2021-2022學(xué)年北京市東城區(qū)廣渠門中學(xué)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】

這是一份2021-2022學(xué)年北京市東城區(qū)廣渠門中學(xué)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】，共29頁(yè)。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1．（3分）冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)是世界規(guī)模最大的冬季綜合性運(yùn)動(dòng)會(huì)，每四年舉辦一次，第24屆冬奧會(huì)將于2022年在北京和張家口舉辦．下列四個(gè)圖分別是第24屆冬奧會(huì)圖標(biāo)中的一部分，其中是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（3，﹣2）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（3，2）C．（﹣3，2）D．（3，3）
3．（3分）下列計(jì)算正確的是（ ）
A．a(chǎn)2?a3＝a6B．2a2+3a2＝5a4
C．（2a2）3＝8a6D．2ab2?3ab2＝6ab2
4．（3分）如圖，已知AB＝DC，下列條件中，不能判定△ABC≌△DCB的是（ ）
A．AC＝DBB．∠ACB＝∠DBCC．∠ABC＝∠DCBD．∠A＝∠D＝90°
5．（3分）在下列各式中，能運(yùn)用平方差公式計(jì)算的是（ ）
A．（a﹣b）（b﹣a）B．（a﹣1）（﹣a+1）
C．（2a﹣b）（a+2b）D．（﹣a﹣b）（﹣b+a）
6．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接BE，則∠CBE的度數(shù)為（ ）
A．30°B．40°C．70°D．80°
7．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，若BC＝10，點(diǎn)D到AB的距離為4，則DB的長(zhǎng)為（ ）
A．8B．6C．5D．4
8．（3分）如圖，在等邊△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，且CE＝1.5，則AB的長(zhǎng)為（ ）
A．3B．4.5C．6D．7.5
9．（3分）如圖，△ABC的周長(zhǎng)為24，BC＝9，BD、CD分別平分∠ABC，∠ACB過(guò)點(diǎn)D作直線平行于BC，分別交AB、AC于E、F，則△AEF的周長(zhǎng)為（ ）
A．18B．15C．14D．9
10．（3分）如圖，∠AOB＝α，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的一定點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在OA、OB上移動(dòng)，當(dāng)△PMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，∠MPN的值為（ ）
A．90°+αB．90°C．180°﹣αD．180°﹣2α
二、填空題（共8小題，每小題2分，共16分）
11．（2分）計(jì)算：8a2?（﹣a3）＝ ．
12．（2分）如圖，把兩根鋼條的中點(diǎn)連在一起，可以做成一個(gè)測(cè)量工件內(nèi)槽寬的工具（卡鉗），在圖中，要測(cè)量工件內(nèi)槽寬AB，只要測(cè)量A′B′的長(zhǎng)度即可，該做法的依據(jù)是 ．
13．（2分）等腰三角形的一個(gè)外角是100°，則它的一個(gè)底角是 ．
14．（2分）計(jì)算：32020×（）2021＝ ．
15．（2分）如圖，△ADB≌△ECB，且點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)C，若∠CBD＝40°，BD⊥EC，則∠D的度數(shù)為 ．
16．（2分）如圖，在△ABC中，若AB＝AC，點(diǎn)D在AC上，且BD＝BC＝AD，則∠BDC＝ ．
17．（2分）規(guī)定a*b＝2a×2b，如2*3＝22×23＝25＝32．若2*（x+1）＝16，則x的值為 ．
18．（2分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（2，2），B（0，4），點(diǎn)C在坐標(biāo)軸上，且△ABC是等腰三角形，請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件的點(diǎn)C的坐標(biāo) ；滿足條件的點(diǎn)C一共有 個(gè)．
三、解答題（共9小題，19題12分，20題4分，21-25題，每小題12分，26題6分，27題7分，共54分）
19．（12分）計(jì)算：
（1）（x+2y）（x﹣2y）；
（2）（3a﹣1）2；
（3）（a﹣3）（a+4）+2a（a﹣1）．
20．（4分）已知x2﹣x+2＝0，求代數(shù)式（x﹣2）2+x（x+3）﹣（x+1）（x﹣1）的值．
21．（5分）如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF．求證：∠A＝∠D．
22．（5分）下面是小芳同學(xué)設(shè)計(jì)的“過(guò)直線外一點(diǎn)作這條直線垂線”的尺規(guī)作圖過(guò)程．已知：如圖1，直線l及直線l外一點(diǎn)P．
求作：直線l的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)P．
作法：如圖2．
①以P為圓心，大于P到直線l的距離為半徑作弧，交直線l于A，B兩點(diǎn)；
②連接PA和PB；
③作∠APB的平分線PQ，交直線l于點(diǎn)Q．
④反向延長(zhǎng)射線PQ，直線PQ就是所求的直線．
根據(jù)小芳設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，解答下列問(wèn)題：
（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖2（保留作圖痕跡）．
（2）補(bǔ)全下面證明過(guò)程：
證明：∵PA＝ ，PQ平分∠APB．
∴PQ⊥AB（ ）（填推理依據(jù)）
即PQ⊥l．
23．（5分）如圖，△ABC中，AB＝AC，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)D，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使CE＝BD，連接AD，AE．
（1）求證：AD＝AE；
（2）若AB＝BC＝BD，求∠DAE的度數(shù)．
24．（5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（﹣3，0），B（﹣5，3），C（﹣1，1）．
（1）在圖中畫出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A′B′C′；
（2）點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PB+PC的值最小時(shí)，畫出點(diǎn)P的位置，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ．
25．（5分）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且C、E、D三點(diǎn)共線．
（1）求證：△ADB≌△AEC；
（2）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD于F，依題意補(bǔ)全圖形并證明BD+DF＝CF．
26．（6分）配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．它是指將一個(gè)式子的某一部分通過(guò)恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來(lái)解決一些問(wèn)題．
例如，把二次三項(xiàng)式x2﹣2x+3進(jìn)行配方．
解：x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1+2＝（x2﹣2x+1）+2＝（x﹣1）2+2．
我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示成a2+b2（a，b是整數(shù)）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”．理由：因?yàn)?＝22+12.再如，M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x，y是整數(shù)），所以M也是“完美數(shù)”．
解決問(wèn)題：
（1）請(qǐng)你再寫一個(gè)小于10的“完美數(shù)” ；并判斷40是否為“完美數(shù)” ；
（2）若二次三項(xiàng)式x2﹣4x+5（x是整數(shù)）是“完美數(shù)”，可配方成（x﹣m）2+n（m，n為常數(shù)），則mn的值為 ；
探究問(wèn)題：
（1）已知“完美數(shù)”x2+y2﹣2x+4y+5（x，y是整數(shù)）的值為0，則x+y的值為 ；
（2）已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x，y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，試求出符合條件的k值．
拓展結(jié)論：已知實(shí)數(shù)x，y滿足﹣x2+3x+y﹣5＝0，求x+y的最小值．
27．（7分）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，交BC于點(diǎn)D．點(diǎn)A與點(diǎn)E關(guān)于直線BC對(duì)稱，連接BE，CE，延長(zhǎng)AD交BE于點(diǎn)F．
（1）補(bǔ)全圖形；
（2）求證：△BDF是等腰三角形；
（3）求證：AB+BD＝2AC．
2021-2022學(xué)年北京市東城區(qū)廣渠門中學(xué)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）
1．（3分）冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)是世界規(guī)模最大的冬季綜合性運(yùn)動(dòng)會(huì)，每四年舉辦一次，第24屆冬奧會(huì)將于2022年在北京和張家口舉辦．下列四個(gè)圖分別是第24屆冬奧會(huì)圖標(biāo)中的一部分，其中是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形定義進(jìn)行分析即可．如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形．
【解答】解：選項(xiàng)A，B，D都不能找到這樣的一條直線，使這些圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形；
選項(xiàng)C能找到這樣的一條直線，使這個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了軸對(duì)稱圖形，判斷軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
2．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（3，﹣2）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（3，2）C．（﹣3，2）D．（3，3）
【分析】直接利用關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：點(diǎn)P（3，﹣2）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣3，﹣2）．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)，正確掌握橫縱坐標(biāo)的符號(hào)關(guān)系是解題關(guān)鍵．
3．（3分）下列計(jì)算正確的是（ ）
A．a(chǎn)2?a3＝a6B．2a2+3a2＝5a4
C．（2a2）3＝8a6D．2ab2?3ab2＝6ab2
【分析】利用同底數(shù)冪的乘法、合并同類項(xiàng)、積的乘方、冪的乘方、以及單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式計(jì)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：A、a2?a3＝a5，故原題計(jì)算錯(cuò)誤；
B、2a2+3a2＝5a2，故原題計(jì)算錯(cuò)誤；
C、（2a2）3＝8a6，故原題計(jì)算正確；
D、2ab2?3ab2＝6a2b4，故原題計(jì)算錯(cuò)誤；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式、同底數(shù)冪的乘法、合并同類項(xiàng)、積的乘方、冪的乘方，關(guān)鍵是掌握各計(jì)算法則．
4．（3分）如圖，已知AB＝DC，下列條件中，不能判定△ABC≌△DCB的是（ ）
A．AC＝DBB．∠ACB＝∠DBCC．∠ABC＝∠DCBD．∠A＝∠D＝90°
【分析】從圖中讀取公共邊BC＝CB的條件，結(jié)合每個(gè)選項(xiàng)給出的條件，只要能夠判定兩個(gè)三角形全等的都排除，從而找到不能判定兩個(gè)三角形全等的選項(xiàng)B．
【解答】解：由題知，AB＝DC，BC＝CB，
當(dāng)AC＝DB時(shí)，△ABC≌△DCB（SSS），故選項(xiàng)A能判定兩個(gè)三角形全等，所以不選A；
當(dāng)∠ACB＝∠DBC，不能判定，△ABC≌△DCB，故選B；
當(dāng)∠ABC＝∠DCB，△ABC≌△DCB（SAS），故選項(xiàng)C能判定兩個(gè)三角形全等，所以不選C；
當(dāng)∠A＝∠D＝90°，Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），故選項(xiàng)D能判定兩個(gè)三角形全等，所以不選D．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定，注意一般三角形的“邊邊角”不能判定兩個(gè)三角形全等，以及直角三角形的“HL”可以判定兩個(gè)三角形全等．
5．（3分）在下列各式中，能運(yùn)用平方差公式計(jì)算的是（ ）
A．（a﹣b）（b﹣a）B．（a﹣1）（﹣a+1）
C．（2a﹣b）（a+2b）D．（﹣a﹣b）（﹣b+a）
【分析】運(yùn)用平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2時(shí)，關(guān)鍵要找相同項(xiàng)和相反項(xiàng)，其結(jié)果是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方．
【解答】解：A．（a﹣b）（b﹣a）中兩項(xiàng)的符號(hào)都相反，故不能用平方差公式計(jì)算；
B．（a﹣1）（﹣a+1）中兩項(xiàng)的符號(hào)都相反，故不能用平方差公式計(jì)算；
C．（2a﹣b）（a+2b）中不存在相同和相反的項(xiàng)，故不能用平方差公式計(jì)算；
D．（﹣a﹣b）（﹣b+a）符合平方差公式．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，熟記公式是解題的關(guān)鍵．
6．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接BE，則∠CBE的度數(shù)為（ ）
A．30°B．40°C．70°D．80°
【分析】由△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，即可求得∠ABC的度數(shù)，又由線段AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，可得AE＝BE，繼而求得∠ABE的度數(shù)，則可求得答案．
【解答】解：∵等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝＝70°，
∵線段AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝40°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
7．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，若BC＝10，點(diǎn)D到AB的距離為4，則DB的長(zhǎng)為（ ）
A．8B．6C．5D．4
【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得到DC＝DE＝4，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．
【解答】解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴DC＝DE＝4，
∴BD＝BC﹣DC＝10﹣4＝6，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．
8．（3分）如圖，在等邊△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，且CE＝1.5，則AB的長(zhǎng)為（ ）
A．3B．4.5C．6D．7.5
【分析】由在等邊三角形ABC中，DE⊥BC，可求得∠CDE＝30°，則可求得CD的長(zhǎng)，又由BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，由三線合一的知識(shí)，即可求得答案．
【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC，
∵DE⊥BC，
∴∠CDE＝30°，
∵EC＝1.5，
∴CD＝2EC＝3，
∵BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，
∴AD＝CD＝3，
∴AB＝AC＝AD+CD＝6．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
9．（3分）如圖，△ABC的周長(zhǎng)為24，BC＝9，BD、CD分別平分∠ABC，∠ACB過(guò)點(diǎn)D作直線平行于BC，分別交AB、AC于E、F，則△AEF的周長(zhǎng)為（ ）
A．18B．15C．14D．9
【分析】根據(jù)題意可得：AB+AC＝15，再利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得△EDB和△FDC是等腰三角形，從而可得ED＝EB，F(xiàn)D＝FC，進(jìn)而可得△AEF的周長(zhǎng)＝AB+AC，即可解答．
【解答】解：∵△ABC的周長(zhǎng)為24，BC＝9，
∴AB+AC＝24﹣9＝15，
∵BD、CD分別平分∠ABC，∠ACB，
∴∠ABD＝∠DBC，∠ACD＝∠DCB，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，
∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，
∴ED＝EB，F(xiàn)D＝FC，
∴△AEF的周長(zhǎng)＝AE+EF+AF
＝AE+ED+DF+AF
＝AE+EB+CF+AF
＝AB+AC
＝15，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證等腰三角形是解題的關(guān)鍵．
10．（3分）如圖，∠AOB＝α，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的一定點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在OA、OB上移動(dòng)，當(dāng)△PMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，∠MPN的值為（ ）
A．90°+αB．90°C．180°﹣αD．180°﹣2α
【分析】分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P1、P2，連接P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周長(zhǎng)最小值等于P1P2的長(zhǎng)，然后依據(jù)等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝180°﹣2α，即可得出∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝180°﹣2α．
【解答】解：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P1、P2，連接P1、P2，交OA于M，交OB于N，則
OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，
根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得MP＝P1M，PN＝P2N，
∴△PMN的周長(zhǎng)的最小值＝P1P2，
由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得∠P1OP2＝2∠AOB＝2α，
∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝180°﹣2α，
∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝∠OP1P2+∠OP2P1＝180°﹣2α，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問(wèn)題，正確正確作出輔助線，得到等腰△OP1P2中∠OP1P2+∠OP2P1的度數(shù)是關(guān)鍵．凡是涉及最短距離的問(wèn)題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)．
二、填空題（共8小題，每小題2分，共16分）
11．（2分）計(jì)算：8a2?（﹣a3）＝ ﹣4a5 ．
【分析】利用單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算，即可得出答案．
【解答】解：8a2?（﹣a3）＝﹣4a5，
故答案為：﹣4a5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，熟練掌握單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
12．（2分）如圖，把兩根鋼條的中點(diǎn)連在一起，可以做成一個(gè)測(cè)量工件內(nèi)槽寬的工具（卡鉗），在圖中，要測(cè)量工件內(nèi)槽寬AB，只要測(cè)量A′B′的長(zhǎng)度即可，該做法的依據(jù)是 根據(jù)SAS證明△AOB≌△A′OB′ ．
【分析】根據(jù)測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離，只要符合全等三角形全等的條件之一SAS，只需要測(cè)量易測(cè)量的邊A′B′上，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：連接AB，A′B′，如圖，
∵點(diǎn)O分別是AA′、BB′的中點(diǎn)，
∴OA＝OA′，OB＝OB′，
在△AOB和△A′OB′中，
，
∴△AOB≌△A′OB′（SAS）．
∴A′B′＝AB．
答：需要測(cè)量A′B′的長(zhǎng)度，即為工件內(nèi)槽寬AB．
其依據(jù)是根據(jù)SAS證明△AOB≌△A′OB′；
故答案為：根據(jù)SAS證明△AOB≌△A′OB′．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的應(yīng)用，根據(jù)已知條件可用邊角邊定理判斷出全等．
13．（2分）等腰三角形的一個(gè)外角是100°，則它的一個(gè)底角是 80°或50° ．
【分析】根據(jù)等腰三角形的一個(gè)外角等于100°，進(jìn)行討論可能是底角的外角是100°，也有可能頂角的外角是100°，從而求出答案．
【解答】解：①當(dāng)100°外角是底角的外角時(shí)，底角為：180°﹣100°＝80°，
②當(dāng)100°外角是頂角的外角時(shí)，頂角為：180°﹣100°＝80°，
則底角為：（180°﹣80°）×＝50°，
∴底角為80°或50°．
故答案為：80°或50°．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，此題應(yīng)注意進(jìn)行分類討論，特別注意不要忽略一種情況．
14．（2分）計(jì)算：32020×（）2021＝ 1 ．
【分析】利用冪的乘方與積的乘方的法則進(jìn)行計(jì)算，即可得出答案．
【解答】解：32020×（）2021
＝32020×（）2020×
＝[3×（）]2020×
＝12020×
＝1×
＝，
故答案為：1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了冪的乘方與積的乘方，熟練掌握冪的乘方與積的乘方的法則是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
15．（2分）如圖，△ADB≌△ECB，且點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)C，若∠CBD＝40°，BD⊥EC，則∠D的度數(shù)為 50° ．
【分析】設(shè)BD與CE相交于點(diǎn)F，根據(jù)垂直定義可得∠BFC＝90°，再利用直角三角形的直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得∠C＝50°，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可解答．
【解答】解：設(shè)BD與CE相交于點(diǎn)F，
∵BD⊥EC，
∴∠BFC＝90°，
∵∠CBD＝40°，
∴∠C＝90°﹣∠CBD＝50°，
∵△ADB≌△ECB，
∴∠C＝∠D＝50°，
故答案為：50°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
16．（2分）如圖，在△ABC中，若AB＝AC，點(diǎn)D在AC上，且BD＝BC＝AD，則∠BDC＝ 72° ．
【分析】設(shè)∠A＝x°，由已知條件開(kāi)始，通過(guò)線段相等，得到角相等，再由三角形內(nèi)角和求出各個(gè)角的大?。?br>【解答】解：設(shè)∠A＝x°．
∵BD＝AD，
∴∠A＝∠ABD＝x°，
∠BDC＝∠A+∠ABD＝2x°，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝2x°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠BCD＝2x°，
在△ABC中x+2x+2x＝180，
解得：x＝36，
∴∠BDC＝∠C＝72°，
故答案為：72°．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)；熟練掌握等于三角形的性質(zhì)，以及三角形內(nèi)角和定理，得到各角之間的關(guān)系式解答本題的關(guān)鍵．
17．（2分）規(guī)定a*b＝2a×2b，如2*3＝22×23＝25＝32．若2*（x+1）＝16，則x的值為 1 ．
【分析】根據(jù)新定義法則和同底數(shù)冪的乘法法則得出關(guān)于x的一元一次方程，解方程即可得出答案．
【解答】解：∵a*b＝2a×2b，2*（x+1）＝16，
∴22×2x+1＝24，
∴2x+3＝24，
∴x+3＝4，
∴x＝1，
故答案為：1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，解一元一次方程，根據(jù)新定義法則得出一元一次方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
18．（2分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（2，2），B（0，4），點(diǎn)C在坐標(biāo)軸上，且△ABC是等腰三角形，請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件的點(diǎn)C的坐標(biāo) （0，2）（答案不唯一） ；滿足條件的點(diǎn)C一共有 5 個(gè)．
【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，由等腰三角形的判定找出滿足條件的C點(diǎn)，即可得出答案．
【解答】解：如圖：
∵點(diǎn)A（2，2），B（0，4），
∴一個(gè)滿足條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)（0，2）（答案不唯一），
如圖，
若點(diǎn)A為兩腰的交點(diǎn)，此時(shí)滿足條件的點(diǎn)C有1個(gè)C1，與原點(diǎn)O重合，
若點(diǎn)B為兩腰的交點(diǎn)，此時(shí)滿足條件的點(diǎn)C有2個(gè)，分別為C2、C3；
若AB為底邊，此時(shí)滿足條件的點(diǎn)C有2個(gè)，分別為C、C4；
綜上，滿足此條件的點(diǎn)C共有5個(gè)，
故答案為：（0，2）（答案不唯一），5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，做題時(shí)需注意兩點(diǎn)，一是注意點(diǎn)C必須位于坐標(biāo)軸上，二是注意不能漏解，應(yīng)分AB為底邊和腰兩種情況分別解答，難度適中．
三、解答題（共9小題，19題12分，20題4分，21-25題，每小題12分，26題6分，27題7分，共54分）
19．（12分）計(jì)算：
（1）（x+2y）（x﹣2y）；
（2）（3a﹣1）2；
（3）（a﹣3）（a+4）+2a（a﹣1）．
【分析】（1）利用平方差公式，進(jìn)行分解即可解答；
（2）利用完全平方公式，進(jìn)行分解即可解答；
（3）先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)，即可解答．
【解答】解：（1）（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2；
（2）（3a﹣1）2＝9a2﹣6a+1；
（3）（a﹣3）（a+4）+2a（a﹣1）
＝a2+a﹣12+2a2﹣2a
＝3a2﹣a﹣12．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
20．（4分）已知x2﹣x+2＝0，求代數(shù)式（x﹣2）2+x（x+3）﹣（x+1）（x﹣1）的值．
【分析】先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)，然后把x2﹣x＝﹣2代入化簡(jiǎn)后的式子進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：（x﹣2）2+x（x+3）﹣（x+1）（x﹣1）
＝x2﹣4x+4+x2+3x﹣（x2﹣1）
＝x2﹣4x+4+x2+3x﹣x2+1
＝x2﹣x+5，
∵x2﹣x+2＝0，
∴x2﹣x＝﹣2，
∴當(dāng)x2﹣x＝﹣2時(shí)，原式＝﹣2+5＝3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的混合運(yùn)算﹣化簡(jiǎn)求值，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
21．（5分）如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF．求證：∠A＝∠D．
【分析】證明△ABC≌△DEF（SAS），可得∠A＝∠D．
【解答】證明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠A＝∠D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，屬于中考?？碱}型．
22．（5分）下面是小芳同學(xué)設(shè)計(jì)的“過(guò)直線外一點(diǎn)作這條直線垂線”的尺規(guī)作圖過(guò)程．已知：如圖1，直線l及直線l外一點(diǎn)P．
求作：直線l的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)P．
作法：如圖2．
①以P為圓心，大于P到直線l的距離為半徑作弧，交直線l于A，B兩點(diǎn)；
②連接PA和PB；
③作∠APB的平分線PQ，交直線l于點(diǎn)Q．
④反向延長(zhǎng)射線PQ，直線PQ就是所求的直線．
根據(jù)小芳設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，解答下列問(wèn)題：
（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖2（保留作圖痕跡）．
（2）補(bǔ)全下面證明過(guò)程：
證明：∵PA＝ PB ，PQ平分∠APB．
∴PQ⊥AB（ 等腰三角形頂角的平分線與底邊上的高線重合 ）（填推理依據(jù)）
即PQ⊥l．
【分析】（1）根據(jù)作圖過(guò)程即可補(bǔ)全圖2；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可補(bǔ)全證明過(guò)程．
【解答】（1）解：如圖即為補(bǔ)全的圖2；
（2）證明：∵PA＝PB，PQ平分∠APB．
∴PQ⊥AB（等腰三角形頂角的平分線與底邊上的高線重合），
即PQ⊥l．
故答案為：PB，等腰三角形頂角的平分線與底邊上的高線重合．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖，垂線段最短，角平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法．
23．（5分）如圖，△ABC中，AB＝AC，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)D，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使CE＝BD，連接AD，AE．
（1）求證：AD＝AE；
（2）若AB＝BC＝BD，求∠DAE的度數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABC＝∠ACB，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出∠ABD＝∠ACE，根據(jù)SAS推出△ABD≌△ACE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可；
（2）根據(jù)AB＝AC，AB＝BC，可得AB＝AC＝BC，可得△ABC是等邊三角形，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得∠D，∠E，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．
【解答】（1）證明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABD＝∠ACB+∠BAC，∠ACE＝∠ABC+∠BAC，
∴∠ABD＝∠ACE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE；
（2）解：∵AB＝AC，AB＝BC，
∴AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵AB＝BD，
∴∠DAB＝∠D，
∵∠ABC＝∠DAB+∠D，
∴∠D＝30°，
同理可得∠E＝30°，
∴∠DAE＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．
24．（5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（﹣3，0），B（﹣5，3），C（﹣1，1）．
（1）在圖中畫出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A′B′C′；
（2）點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PB+PC的值最小時(shí)，畫出點(diǎn)P的位置，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 （0，） ．
【分析】（1）利用軸對(duì)稱變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′，B′，C′即可；
（2）設(shè)P（0，m），利用面積法構(gòu)建方程求解．
【解答】解：（1）如圖，△A′B′C′即為所求；
（2）如圖，點(diǎn)P即為所求，設(shè)P（0，m）．
∵S△BCC′＝×2×2＝×2×（m﹣1）+×（1+5）×2﹣×1×（m﹣1）﹣×5×（3﹣m），
解得，m＝，
∴P（0，）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣軸對(duì)稱變換，軸對(duì)稱最短問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱變換的性質(zhì)，屬于中考常考題型．
25．（5分）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且C、E、D三點(diǎn)共線．
（1）求證：△ADB≌△AEC；
（2）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD于F，依題意補(bǔ)全圖形并證明BD+DF＝CF．
【分析】（1）由“SAS”即可證明△AEC≌△ADB；
（2）由△AEC≌△ADB，可得BD＝CE，由等腰三角形的性質(zhì)可得DF＝FE，可得結(jié)論．
【解答】證明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS）；
（2）如圖，
∵△ADB≌△AEC，
∴BD＝CE，
∵AD＝AE，AF⊥CD，
∴DF＝FE，
∴BD+DF＝CE+EF＝CF．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理是本題的關(guān)鍵．
26．（6分）配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．它是指將一個(gè)式子的某一部分通過(guò)恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來(lái)解決一些問(wèn)題．
例如，把二次三項(xiàng)式x2﹣2x+3進(jìn)行配方．
解：x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1+2＝（x2﹣2x+1）+2＝（x﹣1）2+2．
我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示成a2+b2（a，b是整數(shù)）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”．理由：因?yàn)?＝22+12.再如，M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x，y是整數(shù)），所以M也是“完美數(shù)”．
解決問(wèn)題：
（1）請(qǐng)你再寫一個(gè)小于10的“完美數(shù)” 4 ；并判斷40是否為“完美數(shù)” 是 ；
（2）若二次三項(xiàng)式x2﹣4x+5（x是整數(shù)）是“完美數(shù)”，可配方成（x﹣m）2+n（m，n為常數(shù)），則mn的值為 2 ；
探究問(wèn)題：
（1）已知“完美數(shù)”x2+y2﹣2x+4y+5（x，y是整數(shù)）的值為0，則x+y的值為 ﹣1 ；
（2）已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x，y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，試求出符合條件的k值．
拓展結(jié)論：已知實(shí)數(shù)x，y滿足﹣x2+3x+y﹣5＝0，求x+y的最小值．
【分析】解決問(wèn)題：
（1）根據(jù)“完美數(shù)”的定義判斷即可；
（2）利用配方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后求得對(duì)應(yīng)系數(shù)的值；
探究問(wèn)題：
（1）配方后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得x和y的值，進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）利用完全平方公式把原式變形，根據(jù)“完美數(shù)”的定義證明結(jié)論；
拓展結(jié)論：根據(jù)題中結(jié)論求解
【解答】解：解決問(wèn)題：（1）4是“完美數(shù)”，理由：因?yàn)椋?2+02；
40是“完美數(shù)”，理由：因?yàn)?0＝62+22；
（2）∵x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+12，
∴m＝2，n＝1，
∴mn＝2，
故答案為：2；
探究問(wèn)題：（1）∵x2+y2﹣2x+4y+5＝（x﹣1）2+（y+2）2＝0，
∴x＝1，y＝﹣2，
∴x+y＝﹣1；
（2）S＝x2+4y2+4x﹣12y+k＝（x+2）2+（2y﹣3）2+k﹣13，
由題意得：k﹣13＝0，
∴k＝13；
拓展結(jié)論：∵﹣x2+3x+y﹣5＝0，
∴x+y
＝x2﹣2x+5
＝（x﹣1）2+4≥4；
∴當(dāng)x＝1時(shí)，x+y最小，最小值為4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是配方法的應(yīng)用，掌握完全平方公式、偶次方的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．
27．（7分）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，交BC于點(diǎn)D．點(diǎn)A與點(diǎn)E關(guān)于直線BC對(duì)稱，連接BE，CE，延長(zhǎng)AD交BE于點(diǎn)F．
（1）補(bǔ)全圖形；
（2）求證：△BDF是等腰三角形；
（3）求證：AB+BD＝2AC．
【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形即可；
（2）由AC＝BC，∠ACB＝90°，AD是∠CAB的平分線，可得∠CAD＝∠BAD＝22.5°，即得∠ADC＝∠BDF＝90°﹣22.5°＝67.5°，根據(jù)點(diǎn)A與點(diǎn)E關(guān)于直線BC對(duì)稱，可得∠AFB＝90°﹣∠BAD＝67.5°，故∠BDF＝∠AFB，從而△BDF是等腰三角形；
（3）過(guò)D作DK⊥AB于K，證明△ACD≌△AKD（AAS），得AC＝AK，CD＝DK，又AC＝BC，∠ACB＝90°，可得△KBD是等腰直角三角形，BK＝DK，即知BK＝CD，而AB＝AK+BK，有AB＝AC+CD，故AB+BD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝AC+AC＝2AC．
【解答】（1）解：補(bǔ)全圖形如下：
（2）證明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵AD是∠CAB的平分線，
∴∠CAD＝∠BAD＝22.5°，
∴∠ADC＝∠BDF＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∵點(diǎn)A與點(diǎn)E關(guān)于直線BC對(duì)稱，
∴∠EBC＝∠CBA＝45°，
∴∠ABF＝90°，
∴∠AFB＝90°﹣∠BAD＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠BDF＝∠AFB，
∴BF＝BD；
∴△BDF是等腰三角形；
（3）證明：過(guò)D作DK⊥AB于K，如圖：
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠KAD，
∵DK⊥AB，
∴∠AKD＝90°＝∠ACD，
在△ACD和△AKD中，
，
∴△ACD≌△AKD（AAS），
∴AC＝AK，CD＝DK，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠KBD＝45°，
∴△KBD是等腰直角三角形，
∴BK＝DK，
∴BK＝CD，
∵AB＝AK+BK，
∴AB＝AC+CD，
∴AB+BD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝AC+AC＝2AC．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)及應(yīng)用，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握對(duì)稱的性質(zhì)，能熟練應(yīng)用全等三角形的判定與性質(zhì)定理．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/9/28 17:49:12；用戶：笑涵數(shù)學(xué)；郵箱：15699920825；學(xué)號(hào)：36906111