2025年中考數(shù)學(xué)第三次模擬考試卷：數(shù)學(xué)（青島卷）（解析版）

這是一份2025年中考數(shù)學(xué)第三次模擬考試卷：數(shù)學(xué)（青島卷）（解析版），共27頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，作圖題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
第Ⅰ卷
一、選擇題（本大題共9個小題，每小題3分，共27分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）
1．我國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史源遠流長，曾誕生了很多偉大的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)．下列與我國古代數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)相關(guān)的圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（ ）
A．楊輝三角B．割圓術(shù)示意圖C．趙爽弦圖D．洛書
【答案】B
【知識點】軸對稱圖形的識別、中心對稱圖形的識別
【分析】本題考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義，能熟記中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義是解此題的關(guān)鍵．中心對稱圖形是在平面內(nèi)，把一個圖形繞某一定點旋轉(zhuǎn)，能夠與自身重合的圖形．軸對稱圖形是在平面內(nèi)，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形．依據(jù)定義判斷．
【詳解】解：A．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意．
B．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，符合題意．
C．是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，不符合題意．
D．既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意．
故選：B．
2．據(jù)網(wǎng)絡(luò)平臺數(shù)據(jù)《哪吒之魔童鬧?！啡蚱狈浚êA(yù)售及海外）超153.47億元人民幣暫列全球票房榜第五名！15347000000科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識點】用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)
【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的方法進行解題即可．本題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為，其中，為正整數(shù)，確定a與n的值是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：15347000000科學(xué)記數(shù)法表示為
故選：D．
3．實數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識點】根據(jù)點在數(shù)軸的位置判斷式子的正負、實數(shù)與數(shù)軸
【分析】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，實數(shù)的加法、實數(shù)的乘法運算，先由數(shù)軸得，再運算出，，即可作答．
【詳解】解：結(jié)合數(shù)軸得，
故A選項不符合題意；
∴，
故B選項符合題意；
則，，
故C選項和D選項不符合題意；
故選：B
4．如圖，該幾何體的俯視圖是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識點】判斷非實心幾何體的三視圖
【分析】本題考查的是三視圖，俯視圖，從上面看到的平面圖形，注意能看到的棱都要畫成實線，不能看到的線畫成虛線．
【詳解】解：從上面看這個幾何體看到的是三個長方形，
所以俯視圖是：
故選C
5．如如圖，在直角坐標系中，各點坐標分別為，，．先作關(guān)于原點中心對稱的，再把平移后得到．若，則點坐標為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識點】已知點平移前后的坐標，判斷平移方式、坐標與圖形變化——軸對稱、由平移方式確定點的坐標
【分析】本題主要考查了坐標與圖形變化——軸對稱，坐標與圖形變化——平移（已知點平移前后的坐標，判斷平移方式；由平移方式確定點的坐標）等知識點，熟練掌握坐標與圖形變化——軸對稱，坐標與圖形變化——平移是解題的關(guān)鍵．
先求出點、關(guān)于原點對稱的點、的坐標，然后根據(jù)點、判斷出平移方式，再根據(jù)點及平移方式確定出點的坐標即可．
【詳解】解：與關(guān)于原點中心對稱，且，，
，，
把平移后得到，且，
向上平移了個單位長度，
，即，
故選：．
6．如圖，，以點為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交于點，再分別以點為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點，畫射線交于點．若，則的大小為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識點】根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)、作角平分線(尺規(guī)作圖)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用
【分析】本題考查了尺規(guī)作角平分線，平行線的性質(zhì)，掌握以上知識，數(shù)形結(jié)合分析是關(guān)鍵．
根據(jù)作圖可得是角平分，由平行可得，在中有內(nèi)角和定理即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意可得是角平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故選：A ．
7．如圖，為的弦，直線與相切于點C，且，連接，，若點D為弦所對弧上一點，則為（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【知識點】利用垂徑定理求值、圓周角定理、切線的性質(zhì)定理
【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，由切線的性質(zhì)得，由垂徑定理得，然后分兩種情況求解即可．
【詳解】解：∵直線與相切于點C，
∴．
∵，
∴，
∴．
當點D在優(yōu)弧上時，
．
當點D在劣弧上時，
．
故選C．
8．已知m是一元二次方程的一個根，則的值為（ ）
A．2025B．2023C．2021D．2018
【答案】C
【知識點】由一元二次方程的解求參數(shù)、已知式子的值，求代數(shù)式的值
【分析】本題考查了一元二次方程的解的定義和代數(shù)式求值，熟知方程解的定義、靈活應(yīng)用整體思想是關(guān)鍵．
根據(jù)一元二次方程的根的定義可得，然后整體代入所求式子解答即可．
【詳解】解：∵m是一元二次方程的一個根，
∴，即，
∴；
故選：C．
9．如圖，是二次函數(shù)的部分圖象，該圖象經(jīng)過點，其對稱軸為：直線，則下列結(jié)論：①；②；③若且，則；④關(guān)于的一元二次方程的根為；⑤若點，在拋物線上，則．其中正確的個數(shù)有（ ）
A．2個B．3個C．4個D．5個
【答案】B
【知識點】y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)、根據(jù)二次函數(shù)圖象確定相應(yīng)方程根的情況、二次函數(shù)圖象與各項系數(shù)符號、根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷式子符號
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐項判斷，由拋物線的頂點坐標為，可得函數(shù)有最小值，可判斷①②；由且，則，可判斷③；由對稱性可得一元二次方程的根為或，可判斷④錯誤；由拋物線開口向上，對稱軸為直線，時，y隨x的增大而增大，可得，可判斷⑤．即可得到答案．
【詳解】解：①∵對稱軸為直線，
∴，
∴，
故①正確；
②根據(jù)函數(shù)圖象可得拋物線開口向上，
∵由圖可知拋物線的頂點坐標為，
∴時，函數(shù)有最小值，
∴，
故②錯誤；
③若且，則，
∴，
故③正確；
④由條件可得關(guān)于x的一元二次方程的根為或，
故④錯誤；
⑤∵拋物線開口向上，對稱軸為直線，
當時，y隨x的增大而增大，
∵，
∴，
故⑤正確．
綜上所述，正確選項有3個．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，包括二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，拋物線與x軸的交點，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系．熟練掌握原式知識點是關(guān)鍵．
第Ⅱ卷
二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）
10． ．
【答案】
【知識點】實數(shù)的混合運算、特殊角三角函數(shù)值的混合運算、零指數(shù)冪、利用二次根式的性質(zhì)化簡
【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算，根據(jù)零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值和二次根式的性質(zhì)分別運算，再合并即可，掌握實數(shù)的運算法則是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：原式，
故答案為：．
11．“立身以立學(xué)為先，立學(xué)以讀書為本”，為鼓勵師生閱讀，某校圖書館開展閱讀活動，自活動開展以來，進館閱讀人次逐月增加，第一個月進館180人次，前三個月累計進館1260人次，若進館人次的月增長率相同，設(shè)為，依題意可列方程 ．
【答案】
【知識點】增長率問題(一元二次方程的應(yīng)用)
【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)進館人次的月增長率為，根據(jù)前三個月累計進館1260人次列方程即可．
【詳解】解：設(shè)進館人次的月增長率為，
由題意得，，
故答案為：．
12．某市教育局要從甲、乙兩名優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師中選擇一名代表市里參加省級優(yōu)質(zhì)課大賽，下表是兩名數(shù)學(xué)教師說課、講課和學(xué)科知識三項測試的成績(單位：分)：
根據(jù)實際需要，學(xué)校將說課、講課和學(xué)科知識三項測試得分按的比例確定每人的最終成績，選擇成績最高者參加大賽，則應(yīng)選擇 (填“甲”或“乙”)．
【答案】甲
【知識點】求加權(quán)平均數(shù)
【分析】本題考查了加權(quán)平均數(shù)，根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的定義分別計算兩人的平均成績，從而得出答案，解題的關(guān)鍵是掌握加權(quán)平均數(shù)的定義．
【詳解】解：甲的最終成績?yōu)椋?br>（分），
乙的最終成績?yōu)椋?br>（分），
∴甲的平均成績較高，應(yīng)選擇甲參加大賽，
故答案為：甲．
13．如圖，正五邊形的兩條對角線與相交于點P，若，則四邊形的周長為 ．
【答案】12
【知識點】正多邊形的內(nèi)角問題、根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求線段長、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、等邊對等角
【分析】本題考查了正多邊形的內(nèi)角和問題，菱形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和問題等知識點，證明出四邊形是菱形是解題的關(guān)鍵．
先根據(jù)正五邊形求出每個內(nèi)角度數(shù)，以及得到，再導(dǎo)角證明四邊形是平行四邊形，繼而可證明其為菱形，則周長即可求解．
【詳解】解：∵正五邊形，
∴，，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴四邊形是菱形，
∴四邊形周長為，
故答案為：12．
14．如圖，在平面直角坐標系中，過點分別作軸于點軸于點，反比例函數(shù)的圖象分別與，相交于兩點，連接．若四邊形的面積為4，則的值為______．
【答案】
【知識點】根據(jù)圖形面積求比例系數(shù)（解析式）、根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求面積
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．先求出，四邊形是矩形，再根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義可得，然后根據(jù)計算即可得．
【詳解】解：∵過點分別作軸于點，軸于點，
∴，四邊形是矩形，
∵反比例函數(shù)的圖象分別與，相交于兩點，
∴，
∵四邊形的面積為4，
∴，
∴，
解得，
故答案為：．
15．如圖，在正方形中，是以為直徑的半圓的切線，在正方形區(qū)域內(nèi)任意取一點，則點落在陰影部分的概率是 ．
【答案】
【知識點】求其他不規(guī)則圖形的面積、幾何概率、用勾股定理解三角形、應(yīng)用切線長定理求解
【分析】取中點，設(shè)與以為直徑的半圓的切點為，設(shè)正方形的邊長為2，，結(jié)合題意易知切半圓于點，切半圓于點，切半圓于點，由切線長定理可知，，進而可得，，在中，利用勾股定理解得的值，再計算陰影部分的面積，然后結(jié)合簡單概率計算公式求解即可．
【詳解】解：如下圖，取中點，設(shè)與以為直徑的半圓的切點為，
設(shè)正方形的邊長為2，，
則有，半圓的半徑，，
∵為直徑，
∴切半圓于點，切半圓于點，
∵切半圓于點，
∴，，
∴，，
∴在中，可有，
即，解得，
∴，
∵正方形的邊長為2，
∴正方形的面積，
陰影部分的面積，
∴在正方形區(qū)域內(nèi)任意取一點，則點落在陰影部分的概率．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了求不規(guī)則圖形面積、勾股定理、切線長定理、簡單概率計算等知識，正確求得陰影部分面積是解題關(guān)鍵．
三、作圖題（本大題滿分4分，請用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡）
16．已知：及其一邊上的兩點A，．求作：以為底的等腰，使點在的內(nèi)部，且．
【答案】見解析
【知識點】尺規(guī)作一個角等于已知角、作垂線(尺規(guī)作圖)、等腰三角形的定義
【分析】本題主要考查了尺規(guī)作圖、等腰三角形的性質(zhì)等知識點，掌握基本的尺規(guī)作圖方法是解題的關(guān)鍵．
先運用尺規(guī)作圖過A作，然后再作線段的垂直平分線，垂直平分線與邊的交點為點C，最后順次連接點A、B、C即可解答．
【詳解】解：如圖：即為所求．
四、解答題（本大題共9個小題，共71分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17．（1）計算：．
（2）先化簡，再求值：，其中是不等式組的整數(shù)解．
【答案】（1）；（2），當時，
【知識點】實數(shù)的混合運算、分式化簡求值、求一元一次不等式組的整數(shù)解、特殊三角形的三角函數(shù)
【分析】．本題考查了實數(shù)的混合運算；分式的化簡求值，一元一次不等式組的整數(shù)解，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)算術(shù)平方根，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，化簡絕對值，進行計算即可求解．
（2）先利用異分母分式加減法法則計算括號里，再算括號外，然后把的值代入化簡后的式子進行計算，即可解答
【詳解】（1）
；
（2）解：
，
，
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式組的解集為：，
該不等式組的整數(shù)解為：，，
，，
，，
當時，原式．
18．2022年末，中國迎來第一波疫情高峰．為加強同學(xué)們的防護意識，某校舉行了以“疫情防護”為主題的知識競賽活動．發(fā)現(xiàn)該校全體學(xué)生的競賽成績（百分制）均不低于60分，現(xiàn)從中隨機抽取n名學(xué)生的競賽成績進行整理和分析（成績得分用x表示，共分成四組），并繪制成如下的競賽成績分組統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖，下面為部分數(shù)據(jù)：其中“”這組的部分數(shù)據(jù)（從小到大排序）如下：80，82，82，83，83，84，85，85，85，86，87，87，87，88，88……其中“”這組的數(shù)據(jù)如下：90，92，93，95，95，96，96，96，97，100．
競賽成績分組統(tǒng)計表
根據(jù)以上信息，回答下列問題：
(1)下列說法正確的是______．
A．樣本為n名學(xué)生 B．a(chǎn)＝12 C．m＝40
(2)“”這組的數(shù)據(jù)的眾數(shù)是______．
(3)隨機抽取的這n名學(xué)生競賽成績的中位數(shù)是______；平均分是______；
(4)若學(xué)生競賽成績達到96分以上（含96分）獲獎，請你估計全校1200名學(xué)生中獲獎的人數(shù)．
【答案】(1)B
(2)96
(3)83.5；82.6分
(4)120人
【知識點】求中位數(shù)、求眾數(shù)、頻數(shù)分布表、求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)
【分析】（1）根據(jù)統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)，可以判斷哪個選項符合題意；
（2）根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，可以寫出“”這組的數(shù)據(jù)的眾數(shù)；
（3）根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，可以計算出中位數(shù)和平均數(shù)；
（4）根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，可以計算出全校1200名學(xué)生中獲獎的人數(shù)．
【詳解】（1）解：樣本為名學(xué)生的競賽成績，故選項錯誤，不符合題意；
，則，故選項符合題意；
，故選項錯誤，不符合題意；
故選：B；
（2）解：”這組的數(shù)據(jù)如下：90，92，93，95，95，96，96，96，97，100．
“”這組的數(shù)據(jù)的眾數(shù)是96；
（3）解：隨機抽取的這名學(xué)生競賽成績的中位數(shù)是，
平均分是：（分）；
（4）解：（人，
答：估計全校1200名學(xué)生中獲獎的有120人．
【點睛】本題考查扇形統(tǒng)計圖、統(tǒng)計表、用樣本估計總體，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
19．二十四節(jié)氣，是上古農(nóng)耕文明的產(chǎn)物，蘊含了中華民族悠久的文化內(nèi)涵和歷史積淀．張濤收集了四張節(jié)氣圖案的卡片：．小滿，．芒種，．夏至，．小暑，這些卡片除正面圖案外無其他差別，洗勻后背面朝上放置．
(1)張濤從四張卡片中隨機抽取一張卡片，抽到“A．小滿”的概率是 ；
(2)若張濤從四張卡片中隨機抽取一張卡片，不放回，洗勻后妹妹再從剩下的三張卡片中隨機抽取一張卡片，請用畫樹狀圖或列表的方法，求兩人都沒有抽到“C．夏至”的概率．
【答案】(1)
(2)兩人都沒有抽到“C．夏至”的概率為．
【知識點】列表法或樹狀圖法求概率
【分析】本題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中兩人都沒有抽到“C．夏至”的有6種，再由概率公式求解即可．
【詳解】（1）解：張濤從四張卡片中隨機抽取一張卡片，共有4種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中抽到“A．小滿”的結(jié)果只有1種，
∴張濤從四張卡片中隨機抽取一張卡片，抽到“A．小滿”的概率是，
故答案為：；
（2）解：畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的結(jié)果，其中兩人都沒有抽到“C．夏至”的有6種，
∴兩人都沒有抽到“C．夏至”的概率為．
20．如圖是某越野車的側(cè)面示意圖，折線段表示車后蓋，已知，，，該車的高度．打開后備廂如圖，車后蓋落在處，與水平面的夾角．
(1)求打開后備用后，車后蓋最高點到地面的高度．
(2)若小明爸爸的身高為米，他從打開的車后蓋處經(jīng)過，有沒有碰頭的危險？請說明理由．
【答案】(1)
(2)沒有碰頭的危險，理由見解析
【知識點】其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）
【分析】（）過點作于，根據(jù)正弦的定義求出即可得到答案；
（）過點作于點，求出，根據(jù)余弦的定義求出，進而求出點到地面的距離，比較大小即可；
本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：過點作于，
在中，，，
∵，
∴，
∴點到地面的距離為，
答：車后蓋最高點到地面的距離為；
（2）解：沒有碰頭的危險，理由如下：
如圖，過點作于點，
在中，，則，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴點到地面的距離為，
∴，
∴沒有碰頭的危險．
21．如圖，四邊形是平行四邊形，點，分別是，的中點，點，在對角線上，且．
(1)求證：；
(2)若，求證：四邊形是矩形．
【答案】(1)見解析；
(2)見解析．
【知識點】證明四邊形是矩形、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、利用平行四邊形性質(zhì)和判定證明
【分析】（1）結(jié)合平行四邊形性質(zhì)，利用“邊角邊”即可證明全等；
（2）由全等三角形性質(zhì)推出，，即可證，進而證得四邊形為平行四邊形， 再由即可證四邊形是矩形．
【詳解】（1）證明： 四邊形是平行四邊形，
，，
，
又點，分別是，的中點，，
∴，，
，
和中，
，
．
（2）解：，
，，
又，，
，
，
四邊形為平行四邊形，
連接，
∵點，分別是，的中點，
∴，，
∴，
，
四邊形為平行四邊形，
，
又，
，
平行四邊形為矩形．
【點睛】本題考查的知識點是平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定，解題關(guān)鍵是熟練掌握矩形的判定．
22．2025年春晚舞臺上，字樹科技的人形機器人以一身喜慶的大紅棉襖亮相，隨著秧歌舞步靈活扭動，手中的紅手絹在空中劃出流暢弧線．這場表演不僅讓觀眾驚嘆于機器人動作的精準協(xié)調(diào)，更因“機器人舞團”在舞蹈時隊形變化整齊無誤，成為社交媒體熱議的焦點．某公司計劃購買兩種機器人進行銷售．已知每個種機器人比種機器人貴5萬元，用1200萬元購進種機器人的數(shù)量是用650萬元購進種機器人數(shù)量的2倍．
(1)求購買一個種機器人、一個種機器人各需多少萬元？
(2)一段時間后，該公司準備用不超過6200萬元再購進第二批、兩種機器人共100個，且種機器人數(shù)量不超過種機器人數(shù)量的3倍．據(jù)市場銷售分析，當種機器人提價種機器售價為購買價的倍時，銷售狀況最好，若按此銷售方案將第二批機器人全部銷售完，怎樣安排購進方案可以使獲得的利潤最大，求出最大利潤及對應(yīng)的購進方案．
【答案】(1)種機器人的價格為萬元，種機器人的價格為萬元．
(2)購進了種機器人個，種機器人個；最大利潤萬元
【知識點】最大利潤問題(一次函數(shù)的實際應(yīng)用)、一元一次不等式組的其他應(yīng)用、分式方程的其它實際問題
【分析】本題考查了分式方程的實際應(yīng)用，一元一次不等式組的實際應(yīng)用，一次函數(shù)最值問題等知識點，理解題意合理列出方程是解題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)種機器人的價格為萬元，則種機器人的價格為萬元，利用1200萬元購進種機器人的數(shù)量是用650萬元購進種機器人數(shù)量的2倍的關(guān)系列出分式方程求解即可；
（2）先運算出和的售價，設(shè)購買的數(shù)量為個，則的數(shù)量為個，列出不等式方程組求出的取值范圍，再通過利潤的表達式分析出方案即可．
【詳解】（1）解：設(shè)種機器人的價格為萬元，則種機器人的價格為萬元，
由題意可得：
解得：，
經(jīng)檢驗，是原方程的解，
∴種機器人的價格為（萬），
答：種機器人的價格為萬元，種機器人的價格為萬元．
（2）解：由題意可得：的售價為：萬元，的售價為：萬元，
設(shè)購買的數(shù)量為個，則的數(shù)量為個，
∴由題意可得：，
解得：，
∴，
∵利潤，
∵
∴當越小時，利潤最大，
把代入可得：，
∴最大利潤為：萬，此時購進了種機器人個，種機器人個．
答：安排購進了種機器人個，種機器人個時最大利潤為萬元．
23．【問題背景】
如圖，是一張等腰直角三角形紙板，，取、、中點進行第次剪取，記所得正方形面積為，如圖，在余下的和中，分別剪取正方形，得到兩個相同的正方形，稱為第次剪取，并記這兩個正方形面積和為如圖.
【問題探究】
（1） ______ ；
（2）如圖，再在余下的四個三角形中，用同樣方法分別剪取正方形，得到四個相同的正方形，稱為第次剪取，并記這四個正方形面積和為繼續(xù)操作下去，則第次剪取時， ______ ；第次剪取時， ______ ．
【拓展延伸】
在第次剪取后，余下的所有小三角形的面積之和為______ ．
【答案】（1）；（2），；【拓展延伸】
【知識點】正方形性質(zhì)理解、以直角三角形三邊為邊長的圖形面積
【分析】（1）根據(jù)題意，可求得，第一次剪取后剩余三角形面積和為：，第二次剪取后剩余三角形面積和為：；
（2）同理可得規(guī)律：即是第次剪取后剩余三角形面積和，根據(jù)此規(guī)律求解即可答案；
（3）依此規(guī)律可得第次剪取后，余下的所有小三角形的面積之和．
本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，得出甲、乙兩種剪法，所得的正方形面積是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：（1）∵四邊形是正方形，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
同理：等于第二次剪取后剩余三角形面積和，
，
故答案為：；
（2）等于第次剪取后剩余三角形面積和，
第一次剪取后剩余三角形面積和為：，
第二次剪取后剩余三角形面積和為：，
第三次剪取后剩余三角形面積和為：，

第十次剪取后剩余三角形面積和為：，
第次剪取后剩余三角形面積和為：，
故答案為：，；
（3）在第次剪取后，余下的所有小三角形的面積之和為，
故答案為：．
24．某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣社團利用二次函數(shù)的知識進行探究學(xué)習(xí)．
【數(shù)學(xué)建模】他們對一個截面為拋物線且設(shè)有兩條（雙向）行車道的隧道進行研究（行車道分界線的寬度忽略不計，行駛車輛不能越過分界線），建立如圖1所示的直角坐標系，并畫出了隧道截面圖．
【實踐應(yīng)用】已知隧道的路面寬為，隧道頂部最高處點P距地面，按規(guī)定，過隧道的車輛的頂部與隧道頂部在豎直方向上的高度差至少為．現(xiàn)有一輛寬、高的廂式貨車計劃從隧道駛過．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達式．
（2）請問：廂式貨車能否順利通過隧道？請說明理由．
【問題探究】該社團為進一步探索拋物線的有關(guān)知識，借助上述拋物線模型，設(shè)計了以下問題：
（3）如圖2，在拋物線內(nèi)作矩形，使頂點C，D落在拋物線上，頂點A，B落在x軸上．設(shè)矩形的周長為l，求l的最大值．
（4）在（3）的條件下，如圖3，在矩形周長最大時，將矩形繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)（），當以點P，D，C為頂點的三角形為直角三角形時，請直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．

【答案】（1）；（2）廂式貨車能順利通過隧道，理由見解析；（3）；（4）或或
【知識點】拱橋問題(實際問題與二次函數(shù))、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解、y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式
【分析】此題主要考查了頂點式求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)最值求法和等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．
（1）利用頂點式求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)已知得出當時，正好是汽車寬度，求出即可；
（3）首先表示出矩形周長，再利用二次函數(shù)最值公式求出；
（4）根據(jù)題意，畫出符合條件的三角形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分三種情況求解即可．
【詳解】解：（1）根據(jù)坐標系可知此函數(shù)頂點坐標為，且圖象過點，
代入頂點式得：，
∴，
解得：，
∴；
（2）廂式貨車能順利通過隧道，理由如下：
當寬、高的廂式貨車從隧道駛過時，
∴，
∴代入解析式得：；
∴，
∴廂式貨車能順利通過隧道；
（3）假設(shè)，可得，
∴；
∵矩形的周長為l，
∴，
∴當時，l的最大值為：；
（4）在（3）的條件下，當矩形周長最大時，，，，
∴，，
過點P作于點M，
∵，
∴，，
∴，，
如圖，分以下三種情況：
當時，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，
由勾股定理得，
∴，
∴，
∴；
當時，；
當時，；
綜上所述，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為或或．
25．已知：如圖，在菱形中，，，動點從點出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為；同時，點從點出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為，連接，設(shè)運動時間為．
(1)延長交于點，若四邊形是平行四邊形，求的值；
(2)當為何值時，點運動到的垂直平分線上？
(3)設(shè)四邊形的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【知識點】解直角三角形的相關(guān)計算、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、利用菱形的性質(zhì)求線段長
【分析】（1）由題意得，當四邊形是平行四邊形，則，則，那么，代入數(shù)據(jù)，即可求解；
（2）當點運動到的垂直平分線上，則，然后證明，則，那么，即可求解；
（3）連接交于點N，過點P作于點M，由于四邊形是菱形，那么，，，四邊形是軸對稱圖形，可求，則，則菱形面積為，那么面積為，由，求得，則，再由面積減去的面積即可建立起關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．
【詳解】（1）解：由題意得，
∵四邊形是菱形，
∴，
當四邊形是平行四邊形，
則，
∴
∴，
∴，
解得：；
（2）解：連接，
當點運動到的垂直平分線上，
則，
∴，
∵四邊形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：連接交于點N，過點P作于點M，
∵四邊形是菱形，
∴，，，四邊形是軸對稱圖形，
∵，
∴由勾股定理得：
∴，
∴菱形面積為，
∴面積為
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，線段垂直平分線的性質(zhì)等知識點，熟練掌握各知識點是解題的關(guān)鍵．
說課
講課
學(xué)科知識
甲
85
93
90
乙
80
95
90
組別
競賽成績分組
頻數(shù)
平均分
1
8
65
2
a
75
3
b
88
4
10
95