2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期培優(yōu)講義第14講 拋物線（2份打包，原卷版+教師版）

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題型一：拋物線的定義
題型二：求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
題型三：拋物線的綜合問(wèn)題
題型四：軌跡方程
題型五：拋物線的幾何性質(zhì)
題型六：拋物線中的范圍與最值問(wèn)題
題型七：焦半徑問(wèn)題
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
知識(shí)點(diǎn)一：拋物線的定義
定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 和一條定直線 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 不經(jīng)過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 )的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線 SKIPIF 1 < 0 叫做拋物線的準(zhǔn)線．
知識(shí)點(diǎn)詮釋:
(1)上述定義可歸納為“一動(dòng)三定”，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，一定直線；一個(gè)定值
(2)定義中的隱含條件：焦點(diǎn)F不在準(zhǔn)線 SKIPIF 1 < 0 上，若F在 SKIPIF 1 < 0 上，拋物線變?yōu)檫^(guò)F且垂直與 SKIPIF 1 < 0 的一條直線.
(3)拋物線定義建立了拋物線上的點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線三者之間的距離關(guān)系，在解題時(shí)常與拋物線的定義聯(lián)系起來(lái)，將拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與動(dòng)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離互化，通過(guò)這種轉(zhuǎn)化使問(wèn)題簡(jiǎn)單化.
知識(shí)點(diǎn)二：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式：
根據(jù)拋物線焦點(diǎn)所在半軸的不同可得拋物線方程的的四種形式
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 。
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
①只有當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸時(shí)，才能得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
②拋物線的焦點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項(xiàng)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸上，且開(kāi)口方向與一次項(xiàng)的系數(shù)的正負(fù)一致，比如拋物線 SKIPIF 1 < 0 的一次項(xiàng)為 SKIPIF 1 < 0 ，故其焦點(diǎn)在 SKIPIF 1 < 0 軸上，且開(kāi)口向負(fù)方向(向下)
③拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項(xiàng)的系數(shù)是焦點(diǎn)的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的4倍.
④從方程形式看，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程僅需確定一次項(xiàng)系數(shù)。用待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，首先根據(jù)已知條件確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類型(一般需結(jié)合圖形依據(jù)焦點(diǎn)的位置或開(kāi)口方向定型)，然后求一次項(xiàng)的系數(shù)，否則，應(yīng)展開(kāi)相應(yīng)的討論.
⑤在求拋物線方程時(shí)，由于標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，易混淆，可先根據(jù)題目的條件作出草圖，確定方程的形式，再求參數(shù)p，若不能確定是哪一種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)寫出四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程來(lái)，不要遺漏某一種情況。
知識(shí)點(diǎn)三：拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)：
拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程 SKIPIF 1 < 0 的幾何性質(zhì)
范圍： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
拋物線y2=2px(p＞0)在y軸的右側(cè)，開(kāi)口向右，這條拋物線上的任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)(x，y)的橫坐標(biāo)滿足不等式x≥0；當(dāng)x的值增大時(shí)，|y|也增大，這說(shuō)明拋物線向右上方和右下方無(wú)限延伸。拋物線是無(wú)界曲線。
對(duì)稱性：關(guān)于x軸對(duì)稱
拋物線y2=2px(p＞0)關(guān)于x軸對(duì)稱，我們把拋物線的對(duì)稱軸叫做拋物線的軸。拋物線只有一條對(duì)稱軸。
頂點(diǎn)：坐標(biāo)原點(diǎn)
拋物線y2=2px(p＞0)和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)。拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0，0)。
拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的對(duì)比
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
(1)與橢圓、雙曲線不同，拋物線只有一個(gè)焦點(diǎn)、一個(gè)頂點(diǎn)、一條對(duì)稱軸，一條準(zhǔn)線；
(2)標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)p的幾何意義是指焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；p＞0恰恰說(shuō)明定義中的焦點(diǎn)F不在準(zhǔn)線 SKIPIF 1 < 0 上這一隱含條件；參數(shù)p的幾何意義在解題時(shí)常常用到，特別是具體的標(biāo)準(zhǔn)方程中應(yīng)找到相當(dāng)于p的值，才易于確定焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.
【典例例題】
題型一：拋物線的定義
例1．若P為拋物線y2=2px(p>0)上任意一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，則以|PF|為直徑的圓與y軸的位置關(guān)系為( )
A．相交B．相離
C．相切D．不確定
例2．已知拋物線 SKIPIF 1 < 0 的焦點(diǎn)為F， SKIPIF 1 < 0 是C上一點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ( )
A．1B．2C．3D．4
題型二：求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
例3．若拋物線 SKIPIF 1 < 0 上一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到其準(zhǔn)線的距離為3，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例4．已知拋物線的焦點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
題型三：拋物線的綜合問(wèn)題
例5．(多選題)已知拋物線 SKIPIF 1 < 0 的焦點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是拋物線上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的( )
A．點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0
B．若直線 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過(guò)焦點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，則線段 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 軸的距離為 SKIPIF 1 < 0
D．若直線 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過(guò)焦點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 且滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則直線 SKIPIF 1 < 0 的傾斜角為 SKIPIF 1 < 0
題型四：軌跡方程
例6．已知圓的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，若拋物線過(guò)點(diǎn)A(﹣1，0)，B(1，0)，且以圓的切線為準(zhǔn)線，則拋物線的焦點(diǎn)軌跡方程為( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例7．已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是拋物線C上一動(dòng)點(diǎn)，則線段FP的中點(diǎn)Q的軌跡方程是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
題型五：拋物線的幾何性質(zhì)
例8．已知拋物線 SKIPIF 1 < 0 的焦點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，過(guò) SKIPIF 1 < 0 且傾斜角為 SKIPIF 1 < 0 的直線交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)，線段 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 __________.
例9．拋物線 SKIPIF 1 < 0 在第一象限上一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為該拋物線的焦點(diǎn)，則直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率為_(kāi)_____.
題型六：拋物線中的范圍與最值問(wèn)題
例10．已知點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在拋物線 SKIPIF 1 < 0 上，則點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離的最小值是__________．
例11．已知點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為拋物線 SKIPIF 1 < 0 上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為圓 SKIPIF 1 < 0 上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 軸的距離與點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的距離之和最小值為_(kāi)_________.
題型七：焦半徑問(wèn)題
例12．過(guò)拋物線M： SKIPIF 1 < 0 焦點(diǎn)的直線交拋物線M于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)P到M的準(zhǔn)線的距離等于9，則 SKIPIF 1 < 0 __________．
例13．已知拋物線 SKIPIF 1 < 0 的焦點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，準(zhǔn)線為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上一點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)，且滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 _____________________.
【過(guò)關(guān)測(cè)試】
一、單選題
1．過(guò)拋物線 SKIPIF 1 < 0 的焦點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作直線，交拋物線于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ( )
A．1B．2C．3D．4
2．已知拋物線 SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 交該拋物線于 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)．若線段 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，則直線 SKIPIF 1 < 0 斜率為( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．過(guò)拋物線 SKIPIF 1 < 0 的焦點(diǎn)F作傾斜角為 SKIPIF 1 < 0 的弦AB，則 SKIPIF 1 < 0 的值為( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、填空題
4．拋物線 SKIPIF 1 < 0 上的點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到焦點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，則點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的縱坐標(biāo)為_(kāi)_______.
5．拋物線 SKIPIF 1 < 0 的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F作斜率為 SKIPIF 1 < 0 的直線l與拋物線在y軸右側(cè)的部分相交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為H，則△AHF的面積是____.
6．已知點(diǎn)F為拋物線 SKIPIF 1 < 0 的焦點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為_(kāi)_____．
三、解答題
7．已知直線l與拋物線C： SKIPIF 1 < 0 交于A，B兩點(diǎn)．
(1)若直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，求AB的長(zhǎng)；
(2)若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
8．已知 SKIPIF 1 < 0 為拋物線 SKIPIF 1 < 0 的焦點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 為拋物線 SKIPIF 1 < 0 在第一象限上的一點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 軸， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求拋物線 SKIPIF 1 < 0 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知直線 SKIPIF 1 < 0 與拋物線 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)，且以 SKIPIF 1 < 0 為直徑的圓過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，證明：直線 SKIPIF 1 < 0 過(guò)定點(diǎn)．
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程
y2=2px(p＞0)
y2=－2px(p＞0)
x2=2py(p＞0)
x2=－2py(p＞0)
頂點(diǎn)
O(0，0)
范圍
x≥0， SKIPIF 1 < 0
x≤0， SKIPIF 1 < 0
y≥0， SKIPIF 1 < 0
y≤0， SKIPIF 1 < 0
對(duì)稱軸
x軸
y軸
焦點(diǎn)
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
離心率
e=1
準(zhǔn)線方程
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
焦半徑
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0