2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期培優(yōu)講義第06講 空間向量的應(yīng)用（2份打包，原卷版+教師版）

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題型一：求平面的法向量
題型二：利用向量研究平行問題
題型三：利用向量研究垂直問題
題型四：異面直線所成的角
題型五：線面角
題型六：二面角
題型七：距離問題
【知識點梳理】
知識點一：直線的方向向量和平面的法向量
1、直線的方向向量：
點A是直線l上的一個點，是直線l的方向向量，在直線l上取，取定空間中的任意一點O，則點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，使或，這就是空間直線的向量表達式.
知識點詮釋：
(1)在直線上取有向線段表示的向量，或在與它平行的直線上取有向線段表示的向量，均為直線的方向向量．
(2)在解具體立體幾何題時，直線的方向向量一般不再敘述而直接應(yīng)用，可以參與向量運算或向量的坐標(biāo)運算．
2、平面的法向量定義：
直線l⊥α，取直線l的方向向量，我們稱向量為平面α的法向量．給定一個點A和一個向量，那么過點A，且以向量為法向量的平面完全確定，可以表示為集合.
知識點詮釋：一個平面的法向量不是唯一的，在應(yīng)用時，可適當(dāng)取平面的一個法向量．已知一平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量，可求出該平面的一個法向量．
3、平面的法向量確定通常有兩種方法：
(1)幾何體中有具體的直線與平面垂直，只需證明線面垂直，取該垂線的方向向量即得平面的法向量；
(2)幾何體中沒有具體的直線，一般要建立空間直角坐標(biāo)系，然后用待定系數(shù)法求解，一般步驟如下：
(i)設(shè)出平面的法向量為；
(ii)找出(求出)平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標(biāo)，；
(iii)根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x、y、z的方程；
(iv)解方程組，取其中的一個解，即得法向量．由于一個平面的法向量有無數(shù)個，故可在代入方程組的解中取一個最簡單的作為平面的法向量．
知識點二：用向量方法判定空間中的平行關(guān)系
空間中的平行關(guān)系主要是指：線線平行、線面平行、面面平行．
(1)線線平行
設(shè)直線的方向向量分別是，則要證明，只需證明，即．
(2)線面平行
線面平行的判定方法一般有三種：
①設(shè)直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明，即．
②根據(jù)線面平行的判定定理：要證明一條直線和一個平面平行，可以在平面內(nèi)找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量．
③根據(jù)共面向量定理可知，要證明一條直線和一個平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個不共線向量線性表示即可．
(3)面面平行
①由面面平行的判定定理，要證明面面平行，只要轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線面平行、線線平行即可．
②若能求出平面，的法向量，則要證明，只需證明．
知識點三、用向量方法判定空間的垂直關(guān)系
空間中的垂直關(guān)系主要是指：線線垂直、線面垂直、面面垂直．
(1)線線垂直
設(shè)直線的方向向量分別為，則要證明，只需證明，即．
(2)線面垂直
①設(shè)直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明．
②根據(jù)線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直．
(3)面面垂直
①根據(jù)面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證相應(yīng)的線面垂直、線線垂直．
②證明兩個平面的法向量互相垂直．
知識點四、用向量方法求空間角
(1)求異面直線所成的角
已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點，a，b所成的角為，
則．
知識點詮釋：兩異面直線所成的角的范圍為．兩異面直線所成的角可以通過這兩直線的方向向量的夾角來求得，但二者不完全相等，當(dāng)兩方向向量的夾角是鈍角時，應(yīng)取其補角作為兩異面直線所成的角．
(2)求直線和平面所成的角
設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，
則有．
(3)求二面角
如圖，若于于，平面交于，則為二面角的平面角，.
若分別為面的法向量， 則二面角的平面角或，
即二面角等于它的兩個面的法向量的夾角或夾角的補角．
①當(dāng)法向量與的方向分別指向二面角的內(nèi)側(cè)與外側(cè)時，二面角的大小等于的夾角的大?。?br>②當(dāng)法向量的方向同時指向二面角的內(nèi)側(cè)或外側(cè)時，二面角的大小等于的夾角的補角的大?。?br>知識點五、用向量方法求空間距離
1、求點面距的一般步驟：
①求出該平面的一個法向量；
②找出從該點出發(fā)的平面的任一條斜線段對應(yīng)的向量；
③求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對值再除以法向量的模，即可求出點到平面的距離．
即：點A到平面的距離，其中，是平面的法向量．
2、線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點面距離，用求點面距的方法進行求解．
直線與平面之間的距離：，其中，是平面的法向量．
兩平行平面之間的距離：，其中，是平面的法向量．
3、點線距
設(shè)直線l的單位方向向量為，，，設(shè)，則點P到直線l的距離 .
【典例例題】
題型一：求平面的法向量
例2．在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱的中點，在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，求：
(1)平面的一個法向量；
(2)平面的一個法向量.
【解析】(1)由題意，可得,
連接AC，因為底面為正方形，所以,
又因為平面，平面，所以，且，則AC⊥平面，
∴為平面的一個法向量. (答案不唯一).
(2)設(shè)平面的一個法向量為，
則令，得
∴即為平面的一個法向量.(答案不唯一).
題型二：利用向量研究平行問題
例5．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中.
平面，且，點在棱上，點為中點.若，證明：直線平面.
【解析】如圖所示，以點為坐標(biāo)原點，以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
若，則，，
因為平面，平面，所以，
又因為，，平面，所以平面
平面的其中一個法向量為，所以，即，
又因為平面，所以平面.
題型三：利用向量研究垂直問題
例8．如圖，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是線段的中點.
(1)求證：.
(2)求證：平面.
【解析】(1)因為四邊形為矩形，則，
因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又四邊形為正方形，
以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由，，得，，，，
，，.所以，，
所以，所以，所以
(2)由(1)知，，，.
設(shè)是平面的法向量，則，，
所以，得，取，得，，則.
因為，所以，即與共線.所以平面.
例11．如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
(1)證明：AP⊥BC；
(2)若點M是線段AP上一點，且AM＝3，試證明AM⊥平面BMC.
【解析】(1)由題意知AD⊥BC，如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點，以過O點且平行于BC的直線為x軸，OD，OP所在直線分別為y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz.
則，可得，
∵∴，即AP⊥BC.
(2)由(1)可得，
∵M是AP上一點，且AM＝3，∴，
可得，
設(shè)平面BMC的法向量為，則，
令b＝1，則，即，顯然，故∥，
∴AM⊥平面BMC.
題型四：異面直線所成的角
例15．如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，，為的中點，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如圖，以點為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，
則，，，，，則，，
所以，，所以，
所以，異面直線與所成角的余弦值為.故選：B.
例17．在三棱錐中，平面，，，則直線與夾角的余弦值是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】過B作Bz//AS.以分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.
不妨設(shè)，則，，，.所以,.
設(shè)直線與夾角為，則.故選：C.
題型五：線面角
例23．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面ABCD，M為PC中點．
(1)求證：平面MBD；
(2)若，求直線BM與平面AMD所成角的正弦值．
【解析】(1)連接AC交BD于點O，連接OM，由四邊形ABCD為矩形，
可知O為AC中點，M為PC中點，所以，
又平面，平面，所以平面MBD.
(2)以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則 ，所以，
設(shè)平面的法向量為，則，令，則，
設(shè)直線與平面所成角為，則，
所以直線與平面所成角的正弦值為．
題型六：二面角
例28．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，且直線PB與CD所成角的大小為．

(1)求BC的長；
(2)求二面角的余弦值．
【解析】(1)由于平面ABCD，，所以兩兩垂直，故分別以,,所在直線為,,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
，,0,，,0,，,1,，,0,．
設(shè),,，則,0,，,,．
直線與所成角大小為，
，即，解得或(舍，
,2,，則的長為2；
(2)設(shè)平面的一個法向量為,,．,0,，,1,，,
，令，則，，,1,．
平面的一個法向量為，
，令，則，，,，
由幾何體的特征可知二面角的平面角為銳角，二面角的余弦值為．

例30．如圖，四邊形是正方形，平面，，，，為的中點．

(1)求證：平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦.
【解析】(1)證明：依題意，平面．如圖，以為原點，分別以、、的方向為軸、軸、軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．
依題意，可得，，，，，，．
取的中點，連接．
因為，，，所以，所以．
又因為平面，平面，所以平面．
(2)因為,所以，
又因為平面，平面，所以，且,,
所以平面，
又因為平面，所以，且平面,
所以平面,平面,所以，，，平面，
所以平面，故為平面的一個法向量．設(shè)平面的法向量為，
因為所以即，
令，得，，故．所以，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
例34．如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，，，點F為PB中點，點E在邊BC上移動．
(1)求證： 平面AFC；
(2)若二面角的大小為60°，則CE為何值時，三棱錐的體積為．
【解析】(1)連接，設(shè)，如下圖所示:
四邊形ABCD是矩形，所以是的中點， F為PB中點，所以有，
而平面，平面，由直線與平面平行的判定定理可知: 平面AFC；
(2)建立如上圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，
設(shè)平面的法向量為，，則有
，而PA⊥平面，所以是平面的法向量，
所以有，
，設(shè)，，
三棱錐的體積為，解得，
所以當(dāng)時，三棱錐的體積為．
題型七：距離問題
例38．如圖，設(shè)在直三棱柱中，，，E，F(xiàn)依次為的中點．

(1)求異面直線、EF所成角的余弦值；
(2)求點到平面AEF的距離．
【解析】(1)在直三棱柱中，，以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
，，
所以異面直線所成角的余弦值為．
(2)設(shè)平面AEF的一個法向量為，而，
則，令，得，又，
于是．所以點到平面AEF的距離為．
例40．如圖，正方體的棱長為2，點為的中點．
(1)求點到平面的距離為；
(2)求到平面的距離．
【解析】(1)以為原點，所在的直線分別為軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則， 所以，
設(shè)平面的一個法向量為，則，令，
所以平面所的法向量為，又
所以點到平面的距離.
(2)由(1)可得平面的法向量為，
∵，∴，，
，∴平面， 所以到平面的距離可以轉(zhuǎn)化為點到平面的距離，
由，所以到平面的距離為.
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．已知直線l的一個方向向量為，平面的一個法向量為，若，則＝( )
A．﹣3B．3C．6D．9
【答案】B
【解析】因為，所以，解得，所以.故選：B
2.正方體的棱長為1，則平面與平面的距離為( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由正方體的性質(zhì)：∥,∥，，，
且平面，平面，平面，平面，
所以平面平面，則兩平面間的距離可轉(zhuǎn)化為點B到平面的距離．
以為坐標(biāo)原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
由正方體的棱長為1，所以，，，，，
所以，，，．連接，
由，，
所以，且，可知平面，
得平面的一個法向量為，則兩平面間的距離：
．故選：D.
3．已知平面α的一個法向量，點在α內(nèi)，則到α的距離為( )
A．10 B．3 C． D．
【答案】D
【解析】由題意，得，又知平面的一個法向量，
則到平面的距離，故選：D.
4．如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點，=λ，若異面直線D1E和A1F所成角的余弦值為，則異面直線A1F與BE所成角θ的余弦值為( )

A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如圖，以D為原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
因為正方體的棱長為2，則A1(2，0，2)，D1(0，0，2)，E(0，2，1)，A(2，0，0).所以，
又
所以，整理得到，解得(舍去),
所以，,所以，故cs θ=，
故選：B.
5．在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，為線段EF上的一動點，則直線與所成角的余弦值的取值范圍是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，
所以，，且，則，，所以，當(dāng)，夾角余弦值最小為，當(dāng)，夾角余弦值最大為，所以直線與所成角的余弦值的取值范圍是.故選：C
二、填空題
6．矩形ABCD中，，平面ABCD，且，則P到BC的距離為__________．
【答案】
【解析】方法一：如圖，因為平面,平面,所以,
又因為是矩形，所以,因為,所以平面,
因為平面，所以,所以為到的距離.
在矩形中，因為，所以,
在直角三角形中，由勾股定理得,
所以到的距離為.故答案為：.
方法二：建立如圖所示坐標(biāo)系，在矩形中，，
所以，所以
,所以,所以為到的距離.
,所以到的距離為.故答案為：
7．如圖，已知平面，，，，，.若，，則與平面所成角的余弦值為__________.
【答案】
【解析】依題意，以為坐標(biāo)原點，分別以，，為軸、軸、軸的正方向，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
由已知可得，，，，，，
則，，.設(shè)是平面的法向量，
則，即，令，則，，所以是平面的一個法向量.
設(shè)與平面所成的角為，.
因為，，，則，
所以.因為，所以，
所以與平面所成角的余弦值為.故答案為：.
三、解答題
8．如圖，四棱錐中，平面，，，，M為棱上一點.

(1)若M為的中點，證明：平面；
(2)若，且平面，求直線與平面所成角的正弦值.
【解析】(1)取中點，連接和，
因為，，且為的中點，所以且，
所以四邊形為平行四邊形，則，
因為平面，平面，所以平面，
因為M，N分別為的中點，所以，
因為平面，平面，所以平面，
又因為平面，，所以平面平面，
因為平面，所以平面
(2)取中點，作交于，連接，
因為，所以，
因為平面，平面，所以，
因為，所以，
以為坐標(biāo)原點，為正交基底建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
、、、、.所以，.
設(shè)平面的法向量，又因為平面，
所以，取，，，則.
又因為，所以.
所以直線和平面所成角正弦值為.
9．如圖：在四棱錐中，底面是正方形，，，點在上，且.

(1)求證：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)證明：在線段上存在點，使∥平面，并求線段的長.
【解析】(1)證明：，，
，同理
又，平面ABCD平面.
(2)如圖，以為原點，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則
平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為
，由有： ，取 ，
設(shè)二面角的平面角為，由圖形可知，，
二面角的余弦值為.
(3)假設(shè)存在點，使∥平面，令，，
，由∥平面，，，即，解得
存在點，為的中點，即.