2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期培優(yōu)講義第04講 空間向量基本定理 （2份打包，原卷版+教師版）

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題型一：基底的判斷
題型二：基底的運(yùn)用
題型三：正交分解
題型四：用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問題
【知識點(diǎn)梳理】
知識點(diǎn)01：空間向量基本定理及樣關(guān)概念的理解
空間向量基本定理：
如果空間中的三個(gè)向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不共面，那么對空間中的任意一個(gè)向量 SKIPIF 1 < 0 ，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 .其中，空間中不共面的三個(gè)向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 組成的集合{ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 }，常稱為空間向量的一組基底.此時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都稱為基向量；如果 SKIPIF 1 < 0 ，則稱 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 在基底{ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 }下的分解式.
知識點(diǎn)2：空間向量的正交分解
單位正交基底：如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用 SKIPIF 1 < 0 表示.
正交分解：把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解.
知識點(diǎn)3：用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問題
用已知向量表示某一向量的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：
(1)用已知向量來表示某一向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．
(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量．
(3)在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立
【典例例題】
題型一：基底的判斷
例1．已知 SKIPIF 1 < 0 是空間的一組基底，則可以與向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 構(gòu)成基底的向量是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 共面，故A，B錯(cuò)誤；
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 共面，故C錯(cuò)誤；
∵ SKIPIF 1 < 0 是基底，∴不存在 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 成立，
∴ SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 不共面，故 SKIPIF 1 < 0 可以與 SKIPIF 1 < 0 構(gòu)成空間的一組基底，故D正確.故選：D.
例2．已知 SKIPIF 1 < 0 是空間的一個(gè)基底，則可以與向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 構(gòu)成空間另一個(gè)基底的向量是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均與向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共面．故選：C
題型二：基底的運(yùn)用
例3．在四面體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，Q是BC的中點(diǎn)，且M為PQ的中點(diǎn)，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)镼是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)镸為PQ的中點(diǎn)，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故選：A.
例4．如圖，M，N分別是四面體OABC的邊OA，BC的中點(diǎn)，E是MN的三等分點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 ，用向量 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 為( )

A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故選：D
題型三：正交分解
例5．設(shè) SKIPIF 1 < 0 為空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基底， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 等于( )
A．7B． SKIPIF 1 < 0 C．23D．11
【答案】B
【解析】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 為空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基底，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．故選：B.
例6．已知 SKIPIF 1 < 0 是空間的一個(gè)單位正交基底，向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是空間的另一個(gè)基底，向量 SKIPIF 1 < 0 在基底 SKIPIF 1 < 0 下的坐標(biāo)為( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】設(shè) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以向量 SKIPIF 1 < 0 在基底 SKIPIF 1 < 0 下的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 .故選：A.
題型四：用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問題
例7．如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點(diǎn)．設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求證EG⊥AB；
(2)求異面直線AG和CE所成角的余弦值．
【解析】(1)證明：連接DE，
因?yàn)榭臻g四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，且E，G分別是AB，CD的中點(diǎn)，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
(2)由題意得： SKIPIF 1 < 0 均為等邊三角形且邊長為1，所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)異面直線AG和CE所成角為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
例8．已知平行六面體 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是邊長為1的正方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】(1)設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由題意得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．在四面體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，Q是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，且M為PQ的中點(diǎn)，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ( )．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)镼是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)镸為PQ的中點(diǎn)，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：D
2．在平行六面體 SKIPIF 1 < 0 中，M為 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的交點(diǎn)，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則下列向量中與 SKIPIF 1 < 0 相等的向量是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】在平行六面體 SKIPIF 1 < 0 中，M為 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的交點(diǎn)，
SKIPIF 1 < 0 .故選：B
3．如圖，在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則線段 SKIPIF 1 < 0 的長度為( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】由圖形易得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 .故選：A
4．已知四面體O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一點(diǎn)，且OG＝3GG1，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 為( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】如圖所示，連接AG1并延長，交BC于點(diǎn)E，則點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，
SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
由題設(shè)， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 .故選：A
二、填空題
5．已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0 的值為____________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】根據(jù)題意ABCD為正四面體， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩兩成 SKIPIF 1 < 0 角， SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．故答案為： SKIPIF 1 < 0
6．如圖，已知空間四邊形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，對角線AC，BD的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，則 SKIPIF 1 < 0 ＝________.(用向量 SKIPIF 1 < 0 表示)
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】設(shè)G為BC的中點(diǎn)，連接EG，F(xiàn)G，
則 SKIPIF 1 < 0 .故答案為： SKIPIF 1 < 0
7．在平行六面體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的余弦值是________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】由題設(shè)，可得如下示意圖，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
三、解答題
8．如圖，在四棱錐 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是邊長為1的正方形，側(cè)棱 SKIPIF 1 < 0 的長為2，且 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，設(shè) SKIPIF 1 < 0 .
(1)將空間向量 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 用 SKIPIF 1 < 0 表示出來；
(2)求線段BM的長.
【解析】1) SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
(2)由題可知因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .易得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的長為 SKIPIF 1 < 0 .
9．已知在平行六面體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的長；
(2)求向量 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 夾角的余弦值.
【解析】(1)在平行六面體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 為空間的一個(gè)基底，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
(2)由(1)知， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以向量 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 夾角的余弦值 SKIPIF 1 < 0 .