(shí)，w最小，，
∴設(shè)置一等獎(jiǎng)16人可使購買方案最省錢，購買獎(jiǎng)品費(fèi)用的最小值為1140.8元．
22．（8分）如圖，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，過點(diǎn)P作軸交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)M，作軸交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)N，連接．
(1)求k的值；
(2)求的面積；
(3)連接，直接寫出的面積．
【答案】(1)6
(2)
(3)
【分析】本題考查反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)k的幾何意義．掌握反比例函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)作x軸、y軸的垂線，它們與x軸、y軸所圍成的矩形面積為k的絕對值是解題關(guān)鍵．
（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）延長交y軸、x軸分別為A、B，得到，進(jìn)而得到，求出即可求解；
（3）根據(jù)題意得到，由即可求解．
【詳解】（1）解：∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，
k的值為6；
（2）解：如圖，延長交y軸、x軸分別為A、B，
∵點(diǎn)
∴，
∵點(diǎn)M、點(diǎn)N在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，
∴，
∴，
的面積為；
（3）解：的面積為．理由：
∵點(diǎn)M、點(diǎn)N在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，
∴
，
的面積是．
23．（8分）如圖，中，，相交于點(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)當(dāng)與滿足什么關(guān)系時(shí)，四邊形是矩形？請說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)，四邊形是矩形，理由見解析
【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定等知識點(diǎn)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
（1）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，再根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得，然后根據(jù)平行四邊形的判定可得四邊形是平行四邊形，最后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得證；
（2）先根據(jù)矩形的判定可得當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形，再根據(jù)線段中點(diǎn)的定義、平行四邊形的性質(zhì)可得，由此即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，
分別是，的中點(diǎn)，
，
四邊形是平行四邊形，
．
（2）解：由（1）已證：四邊形是平行四邊形，
要使平行四邊形是矩形，則，
，
，即，
，
故當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形．
24．（10分）如圖1，為打造旅游休閑城市，某地在地面上沿綠道旁的母親河打造噴水景觀，噴出的水柱為拋物線，為保持路面干燥，水柱要噴入河中，圖2是其截面圖，已知路面寬為3.5米，河道壩高為5米，B與A的水平距離為2.5米．當(dāng)水柱離噴水口O處水平距離為2米時(shí)，離路面距離的最大值為3米，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為x軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系．
(1)求拋物線的解析式；
(2)出于安全考慮，在河道的壩邊A處安裝護(hù)欄，要求水柱不能噴射到護(hù)欄上，則護(hù)欄的最大高度是多少米？
(3)水柱落入水中會蕩起美麗的水花，從美觀角度考慮，水柱落水點(diǎn)要在水面上，當(dāng)河水降至離路面距離為多少時(shí)，水柱剛好落在水面上？
【答案】(1)
(2)米
(3)米
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題時(shí)要熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)并能運(yùn)用待定系數(shù)法求解析式是關(guān)鍵．
（1）依據(jù)題意得：二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．故設(shè)該二次函數(shù)的解析式為：，再結(jié)合經(jīng)過原點(diǎn)，求出a即可得解；
（2）依據(jù)題意，由（1）該二次函數(shù)的解析式為：，從而可得當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而可以判斷得解；
（3）依據(jù)題意，可得，B的坐標(biāo)為，再設(shè)的解析式為，建立方程組可得k，b進(jìn) 而可得直線，再與拋物線解析式建立方程組，進(jìn)而計(jì)算可以判斷得解．
【詳解】（1）解：由題意得：二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．
設(shè)該二次函數(shù)的解析式為：
二次函數(shù)經(jīng)過原點(diǎn)，
解得：
該二次函數(shù)的解析式為：；
（2）解： 當(dāng)時(shí)，
答：護(hù)欄的最大高度為米．
（3）解：點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為
設(shè)的解析式為
解得：
解得：（不合題意，舍去），
當(dāng)時(shí)，
答：河水降至離路面距離米時(shí)，水柱剛好落在水面上．
25．（10分）已知：如圖，在矩形中，，，對角線，交于點(diǎn)O，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為．過點(diǎn)Q作，交于點(diǎn)M，連接，分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，解答下列問題：
(1)當(dāng)t為何值時(shí)，？
(2)設(shè)的面積為，求S與t的函數(shù)關(guān)系式．
(3)是否存在某一時(shí)刻t，使將分成和四邊形面積比為？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
(4)延長交于點(diǎn)N，是否存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)P在線段的垂直平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
(4)
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，，再根據(jù)平行線分線段成比例定理得出，從而得出，然后根據(jù)根據(jù)平行分線段即可得出答案；
（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，根據(jù)相似三角形的判定及性質(zhì)得出，從而得出，再根據(jù)代入化簡即可得出答案；
（3）首先得，然后證明出，得到，然后證明出，得到，然后代數(shù)求解即可．
（4）連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出，再根據(jù)平行線分線段成比例定理得出，然后根據(jù)勾股定理求解即可得出答案．
【詳解】（1）四邊形是矩形，
，，
，
，
即，
，
，
若，則，即，
解得：，
即當(dāng)為時(shí)，；
（2）如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
．
與的函數(shù)關(guān)系式為；
（3）存在某一時(shí)刻，使將分成和四邊形面積比為，
理由如下：
若和四邊形面積比為，則，
∵，
∴，，
∴，
∴與的相似比為，
即，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴存在某一時(shí)刻，使將分成和四邊形面積比為，t的值為；
（4）如圖2，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
點(diǎn)在線段的垂直平分線上，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得（舍去），，
答：為時(shí)，在線段的垂直平分線上．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理、矩形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定及性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
甲
乙
紅1
紅2
藍(lán)1
藍(lán)2
紅1
（紅1，紅2）
（紅1，藍(lán)1）
（紅1，藍(lán)2）
紅2
（紅2，紅1）
（紅2，藍(lán)1）
（紅2，藍(lán)2）
藍(lán)1
（藍(lán)1，紅1）
（藍(lán)1，紅2）
（藍(lán)1，藍(lán)2）
藍(lán)2
（藍(lán)2，紅1）
（藍(lán)2，紅2）
（藍(lán)2，藍(lán)1）
課題：測量旗桿的高度
地點(diǎn)：青島市山海二十六中學(xué)操場
時(shí)間：2025月3月2日
昨天上午代興國老師要帶我們?nèi)ゲ賵鰷y量旗桿的高度，昨天我們小組設(shè)計(jì)了一個(gè)方案，方案如下：小亮拿著標(biāo)桿垂直于地面放置，我和小聰用卷尺測量標(biāo)桿、標(biāo)桿的影長和旗桿的影長，如圖1所示，標(biāo)桿，影長，旗桿的影長，則可求得旗桿的高度為_______．
今天測量時(shí)陰天就不能用昨天的方案了，如圖2所示，張世昌老師將升旗用繩子拉直，使繩子的底端G剛好觸到地面，用儀器測得繩子與地面的夾角為，然后又將繩子拉到一個(gè)0.5米高的平臺上，拉直繩子使繩子上的H點(diǎn)剛好觸到平臺，剩余的繩子長度為5米，此時(shí)測得繩子與平臺的夾角為，利用這些數(shù)據(jù)能求出旗桿的高度嗎？