高中數(shù)學(xué)滬教版（2020）選擇性必修第二冊排列數(shù)的性質(zhì)優(yōu)秀鞏固練習(xí)

這是一份高中數(shù)學(xué)滬教版（2020）選擇性必修第二冊排列數(shù)的性質(zhì)優(yōu)秀鞏固練習(xí)，文件包含第05講排列原卷版docx、第05講排列解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共38頁， 歡迎下載使用。


知識點01排列的定義
一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列
【即學(xué)即練1】（21-22高二下·上海奉賢·期末）從集合中任取3個不同元素分別作為直線方程中的、、，則經(jīng)過坐標(biāo)原點的不同直線有 條（用數(shù)值表示）.
【答案】18
【分析】根據(jù)給定條件可得，再從任取兩個不同元素分別作為值的種數(shù)中減去重合的直線條數(shù)即可作答.
【詳解】依題意，，從任取兩個不同元素分別作為的值有種，
其中重合的直線，與 重合， 與重合，
所以經(jīng)過坐標(biāo)原點的不同直線條數(shù)是.
故答案為：18
知識點02 排列相同的條件
兩個排列相同的充要條件：
(1)兩個排列的元素完全相同．
(2)元素的排列順序也相同．
【即學(xué)即練2】如何理解排列定義中“一定的順序”？兩個排列相同必須滿足哪些條件？如何判斷一個問題為排列問題？
【答案】答案見解析
【詳解】定義中“一定的順序”是說元素的安排與位置（順序）有關(guān)．相同的排列必須滿足兩個條件：一是元素完全相同，二是元素的排列順序完全相同．元素完全相同，順序不同或者元素不完全相同的兩個排列都是不同的排列．判斷一個問題是否為排列問題，首先判斷是否有順序，然后判斷是否是從n個不同元素中取出個元素，滿足這兩個條件的問題就是排列問題，否則就不是排列問題．
知識點03排列數(shù)的定義
從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號Aeq \\al(m,n)表示．
【即學(xué)即練3】（22-23高二下·上海浦東新·期中）書架上某層有8本書，新買2本插進去，要保持原有8本書的順序，則有 種不同的插法（具體數(shù)字作答）
【答案】90
【分析】利用定序相除法進行求解，先求10本書的所有排法，再求原來8本書的排法，相除可得結(jié)果.
【詳解】原來的8本書，加上新買的2本書，隨意排列共有種排法，
原來的8本書隨意排列共有種排法，
而原來特有的順序只有1種，所以共有種方法.
故答案為：90.
知識點04 排列數(shù)公式及全排列
1．排列數(shù)公式的兩種形式
(1)Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n.
(2)Aeq \\al(m,n)＝eq \f(n！,?n－m?！).
2．全排列：把n個不同的元素全部取出的一個排列，叫做n個元素的一個全排列，全排列數(shù)為Aeq \\al(n,n)＝n！(叫做n的階乘)．規(guī)定：0?。?.
【即學(xué)即練4】（25-26高三上·上?！卧獪y試）對于任意正整數(shù)，定義“的雙階乘”如下：當(dāng)是偶數(shù)時，；當(dāng)是奇數(shù)時，；①；②；③的個位數(shù)是0；④的個位數(shù)是5.其中正確的命題的序號是 .
【答案】①②③④
【分析】根據(jù)的雙階乘的定義，依次分析四個命題即可.
【詳解】對于①，
，故正確；
對于②，
，故正確；
對于③，，其中含有10，
故個位數(shù)字為0，故正確；
對于④，，
其個位數(shù)字與的個位數(shù)字相同，故其個位數(shù)字為5，故正確.
故答案為：①②③④.
題型一：排列數(shù)的計算
1.（23-24高二下·上?！るA段練習(xí)）已知為正整數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)排列數(shù)的運算即可求解.
【詳解】由，
得.
故選：D
2．（22-23高二下·浙江·期中）已知，則n的值為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，利用排列數(shù)公式計算作答.
【詳解】因為，而，即有，于是，
所以n的值為5.
故選：C
3.（25-26高三上·上?！卧獪y試）已知，則n的值為 ．
【答案】3
【分析】根據(jù)排列數(shù)公式直接計算即可得解.
【詳解】由得，
化簡得，解得（舍去）或.
故答案為：3.
4．（23-24高三下·上海·階段練習(xí)）某中學(xué)在高一年級開設(shè)了4門選修課，每名學(xué)生必須參加這4門選修課中的一門，對于該年級的甲、乙、丙3名學(xué)生，這3名學(xué)生選擇的選修課互不相同的概率是 （結(jié)果用最簡分數(shù)表示）．
【答案】
【分析】所有的選法共有種，3這名學(xué)生選擇的選修課互不相同的選法有種，由此求得這3名學(xué)生選擇的選修課互不相同的概率．
【詳解】所有的選法共有種，3這名學(xué)生選擇的選修課互不相同的選法有種，
所以這3名學(xué)生選擇的選修課互不相同的概率為.
故答案為：．
5．（2024高三·上?！ｎ}練習(xí)）設(shè)有12件藥品，其中4件是次品，現(xiàn)進行兩次無放回抽樣，即每次抽一件不放回去，則兩次都抽到正品的概率是 ．
【答案】
【分析】利用古典概型的概率公式求解．
【詳解】兩次都抽到正品的概率為.
故答案為：．
6．（23-24高二上·上?！て谀┤?，則 .
【答案】7
【分析】根據(jù)排列數(shù)的運算性質(zhì)計算即可求解.
【詳解】由題意知，，則，
由，解得.
故答案為：7
7．（22-23高二下·上海長寧·期中）已知n為正整數(shù)，且，則 ．
【答案】8
【分析】利用排列數(shù)公式，列式求解作答.
【詳解】依題意，n為正整數(shù)，，
因為，則有，解得，
所以.
故答案為：8
8．（22-23高二下·上海浦東新·期中）從4本不同的書中選出2本排成一列，則一共有 種排法．
【答案】12
【分析】運用排列數(shù)計算即可.
【詳解】由題意知，從4本不同的書中選出2本排成一列共有種排法.
故答案為：12.
題型二：用排列數(shù)公式證明
1.（24-25高一上·上海楊浦·階段練習(xí)）已知函數(shù)；在數(shù)列中，，，記數(shù)列的前項積為，數(shù)列的前項和為，則的取值范圍為
【答案】
【分析】首先求，再求乘積，利用裂項相消法，即可求和，再利用單調(diào)性，求和的取值范圍.
【詳解】在數(shù)列中，，，即，，
即有，
，
則
由于，遞增，可得，即.
故答案為：
2.（23-24高二上·上?！ふn后作業(yè)）已知m、n是正整數(shù)，且．求證：
(1)；
(2)．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)排列數(shù)計算公式證明；
（2）根據(jù)排列數(shù)計算公式證明.
【詳解】（1）根據(jù)排列數(shù)公式，可以得到．
所以，．
（2）根據(jù)排列數(shù)公式，可以得到
．
所以，．
題型三：排列數(shù)方程和不等式
1.（23-24高二下·上海閔行·期末）若，其中，則 ．
【答案】3
【分析】根據(jù)排列數(shù)的計算即可得到方程，解出即可.
【詳解】由題意得，解得或（舍去），
故答案為：3.
2．（高二下·上海奉賢·期中）已知，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)排列數(shù)公式可得出關(guān)于的等式，分析可知且，即可解得的值.
【詳解】因為，則且，則，即，解得.
故答案為：.
3.（2020高三·上海·專題練習(xí)）（1）用排列數(shù)表示：；
（2）若，求的值.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）直接利用排列數(shù)計算公式化簡即可；
（2）直接利用排列數(shù)計算公式即可得到結(jié)論.
【詳解】（1）由排列數(shù)計算公式，知
.
（2）由排列數(shù)計算公式，得，
即，即，
解得或，又，故.
【點睛】本題考查排列數(shù)公式的推導(dǎo)，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于基礎(chǔ)題.
題型四：全排列問題
1.（2023·上海閔行·一模）今年中秋和國慶共有連續(xù)天小長假，某單位安排甲、乙、丙三名員工值班，每天都需要有人值班．任選兩名員工各值天班，剩下的一名員工值天班，且每名員工值班的日期都是連續(xù)的，則不同的安排方法數(shù)為 ．
【答案】
【分析】先確定值班天的人，有種選擇，再將三個人全排即可，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理可得結(jié)果.
【詳解】三人值班的天數(shù)分別為、、，先確定值班天的人，有種選擇，
再將三個人全排即可，所以，不同的排法種數(shù)為種.
故答案為：.
2．（20-21高二上·上海徐匯·期末）甲、乙、丙、丁4名同學(xué)被隨機地分到A、B、C三個社區(qū)參加社會實踐，要求每個社區(qū)至少有一名同學(xué)，則甲、乙兩人被分在同一個社區(qū)的情況有 種．
【答案】6
【分析】運用捆綁法進行求解即可.
【詳解】把甲、乙兩人捆綁一起，與丙、丁兩同學(xué)一起排列在一起符合題意，
所以有種不同的情況，
故答案為：6
3．（21-22高二下·上海浦東新·期中）現(xiàn)有位教師要帶個班級外出參加志愿者服務(wù)，要求每個班級配一位教師帶隊，則不同的帶隊方案的種數(shù)為 （結(jié)果用數(shù)值表示）.
【答案】
【分析】根據(jù)排列數(shù)的知識可直接得到結(jié)果.
【詳解】將位教師安排給個班級可得不同的帶隊方案有：種.
故答案為：.
4．（23-24高三上·上海普陀·期末）求有 組、、、（、、、均為正整數(shù)），滿足等式.
【答案】
【分析】設(shè)，分的取值進行分類討論，利用數(shù)的整除性推導(dǎo)得出的取值，進一步解出、的值，然后考慮將、、排序，綜合可得出符合條件的數(shù)組的個數(shù).
【詳解】不妨設(shè)，分以下兩種情況討論：
（1）當(dāng)時，則，
此時，若，則被整除，矛盾，故，
于是有，可知或，解得或，
則或，
只需將、、排序即可，此時共有種符合條件的數(shù)組；
（2）當(dāng)時，則，
此時，若，則能被整除，矛盾，
事實上，則，則能被整除，
則被整除余，矛盾，所以，，
如果，那么，
此時，若，則不能被整除，而能被整除，矛盾，
若，則能被整除，而為奇數(shù)，則不能被整除，矛盾，
故，
于是，
當(dāng)時，能被整除，但為奇數(shù)，則不能被整除，
所以，或，
當(dāng)時，，解得，所以，，
可得，解得；
當(dāng)時，，解得，所以，，
可得，解得.
此時，或.
只需將、、排序即可，此時共有種符合條件的數(shù)組.
綜上所述，共有種符合條件的數(shù)組.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解本題的關(guān)鍵在于根據(jù)數(shù)的整數(shù)性確定的取值，進而得出、、的取值，從而使問題得到解答.
題型五：元素（位置）有限制的排列問題
1.（2021高三·上?！ｎ}練習(xí)）五個人排成一排，其中甲不在排頭，乙不在排尾，不同的排法有（ ）
A．120種B．96種C．78種D．72種
【答案】C
【解析】分甲在末尾和在第二，三，四位討論其余幾人的位置情況即可.
【詳解】由題意可先安排甲，并按其分類討論：
1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有=24種排法；
2）若甲在第二，三，四位上，則乙不在排尾，也不在甲的位置，有3種，其余三人有種，所以共有=54種排法，
由分類計數(shù)原理，排法共有24+54=78種，
故選：C．
【點睛】解含有約束條件的排列組合問題，應(yīng)按有約束條件的元素性質(zhì)進行分類，按事情發(fā)生的連續(xù)過程分步，保證每步獨立，達到分類標(biāo)準明確，分步層次清楚，不重不漏．
2．（2020高三·上海·專題練習(xí)）5個人站成一排，甲、乙兩人中間恰有一人的不同站法有（ ）.
A．288種B．72種C．36種D．24種
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，甲、乙兩人中間恰有一人，把這三個人看做一個整體，利用“捆綁”法，再與其他的2個人進行排列.
【詳解】由題意，甲、乙兩人中間恰有一人，把這三個人看做一個整體，則有種，
所以，5個人站成一排，且甲、乙兩人中間恰有一人的站法有：種.
故選：C.
【點睛】本題主要考查排列與組合及兩個基本原理，排列數(shù)公式、組合數(shù)公式的應(yīng)用，相鄰問題用“捆綁”法，屬于基礎(chǔ)題.
3．（2020高三·上海·專題練習(xí)）A，B，C，D，E五個字母排成一排，字母A排在字母B的左邊（但不一定相鄰）的排法種數(shù)為（ ）.
A．24B．12C．60D．120
【答案】C
【分析】利用定序相除法求解：即先求5個字母全排列，再除順序數(shù).
【詳解】先5個字母全排列，由于字母A不是排在字母B的左邊，就是排在字母B的右邊兩種情況，且這兩種情況排列數(shù)相等，所以所求排列數(shù)為.
故選：C.
【點睛】本題考查排列組合的實際應(yīng)用，考查帶有限制條件的元素的排列問題，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.
4.（24-25高二上·上?！るA段練習(xí)）用 “行”、“知”、“中”、“學(xué)”、“頂”、“呱”、“呱”這七個字可以組成 種不同的七字短語. (不考慮短語的含義)
【答案】
【分析】先將七個字全排列，再除以2即可.
【詳解】先將七個字進行排列，有種選擇，
由于七個字中有兩個相同的“呱”，故均重復(fù)計算了一次，
所以共有種不同的七字短語(不考慮短語的含義).
故答案為：
5．（24-25高二上·上?！るA段練習(xí)）把1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數(shù)隨機地排成一列組成一個數(shù)列，要求該數(shù)列恰好先嚴格減后嚴格增，則這樣的數(shù)列共有 個.
【答案】254
【分析】根據(jù)1是分界點，分類討論即可.
【詳解】該數(shù)列為先減后增，則1一定是分界點，且前面的順序和后面的順序都只有一種，
當(dāng)1前面只有一個數(shù)時，有種情況；
當(dāng)1前面只有2個數(shù)時，有種情況；
當(dāng)1前面只有3個數(shù)時，有種情況，
，
當(dāng)1前面只有7個數(shù)時，有種情況.
綜上，這樣的數(shù)列共有個.
故答案為：.
6．（2024·上海虹口·一模）已知項數(shù)為10的數(shù)列中任一項均為集合中的元素，且相鄰兩項滿足．若中任意兩項都不相等，則滿足條件的數(shù)列有 個．
【答案】
【分析】先將任意排列，依次將到插入該數(shù)列，考慮滿足條件，求出其方法總數(shù)，即可得出答案.
【詳解】由于，可以先將任意排列，
再將插入該數(shù)列，但不能在的左邊且與相鄰，共有種，
再將插入該數(shù)列，同樣不能在和的左邊且與，相鄰，共有種，
再將插入該數(shù)列，同樣不能在，和3的左邊且與相鄰，共有種，
以此類推，將插入該數(shù)列，共有種.
故答案為：.
7．（24-25高三上·上海虹口·階段練習(xí)）現(xiàn)有10個完全相同，尺寸為的長方體箱子，將第一個箱子平放在地面上，其余的9個箱子的每一個箱子都平放在前面的箱子上，可以任意旋轉(zhuǎn)箱子，那么使得這10個箱子堆放高度為41的堆放方式共有 種.
【答案】5130
【分析】設(shè)分別有個高度為的箱子，結(jié)合題意可得，，進而得到，，，再結(jié)合排列組合知識求解即可.
【詳解】因為10個箱子都有3種不同的高度，
設(shè)分別有個高度為的箱子，
則，則，
由于，則，
所以，，，
則使得這10個箱子堆放高度為41的堆放方式共有種.
故答案為：5130.
8．（24-25高三上·上?！て谥校┮阎菨M足下列性質(zhì)的一個排列，性質(zhì)：排列中有且僅有一個，當(dāng)時，滿足性質(zhì)的數(shù)列一共有 個.
【答案】
【分析】先根據(jù)題意得到和之間的關(guān)系：，再計算，代入即可.
【詳解】設(shè)為符合題意的的個數(shù)，
考慮和之間的關(guān)系，為此考慮兩種情況下的：
第一種為1到符合性質(zhì)排列，不妨設(shè)，此時要么放在末尾要么放在和之間，這一共有 種情況；
第二種為1到不符合性質(zhì)T排列，此時若想插入數(shù)使得序列滿足性質(zhì)，則前個數(shù)只能遞增排列，然后插入，有種情況；
故
設(shè)
易知
，
所以.
故答案為：.
9.（21-22高二下·上海虹口·期末）已知5名同學(xué)站成一排，要求甲、乙兩人站在兩端，記滿足條件的所有不同的排法種數(shù)為m.
(1)求m的值；
(2)求二項式的展開式中的的系數(shù).
【答案】(1)12
(2)66
【知識點】元素（位置）有限制的排列問題、求指定項的系數(shù)
【分析】（1）先安排甲、乙兩人，再安排其他人員，結(jié)合排列數(shù)可得答案；
（2）利用二項展開式的通項公式進行求解.
【詳解】（1）先安排甲、乙兩人，共有種方法，再排其余3人，共有種方法，所以.
（2）由（1）知，的展開式的通項公式為，
令可得，，所以二項式的展開式中的的系數(shù)為.
題型六：相鄰問題的排列問題
1.（21-22高二下·上海浦東新·期末）公安部新修訂的《機動車登記規(guī)定》正式實施后，小型汽車的號牌已經(jīng)可以采用“自主編排”的方式進行編排.某人欲選由A?B?C?D?E中的兩個不同字母，和0?1?2?3?4?5?6?7?8?9中的3個不同數(shù)字，組成的三個數(shù)字都相鄰的一個號牌，則他選擇號牌的方法種數(shù)最多有（ ）種.
A．7200B．14400C．21600D．43200
【答案】D
【分析】先計算挑選出兩個不同字母和3個不同數(shù)字的情況數(shù)，再求解三個數(shù)字都相鄰的情況即可
【詳解】由題意，選取A?B?C?D?E中的兩個不同字母，和0?1?2?3?4?5?6?7?8?9中的3個不同數(shù)字共有種情況，當(dāng)兩個字母和3個數(shù)字確定后，再組成的三個數(shù)字都相鄰的一個號牌總共有種情況，根據(jù)分步計數(shù)的乘法原理可得，選擇號牌的方法種數(shù)最多有種
故選：D
2．（20-21高二下·上海楊浦·期中）汽車牌照由4個數(shù)字（可以重復(fù)）和2個字母（也不一定要不相同）構(gòu)成，這6個字符可以任何順序呈現(xiàn)，但兩個字母必須相鄰，則可以形成的不同的牌照有（ ）種.
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用分步乘法計數(shù)原理以及插空法即可求解.
【詳解】首先排4個數(shù)字共有種，
再將2個字母看成一個整體插在個空內(nèi)，共有種，
所以形成的不同的牌照有.
故選：B
3.（23-24高二下·上海閔行·期中）甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，如果甲，乙必須相鄰，那么不同的排法種數(shù) ．（用數(shù)字作答）
【答案】48
【分析】根據(jù)捆綁法求解即可.
【詳解】由題意，先將甲乙捆綁排列，再跟剩下的人排列，故不同的排法種數(shù)有種.
故答案為：48
4．（22-23高二下·上海浦東新·期中）已知除顏色外完全相同的個小球，其中個白色，個紅色，個黑色．現(xiàn)將它們從左至右隨機排成一排，則個紅球恰好排在一起的概率是 ．
【答案】
【分析】利用捆綁法可求得個紅球恰好排在一起的方法數(shù)，結(jié)合小球隨機排列的方法總數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果.
【詳解】個小球隨機排列，有種情況；
把個紅球看成一個整體，有種情況，然后把這個整體與其他小球排序，有種情況；
個紅球恰好排在一起的概率是：.
故答案為：.
5．（24-25高二上·上?！て谀┯?個同學(xué)要排隊做操，其中甲乙丙必須相鄰，則總共有 種排法．
【答案】
【分析】根據(jù)相鄰問題捆綁法即可求解.
【詳解】甲乙丙相鄰，則共有,
故答案為：
6．（23-24高二下·上?！て谀?個學(xué)生排成一排照相，甲、乙相鄰的排法共有 種.
【答案】48
【分析】利用捆綁法，即可求得答案；
【詳解】將甲、乙捆綁看作一個整體，內(nèi)部全排列，然后和其他人全排列，
故共有（種）排法，
故答案為：48
7．（23-24高二下·上海·期末）甲、乙、丙、丁、戊乘坐高鐵結(jié)伴出行并購買了位于同一排座位的五張車票， 因此 他們決定自行安排這些座位． 高鐵列車的座位安排如圖， 甲希望坐在靠窗的座位上， 乙 不希望坐在 座，丙和丁希望坐在相鄰的座位上 (中間不能隔著過道)， 則滿足要求的座位安排方式共有 種．
【答案】14
【分析】根據(jù)特殊位置要求分類討論各種情況即可.
【詳解】丙和丁希望坐在相鄰的座位上,分類討論：
丙和丁在DF位置上，甲在A座位上， 乙 坐在 C 座位上，戊 坐在 B座位上共有種排法；
丙和丁在AB位置上，甲在F座位上， 乙 戊 坐在 CD座位上,共有種排法；
丙和丁在BC位置上，甲在F或A座位上， 乙 戊 坐在剩下的座位上,共有種排法；
則滿足要求的座位安排方式共有種排法.
故答案為：14.
8.（22-23高二下·上海長寧·期中）班級迎新晚會有3個唱歌節(jié)目、2個相聲節(jié)目和1個魔術(shù)節(jié)目，要求排出一個節(jié)目單；
(1)3個中唱歌節(jié)目要排在一起，有多少種排法？
(2)相聲節(jié)目不排在第一個節(jié)目，魔術(shù)節(jié)目不排在最后一個節(jié)目，有多少種排法？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用捆綁法可求解即可；
（2）根據(jù)相聲節(jié)目不排在第一個節(jié)目、魔術(shù)節(jié)目不排在最后一個節(jié)目等價于用6個節(jié)目的全排列減去相聲節(jié)目排在第一個節(jié)目的排列數(shù)和魔術(shù)節(jié)目排在最后一個節(jié)目的排列數(shù)，再加上相聲節(jié)目排在第一個節(jié)目并且魔術(shù)節(jié)目排在最后一個節(jié)目的排列數(shù)即可求解．
【詳解】（1）將3個唱歌節(jié)目捆綁在一起，看成1個節(jié)目有種，與其余3個節(jié)目一起排，
則共有種不同排法．
（2）若相聲節(jié)目排在第一個節(jié)目，則有種不同排法，
若魔術(shù)節(jié)目排在最后一個節(jié)目，則有種不同排法，
若相聲節(jié)目排在第一個節(jié)目，并且魔術(shù)節(jié)目排在最后一個節(jié)目，則有種不同排法，
則相聲節(jié)目不排在第一個節(jié)目、魔術(shù)節(jié)目不排在最后一個節(jié)目等價于用6個節(jié)目的全排列減去相聲節(jié)目排在第一個節(jié)目的排列數(shù)和魔術(shù)節(jié)目排在最后一個節(jié)目的排列數(shù)，
再加上相聲節(jié)目排在第一個節(jié)目并且魔術(shù)節(jié)目排在最后一個節(jié)目的排列數(shù)，
所以共有種不同排法．
題型七：不相鄰排列問題
1.（22-23高二下·上海閔行·期中）為弘揚我國古代的“六藝文化”，某夏令營主辦單位計劃利用暑期開設(shè)“禮”、“樂”、“射”、“御”、“書”、“數(shù)”六門體驗課程，每周一門，連續(xù)開設(shè)六周，則下列說法錯誤的是（ ）
A．某學(xué)生從中選2門課程學(xué)習(xí)，共有15種選法
B．課程“禮”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480種排法
C．課程“御”“書”“數(shù)”排在相鄰的三周，共有144種排法
D．課程“樂”“射”排在不相鄰的兩周，共有240種排法
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件利用組合知識可以判斷A正確；利用特殊位置法可以判斷B錯誤；相鄰問題利用捆綁法可以判斷C正確； 不相鄰問題利用插空法可以判斷D錯誤.
【詳解】對于A，從六門課程中選兩門的不同選法有種，A正確；
對于B，從中間四周中任取一周排“禮”，再排其它五門體驗課程共有種，B正確；
對于C，“御”“書”“數(shù)”排在相鄰的三周，可將“御”“書”“數(shù)”視為一個元素，不同排法共有種，C正確；
對于D，先排“禮”、“御”、“書”、“數(shù)”，再用插空法排“樂”“射”，不同排法共有種，D錯誤.
故選： D.
2．（22-23高二下·上海青浦·期中）5個人排一排，甲乙不相鄰，不同的排法有（ ）
A．144種B．72種C．36種D．18種
【答案】B
【分析】由題意可先安排除甲乙之外的3人，再用插空法排甲乙2人，即得答案.
【詳解】由題意5個人排一排，甲乙不相鄰，先排其余3人，再將甲乙插空即可，
故不同的排法有種，
故選：B
3．（20-21高二下·上海浦東新·期中）記者要為4名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求6人排成一排，2位老人不相鄰，不同的排法共有（ ）
A．960種B．720種C．480種D．240種
【答案】C
【分析】本題是一個分步問題，采用插空法，先將4名志愿者排成一列，再將2位老人插到4名志愿者形成的5個空中，根據(jù)分步計數(shù)原理得到結(jié)果．
【詳解】解：先將4名志愿者排成一列，再將2位老人插到4名志愿者形成的5個空中，則不同的排法有種.
故選：C．
4．（23-24高二上·上?！て谀?個人排成一排照相，其中甲乙丙三人中任意兩人都不相鄰的排法種數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)插空法相關(guān)知識直接計算求解即可.
【詳解】由題意，先排剩下的5個人，共有種排法，
再將甲乙丙三個人插入剩余的6個空位，共有種排法，
故總共有種排法.
故選：A
5.（23-24高二下·上海寶山·期末）7個人站成一排，若甲和乙不能相鄰排列，則不同的排法有 種．
【答案】3600
【分析】不相鄰問題用“插空法”即可.
【詳解】先將除了甲和乙外的5人全排列，有種排法，
這5人排成一排，形成6個空，讓甲乙去“插空”有種方法，
故7人站成一排，甲和乙不能相鄰有種不同的排法.
故答案為：3600.
6．（23-24高二下·上海青浦·階段練習(xí)）2位教師和3名學(xué)生站成一排，要求2位教師不相鄰，則不同排法的種數(shù)為 .
【答案】72
【分析】利用插空法先排3名學(xué)生，再將老師插入到4個空位中即可.
【詳解】采用插空法，先排3名學(xué)生有種，再排2位教師有種，
所以，不同排法的種數(shù)為種.
故答案為：72
7．（23-24高二上·福建莆田·期末）5名男生，2名女生站成一排照相．求在下列約束條件下，有多少種站法？
(1)女生不站在兩端；
(2)女生相鄰；
(3)女生不相鄰.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）先排兩端再排中間即可得解.
（2）用捆綁法即可得解.
（3）使用插空法即可得解.
【詳解】（1）先考慮兩端站的人，再考慮其他位置，滿足條件的站法有（種）.
（2）將2名女生捆綁，當(dāng)作一個對象，與其他對象一起全排列，可得滿足條件的站法有（種）.
（3）分兩步：第一步，先排男生，有種站法，
第二步，將2名女生插入男生所形成的6個空（包括兩端）中，有種站法，
由分步乘法計數(shù)原理知，滿足條件的站法有（種）.
8．（20-21高二下·上海徐匯·期中）現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊五個人排隊.
（1）要求甲、乙兩個人必須站在相鄰位置，共有幾種排隊方法？
（2）要求甲、乙兩個人不相鄰，共有幾種排隊方法？
【答案】（1）48；（2）72.
【分析】（1）利用捆綁法可得解；
（2）利用插空法可得解.
【詳解】（1）先將甲、乙看作一個整體有種排法，再與丙、丁、戊進行全排列有種排法，
利用分步相乘計數(shù)原理可知種
（2）先將丙、丁、戊進行全排列有種排法，再將甲、乙插到4個空里有種排法，
利用分步相乘計數(shù)原理可知種
題型八：其他排列模型
1.（23-24高二下·上?！て谀┠承＝M隊參加辯論賽，從6名學(xué)生中選出4人分別擔(dān)任一、二、三、四辯，若其中學(xué)生甲、乙必須參加且不擔(dān)任四辯，則不同的安排方法種數(shù)為（ ）
A．36B．72C．144D．240
【答案】B
【分析】由分步乘法原理計算，先排甲乙，再從剩下4名同學(xué)任選2人排列即可.
【詳解】分步完成：
甲不擔(dān)任四辯，共有3種選擇，
又因為乙也不擔(dān)任四辯，共有2種選擇，
從剩下4名同學(xué)任選2人，且任意排序，共有種，
所以一共有種.
故選：B.
2.（23-24高二下·上海·期中）小張一次買了三串冰糖葫蘆，其中一串有兩顆冰糖葫蘆，一串有三顆冰糖葫蘆，一串有五顆冰糖葫蘆.若小張每次隨機從其中一串中吃一顆，每一串只能從上往下吃，那么不同的吃完的順序有 種.（結(jié)果用數(shù)字作答）
【答案】2520
【分析】考查排列問題，記三串冰糖葫蘆從上往下依次為，，，則由每一串只能從上往下吃可知每一串冰糖葫蘆相對位置是已定的，所以根據(jù)定序問題處理即可求出答案.
【詳解】由題，記三串冰糖葫蘆從上往下依次為，，，
則因為每一串只能從上往下吃，
所以在前被吃，在前而在前被吃，即它們被吃的相對位置是已定的，同理被吃的相對位置也是已定的，
所以根據(jù)排列中定序問題可得不同的吃完的順序有種.
故答案為：2520.
3．（22-23高二下·上海徐匯·期中）將3個紅球，4個籃球，2個黃球排成一排（相同顏色的球是一樣的），有 種排法．
【答案】1260
【分析】利用排列知識即可求出結(jié)果.
【詳解】因為相同顏色的球是一樣的，所以將3個紅球，4個籃球，2個黃球排成一排，共有種.
故答案為：1260.
4．（22-23高二上·上海嘉定·期中）設(shè)直線的方程是，從1，2，3，4，5這五個數(shù)中每次取兩個不同的數(shù)作為A、 B的值，則所得不同直線的條數(shù)是 ．
【答案】18
【分析】任取2個數(shù)作為，共有種，去掉重復(fù)的直線條數(shù)即可得解.
【詳解】∵從1，2，3，4，5這五個數(shù)中每次取兩個不同的數(shù)作為A、B的值有種結(jié)果，
在這些直線中有重復(fù)的直線，
當(dāng)A=1，B=2時和當(dāng)A=2，B=4時，結(jié)果相同，
把A，B交換位置又有一組相同的結(jié)果，
∴所得不同直線的條數(shù)是，
故答案為：18
5．（21-22高二上·上海楊浦·期末）從7名老師中選取4人，分別帶領(lǐng)四組學(xué)生去魯迅小道?大觀園?歷史博物館?練塘古鎮(zhèn)這4處景點外出考察，每組1名帶隊老師，則共有 種安排方式（用數(shù)字作答）.
【答案】
【分析】依題意從名老師中選出名老師安排到四組學(xué)生，再將四組學(xué)生安排到4個景點即可，按照分步乘法計數(shù)原理計算可得；
【詳解】解：依題意從名老師中選出名老師排到四組學(xué)生，則一共有種排法，再將四組學(xué)生安排到4個景點則有，則一個有種排法；
故答案為：
6.（25-26高三上·上?！卧獪y試）從編號為1～9的九個球中任取4個，使它們的編號為奇數(shù)，再把這4個球排成一排，共有多少種排法？
【答案】120
【分析】根據(jù)給定條件，問題相當(dāng)于從5個奇數(shù)中任取4個排成一排，再列式計算即得.
【詳解】依題意，從5個奇數(shù)中任取4個排成一排的不同排法種數(shù)為.
一、單選題
1．（23-24高二下·上海·期中）某宿舍6名同學(xué)排成一排照相，其中甲與乙必須相鄰的不同排法有（ ）
A．120種B．240種C．216種D．256種
【答案】B
【分析】先將甲乙看作一個元素，再和其余4人一起排列.
【詳解】先將甲、乙兩名同學(xué)“捆綁”在一起看成一個元素，有種方法，
再與其余的個元素(同學(xué))一起進行全排列有種方法，
所以這樣的排法一共有種方法.
故選：B
2．（24-25高二上·上海·期末）行知中學(xué)高二年級有10位同學(xué)在某競賽中獲獎，現(xiàn)排成兩排拍照，每排5人，則不同的排列種數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，利用全排列列式即得.
【詳解】依題意，10位同學(xué)排成兩排，每排5人拍照，相當(dāng)于10個人到10個位置就坐，
所以不同排法種數(shù)是.
故選：B
3．（22-23高二下·上海黃浦·階段練習(xí)）用這五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中恰有一個偶數(shù)數(shù)字夾在兩個奇數(shù)數(shù)字之間的五位數(shù)的個數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分別討論夾在中間的偶數(shù)數(shù)字為和不為兩種情況，結(jié)合捆綁法、特殊位置優(yōu)先的方式來求解即可.
【詳解】當(dāng)夾在中間的偶數(shù)數(shù)字為時，滿足題意的五位數(shù)個數(shù)為個；
當(dāng)夾在中間的偶數(shù)數(shù)字不為時，將其與看作一個整體，則有種情況；
再將這個整體和另一個不為的數(shù)字挑選一個排在首位，其余數(shù)字任意排序，共有種情況，
則滿足題意的五位數(shù)有個；
滿足題意的五位數(shù)共有個.
故選：A.
4．（23-24高二下·上?！て谥校┠承＝M隊參加辯論賽，從6名學(xué)生中選出4人分別擔(dān)任一、二、三、四辯，若其中學(xué)生甲必須參加且不擔(dān)任四辯，則不同的安排方法種數(shù)為（ ）
A．180B．120C．90D．240
【答案】A
【分析】由分步乘法原理計算，先排甲，再排其余5人即可.
【詳解】分步完成：
甲不擔(dān)任四辯，共有3種方法；
剩下5名同學(xué)任選3人，且任意排序，共有種，
所以一共有種，
故選：A.
二、填空題
5．（24-25高二上·上海浦東新·期中）若，則 .
【答案】
【分析】利用排列數(shù)公式額可得出關(guān)于的等式，即可解得正整數(shù)的值.
【詳解】因為，即，
因為且，故.
故答案為：.
6．（23-24高二下·上?！て谀┤?，則正整數(shù) .
【答案】5
【分析】根據(jù)排列數(shù)公式，展開求解，即得答案.
【詳解】由，得，
即，
故答案為：5
7．（24-25高三上·上?！て谥校┤簦瑒t等于 .
【答案】
【分析】根據(jù)排列數(shù)計算公式直接求得結(jié)果.
【詳解】因為，
解得，
故答案為：.
8．（24-25高二上·上?！て谀╆P(guān)于正整數(shù)的方程是，則 ．
【答案】5
【分析】根據(jù)排列數(shù)的計算公式即可求解.
【詳解】由得，，
∴，即，解得或，
∵，∴.
故答案為：5.
9．（23-24高二下·上海·期末）高三年級畢業(yè)活動中，要求，，三個班級各出三人，組成小方陣，班的三位同學(xué)既不在同一行，也不在同一列的排法有 種.
【答案】
【分析】先排班的三位同學(xué)，再排其他兩個班的6人，運用分步計數(shù)原理計算.
【詳解】先排班的三位同學(xué)，第一人有9種方法，第二人有4種，第三人有1種，
共有種，
再排其他兩個班的6人，進行全排列有種，
所以共有種.
故答案為：.
10．（24-25高二上·上?！て谀┘?、乙等五名社區(qū)志愿者被隨機分配到，，，四個不同崗位服務(wù)，每個崗位至少有一名志愿者，則甲、乙兩人同時參加崗位服務(wù)的排法有 種.
【答案】
【分析】依題意只需另外三個人在??三個位置進行全排列，利用排列數(shù)公式計算可得.
【詳解】當(dāng)甲?乙兩人同時參加崗位服務(wù)時，另外三個人在??三個位置進行全排列，
滿足條件的事件數(shù)是，即甲?乙兩人同時參加崗位服務(wù)的排法有6種.
故答案為：
11．（23-24高三上·上海浦東新·期中）夏老師要進行年度體檢，有抽血、腹部彩超、胸部CT、心電圖、血壓測量等五個項目，為了體檢數(shù)據(jù)的準確性，抽血必須作為第一個項目完成，而夏老師決定腹部彩超和胸部CT兩項不連在一起檢查，則不同的檢查方案一共有 種.
【答案】12
【分析】先將心電圖、血壓測量兩項全排列，再將腹部彩超和胸部CT兩項排在其空位中，最后將抽血放在第一位即可.
【詳解】解：由題意得：將心電圖、血壓測量兩項全排列，有種情況，
再將腹部彩超和胸部CT兩項排在其空位中，有種情況
最后將抽血放在第一位，有1種情況，
所以共有種情況，
故答案為：12
12．（23-24高三上·上海長寧·期中）從甲?乙等5人中任選3人參加三個不同項目的比賽，要求每個項目都有人參加，則甲?乙中至少有1人入選的不同參賽方案共有 種.
【答案】54
【分析】根據(jù)排列數(shù)利用間接法，在總體中排除沒有甲、乙的參賽方案.
【詳解】若甲?乙等5人中任選3人參加三個不同項目的比賽，共有種不同參賽方案，
若沒有甲?乙入選的不同參賽方案共有種，
所以甲?乙中至少有1人入選的不同參賽方案共有種.
故答案為：54.
13．（23-24高二下·上?！て谀? 的所有排列按如下方式排序： 首先比較從左至右第一個數(shù)的大小，較 大的排列在后； 若第一個數(shù)相同， 則比較第二個數(shù)的大小， 較大的排列在后， 依此類 推． 按這種排序方式，排列2，3，4，5，6，1的后一個排列是 ．
【答案】2,3,4,6,1,5
【分析】通過比較各個位數(shù)得出后一個排列.
【詳解】根據(jù)題意，已知排列與后一個排列位置關(guān)系應(yīng)當(dāng)由最后兩個數(shù)進行大小比較得來的，但是將后兩個數(shù)比較所得排列為2,3,4,5,1,6，
根據(jù)規(guī)則，此排列應(yīng)該為已知排列的前一個排列。
因此，應(yīng)當(dāng)從第四個數(shù)開始比較，前三個數(shù)相同，第四個數(shù)比5大，然后要保證第五個數(shù)盡量小.即2,3,4,6,1,5.
故答案為：2,3,4,6,1,5.
14．（23-24高二下·上?！て谀┠硤鲋袊犈c巴西隊的足球比賽進入了激動人心的點球大戰(zhàn)，中國隊需要從除守門員外的10名首發(fā)隊員中選5名隊員依次主罰點球. 已知除守門員外的10名首發(fā)隊員中有2名前鋒、4名中場、4名后衛(wèi)，若要求2名前鋒必須入選、且不能相鄰，那么主罰點球人員的不同排列方法有 種.（不考慮是否踢進等問題）
【答案】4032
【分析】利用插空法，先從除2名前鋒外的其余8名隊員中選3人排列，產(chǎn)生4個空，然后2名前鋒從4個空中選2個排列即可.
【詳解】由題意得，先從除2名前鋒外的其余8名隊員中選3人排列，有種，
3人排列后有4個空，然后2名前鋒從4個空中選2個排列，則有種，
所以由分步乘法原理可知共有種，
故答案為：4032
15．（23-24高二下·上?！て谀┠彻灸陼才?個節(jié)目的演出順序表，其中共4個語言類節(jié)目，3個歌舞類節(jié)目，則歌舞類節(jié)目互不相鄰的概率為 ．
【答案】；
【分析】利用插空法求出符合題意的排列情況總數(shù)，再結(jié)合古典概型的概率公式求解.
【詳解】先把4個語言類節(jié)目全排列，中間形成5個空，5個空中選3個空排三個歌舞類節(jié)目，
共有種情況，又因為7個節(jié)目全排列有種情況，
所以所求概率為.
故答案為：.
16．（25-26高三上·上海·期末）同宿舍六位同學(xué)在食堂排隊取餐，其中三人兩兩不相鄰，和是雙胞胎必須相鄰，這樣的排隊方法有 種.
【答案】72
【分析】用插空法求解.先將除A，B，C三人的其余三人排序，再安排D，最后將B，C插入剩余三個空位即可.
【詳解】分三步：
第一步，先將除A，B，C三人的其余三人進行排序，有種方法；
第二步，第一步排好后有4個空位，因為A和D必須相鄰，所以A只能插入與D相鄰的兩個空位，有2種方法；
第三步，最后將B，C插入剩余三個空位，有種方法.
由分步乘法計數(shù)原理得，共有種方法.
故答案為：.
三、解答題
17．（24-25高二上·上?！るA段練習(xí)）（1）解不等式：
（2）證明：.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)排列數(shù)的公式，將原不等式化簡為，求解，再根據(jù)，即可求出結(jié)果；
（2）由排列數(shù)的公式將左邊化簡整理，即可得出結(jié)果.
【詳解】（1）由，得，
化簡得，解之得，①
又，可得，②
由①②及得.
（2）
，
因此，.
18．（24-25高二上·上海·期中）班級迎新晚會有3個唱歌節(jié)目、2個相聲節(jié)目和1個魔術(shù)節(jié)目，要求排出一個節(jié)目單.
(1)魔術(shù)節(jié)目不排在最后一個節(jié)目，有多少種排法？
(2)3個唱歌節(jié)目要排在一起，有多少種排法?
【答案】(1)600；
(2).
【分析】（1）先從3個唱歌節(jié)目和2個相聲節(jié)目中選1個放在最后，再將其余5個節(jié)目全排列，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理即可求解；
（2）先將3個歌唱節(jié)目捆綁在一起，再與其余3個節(jié)目全排列，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理即可求解.
【詳解】（1）魔術(shù)節(jié)目不排在最后一個節(jié)目，
則先從3個唱歌節(jié)目和2個相聲節(jié)目中選1個放在最后，有5種排法；
其余5個節(jié)目任意排，有種排法，
所以魔術(shù)節(jié)目不排在最后一個節(jié)目，有種排法.
（2）將3個歌唱節(jié)目捆綁在一起，看成1個節(jié)目有種，
與其余3個節(jié)目一起排共種，
則3個唱歌節(jié)目要排在一起，有種排法．
19．（21-22高二下·上海浦東新·期中）有六位同學(xué)A，B，C，D，E，F(xiàn)站成一排照相，如果：
(1)A，B兩人不排在一起，有幾種排法？
(2)C，D兩人必須排在一起，有幾種排法？
(3)E不在排頭，F(xiàn)不在排尾，有幾種排法？
【答案】(1)種
(2)種
(3)種
【分析】（1）利用插空法可以求解；
（2）利用捆綁法可以求解；
（3）分兩種情況討論，①若E在排尾， ②若E不在排尾，分別求出排法種數(shù)，即可求得答案.
【詳解】（1）先排除A，B外的四個人，再將A，B插入到其余4人所形成的5個空中，
因此，排法種數(shù)為；
（2）將C，D兩人捆綁在一起看作一個復(fù)合元素和其他4人去安排，
因此，排法種數(shù)為；
（3）E不在排頭，F(xiàn)不在排尾，分以下兩種情況討論：
①若E在排尾，則剩下的5人全排列，故有種排法；
②若E不在排尾，則E有4個位置可選，B有4個位置可選，
將剩下的4人全排列，安排在其它4個位置即可，此時，共有種排法．
綜上所述，共有種不同的排法種數(shù)．
20．（22-23高二下·上海浦東新·期中）4男3女排隊拍照．
(1)女生不在兩邊的排法有多少種？
(2)恰有3個男生連排的排法有多少種？
(3)甲在乙的左邊的排法有多少種？
【答案】(1)
(2)1728
(3)2520
【分析】（1）先排兩邊，剩余位置全排列即可；
（2）討論3個男生連排看成整體M的位置，結(jié)合排列數(shù)運算求解；
（3）先進行全排列，再結(jié)合對稱性分析求解.
【詳解】（1）女生不在兩邊，則兩邊均為男生，有種不同排法，
剩余的男、女生全排列，有種不同排法，
所以共有種不同排法.
（2）3個男生連排看成整體M，有種不同排法，
相當(dāng)于M，1男3女排隊，且M與1男不能連排，
先將3女進行排列，有種，
再將M和1男插到3女所成的4個空中，有種，
所以共有種排法.
（3）4男3女的排法有種，
根據(jù)對稱可知：甲在乙的左邊的排法有種.
21．（22-23高三上·上海浦東新·期中）由，，，，，，，，，按任意順序組成的沒有重復(fù)數(shù)字的數(shù)組，記為，設(shè)，其中．
(1)若，求的值；
(2)求證：；
(3)求的最大值．
【答案】(1)57
(2)證明見解析
(3)131
【分析】（1）把數(shù)據(jù)逐個代入，求解可得答案；
（2）利用絕對值和的性質(zhì)進行求解；
（3）先求這10個數(shù)的2倍和3倍數(shù)，相對較大的10個數(shù)與較小10個數(shù)差為最大值.
【詳解】（1）因為，所以.
（2）證明：因為
.
（3），，，，，，，，，的2倍與3倍共20個數(shù)如下：
2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30.
其中較大的10個數(shù)之和為203，較小的10個數(shù)之和為72，所以，
當(dāng)時，
，
所以的最大值為.課程標(biāo)準
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.了解排列圖意義，掌握常見的排列處理方法。
2.會用排列的相關(guān)方法解決簡單的排列問題。
3.理解與掌握排列數(shù)公式
4.熟練應(yīng)用排列數(shù)公式及性質(zhì)求解與排列數(shù)有關(guān)的量，并能證明恒等式，求方程的解及不等式的解。
5.能解決一些簡單的實際問題,熟練應(yīng)用公式表達排列的相關(guān)關(guān)系，及求解常見的排列問題
6.常見誤區(qū)：排列的定義不明確
1.理解并掌握排列的概念.
2.能應(yīng)用排列知識解決簡單的實際問題．