數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)3.2 圖形的旋轉(zhuǎn)課后測(cè)評(píng)

這是一份數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)3.2 圖形的旋轉(zhuǎn)課后測(cè)評(píng)，文件包含浙教版數(shù)學(xué)九上考點(diǎn)提升訓(xùn)練第04講圓與圖形的旋轉(zhuǎn)10大考點(diǎn)原卷版doc、浙教版數(shù)學(xué)九上考點(diǎn)提升訓(xùn)練第04講圓與圖形的旋轉(zhuǎn)10大考點(diǎn)解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共88頁(yè)， 歡迎下載使用。
一、圓的定義
1. 圓的描述概念
如圖，在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑. 以點(diǎn)O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．
要點(diǎn)：
①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大?。淮_定一個(gè)圓應(yīng)先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；
②圓是一條封閉曲線.
2.圓的集合概念
圓心為O，半徑為r的圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合.
平面上的一個(gè)圓，把平面上的點(diǎn)分成三類：圓上的點(diǎn)，圓內(nèi)的點(diǎn)和圓外的點(diǎn).
圓的內(nèi)部可以看作是到圓心的距離小于半徑的的點(diǎn)的集合；圓的外部可以看成是到圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合.
要點(diǎn)：①定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑；
②圓指的是圓周，而不是圓面；
③強(qiáng)調(diào)“在一個(gè)平面內(nèi)”是非常必要的，事實(shí)上，在空間中，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是球面，一個(gè)閉合的曲面.
二、與圓有關(guān)的概念
1. 弦
弦：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦.
直徑：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑.
要點(diǎn)：
直徑是圓中通過(guò)圓心的特殊弦，也是圓中最長(zhǎng)的弦，即直徑是弦，但弦不一定是直徑.
為什么直徑是圓中最長(zhǎng)的弦？如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O中任意一條弦，求證：AB≥CD.

證明：連結(jié)OC、OD

∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(當(dāng)且僅當(dāng)CD過(guò)圓心O時(shí)，取“=”號(hào))
∴直徑AB是⊙O中最長(zhǎng)的弦.
2. 弧
?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧.以A、B為端點(diǎn)的弧記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB”.
半圓：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；
優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)??；
劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧.
要點(diǎn)：①半圓是弧，而弧不一定是半圓；
②無(wú)特殊說(shuō)明時(shí)，弧指的是劣弧.
3.等弧
在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫做等弧.
要點(diǎn)：①等弧成立的前提條件是在同圓或等圓中，不能忽視；
②圓中兩平行弦所夾的弧相等.
4.同心圓與等圓
圓心相同，半徑不等的兩個(gè)圓叫做同心圓.
圓心不同，半徑相等的兩個(gè)圓叫做等圓.
要點(diǎn)：同圓或等圓的半徑相等.
三、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有三種：點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓外.
若⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心O的距離為d，那么：
點(diǎn)P在圓內(nèi) d ＜ r ；點(diǎn)P在圓上 d = r ；點(diǎn)P在圓外 d ＞r.
“”讀作“等價(jià)于”，它表示從左端可以推出右端，從右端也可以推出左端.
要點(diǎn)：點(diǎn)在圓上是指點(diǎn)在圓周上，而不是點(diǎn)在圓面上；
四、確定圓的條件
（1）經(jīng)過(guò)一個(gè)已知點(diǎn)能作無(wú)數(shù)個(gè)圓；
（2）經(jīng)過(guò)兩個(gè)已知點(diǎn)A、B能作無(wú)數(shù)個(gè)圓，這些圓的圓心在線段AB的垂直平分線上；
(3）不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.
(4)(后面還會(huì)學(xué)習(xí)到)經(jīng)過(guò)三角形各個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.
如圖：⊙O是△ABC的外接圓， △ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，點(diǎn)O是△ABC的外心
外心的性質(zhì)：外心是△ABC三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.
要點(diǎn)：
（1）不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.“確定”的含義是“存在性和唯一性”.
（2）只有確定了圓心和圓的半徑，這個(gè)圓的位置和大小才唯一確定.
五、旋轉(zhuǎn)的概念
一般地，一個(gè)圖形變?yōu)榱硪粋€(gè)圖形，在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，原圖形上的所有點(diǎn)都繞一個(gè)固定的點(diǎn)，按同一個(gè)方向，轉(zhuǎn)動(dòng)同一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做圖形的旋轉(zhuǎn).這個(gè)固定的定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)過(guò)的角叫做旋轉(zhuǎn)角.如下圖，點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋轉(zhuǎn)角.
要點(diǎn)：
（1）旋轉(zhuǎn)的三個(gè)要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度.
（2）如上圖，如果圖形上的點(diǎn)A經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)A′，那么這兩個(gè)點(diǎn)叫做這個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn). 點(diǎn)B與點(diǎn)B′，點(diǎn)C與點(diǎn)C′均是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，線段AB與A′B′、線段AC與A′C′、線段BC與B′C′均是對(duì)應(yīng)線段.
六、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)
一般地，圖形的旋轉(zhuǎn)有下面的性質(zhì)：
(1)圖形經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)所得的圖形和原圖形全等；
(2)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；
(3)任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角度等于旋轉(zhuǎn)的角度.
要點(diǎn)：圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，既可以按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)也可以按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn).
七、旋轉(zhuǎn)的作圖
在畫旋轉(zhuǎn)圖形時(shí)，首先確定旋轉(zhuǎn)中心，其次確定圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，再將這些關(guān)鍵點(diǎn)沿指定的方向旋轉(zhuǎn)指定的角度，然后連接對(duì)應(yīng)的部分，形成相應(yīng)的圖形．
要點(diǎn)：作圖的步驟：
(1)連接圖形中的每一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心；
(2)把連線按要求（順時(shí)針或逆時(shí)針）繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)一定的角度（旋轉(zhuǎn)角）；
(3)在角的一邊上截取關(guān)鍵點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離，得到各點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；
(4)連接所得到的各對(duì)應(yīng)點(diǎn).
考點(diǎn)精講
一．圓的認(rèn)識(shí)（共2小題）
1．（2021秋?余姚市期末）已知AB是半徑為2的圓的一條弦，則AB的長(zhǎng)不可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根據(jù)圓中最長(zhǎng)的弦為直徑求解．
【解答】解：因?yàn)閳A中最長(zhǎng)的弦為直徑，所以AB≤4．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】考查了圓的認(rèn)識(shí)，在本題中，圓的弦長(zhǎng)的取值范圍0＜L≤4．
2．（2021秋?越城區(qū)期中）如圖中的數(shù)軸可以度量的直徑，則圓形圖片的直徑是（ ）
A．5﹣1B．5﹣（﹣1）C．﹣5﹣1D．﹣5﹣（﹣1）
【分析】用數(shù)軸上右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)即可求得圖片的直徑．
【解答】解：圖片的直徑是5﹣（﹣1）＝6，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】考查了圓的認(rèn)識(shí)及數(shù)軸的定義，解題的關(guān)鍵是了解數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離等于右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)，難度不大．
二．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（共2小題）
3．（2022?浦江縣模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，若⊙A的半徑為5，A點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，0），P點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，3），則點(diǎn)P與⊙A的位置關(guān)系是（ ）
A．點(diǎn)P在⊙A內(nèi)B．點(diǎn)P在⊙A外C．點(diǎn)P在⊙A上D．不能確定
【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出AP的長(zhǎng)，再與5相比較即可．
【解答】解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，3），
∴AP＝＝5＝半徑，
∴點(diǎn)P與⊙A的位置關(guān)系是：點(diǎn)P在⊙A上．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，熟知點(diǎn)與圓的三種位置關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．
4．（2021秋?諸暨市期末）已知點(diǎn)P到圓心O的距離為5，若點(diǎn)P在圓內(nèi)，則⊙O的半徑可能為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷得出即可．
【解答】解：∵點(diǎn)P在圓內(nèi)，且d＝5，
∴r＞5，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有：①點(diǎn)P在圓外?d＞r，②點(diǎn)P在圓上?d＝r，③點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r．
三．確定圓的條件（共2小題）
5．（2021?陽(yáng)新縣校級(jí)模擬）小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了（如圖），其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來(lái)大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的碎片應(yīng)該是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【分析】利用段完整的弧結(jié)合垂徑定理確定圓心即可．
【解答】解：第①塊出現(xiàn)一段完整的弧，可在這段弧上任做兩條弦，作出這兩條弦的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點(diǎn)就是圓心，進(jìn)而可得到半徑的長(zhǎng)．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了確定圓的條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握：圓上任意兩弦的垂直平分線的交點(diǎn)即為該圓的圓心．要確定圓的大小需知道其半徑．根據(jù)垂徑定理知第①塊可確定半徑的大小．
6．（2020秋?秀洲區(qū)月考）將圖中的破輪子復(fù)原，已知弧上三點(diǎn)A，B，C．
（1）畫出該輪的圓心；
（2）若△ABC是等腰三角形，底邊BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圓片的半徑R．
【分析】（1）根據(jù)垂徑定理，分別作弦AB和AC的垂直平分線交點(diǎn)即為所求；
（2）連接AO，OB，利用垂徑定理和勾股定理可求出圓片的半徑R．
【解答】解：（1）如圖所示：分別作弦AB和AC的垂直平分線交點(diǎn)O即為所求的圓心；
（2）連接AO，OB，BC，BC交OA于D．
∵BC＝16cm，
∴BD＝8cm，
∵AB＝10cm，
∴AD＝6cm，
設(shè)圓片的半徑為R，在Rt△BOD中，OD＝（R﹣6）cm，
∴R2＝82+（R﹣6）2，
解得：R＝cm，
∴圓片的半徑R為cm．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了垂徑定理的推論，我們可以把垂徑定理的題設(shè)和結(jié)論這樣敘述：一條直線①過(guò)圓心，②垂直于弦，③平分弦，④平分優(yōu)弧，⑤平分劣弧．在應(yīng)用垂徑定理解題時(shí)，只要具備上述5條中任意2條，則其他3條成立．
四．三角形的外接圓與外心（共5小題）
7．（2021秋?新昌縣期中）已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AE是⊙O的直徑，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠BAE與∠CAD相等嗎？若相等，請(qǐng)給出證明；若不相等，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】首先連接BE，由AE是⊙O的直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，可得∠ABE＝90°，又由AD⊥BC，∠E＝∠C，即可證得∠BAE＝∠CAD．
【解答】解：∠BAE＝∠CAD．
理由：連接BE，
∵AE是⊙O的直徑，
∴∠ABE＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠E，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C，
∵∠E＝∠C，
∴∠BAE＝∠CAD．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理．此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
8．（2020秋?永嘉縣校級(jí)期末）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，在BC上取一點(diǎn)D使AD＝BD，連接AD，作△ACD的外接圓⊙O，交AB于點(diǎn)E．
（1）求證：AE＝BE；
（2）若CD＝3，AB＝4，求AC的長(zhǎng)．
【分析】（1）連接DE，由圓周角定理易證DE⊥AB，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可證明AE＝BE；
（2）設(shè)BD＝x，易證△ABC∽△DBE，由相似三角形的性質(zhì)可求出AD的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理即可求出AC的長(zhǎng)．
【解答】解：（1）證明：連接DE，
∵∠C＝90°，
∴AD為直徑，
∴DE⊥AB，
∵AD＝BD，
∴AE＝BE；
（2）設(shè)BD＝x，
∵∠B＝∠B，∠C＝∠DEB＝90°
∴△ABC∽△DBE，
∴＝，
∴，
∴x＝5．
∴AD＝BD＝5，
∴AC＝＝4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，用到的知識(shí)點(diǎn)有圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理，熟記和圓有關(guān)的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
9．（2020?柯橋區(qū)模擬）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，在BC上取一點(diǎn)D，連接AD，作△ACD的外接圓⊙O，交AB于點(diǎn)E．張老師要求添加條件后，編制一道題目，并解答．
（1）小明編制題目是：若AD＝BD，求證：AE＝BE．請(qǐng)你解答．
（2）在小明添加條件的基礎(chǔ)上請(qǐng)你再添加一條線段的長(zhǎng)度，編制一個(gè)計(jì)算題（不標(biāo)注新的字母），并直接給出答案．（根據(jù)編出的問(wèn)題層次，給不同的得分）
【分析】（1）連接DE，由圓周角定理易證DE⊥AB，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可證明AE＝BE；
（2）本題答案不唯一，可以從三個(gè)層次編制一個(gè)計(jì)算題，如：若CD＝3，求AC的長(zhǎng)．設(shè)BD＝x，易證△ABC∽△DBE，由相似三角形的性質(zhì)可求出AD的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理即可求出AC的長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：連接DE，
∵∠C＝90°，
∴AD為直徑，
∴DE⊥AB，
∵AD＝BD，
∴AE＝BE；
（2）答案不唯一．
①第一層次：若AC＝4，求BC的長(zhǎng)．答案：BC＝8；
②第二層次：若CD＝3，求BD的長(zhǎng)．答案：BD＝5；
③第三層次：若CD＝3，求AC的長(zhǎng)．
設(shè)BD＝x，
∵∠B＝∠B，∠C＝∠DEB＝90°，
∴△ABC∽△DBE，
∴＝，
∴＝，
∴x＝5，
∴AD＝BD＝5，
∴AC＝＝4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，用到的知識(shí)點(diǎn)有圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理，熟記和圓有關(guān)的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
10．（2021春?永嘉縣校級(jí)期末）已知：如圖，圓O是△ABC的外接圓，AO平分∠BAC．
（1）求證：△ABC是等腰三角形；
（2）當(dāng)OA＝4，AB＝6，求邊BC的長(zhǎng)．
【分析】（1）連接OB、OC，先證明∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，再證明△OAB≌△OAC得AB＝AC，問(wèn)題得證；
（2）延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)H，先證明AH⊥BC，BH＝CH，設(shè)OH＝b，BH＝CH＝a，根據(jù)OA＝4，AB＝6，由勾股定理列出a、b的方程組，解得a、b，便可得BC．
【解答】解：（1）連接OB、OC，
∵OA＝OB＝OC，OA平分∠BAC，
∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，
在△OAB和△OAC中，
，
∴△OAB≌△OAC（AAS），
∴AB＝AC
即△ABC是等腰三角形；
（2）延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)H，
∵AH平分∠BAC，AB＝AC，
∴AH⊥BC，BH＝CH，
設(shè)OH＝b，BH＝CH＝a，
∵BH2+OH2＝OB2，BH2+AH2＝AB2，OA＝4，AB＝6，
∴，
解得，，
∴BC＝2a＝3．
【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的一個(gè)綜合題，主要考查了圓的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)，第（1）關(guān)鍵在證明三角形全等；第（2）題關(guān)鍵由勾股定理列出方程組．
11．（2022?鄞州區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖所示，已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2，0），（0，2），點(diǎn)P是△AOB外接圓上一點(diǎn)，且∠AOP＝45°，OP與AB交于C點(diǎn)．
（1）求∠BAO的度數(shù)；
（2）求OC及AC的長(zhǎng)；
（3）求OP的長(zhǎng)及點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【分析】（1）根據(jù)A（2，0），B（0，2），可得OA＝2，OB＝2，進(jìn)而可以解決問(wèn)題；
（2）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，可得OC＝OD，AC＝2CD＝2OD，然后根據(jù)AO＝OD+AD＝（+1）OD＝2，求出OD的長(zhǎng)，進(jìn)而可以解決問(wèn)題；
（3）作PH⊥x軸于H，連接PA、PB，根據(jù)圓周角定理由∠AOB＝90°，得到AB為△AOB外接圓的直徑，則∠BPA＝90°，再利用勾股定理計(jì)算出AB＝4，根據(jù)圓周角定理由∠AOP＝45°得到∠PBA＝45°，則可判斷△PAB和△POH都為等腰直角三角形，所以PA＝AB＝2，PH＝OH，設(shè)OH＝t，則PH＝t，AH＝2﹣t，在Rt△PHA中，根據(jù)勾股定理得到OP的長(zhǎng)和P點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】解：（1）∵A（2，0），B（0，2），
∴OA＝2，OB＝2，
∴∠BAO＝30°；
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，
∵∠AOP＝45°，
∴∠OCD＝45°，
∴DC＝DO，
∴OC＝OD，
由（1）知：∠BAO＝30°，
∴AC＝2CD＝2OD，AD＝CD＝OD，
∵AO＝OD+AD＝（+1）OD＝2，
∴OD＝3﹣，
∴OC＝（3﹣）＝3﹣，AC＝2（3﹣）＝6﹣2；
∴OC及AC的長(zhǎng)分別為3﹣，6﹣2；
（3）作PH⊥x軸于H，連接PA、PB，如圖，
∵∠AOB＝90°，
∴AB為△AOB外接圓的直徑，
∴∠BPA＝90°，
∵A（2，0），B（0，2），
∴OA＝2，OB＝2，
∴AB＝＝4，
∵∠AOP＝45°，
∴∠PBA＝45°，
∴△PAB和△POH都為等腰直角三角形，
∴PA＝AB＝2，PH＝OH，
設(shè)OH＝t，則PH＝t，AH＝2﹣t，
在Rt△PHA中，
∵PH2+AH2＝PA2，
∴t2+（2﹣t）2＝（2）2，
整理得t2﹣2t+2＝0，解得t1＝+1，t2＝﹣1（舍去），
∴OH＝PH＝+1，
∴OP＝OH＝+；
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（+1，+1）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形外接圓與外心，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到△PAB和△POH都為等腰直角三角形．
五．生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象（共1小題）
12．（2021秋?沙市區(qū)校級(jí)期中）以如圖的右邊緣所在直線為軸將該圖案向右翻折后，再繞中心旋轉(zhuǎn)180°，所得到的圖形是（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得出翻折后圖形，再利用中心對(duì)稱圖形的概念得出即可．
【解答】解：以圖的右邊緣所在的直線為軸將該圖形向右翻轉(zhuǎn)180°后，黑圓在右上角，
再按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180°，黑圓在左下角．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了中心對(duì)稱與軸對(duì)稱的概念，利用中心對(duì)稱旋轉(zhuǎn)180度后重合得出是解題關(guān)鍵．
六．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（共3小題）
13．（2022?鄞州區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，△ABC中，∠B＝35°，∠BAC＝70°，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度（0＜α＜180）后得到△ADE，點(diǎn)E恰好落在BC上，則α＝（ ）
A．30°B．35°C．40°D．不能確定
【分析】由三角形內(nèi)角和求出∠C，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△AEC是等腰三角形，從而可得旋轉(zhuǎn)角α大小．
【解答】解：∵∠B＝35°，∠BAC＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝75°，
∵將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度（0＜α＜180）后得到△ADE，點(diǎn)E恰好落在BC上，
∴AC＝AE，∠CAE＝α，
∴∠AEC＝∠C＝75°，
∴∠CAE＝α＝180°﹣∠AEC﹣∠C＝30°，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)邊線段．
14．（2022春?海曙區(qū)校級(jí)期中）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD邊BC上一點(diǎn)，連接AE．將△ABE繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△AFG的位置（點(diǎn)F在正方形ABCD內(nèi)部），連接DG．若AB＝10，BE＝6，DG∥AF，則DH＝ ．
【分析】由“HL”可證Rt△AFH≌Rt△ADH，可得FH＝DH，由“AAS”可證△DHG≌△FHN，可得HG＝HN，可得ND＝FG＝6，由勾股定理可求AP，F(xiàn)N，DH，即可求解．
【解答】解：如圖，連接AH，過(guò)點(diǎn)F作FN⊥CD于點(diǎn)N，F(xiàn)P⊥AD于點(diǎn)P，
∵將△ABE繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△AFG的位置，
∴AB＝AF，∠ABE＝∠AFG＝90°，BE＝FG＝6，
∴AF＝AD，
在Rt△AFH和Rt△ADH中，
，
∴Rt△AFH≌Rt△ADH（HL），
∴FH＝DH，
∵DG∥AF，
∴∠AFG＝∠DGF＝90°，
在△DHG和△FHN中，
，
∴△DHG≌△FHN（AAS），
∴HG＝HN，
∴DN＝DH+HN＝FH+HG＝FG＝6，
∵FN⊥CD，PF⊥AD，∠ADC＝90°，
∴四邊形PDNF是矩形，
∴PD＝FN，PF＝DN＝6，
∴AP＝＝＝8，
∴PD＝2＝FN，
∵FH2＝HN2+FN2，
∴DH2＝（6﹣DH）2+4，
∴DH＝，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，求出FN的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．
15．（2021秋?衢江區(qū)期末）如圖，E是正方形ABCD的邊AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），△DAE按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后恰好能夠與△DCF重合．
（1）旋轉(zhuǎn)中心是 點(diǎn)D ，旋轉(zhuǎn)角為 90° ．
（2）請(qǐng)你判斷△DFE的形狀，并說(shuō)明理由．
【分析】（1）由已知可知，旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)D，旋轉(zhuǎn)角∠ADC＝90°；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得DE＝DF，∠EDF＝∠ADC＝90°，可得結(jié)論．
【解答】解：（1）由已知可知，旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)D，旋轉(zhuǎn)角∠ADC＝90°；
故答案為：點(diǎn)D，90；
（2）等腰直角三角形，理由如下：
根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得DE＝DF，∠EDF＝∠ADC＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
七．旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形（共2小題）
16．（2021秋?上城區(qū)期末）如果規(guī)定：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度（小于周角）后能和自身重合，就稱此圖形為旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，旋轉(zhuǎn)的角度稱為旋轉(zhuǎn)角．下列圖形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，且有一個(gè)旋轉(zhuǎn)角為60°的是（ ）
A．正三角形B．正方形C．正六邊形D．正八邊形
【分析】分別求出各旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的最小旋轉(zhuǎn)角，繼而可作出判斷．
【解答】解：A．正三角形的最小旋轉(zhuǎn)角是120°，故此選項(xiàng)不合題意；
B．正方形的旋轉(zhuǎn)角度是90°，故此選項(xiàng)不合題意；
C．正六邊形的最小旋轉(zhuǎn)角是60°，故此選項(xiàng)符合題意；
D．正八邊形的最小旋轉(zhuǎn)角是45°，故此選項(xiàng)不合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)角度的定義，求出旋轉(zhuǎn)角．
17．（2020秋?沂南縣期中）如圖是中國(guó)共產(chǎn)主義青年團(tuán)團(tuán)旗上的圖案（圖案本身沒(méi)有字母），則至少旋轉(zhuǎn) 72 度后能與原來(lái)圖形重合．
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)角及旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的定義結(jié)合圖形特點(diǎn)作答．
【解答】解：∵360°÷5＝72°，
∴該圖形繞中心至少旋轉(zhuǎn)72度后能和原來(lái)的圖案互相重合．
故答案為：72．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)角的定義及求法．對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角叫做旋轉(zhuǎn)角．
八．坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)（共2小題）
18．（2021秋?吳興區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，線段AB的端點(diǎn)在方格線的格點(diǎn)上，將AB繞點(diǎn)P順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到線段A′B′，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ）
A．（1，2）B．（1，4）C．（0，4）D．（2，1）
【分析】依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，將AB繞點(diǎn)P順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到線段A′B′，則點(diǎn)P到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離相等，因此作出兩對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線，其交點(diǎn)即為所求．
【解答】解：如圖所示，作線段AA'和BB'的垂直平分線，交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為旋轉(zhuǎn)中心，
由圖可得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2），
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變換，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．一般情況，圖形或點(diǎn)旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來(lái)求出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)的坐標(biāo)．
19．（2021秋?鄞州區(qū)期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)A（4，2），在以M（0，3）為圓心，2為半徑的圓上有一點(diǎn)P，將點(diǎn)P繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°后恰好落在x軸上，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是 （，4）或（﹣，4） ．
【分析】因?yàn)閷Ⅻc(diǎn)P繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°后恰好落在x軸上，推出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PT⊥y軸于T，連接PM．解直角三角形求出P的坐標(biāo)，再根據(jù)對(duì)稱性解決問(wèn)題即可．
【解答】解：如圖，
∵將點(diǎn)P繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°后恰好落在x軸上，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4，
當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PT⊥y軸于T，連接PM．
∵T（0，4），M（0，3），
∴OM＝3．OT＝4，
∴MT＝1，
∴PT＝＝＝，
∴P（，4），
根據(jù)對(duì)稱性可知，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P′（﹣，4）也滿足條件．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，4）或（﹣，4）．
故答案為：（，4）或（﹣，4）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)添加常用輔助線構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．
九．作圖-旋轉(zhuǎn)變換（共5小題）
20．（2022?北侖區(qū)校級(jí)三模）如圖，在5×5的方格紙中，有△ABC，請(qǐng)分別按要求作圖．
（1）在圖1中，找到一格點(diǎn)D，使得與陰影部分組成的新圖形為軸對(duì)稱，但非中心對(duì)稱圖形（作出一個(gè)即可）；
（2）在圖2中，找到一格點(diǎn)D，使得與陰影部分組成的新圖形為中心對(duì)稱，但非軸對(duì)稱圖形（作出一個(gè)即可）．
【分析】（1）結(jié)合軸對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)，取格點(diǎn)D，連接AD，CD即可．
（2）結(jié)合軸對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)，以AB，BC為邊，作平行四邊形ABCD即可．
【解答】解：（1）如圖1所示．
（2）如圖2所示．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱、中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)，熟練掌握軸對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
21．（2022?海曙區(qū)校級(jí)開學(xué)）在小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．
（1）△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．
①在圖1中，畫出一個(gè)與△ABC成中心對(duì)稱的格點(diǎn)三角形；
②在圖2中，畫出△ABC繞著點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后的三角形．
（2）如圖3是由5個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形拼成的圖形，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺畫經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的一條直線，使它平分該圖形的面積，保留連線的痕跡，不要求說(shuō)明理由．
【分析】（1）①以點(diǎn)C為對(duì)稱中心，畫出圖形即可；
②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可畫出△A2B2C；
（2）根據(jù)中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．
【解答】解：（1）①如圖，△A1B1C即為所求；
②如圖，△A2B2C即為所求；
（2）如圖，利用中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)即可畫出直線．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
22．（2022?文成縣一模）如圖，在6×6的方格中，有一格點(diǎn)△ABC（頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上）及格點(diǎn)P，按下列要求畫格點(diǎn)三角形．
（1）在圖1中，畫出△ABC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的三角形△A'B'C'．
（2）在圖2中，畫出△ABC繞某一點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的△DEF，且點(diǎn)P在△DEF內(nèi)（不包括邊界）．
【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′，B′，C′即可；
（2）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)作出△ABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的△DEF即可．
【解答】解：（1）如圖1中，△A′B′C′即為所求；
（2）如圖2中，△DEF即為所求．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．
23．（2022?舟山模擬）在8x5的網(wǎng)格中建立如圖的平面直角坐標(biāo)系，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O（0，0），A（3，4），C（5，0）．解答下列問(wèn)題：
（1）點(diǎn)B坐標(biāo)為 （8，4） ；
（2）僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中按下列步驟完成畫圖，
①將線段CB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫出對(duì)應(yīng)線段CD；
②在線段AB上畫點(diǎn)E，使∠BCE＝45°．（保留畫圖過(guò)程的痕跡）
【分析】（1）利用第一象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征寫出B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）①利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D即可；
②連接BD，則∠BCD＝90°，CB＝CD，再取格點(diǎn)G、F，連接GF交BD于P，則P點(diǎn)為BD的中點(diǎn)，所以CP平分∠BCD，延長(zhǎng)CP交AB于E點(diǎn)，則E點(diǎn)滿足條件．
【解答】解：（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，4）；
故答案為（8，4）；
（2）①如圖，CD為所作；
②如圖，E點(diǎn)為所作．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)線段也相等，由此可以通過(guò)作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．也考查了平行四邊形的性質(zhì)．
24．（2022?鎮(zhèn)海區(qū)二模）如圖，十個(gè)完全相同的小矩形拼成一個(gè)大矩形，點(diǎn)A、B、C落在小矩形的頂點(diǎn)處，請(qǐng)?jiān)诖缶匦沃型瓿上铝凶鲌D，要求：
①僅用無(wú)刻度的直尺；
②保留作圖痕跡；
③作出的點(diǎn)只能落在小矩形的頂點(diǎn)或邊上．
（1）連結(jié)AB，在圖1中找到一個(gè)點(diǎn)D，使∠ABD＝45°；
（2）連結(jié)BC，在圖2中找到一個(gè)點(diǎn)E，使EC⊥BC；
（3）在圖3中找到一個(gè)點(diǎn)F，使以A、B、C、F四點(diǎn)組成的四邊形為中心對(duì)稱圖形．
【分析】（1）構(gòu)造等腰直角三角形解決問(wèn)題即可；
（2）構(gòu)造等腰直角三角形解決問(wèn)題即可；
（3）根據(jù)平行四邊形的定義畫出圖形即可．
【解答】解：（1）如圖1中，點(diǎn)D即為所求；
（2）如圖2中，點(diǎn)E即為所求；
（3）如圖3中，點(diǎn)F即為所求．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
一十．利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案（共2小題）
25．（2021?奉化區(qū)校級(jí)模擬）在玩俄羅斯方塊游戲時(shí)，底部已有的圖形如圖所示，接下去出現(xiàn)如下哪個(gè)形狀時(shí)，通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換后能與已有圖形拼成一個(gè)中心對(duì)稱圖形（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用中心對(duì)稱圖形的定義結(jié)合圖形的旋轉(zhuǎn)變換得出答案．
【解答】解：如圖所示：只有選項(xiàng)D可以與已知圖形組成中心對(duì)稱圖形．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案，正確掌握中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
26．（2021?慈溪市模擬）圖1，圖2都是由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)谠?×4的網(wǎng)格中，分別按下列要求畫一個(gè)與△ABC有公共邊的三角形：
（1）使得所畫出的三角形和△ABC組成一個(gè)軸對(duì)稱圖形．
（2）使得所畫出的三角形和△ABC組成一個(gè)中心對(duì)稱圖形．
（請(qǐng)將兩個(gè)小題依次作答在圖1，圖2中，均只需畫出符合條件的一種情形）
【分析】（1）直接利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)分析得出答案；
（2）直接利用中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)分析得出答案．
【解答】解：（1）如圖所示：△BDC即為所求（答案不唯一）；
（2）如圖所示：△BEC即為所求（答案不唯一）．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案以及軸對(duì)稱變換，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．
一、單選題
1．（2020·衢州市實(shí)驗(yàn)學(xué)校教育集團(tuán)（衢州學(xué)院附屬學(xué)校教育集團(tuán)）九年級(jí)期末）已知⊙O的半徑為4cm，點(diǎn)P到圓心O的距離為3cm，則點(diǎn)P（ ）
A．在圓內(nèi)B．在圓上C．在圓外D．不能確定
【答案】A
【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系“當(dāng)點(diǎn)到圓心的距離等于半徑時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)點(diǎn)到圓心的距離大于半徑時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)點(diǎn)到圓心的距離小于半徑時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)”，由此可求解．
【詳解】解：由題意得：3＜4，
∴點(diǎn)P在圓內(nèi)；
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，熟練掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
2．（2021·浙江）如圖，將繞點(diǎn)A按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到，連結(jié)，則的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AB=AB′，∠BAB′=30°，則利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABB′=∠AB′B，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和計(jì)算∠ABB′的度數(shù)．
【詳解】解：∵△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后，得到△AB′C′，
∴AB=AB′，∠BAB′=30°，
∴∠ABB′=∠AB′B，
∴∠ABB′=（180°-30°）=75°．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．解決本題的關(guān)鍵是得到△ABD為等腰三角形．
3．（2020·衢州市實(shí)驗(yàn)學(xué)校教育集團(tuán)（衢州學(xué)院附屬學(xué)校教育集團(tuán)）九年級(jí)期末）如圖，一塊含30°角的直角三角板ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A′B′C，當(dāng)B，C，A′在一條直線上時(shí)，三角板ABC的旋轉(zhuǎn)角度為（ ）
A．150°B．120°C．60°D．30°
【答案】A
【分析】直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊，再根據(jù)三角板的內(nèi)角的度數(shù)得出答案．
【詳解】解：∵將一塊含30°角的直角三角板ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A'B'C，
∴BC與B'C是對(duì)應(yīng)邊，
∴旋轉(zhuǎn)角∠BCB'＝180°?30°＝150°．
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，正確得出對(duì)應(yīng)邊是解題關(guān)鍵．
4．（2021·浙江）如圖，在中，，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)度為半徑作弧，兩弧交于，兩點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，以為圓心，的長(zhǎng)為半徑所作的弧恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，連結(jié)，則為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意可知： 垂直平分 ， ，然后利用等腰三角形等邊對(duì)等角以及三角形的外角和定理即可解答．
【詳解】解：根據(jù)題意可知： 垂直平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴ ，
∵，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故選：B
【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖——作一條線段等于已知線段和作已知線段的垂直平分線，線段的垂直平分線的性質(zhì)定理，等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)定理，牢記五種基本作圖是解題的關(guān)鍵．
5．（2021·浙江）如圖，在中，，，，以為圓心，為半徑畫弧交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】C
【分析】如圖（見解析），過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，利用勾股定理求得，再由等面積法求得，結(jié)合已知條件可知，繼而勾股定理求得，最后根據(jù)即可求得．
【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案為C．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，勾股定理，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
6．（2021·浙江杭州市·）如圖，點(diǎn)、、在⊙O上，，，則的度數(shù)是（ ）
A．110°B．125°C．135°D．165°
【答案】B
【分析】連接OB，分別經(jīng)計(jì)算∠ABO和∠CBO的度數(shù)即可．
【詳解】解：連接OB，如圖所示．
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠A=70°．
∵AB∥OC，
∴∠BOC=∠OBA=70°．
∵OC=OB，
∴．
∴．
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、圓的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟知同圓的半徑相等的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．（2021·浙江杭州市·九年級(jí)期末）已知的半徑為，若點(diǎn)P到圓心O的距離為，則點(diǎn)P（ ）
A．在內(nèi)B．在上C．在外 D．與的位置關(guān)系無(wú)法確定
【答案】C
【分析】根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑大小的比較，確定點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系．
【詳解】解：∵OP=3cm＞2cm，
∴點(diǎn)P在⊙O外．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離比圓的半徑小，可以確定點(diǎn)P在圓外．
8．（2021·浙江金華·中考真題）如圖，在中，，以該三角形的三條邊為邊向形外作正方形，正方形的頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上．記該圓面積為，面積為，則的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先確定圓的圓心在直角三角形斜邊的中點(diǎn)，然后利用全等三角形的判定和性質(zhì)確定△ABC是等腰直角三角形，再根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到，再由勾股定理解得，解得，據(jù)此解題即可．
【詳解】解：如圖所示，正方形的頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，
圓心在線段的中垂線的交點(diǎn)上，即在斜邊的中點(diǎn)，且AC=MC，BC=CG，
∴AG=AC+CG=AC+BC，BM=BC+CM=BC+AC，
∴AG=BM，
又∵OG=OM，OA=OB，
∴△AOG≌△BOM，
∴∠CAB=∠CBA，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
，
，
．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)、圓的面積、三角形的面積等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
9．（2021·浙江九年級(jí)期末）在《幾何原本》中，記載了一種將長(zhǎng)方形化為等面積正方形的方法：如圖，延長(zhǎng)長(zhǎng)方形的邊到E，使，以為直徑作，延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，則，則以為邊的正方形的面積等于長(zhǎng)方形的面積．若，點(diǎn)E是中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，設(shè)，從而可得，，再代入可得一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，解方程即可得．
【詳解】解：四邊形是正方形，
，
點(diǎn)是中點(diǎn)，
，
設(shè)，則，
，
，
由同圓半徑相等得：，
，
，
，
解得或（不符題意，舍去），
則，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了同圓半徑相等、正方形的性質(zhì)、一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握同圓半徑相等是解題關(guān)鍵．
二、填空題
10．（2020·浙江）如圖，矩形ABCD中，，，矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，得到矩形，則__________．
【答案】
【分析】矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形，可知旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)角，根據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)、到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等可知，，先在中用勾股定理求，再在中，利用勾股定理求．
【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，
中，由勾股定理得，
，
在中，由勾股定理得，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題，需要熟練掌握．
11．（2021·浙江）如圖，在中，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度，得到，使得點(diǎn)，，在同一條直線上，則的值為________．
【答案】105°
【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可求∠BAC=∠BCA=75°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求解．
【詳解】解：∵∠B=30°，BC=AB，
∴∠BAC=∠BCA=75°，
∴∠BAB'=105°，
∵將一個(gè)頂角為30°角的等腰△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α（0＜α＜180°）得到△AB'C′，
∴∠BAB'=α=105°，
故答案為：105°．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
12．（2021·浙江九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，以頂點(diǎn)為圓心作半徑為的圓．若要求另外三個(gè)頂點(diǎn)中至少有一個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一個(gè)點(diǎn)在圓外，則的取值范圍是_______．
【答案】1＜r＜
【分析】要確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，主要根據(jù)點(diǎn)與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系來(lái)進(jìn)行判斷．當(dāng)d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．
【詳解】解：在直角△ABD中，CD=AB=2，AD=1，
則BD=，
由圖可知1＜r＜，
故答案為：1＜r＜．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解決本題要注意點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，要熟悉勾股定理，及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．
13．（2020·浙江杭州·九年級(jí)期末）在中，，點(diǎn)D是以點(diǎn)A為圓心，半徑為1的圓上一點(diǎn)，連接BD并取中點(diǎn)M，則線段CM的長(zhǎng)最大為______，最小為_______．
【答案】3 2
【分析】作AB的中點(diǎn)E，連接EM、CE，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及三角形的中位線定理求得CE和EM的長(zhǎng)，然后確定CM的范圍．
【詳解】解：作AB的中點(diǎn)E，連接EM、CE．
在直角△ABC中，AB==5，
∵E是直角△ABC斜邊AB上的中點(diǎn)，
∴CE=AB=2.5．
∵M(jìn)是BD的中點(diǎn)，E是AB的中點(diǎn)，
∴ME=AD=0.5．
∵2.5-0.5≤CM≤2.5+0.5，即2≤CM≤3．
∴最小值為2，最大值為3，
故答案為：3，2．
【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、三角形的中位線定理的知識(shí)，要結(jié)合勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答．
14．（2021·浙江臺(tái)州·九年級(jí)期中）如圖，在中，已知，，點(diǎn)D在邊BC上，BD＝2CD．現(xiàn)將繞著點(diǎn)D按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度后，使得點(diǎn)B恰好落在初始的邊上．設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，那么＝_____．
【答案】40°或120°．
【分析】分為①當(dāng)點(diǎn)B落在AB上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)B落在AC上時(shí)分別求解即可．
【詳解】①當(dāng)點(diǎn)B落在AB上時(shí)，
，
，
，
即旋轉(zhuǎn)角．
②當(dāng)點(diǎn)B落在AC上時(shí)，
，
，
在中，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，
，
，
即旋轉(zhuǎn)角．
故答案為：40°或120°．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)；熟知旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，能注意到直角三角形中斜邊是其中一條直角邊的2倍情況得出角度是關(guān)鍵．
15．（2020·浙江）如圖，等腰三角形中，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連結(jié)，則的度數(shù)為_____．
【答案】45°
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC=BP=BA，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求∠BPC+∠BPA=135°=∠CPA，由外角的性質(zhì)可求∠PAH=135°-90°=45°，即可求解．
【詳解】解：∵將BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°），得到BP，
∴BC=BP=BA，
∴∠BCP=∠BPC，∠BPA=∠BAP，
∵∠CBP+∠BCP+∠BPC=180°，∠ABP+∠BAP+∠BPA=180°，∠ABP+∠CBP=90°，
∴∠BPC+∠BPA=135°=∠CPA，
∵，
∴∠CPA=∠AHC+∠PAH=135°，
∴∠PAH=135°-90°=45°，
故答案為：45°．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．
16．（2020·浙江九年級(jí)期中）如圖，有一表盤為圓形的時(shí)鐘垂直放置在水平桌面上，表盤中心點(diǎn)為O，在分針的轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，外端點(diǎn)A到桌面的最小距離為，最大距離為，現(xiàn)在時(shí)間是14點(diǎn)10分，則此時(shí)分針外端點(diǎn)A到桌面的垂直距離為_________．
【答案】40cm
【分析】先根據(jù)最大距離和最小距離求得圓的直徑，再過(guò)點(diǎn)A作AB⊥CD，求得∠AOC的度數(shù)，根據(jù)含30°角的直角三角形的特點(diǎn)求得OB，根據(jù)點(diǎn)A到桌面的垂直距離為OB+OD+DE即可求得．
【詳解】解：如圖所示，根據(jù)題意，CE經(jīng)過(guò)圓心且垂直于桌面，且CE=50cm，DE=10cm，
∴CD=CE-DE=50-10=40cm，
∴，
過(guò)點(diǎn)A作AB⊥CD，
14點(diǎn)10分時(shí)分針OA和半徑OC的夾角，
∴∠OAB=30°，
∴，
BE=OB+OD+DE=10+20+10=40cm，即點(diǎn)A到桌面的垂直距離為40cm．
故答案為：40cm．
【點(diǎn)睛】本題考查含30°角的直角三角形，圓中最值的問(wèn)題，圓心角的計(jì)算等．能正確求得圓的半徑是解題關(guān)鍵．
17．（2021·浙江浣江教育九年級(jí)期中）如圖，直線l經(jīng)過(guò)的圓心O，且與交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在上，且，點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與圓心O不重合），直線CP與相交于另一點(diǎn)Q，如果，則______．
【答案】、、．
【分析】點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，因而分點(diǎn)P在線段AO上，點(diǎn)P在AO延長(zhǎng)線上，點(diǎn)P在OA的延長(zhǎng)線上這三種情況進(jìn)行討論求解即可．
【詳解】當(dāng)P在線段OA上如圖，
在△QOC中，OC=OQ，
∴∠OQC=∠OCP，
在△OPQ中，QP=QO，
∴∠QOP=∠QPO，
又∵∠AOC=20°，
∴∠QPO=∠OCP+∠AOC=∠OCP+20°，
在△OPQ中，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，
即（∠OCP+20°）+（∠OCP+20°）+∠OCP=180°，
整理得，3∠OCP=140°，
∴∠OCP=．
②當(dāng)P在線段OA的延長(zhǎng)線上如圖
∵OC=OQ，
∴∠OQP=∠OCQ=∠COP+∠OPQ=20°+∠OPQ，
∵OQ=PQ，
∴∠OPQ=∠QOP，
在△OQP中，20°+∠OPQ+∠OPQ+∠OPQ=180°③，
則∠OPQ=，
∴∠OCP=180°-20°-=；
當(dāng)P在線段OA的反向延長(zhǎng)線上如圖，
∵OQ=PQ，
∴∠QPO=∠QOP，
∵OC=OQ，
∴∠OCP=∠OQC=∠QPO+∠QOP=2∠QPO，
∵∠AOC=20°，
∴∠OCP+∠QPO=20°，
∴3∠QPO=20°，
∴∠QPO=，
∴∠OCP=2∠QPO=．
故答案為、、．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的認(rèn)識(shí)及等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì),三角形外角性質(zhì)，先假設(shè)存在并進(jìn)行分類討論是進(jìn)行解題的關(guān)鍵．
18．（2021·浙江杭州·）如圖，拋物線y＝x2﹣4與x軸交于 A、B兩點(diǎn)，P是以點(diǎn)C（0，3）為圓心，2為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，Q是線段PA的中點(diǎn)，連接OQ，則線段OQ的最小值是_____．
【答案】
【分析】連接BP，如圖，先解方程x2﹣4＝0得A（﹣4，0），B（4，0），再判斷OQ為△ABP的中位線得到OQ＝BP，利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，連接BC交圓于P時(shí)，PB最小，然后計(jì)算出BP的最小值即可得到線段OQ的最小值．
【詳解】解：連接BP，如圖，
當(dāng)y＝0時(shí)，x2﹣4＝0，解得x1＝4，x2＝﹣4，則A（﹣4，0），B（4，0），
∵Q是線段PA的中點(diǎn)，
∴OQ為△ABP的中位線，
∴OQ＝BP，
當(dāng)BP最小時(shí)，OQ最小，
連接BC交圓于P時(shí)，PB最小，
∵BC＝＝5，
∴BP的最小值＝5﹣2＝3，
∴線段OQ的最小值為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過(guò)來(lái)已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．也考查了三角形中位線．
19．（2021·浙江九年級(jí)期末）如圖，在矩形中，．將矩形繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為（），得到矩形，邊與相交于點(diǎn)，邊與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)．在矩形旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)落在線段上時(shí)，_____，當(dāng)是線段的三等分點(diǎn)時(shí)，_____．
【答案】 或
【分析】設(shè)，則，然后利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理求出，然后求比值即可；分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，分情況進(jìn)行討論即可．
【詳解】∵四邊形是矩形，
當(dāng)落在線段上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)E重合，
設(shè)，則，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知．
在中，，
；
①當(dāng)時(shí)，
設(shè)，則，
過(guò)點(diǎn)F作交于點(diǎn)G，連接CF，
，
，
，
，
在中，，
，
．
令，
，
解得（不符合題意，舍去），
；
②當(dāng)時(shí)，
設(shè)，則，
同理可求．
在中，，
，
．
令，
，
解得（不符合題意，舍去），
，
綜上所述，當(dāng)是線段的三等分點(diǎn)時(shí)，的值為或．
故答案為：，或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形與旋轉(zhuǎn)，掌握矩形的性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
20．（2021·諸暨市開放雙語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=6，AC=10，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．得到△A’BC’．點(diǎn)是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)為邊AC上的動(dòng)點(diǎn)，在繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，則線段長(zhǎng)度的最大值與最小值的差為________________
【答案】
【分析】根據(jù)題意畫出旋轉(zhuǎn)的軌跡圖，則可得出當(dāng)點(diǎn)D與動(dòng)點(diǎn)E位于圓心同側(cè)與異側(cè)時(shí)，分別取得長(zhǎng)度最小值與最大值，計(jì)算即可．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)B作，F(xiàn)為垂足，
中，，D為BC中點(diǎn)，
∵
∴,
∴,
,
∴,
邊上，距離B點(diǎn)最近點(diǎn)為F距B點(diǎn)最遠(yuǎn)的點(diǎn)為A，
又繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，
∴上距點(diǎn)B最近的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖中小圓圈所示，
上距點(diǎn)B最遠(yuǎn)的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖中大圓圈所示，
當(dāng)點(diǎn)D與動(dòng)點(diǎn)E位于圓心同側(cè)與異側(cè)時(shí)，分別取得長(zhǎng)度最小值與最大值，
即當(dāng)點(diǎn)E位于點(diǎn)時(shí)，最小，
最小值為：，
當(dāng)點(diǎn)E位于時(shí)，最大，
最大值為：，
∴長(zhǎng)度的最大值與最小值的差為：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換，勾股定理，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考選擇題中的壓軸題．
三、解答題
21．（2020·浙江）如圖，為上一點(diǎn)，按以下步驟作圖：
①連接；
②以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)；
③在射線上截??；
④連接．
若，求的半徑．
【答案】
【分析】由題意易得△OAB是等邊三角形，則，進(jìn)而可得，然后可得，最后問(wèn)題可求解．
【詳解】解：∵OA=OB=AB，
∴△OAB是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴∠OAC=90°，
∴在Rt△OAC中，，
∵，
∴，
∴的半徑．
【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的基本性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
22．（2019·浙江九年級(jí)期中）如圖，已知弧，利用直尺和圓規(guī)作弧所在的圓的圓心O，（要求保留作圖痕跡）
【分析】在弧上找一點(diǎn)C，連接AC和BC，分別作AC和BC的垂直平分線，交于點(diǎn)O即可．
【詳解】解：如圖，點(diǎn)O即為所作．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了確定圓心，解題的關(guān)鍵是利用垂直平分線的交點(diǎn)得到圓心．
23．（2020·浙江九年級(jí)期中）如圖，在中，，，E為邊上一點(diǎn)，連結(jié)，將點(diǎn)E繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)D，連結(jié)，，．
（1）求證：．
（2）若，，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）見解析；（2）
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，證明≌，得到；
（2）證明是等腰直角三角形，得到，根據(jù)得到CD，從而計(jì)算出CE，加上BE即可．
【詳解】解：（1）由旋轉(zhuǎn)可知，，
∴，
∴，
即，
∴在與中，
，
∴≌，
∴．
（2）∵，，
∴，
由（1）證得≌，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又由（1）證得，
∵，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明≌．
24．（2020·浙江杭州·）已知AB是的弦，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)．
（1）用直尺與圓規(guī)作；
（2）作以AB為底邊的圓內(nèi)接等腰三角形；
（3）若已知圓的半徑，求所作等腰三角形底邊上的高．
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）8或2
【分析】（1）連接AC，分別作AB、AC的中垂線，交點(diǎn)即為圓心O，然后以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓即可；
（2）AB的中垂線與⊙O交點(diǎn)分別為E1、E2，△ABE1與△ABE2均為以AB為底的圓的內(nèi)接等腰三角形；
（3）由R=5，AB=8，根據(jù)勾股定理易得AB對(duì)應(yīng)的弦心距為3，進(jìn)而得到h=5+3=8或h=5-3=2．
【詳解】
解：（1）如圖所示，連接AC，分別作AB、AC的中垂線，交點(diǎn)即為圓心O，然后以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓即可；
（2）如圖所示，若AB的中垂線與⊙O交點(diǎn)分別為E1、E2，
則△ABE1與△ABE2均為以AB為底的圓的內(nèi)接等腰三角形；
（3）由圓的半徑R=5，AB=8，由勾股定理可得AB對(duì)應(yīng)的弦心距為3，
∴△ABE1中，h=5+3=8；
△ABE2中，h=5-3=2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外接圓與外心的運(yùn)用，解決問(wèn)題時(shí)注意：找一個(gè)三角形的外心，就是找一個(gè)三角形的兩條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，三角形的外接圓只有一個(gè)．
25．（2021·浙江九年級(jí)模擬預(yù)測(cè)）有如下一道作業(yè)題：
（1）請(qǐng)你完成這道題的證明：
（2）如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)N是邊CD上一點(diǎn)，CM＝CN，連接DM，連接FC．
①求證：∠BFC＝45°．
②把FC繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到FP，連接CP（如圖3）．求證：BF＝CP+DF．
【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可知CB=CD，∠BCD=90°，再根據(jù)題意推出∠BCE=∠DCF，以及CE=CF，從而利用“SAS”證明全等即可；
（2）①根據(jù)題意可先證明△BCN≌△DCM，從而推出∠CBN=∠CDM，然后作CG⊥CF交BF于G點(diǎn)，再證明△BCG≌△DCF，即可得到△CFG為等腰直角三角形，從而得出結(jié)論；②作CQ⊥CF交BF于Q點(diǎn)，結(jié)合①的結(jié)論，可得BQ=DF，然后結(jié)合題意證明四邊形CQFP為平行四邊形，即可得到CP=QF，從而證得結(jié)論．
【詳解】（1）∵四邊形ABCD為正方形，
∴CB=CD，∠BCD=90°，即：∠BCE+∠ECD=90°，
∵△CEF為等腰直角三角形，
∴CE=CF，∠ECF=90°，即：∠ECD+∠DCF=90°，
∴∠BCE=∠DCF，
在△BCE與△DCF中，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；
（2）①由正方形性質(zhì)可知，∠BCN=∠DCM=90°，
在△BCN和△DCM中，
∴△BCN≌△DCM（SAS），
∴∠CBN=∠CDM，
如圖，作CG⊥CF交BF于G點(diǎn)，則∠GCF=90°，
∴∠BCG=∠DCF，
在△BCG和△DCF中，
∴△BCG≌△DCF（ASA），
∴CG=CF，
∴△CFG為等腰直角三角形，
∴∠BFC=45°；
②如圖所示，作CQ⊥CF交BF于Q點(diǎn)，
由①可知，△BCQ≌△DCF，
∴BQ=DF，
且由①證明可知，△CQF為等腰直角三角形，
∵FP由FC繞F點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°得到，
∴△CFP為等腰直角三角形，
∴∠P=∠CQF=45°，∠QFP=∠QCP=90°+45°=135°，
∴四邊形CQFP為平行四邊形，
∴CP=QF，
∵BF= QF +BQ，
∴BF=CP+DF．
【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平四邊形的判定與性質(zhì)等，熟練掌握?qǐng)D形的基本性質(zhì)，掌握幾何證明中的常見模型是解題關(guān)鍵．
26．（2021·浙江九年級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，．
（1）將沿軸負(fù)方向平移2個(gè)單位至△，畫圖并寫出的坐標(biāo) ；
（2）以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，將△逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得△，畫圖并寫出的坐標(biāo)為 ；
（3）求在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段掃過(guò)的面積．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）將三個(gè)頂點(diǎn)分別向左平移2個(gè)單位得到其對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再順次連接即可得；
（2）將三個(gè)頂點(diǎn)分別以點(diǎn)A1為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再順次連接即可得；
（3）由題意可知線段掃過(guò)的面積是一個(gè)圓心角為90°，半徑為線段長(zhǎng)的扇形，由此求解即可．
【詳解】解：（1）如圖，△即為所求．畫圖并寫出的坐標(biāo)；
故答案為：．
（2）如圖，△即為所求．畫圖并寫出的坐標(biāo)為；
故答案為：；
（3）由題意得 ，
旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段掃過(guò)的面積．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了平移作圖和旋轉(zhuǎn)作圖，勾股定理和扇形面積，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．
27．（2021·浙江溫州·九年級(jí)期中）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸相交于兩點(diǎn)．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．
（2）若M是第一象限內(nèi)線段上任意一點(diǎn)（不與B，C重合），軸于點(diǎn)H，與二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)P，連接．設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t，當(dāng)是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（3）如圖，若M是直線上任意一點(diǎn)，N是x軸上任意一點(diǎn)，且．以N為旋轉(zhuǎn)中心，將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使M落在Q點(diǎn)連接，則線段的最值為_______．（直接寫出答案）
【答案】（1）；（2）或；（3）最小值為，最大值為
【分析】（1）根據(jù)A、B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解；
（2）求出BC表達(dá)式，分∠CPM=90°和∠PCM=90°兩種情況分別求解；
（3）作的外接圓⊙，連接，，，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，分析出當(dāng)Q，O′，B，三點(diǎn)共線時(shí)，BQ可取得最值，再求解．
【詳解】解：（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為：，
∴，得，
∴．
（2）令，，
∴點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)直線BC解析式為：，
，解得，
∴，
∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)坐標(biāo)為，
∵，
∴，
∵軸，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，則軸，是等腰直角三角形，
∴．
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴，，
∴，
整理得：，
解得：，（舍），
∴點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，則，
過(guò)作于，則軸，
∴，
∵，，
∴，
整理得：，
解得：，（舍），
∴點(diǎn)坐標(biāo)為，
綜上所述，點(diǎn)坐標(biāo)為或．
（3）作的外接圓⊙，連接，，，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，
∵，
∴，
∵M(jìn)N繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到NQ，
∴，，
∵，
∴，
∴四邊形QKGN是矩形，
∴，，
∴，
∴在中，，
∴當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，BQ取得最值，
即，
∴，
∴線段BQ的最小值為，線段BQ的最大值為．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，還涉及外接圓的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，直角三角形的性質(zhì)，難度較大，解題時(shí)要結(jié)合圖形，畫出輔助線，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三點(diǎn)共線得到取最值時(shí)的情況．
28．（2021·浙江九年級(jí)期末）如圖，在四邊形中，，，，E是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AE，將AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°到AF，連結(jié)EF與AD交于點(diǎn)G，連結(jié)DE，DF，設(shè)BE的長(zhǎng)為x．
（1）求證：．
（2）若的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求y的最大值．
（3）當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求x的值．
【答案】（1）見解析；（2），最大值為；（3）或或2
【分析】（1）根據(jù)已知條件以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可證明；
（2）過(guò)點(diǎn)E作，交FC于點(diǎn)H，根據(jù)已知條件求得EH的值，根據(jù)（1）中可知，，再根據(jù)三角形面積公式表示y，并根據(jù)二次函數(shù)求值即可．
（3）分情況討論，當(dāng)時(shí)，求x得值；當(dāng)時(shí)，求x的值；當(dāng)時(shí)，求x得值．
【詳解】（1）∵，，
∴．
∵AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°到AF，
∴，．
∴
在和中
∵
∴
（2）過(guò)點(diǎn)E作，交FC于點(diǎn)H．
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴點(diǎn)C，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線．
又∵，
∵，
∴為等腰．
∴
當(dāng)時(shí)，有最大值，．
（3）①當(dāng)時(shí)，則，即，解得．
②當(dāng)時(shí)，則，即，，
解得（注：也得滿分）
③當(dāng)時(shí)，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，二次函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題并求最值，分情況討論等腰三角形，根據(jù)三角形面積公式表示二次函數(shù)的解析式以及分情況討論等腰三角形邊的情況是解題關(guān)鍵．
29．（2021·浙江杭州·九年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別，，，直線過(guò)點(diǎn)，且與軸的正半軸成角，將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為．解答下列問(wèn)題：
（1）填空：為________三角形（選擇“等腰”或“等邊”一種），直線的函數(shù)表達(dá)式為_______；
（2）若，在的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)?shù)囊贿吪c直線互相垂直時(shí)，記點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)時(shí)，記旋轉(zhuǎn)后頂點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，長(zhǎng)度為的線段在直線上移動(dòng)，連結(jié)，，試求四邊形周長(zhǎng)的最小值．
【答案】（1）等邊，y=x-2；（2）A′（2-2，2）或（2，4）或（2+2，2）；（3）．
【分析】（1）利用點(diǎn)的坐標(biāo)，求出OA=OB=2，OC=2 ，利用勾股定理得出邊長(zhǎng)即可；設(shè)：y=kx+b，把B、E點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可；
（2）分，，三種情況分別畫出符合的圖形，然后再分別求解即可；
（3）由題意先確定出點(diǎn)N坐標(biāo)，在四邊形中，MN=4，PQ=，要想周長(zhǎng)最小，則只需要MQ+PN的值最小即可，如圖，過(guò)點(diǎn)M作MH//BE，然后取MF=PQ==，分別作出點(diǎn)M、F關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)M′，F(xiàn)′，再分別過(guò)點(diǎn)M′、F′作x軸、y軸的垂線，兩垂線交于點(diǎn)G，連接NF′，則NF′的長(zhǎng)就是MQ+PN長(zhǎng)的最小值，求出NF′的長(zhǎng)即可．
【詳解】
（1）∵x軸⊥y軸，
∴OC⊥AB，
又∵A（-2，0），B（2，0），C（0，2 ），
∴OA=OB=2，OC=2 ，
∵OC是AB的垂直平分線，
∴BC=BA，
在 中，BC== ，
AB=OA+OB，
∴AB=BC=AC=4，
∴為等邊三角形；
設(shè)直線與y軸的交點(diǎn)為E，在 中，∠OBE=60°，OB=2
∴OE=2，.
∴E（0，-2），
設(shè)：y=kx+b，
代入B(2，0)，E（0，-2），
∴ ，解得 ，
∴y=x-2；
(2)如圖，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn) 作軸于點(diǎn)F，
∴，，
∵ ∠OBE=60°，
∴α=∠A′BF=90°-60°=30°，
∴A′F=，BF=，
∴OF=BF-OB=A′B-OB=2 -2，
∴A′（2-2，2）；
如圖，當(dāng)時(shí)，垂足為F，
∴，，
∵ ∠OBE=60°，
∴α=∠A′BA=180°-30°-60°=90°，
∴，即軸，
∴A′（2，4）；
如圖，當(dāng)時(shí)，交x軸于點(diǎn)F，
∴，
∵ ∠OBE=60°，
∴∠FBC′=180°-90°-60°=30°，
∴∠A′BF=∠A′BC′-∠FBC′=60°-30°=30°，
∴α=∠A′BA=180°-30°=150°，∠A′FB=90°，
∴，即軸，
∴A′F=2，BF=，
∴OF=OB+BF=2+，
∴A′（2+2，2）；
綜上，A′的坐標(biāo)為：（2-2，2）或（2，4）或（2+2，2）；
（3）α=210°時(shí)，∠ABM=360°-210°=150°，
∴∠ABN=∠ABM-∠MBN=90°，
∴N（2，-4）
在四邊形中，MN=4，PQ=，要想周長(zhǎng)最小，則只需要MQ+PN的值最小即可，
如圖，過(guò)點(diǎn)M作MH//BE，然后取MF=PQ=，分別作出點(diǎn)M、F關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)M′，F(xiàn)′，再分別過(guò)點(diǎn)M′、F′作x軸、y軸的垂線，兩垂線交于點(diǎn)G，連接NF′，則NF′的長(zhǎng)就是MQ+PN長(zhǎng)的最小值，
∴，
由對(duì)稱性可知點(diǎn)∠M′BA=30°，又（1）可知M′（2-2，2），
在△M′F′G中，，，
∴，即，
∴
∴周長(zhǎng)的最小值為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)，一次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)，正確進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．
如圖1，四邊形ABCD是正方形，以C為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形CEF，DF．
求證：△BCE≌△DCF．