2021-2022學(xué)年北京十二中八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】

這是一份2021-2022學(xué)年北京十二中八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】，共22頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，計算題，因式分解，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1．（2分）下列各式中，計算正確的是（ ）
A．8a﹣3b＝5abB．（a2）3＝a5C．a(chǎn)8÷a4＝a2D．a(chǎn)2?a＝a3
2．（2分）如果三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)比是2：3：4，則它是（ ）
A．銳角三角形B．鈍角三角形
C．直角三角形D．鈍角或直角三角形
3．（2分）如圖，若△ABC≌△DEF，四個點B、E、C、F在同一直線上，BC＝7，EC＝5，則CF的長是（ ）
A．2B．3C．5D．7
4．（2分）下列計算正確的是（ ）
A．（2×10n）×（3×10n）＝6×10n
B．﹣x（x2﹣x+1）＝﹣x3﹣x+1
C．（a﹣1）2＝a2﹣1
D．（x﹣1）（2x+1）＝2x2﹣x﹣1
5．（2分）已知a﹣b＝1，則a2﹣b2﹣2b的值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（2分）若x2+ax+9＝（x﹣3）2，則a的值為（ ）
A．3B．±3C．﹣6D．±6
7．（2分）如圖，已知∠C＝∠D＝90°，有四個可添加的條件：①AC＝BD；②BC＝AD；③∠CAB＝∠DBA；④∠CBA＝∠DAB．能使△ABC≌△BAD的條件有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
8．（2分）如圖，已知直線a∥b，直角三角形ABC中，∠C＝90°，若∠B＝58°，那么∠1﹣∠2＝（ ）
A．28°B．30°C．32°D．58°
9．（2分）如果兩個三角形中兩條邊和其中一邊上的高對應(yīng)相等，那么這兩個三角形的第三條邊所對的角的關(guān)系是（ ）
A．相等B．不相等C．互余或相等D．互補(bǔ)或相等
10．（2分）如圖，在5×5格的正方形網(wǎng)格中，與△ABC有一條公共邊且全等（不與△ABC重合）的格點三角形（頂點在格點上的三角形）共有（ ）
A．5個B．6個C．7個D．8 個
11．（2分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交x軸于點M，交y軸于點N，再分別以點M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩條弧在第二象限交于點P，若點P的坐標(biāo)為（a，2b﹣1），則a，b的數(shù)量關(guān)系是（ ）
A．a(chǎn)＝bB．a(chǎn)+2b＝1C．a(chǎn)﹣2b＝1D．a(chǎn)+2b＝﹣1
12．（2分）如果一個正整數(shù)可以表示為兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么稱該正整數(shù)為“和諧數(shù)”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均為“和諧數(shù)”），在不超過2017的正整數(shù)中，所有的“和諧數(shù)”之和為（ ）
A．255054B．255064C．250554D．255024
二、填空題（本大題共10小題，共30分）
13．（3分）因式分解：2a2b﹣8ab+8b＝ ．
14．（3分）計算：（﹣8）2022×（﹣）2021＝ ．
15．（3分）如圖，△ABC≌△DEC，∠ACD＝28°，則∠BCE＝ °．
16．（3分）若a+b＝2，a2﹣b2＝6，則a﹣b＝ ．
17．（3分）若2x+3y﹣2＝0，則4x?8y＝ ．
18．（3分）長、寬分別為a、b的矩形，它的周長為14，面積為10，則a2b+ab2的值為 ．
19．（3分）在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC邊上的中線，則AD的取值范圍是 ．
20．（3分）4個數(shù)a、b、c、d排列，我們稱之為二階行列式，規(guī)定它的運(yùn)算法則為＝ad﹣bc，若＝17，則x＝ ．
21．（3分）已知（x+p）（x+q）＝x2+mx+3，p、q為整數(shù)，則m＝ ．
22．（3分）如圖，已知四邊形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，點E為線段AB的中點．如果點P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點向C點運(yùn)動，同時，點Q在線段CD上由C點向D點運(yùn)動．當(dāng)點Q的運(yùn)動速度為 厘米/秒時，能夠使△BPE與以C、P、Q三點所構(gòu)成的三角形全等．
三、計算題（本大題共4小題，共12分）
23．（3分）計算：m7?m5+（﹣m3）4﹣（﹣2m4）3．
24．（3分）（x﹣3y）（3x+y）．
25．（3分）（x﹣y+3）（x+y﹣3）．
26．（3分）計算：2002﹣400×199+1992．
四、因式分解（本大題共3小題，共9分）
27．（3分）因式分解：4x2﹣9．
28．（3分）因式分解：2（x﹣y）﹣（y﹣x）2．
29．（3分）因式分解：a4﹣b4．
五、解答題（本大題共5小題，30題4分，31-33每題5分，34題6分，共25分）
30．（4分）如圖，AB＝AE，∠B＝∠AED，∠1＝∠2，求證：△ABC≌△AED．
31．（5分）已知x2+3x﹣1＝0，求：x3+5x2+5x+2019的值．
32．（5分）已知：如圖所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分別是DC、BC的中點，求證：AE＝AF．
33．（5分）若a、b、c為三角形的三邊長，試證明：（a2+b2﹣c2）2﹣4a2b2的值一定為負(fù)．
34．（6分）探究與發(fā)現(xiàn)：
探究一：我們知道，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．那么，三角形的一個內(nèi)角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在何種數(shù)量關(guān)系呢？
已知：如圖1，∠FDC與∠ECD分別為△ADC的兩個外角，試探究∠A與∠FDC+∠ECD的數(shù)量關(guān)系．
探究二：三角形的一個內(nèi)角與另兩個內(nèi)角的平分線所夾的鈍角之間有何種關(guān)系？
已知：如圖2，在△ADC中，DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，試探究∠P與∠A的數(shù)量關(guān)系．
探究三：若將△ADC改為任意四邊形ABCD呢？
已知：如圖3，在四邊形ABCD中，DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論探究∠P與∠A+∠B的數(shù)量關(guān)系．
2021-2022學(xué)年北京十二中八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共12小題，共24分）
1．（2分）下列各式中，計算正確的是（ ）
A．8a﹣3b＝5abB．（a2）3＝a5C．a(chǎn)8÷a4＝a2D．a(chǎn)2?a＝a3
【分析】分別根據(jù)合并同類項的法則、同底數(shù)冪的乘法法則、冪的乘方法則以及同底數(shù)冪除法法則解答即可．
【解答】解：A、8a與3b不是同類項，故不能合并，故選項A不合題意；
B、（a2）3＝a6，故選項B不合題意；
C、a8÷a4＝a4，故選項C不符合題意；
D、a2?a＝a3，故選項D符合題意．
故選：D．
【點評】本題主要考查了冪的運(yùn)算性質(zhì)以及合并同類項的法則，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
2．（2分）如果三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)比是2：3：4，則它是（ ）
A．銳角三角形B．鈍角三角形
C．直角三角形D．鈍角或直角三角形
【分析】利用“設(shè)k法”求出最大角的度數(shù)，然后作出判斷即可．
【解答】解：設(shè)三個內(nèi)角分別為2k、3k、4k，
則2k+3k+4k＝180°，
解得k＝20°，
所以，最大的角為4×20°＝80°，
所以，三角形是銳角三角形．
故選：A．
【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，利用“設(shè)k法”表示出三個內(nèi)角求解更加簡便．
3．（2分）如圖，若△ABC≌△DEF，四個點B、E、C、F在同一直線上，BC＝7，EC＝5，則CF的長是（ ）
A．2B．3C．5D．7
【分析】根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得到EF＝BC＝7，計算即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
又BC＝7，
∴EF＝7，
∵EC＝5，
∵CF＝EF﹣EC＝7﹣5＝2．
故選：A．
【點評】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等、全等三角形的對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．
4．（2分）下列計算正確的是（ ）
A．（2×10n）×（3×10n）＝6×10n
B．﹣x（x2﹣x+1）＝﹣x3﹣x+1
C．（a﹣1）2＝a2﹣1
D．（x﹣1）（2x+1）＝2x2﹣x﹣1
【分析】直接利用完全平方公式以及單項式乘多項式、多項式乘多項式分別計算，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：A．（2×10n）×（3×10n）＝6×102n，故此選項不合題意；
B．﹣x（x2﹣x+1）＝﹣x3+x2﹣x，故此選項不合題意；
C．（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故此選項不合題意；
D．（x﹣1）（2x+1）＝2x2﹣x﹣1，故此選項符合題意．
故選：D．
【點評】此題主要考查了整式的混合運(yùn)算，正確掌握整式的乘法運(yùn)算以及運(yùn)用完全平方公式是解題關(guān)鍵．
5．（2分）已知a﹣b＝1，則a2﹣b2﹣2b的值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由已知得a＝b+1，代入所求代數(shù)式，利用完全平方公式計算．
【解答】解：∵a﹣b＝1，
∴a＝b+1，
∴a2﹣b2﹣2b＝（b+1）2﹣b2﹣2b＝b2+2b+1﹣b2﹣2b＝1．
故選：A．
【點評】本題考查了完全平方公式的運(yùn)用．關(guān)鍵是利用換元法消去所求代數(shù)式中的a．
6．（2分）若x2+ax+9＝（x﹣3）2，則a的值為（ ）
A．3B．±3C．﹣6D．±6
【分析】根據(jù)題意可知：將（x﹣3）2展開，再根據(jù)對應(yīng)項系數(shù)相等求解．
【解答】解：∵x2+ax+9＝（x﹣3）2，
而（x﹣3）2＝x2﹣6x+9；
即x2+ax+9＝x2﹣6x+9，
∴a＝﹣6．
故選：C．
【點評】本題主要考查完全平方公式的應(yīng)用，利用對應(yīng)項系數(shù)相等求解是解題的關(guān)鍵．
7．（2分）如圖，已知∠C＝∠D＝90°，有四個可添加的條件：①AC＝BD；②BC＝AD；③∠CAB＝∠DBA；④∠CBA＝∠DAB．能使△ABC≌△BAD的條件有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【分析】要確定添加的條件，首先要看現(xiàn)有的已知條件，∠C＝∠D＝90°，還有一條公共邊AB＝AB，具備一角，一邊分別對應(yīng)相等，只要再添加任意一邊或任意一角都能使得三角形全等，于是答案可得．
【解答】解：添加①AC＝BD，可根據(jù)HL判定△ABC≌△BAD；
添加②BC＝AD，可根據(jù)HL判定△ABC≌△BAD
添加③∠CAB＝∠DBA，可根據(jù)AAS判定△ABC≌△BAD；
添加④∠CBA＝∠DAB，可根據(jù)AAS判定△ABC≌△BAD．
故選：D．
【點評】本題重點考查了三角形全等的判定定理，普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，無法證明三角形全等，本題是一道較為簡單的題目．做題時要根據(jù)已知條件結(jié)合判定方法逐個驗證．
8．（2分）如圖，已知直線a∥b，直角三角形ABC中，∠C＝90°，若∠B＝58°，那么∠1﹣∠2＝（ ）
A．28°B．30°C．32°D．58°
【分析】利用三角形的內(nèi)角和先計算∠A，再通過平行線、對頂角把∠1、∠2、∠A聯(lián)系起來，利用外角與不相鄰內(nèi)角間關(guān)系可得結(jié)論．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝58°，
∴∠A＝32°．
∵∠3＝∠4+∠A，∠4＝∠2，
∴∠3﹣∠2＝∠A＝32°．
∵a∥b，
∴∠1＝∠3．
∴∠1﹣∠2＝32°．
故選：C．
【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)等知識點，通過平行線的性質(zhì)、對頂角的性質(zhì)把∠1、∠2、∠A聯(lián)系起來是解決本題的關(guān)鍵．
9．（2分）如果兩個三角形中兩條邊和其中一邊上的高對應(yīng)相等，那么這兩個三角形的第三條邊所對的角的關(guān)系是（ ）
A．相等B．不相等C．互余或相等D．互補(bǔ)或相等
【分析】第三邊所對的角即為前兩邊的夾角．分兩種情況，一種是兩個銳角或兩個鈍角三角形，另一種是一個鈍角三角形和一個銳角三角形．
【解答】解：第一種情況，當(dāng)兩個三角形全等時，是相等關(guān)系，
第二種情況，如圖，AC＝AC′，高CD＝C′D′，
∴∠ADC＝∠AD′C′，
在Rt△ACD和Rt△AC′D′中，
，
Rt△ACD≌Rt△AC′D′（HL），
∴∠CAD＝∠C′AD′，
此時，∠CAB+∠C′AB＝180°，
是互補(bǔ)關(guān)系，
綜上所述，這兩個三角形的第三條邊所對的角的關(guān)系是“相等或互補(bǔ)”．
故選：D．
【點評】本題考查全等三角形的判定，應(yīng)注意的是，兩邊相等不一定角相等，解題時要多方面考慮．
10．（2分）如圖，在5×5格的正方形網(wǎng)格中，與△ABC有一條公共邊且全等（不與△ABC重合）的格點三角形（頂點在格點上的三角形）共有（ ）
A．5個B．6個C．7個D．8 個
【分析】可以以AB和BC為公共邊分別畫出3個，AC不可以，故可求出結(jié)果．
【解答】解：以BC為公共邊可畫出△BDC，△BEC，△BFC三個三角形和原三角形全等．
以AB為公共邊可畫出三個三角形△ABG，△ABM，△ABH和原三角形全等．
以AC為公共邊不可以畫出一個三角形和原三角形全等，
所以可畫出6個．
故選：B．
【點評】本題考查全等三角形的性質(zhì)，三條對應(yīng)邊分別相等，以及格點的概念．
11．（2分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交x軸于點M，交y軸于點N，再分別以點M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩條弧在第二象限交于點P，若點P的坐標(biāo)為（a，2b﹣1），則a，b的數(shù)量關(guān)系是（ ）
A．a(chǎn)＝bB．a(chǎn)+2b＝1C．a(chǎn)﹣2b＝1D．a(chǎn)+2b＝﹣1
【分析】根據(jù)作圖方法可得點P在第二象限的角平分線上，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和第二象限內(nèi)點的坐標(biāo)符號可得a+2b﹣1＝0，然后再整理可得答案．
【解答】解：根據(jù)作圖方法可得點P在第二象限角平分線上；點P到x軸、y軸的距離相等；點P的橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，
則P點橫縱坐標(biāo)的和為0，
故a+2b﹣1＝0，
整理得：a+2b＝1，
故選：B．
【點評】此題主要考查了基本作圖﹣角平分線的做法以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)：點到坐標(biāo)軸的距離與這個點的坐標(biāo)是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個方面：①到x軸的距離與縱坐標(biāo)有關(guān)，到y(tǒng)軸的距離與橫坐標(biāo)有關(guān)；②距離都是非負(fù)數(shù)，而坐標(biāo)可以是負(fù)數(shù)，在由距離求坐標(biāo)時，需要加上恰當(dāng)?shù)姆枺?br>12．（2分）如果一個正整數(shù)可以表示為兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么稱該正整數(shù)為“和諧數(shù)”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均為“和諧數(shù)”），在不超過2017的正整數(shù)中，所有的“和諧數(shù)”之和為（ ）
A．255054B．255064C．250554D．255024
【分析】（方法一）由（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n≤2017，解得n≤252，可得在不超過2017的正整數(shù)中，“和諧數(shù)”共有252個，依此列式計算即可求解．
（方法二）經(jīng)過規(guī)律發(fā)現(xiàn)，第n個“和諧數(shù)”為8n，則2017以內(nèi)最后一個“和諧數(shù)”為2016，它是第252個“和諧數(shù)”，然后用高斯數(shù)學(xué)從8+16一直加到2016即可計算求解．
【解答】解：（方法一）由（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n≤2017，解得n≤252，
則在不超過2017的正整數(shù)中，所有的“和諧數(shù)”之和為32﹣12+52﹣32+…+5052﹣5032＝5052﹣12＝255024．
（方法二）由（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，可知第n個和諧數(shù)為8n，則2017以內(nèi)最后一個和諧數(shù)為2016．
8+16+24+…+2016＝＝255024．
故選：D．
【點評】此題考查了平方差公式，弄清題中“和諧數(shù)”的定義是解本題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共10小題，共30分）
13．（3分）因式分解：2a2b﹣8ab+8b＝ 2b（a﹣2）2 ．
【分析】首先提取公因式2b，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：2a2b﹣8ab+8b＝2b（a2﹣4a+4）
＝2b（a﹣2）2．
故答案為：2b（a﹣2）2．
【點評】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應(yīng)用公式是解題關(guān)鍵．
14．（3分）計算：（﹣8）2022×（﹣）2021＝ ﹣8 ．
【分析】根據(jù)積的乘方運(yùn)算法則進(jìn)行簡便計算．
【解答】解：原式＝（﹣8）2021×（﹣）2021×（﹣8）
＝[（﹣8）×（﹣）]2021×（﹣8）
＝12021×（﹣8）
＝1×（﹣8）
＝﹣8，
故答案為：﹣8．
【點評】本題考查積的乘方運(yùn)算，掌握積的乘方（ab）n＝anbn運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
15．（3分）如圖，△ABC≌△DEC，∠ACD＝28°，則∠BCE＝ 28 °．
【分析】根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ACB＝∠DCE，再根據(jù)等式的性質(zhì)兩邊同時減去∠ACE可得結(jié)論．
【解答】證明：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，
即∠ACD＝∠BCE＝28°．
故答案是：28．
【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能熟記全等三角形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的對應(yīng)角相等．
16．（3分）若a+b＝2，a2﹣b2＝6，則a﹣b＝ 3 ．
【分析】先利用平方差公式，再整體代入求值．
【解答】解：∵（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
∴2×（a﹣b）＝6，
∴a﹣b＝3．
故答案為：3．
【點評】本題考查了平方差公式及整體代入的方法．掌握平方差公式是解決本題的關(guān)鍵．
17．（3分）若2x+3y﹣2＝0，則4x?8y＝ 4 ．
【分析】由2x+3y﹣2＝0得2x+3y＝2，再根據(jù)冪的乘方以及同底數(shù)冪的乘法法則把所求式子化為22x?23y＝22x+3y，再把2x+3y＝2代入計算即可．
【解答】解：∵2x+3y﹣2＝0，
∴2x+3y＝2，
∴4x?8y＝22x?23y＝22x+3y＝22＝4，
故答案為：4．
【點評】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法以及冪的乘方，熟記冪的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
18．（3分）長、寬分別為a、b的矩形，它的周長為14，面積為10，則a2b+ab2的值為 70 ．
【分析】由周長和面積可分別求得a+b和ab的值，再利用因式分解把所求代數(shù)式可化為ab（a+b），代入可求得答案
【解答】解：
∵長、寬分別為a、b的矩形，它的周長為14，面積為10，
∴a+b＝＝7，ab＝10，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝10×7＝70，
故答案為：70．
【點評】本題主要考查因式分解的應(yīng)用，把所求代數(shù)式化為ab（a+b）是解題的關(guān)鍵．
19．（3分）在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC邊上的中線，則AD的取值范圍是 1＜AD＜6 ．
【分析】作出圖形，延長中線AD到E，使DE＝AD，利用“邊角邊”證明△ACD和△EBD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AC＝BE，然后根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求出AE的范圍，再除以2即可得解．
【解答】解：如圖，延長中線AD到E，使DE＝AD，
∵AD是三角形的中線
∴BD＝CD，
在△ACD和△EBD中，
∵，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC＝BE，
∵AB＝5，BE＝AC＝7，
∴7﹣5＜2AD＜7+5，即2＜2x＜12，
∴1＜AD＜6．
故答案為：1＜AD＜6．
【點評】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)輔助線的作法，“遇中線加倍延”作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
20．（3分）4個數(shù)a、b、c、d排列，我們稱之為二階行列式，規(guī)定它的運(yùn)算法則為＝ad﹣bc，若＝17，則x＝ ﹣2 ．
【分析】根據(jù)新定義得到（x﹣2）2﹣（x+1）（x+3）＝17，然后解方程即可．
【解答】解：根據(jù)題意得（x﹣2）2﹣（x+1）（x+3）＝17，
整理得，﹣8x+1＝17，
解得x＝﹣2．
故答案為﹣2．
【點評】本題考查了整式的混合運(yùn)算，解一元一次方程，掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
21．（3分）已知（x+p）（x+q）＝x2+mx+3，p、q為整數(shù)，則m＝ ±4 ．
【分析】已知等式左邊利用多項式乘多項式法則計算，整理后利用多項式相等的條件確定出m的值即可．
【解答】解：已知等式整理得：x2+（p+q）x+pq＝x2+mx+3，p、q為整數(shù)，
∴p+q＝m，pq＝3，即p＝1，q＝3或p＝3，q＝1或p＝﹣1，q＝﹣3或p＝﹣3，q＝﹣1，
則m＝±4，
故答案為：±4
【點評】此題考查了多項式乘多項式，以及多項式相等的條件，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
22．（3分）如圖，已知四邊形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，點E為線段AB的中點．如果點P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點向C點運(yùn)動，同時，點Q在線段CD上由C點向D點運(yùn)動．當(dāng)點Q的運(yùn)動速度為 3或 厘米/秒時，能夠使△BPE與以C、P、Q三點所構(gòu)成的三角形全等．
【分析】分兩種情況討論，依據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，即可得到點Q的運(yùn)動速度．
【解答】解：設(shè)點P運(yùn)動的時間為t秒，則BP＝3t，CP＝8﹣3t，
∵∠B＝∠C，
∴①當(dāng)BE＝CP＝6，BP＝CQ時，△BPE與△CQP全等，
此時，6＝8﹣3t，
解得t＝，
∴BP＝CQ＝2，
此時，點Q的運(yùn)動速度為2÷＝3厘米/秒；
②當(dāng)BE＝CQ＝6，BP＝CP時，△BPE與△CQP全等，
此時，3t＝8﹣3t，
解得t＝，
∴點Q的運(yùn)動速度為6÷＝厘米/秒；
故答案為：3或．
【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等．
三、計算題（本大題共4小題，共12分）
23．（3分）計算：m7?m5+（﹣m3）4﹣（﹣2m4）3．
【分析】分別根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則以及積的乘方運(yùn)算法則化簡，再合并同類項即可．
【解答】解：原式＝m12+m12﹣（﹣8m12）
＝m12+m12+8m12
＝10m12．
【點評】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法以及冪的乘方與積的乘方，熟記冪的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
24．（3分）（x﹣3y）（3x+y）．
【分析】根據(jù)多項式乘多項式乘法法則解決此題．
【解答】解：（x﹣3y）（3x+y）
＝3x2+xy﹣9xy﹣3y2
＝3x2﹣8xy﹣3y2．
【點評】本題主要考查多項式乘多項式，熟練掌握多項式乘多項式乘法法則解決此題．
25．（3分）（x﹣y+3）（x+y﹣3）．
【分析】根據(jù)平方差公式和完全平方公式計算即可，平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等于這兩個數(shù)的平方差，即（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
【解答】解：（x﹣y+3）（x+y﹣3）
＝[x﹣（y﹣3）][（x+（y﹣3）]
＝x2﹣（y﹣3）2
＝x2﹣（y2﹣6y+9）
＝x2﹣y2+6y﹣9．
【點評】本題考查了整式的混合運(yùn)算，掌握相關(guān)公式與運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
26．（3分）計算：2002﹣400×199+1992．
【分析】根據(jù)完全平方公式進(jìn)行簡便運(yùn)算．
【解答】解：2002﹣400×199+1992
＝2002﹣2×200×199+1992
＝（200﹣199）2
＝12
＝1．
【點評】本題主要考查完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解決本題的關(guān)鍵．
四、因式分解（本大題共3小題，共9分）
27．（3分）因式分解：4x2﹣9．
【分析】逆用平方差公式進(jìn)行因式分解．
【解答】解：4x2﹣9＝（2x+3）（2x﹣3）．
【點評】本題主要考查運(yùn)用公式法進(jìn)行因式分解，熟練掌握公式法是解決本題的關(guān)鍵．
28．（3分）因式分解：2（x﹣y）﹣（y﹣x）2．
【分析】利用完全平方公式和其它整式乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計算即可．
【解答】解：2（x﹣y）﹣（y﹣x）2
＝2（x﹣y）﹣（x﹣y）2
＝（x﹣y）[2﹣（x﹣y）]
＝（x﹣y）（2﹣x+y）．
【點評】此題考查了整式乘法的計算能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確選擇完全平方公式及其它適合此題的運(yùn)算方法進(jìn)行運(yùn)算．
29．（3分）因式分解：a4﹣b4．
【分析】逆用平方差公式進(jìn)行因式分解．
【解答】解：a4﹣b4
＝（a2+b2）（a2﹣b2）
＝（a2+b2）（a+b）（a﹣b）．
【點評】本題主要考查運(yùn)用公式法進(jìn)行因式分解，熟練掌握公式法是解決本題的關(guān)鍵．
五、解答題（本大題共5小題，30題4分，31-33每題5分，34題6分，共25分）
30．（4分）如圖，AB＝AE，∠B＝∠AED，∠1＝∠2，求證：△ABC≌△AED．
【分析】根據(jù)ASA只要證明∠BAC＝∠EAD即可解決問題；
【解答】證明∵∠1＝∠2，
∴∠BAC＝∠EAD，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED．
【點評】本題考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定，屬于中考常考題型．
31．（5分）已知x2+3x﹣1＝0，求：x3+5x2+5x+2019的值．
【分析】根據(jù)x2+3x﹣1＝0，將所求式子變形，即可求得所求式子的值．
【解答】解：∵x2+3x﹣1＝0，
∴x3+5x2+5x+2019
＝x（x2+3x﹣1）+2（x2+3x﹣1）+2021
＝x×0+2×0+2021
＝0+0+2021
＝2021．
【點評】本題考查因式分解的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用因式分解的方法解答．
32．（5分）已知：如圖所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分別是DC、BC的中點，求證：AE＝AF．
【分析】連接AC，證△ACD≌△ACB可得∠ACE＝∠ACF，根據(jù)中點的性質(zhì)知CE＝CF，利用“SAS”即可證明△ACE≌△ACF，可得AE＝AF．
【解答】證明：連接AC，
在△ACD和△ACB中，
∵，
∴△ACD≌△ACB（SSS），
∴∠ACE＝∠ACF，
∵BC＝DC，E，F(xiàn)分別是DC、BC的中點，
∴CE＝CF，
在△ACE和△ACF中，
∵，
∴△ACE≌△ACF（SAS），
∴AE＝AF．
【點評】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△ACD≌△ACB和△ACE≌△ACF是解題的關(guān)鍵．
33．（5分）若a、b、c為三角形的三邊長，試證明：（a2+b2﹣c2）2﹣4a2b2的值一定為負(fù)．
【分析】根據(jù)平方差公式和完全平方公式把（a2+b2﹣c2）2﹣4a2b2變形為（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b﹣c）（a﹣b+c），再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得出答案．
【解答】解：（a2+b2﹣c2）2﹣4a2b2
＝（a2+b2﹣c2+2ab）（a2+b2﹣c2﹣2ab）
＝[（a+b）2﹣c2][（a﹣b）2﹣c2]
＝（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b﹣c）（a﹣b+c），
∵a、b、c為三角形的三邊長，
∴a+b+c＞0，a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，a﹣b+c＞0，
∴（a2+b2﹣c2）2﹣4a2b2的值一定為負(fù)．
【點評】此題考查了三角形的三邊關(guān)系，用到的知識點是平方差公式、完全平方公式以及三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是對給出的式子進(jìn)行變形．
34．（6分）探究與發(fā)現(xiàn)：
探究一：我們知道，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．那么，三角形的一個內(nèi)角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在何種數(shù)量關(guān)系呢？
已知：如圖1，∠FDC與∠ECD分別為△ADC的兩個外角，試探究∠A與∠FDC+∠ECD的數(shù)量關(guān)系．
探究二：三角形的一個內(nèi)角與另兩個內(nèi)角的平分線所夾的鈍角之間有何種關(guān)系？
已知：如圖2，在△ADC中，DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，試探究∠P與∠A的數(shù)量關(guān)系．
探究三：若將△ADC改為任意四邊形ABCD呢？
已知：如圖3，在四邊形ABCD中，DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論探究∠P與∠A+∠B的數(shù)量關(guān)系．
【分析】探究一：根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠FDC＝∠A+∠ACD，∠ECD＝∠A+∠ADC，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理整理即可得解；
探究二：根據(jù)角平分線的定義可得∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠ACD，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列式整理即可得解；
探究三：根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可．
【解答】解：探究一：∵∠FDC＝∠A+∠ACD，∠ECD＝∠A+∠ADC，
∴∠FDC+∠ECD＝∠A+∠ACD+∠A+∠ADC＝180°+∠A；
探究二：∵DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，
∴∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠ACD，
∴∠P＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD
＝180°﹣∠ADC﹣∠ACD
＝180°﹣（∠ADC+∠ACD）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90°+∠A；
探究三：∵DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠BCD，
∴∠P＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD
＝180°﹣∠ADC﹣∠BCD
＝180°﹣（∠ADC+∠BCD）
＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B）
＝（∠A+∠B）．
【點評】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，多邊形的內(nèi)角和公式，此類題目根據(jù)同一個解答思路求解是解題的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/9/28 17:58:31；用戶：笑涵數(shù)學(xué)；郵箱：15699920825；學(xué)號：36906111