2021-2022學年天津市河北區(qū)九年級（上）期中數(shù)學試卷（解析版）

這是一份2021-2022學年天津市河北區(qū)九年級（上）期中數(shù)學試卷（解析版），共16頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內容，歡迎下載使用。
?2017-2018學年天津市河北區(qū)九年級（上）期中數(shù)學試卷
　
一、選擇題：共10小題，每小題3分，共30分．
1．（3分）二次函數(shù)y=3x2的對稱軸是（　　）
A．x=3 B．x=﹣3 C．x=0 D．y=0
2．（3分）在拋物線y=x2+2x﹣1上的一個點是（　?。?br /> A．（1，2） B．（0，1） C．（0，0） D．（﹣1，2）
3．（3分）下列圖形中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
4．（3分）二次函數(shù)y=﹣（x﹣1）2+5的頂點坐標是（　　）[來源:Z.xx.k.Com]
A．（﹣1，5） B．（1，5） C．（﹣1，﹣5） D．（1，﹣5）
5．（3分）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，已知∠BCE=70°，則∠A的度數(shù)是（　　）

A．110° B．70° C．55° D．35°
6．（3分）如圖，在⊙O中，弦AB的長為24圓心O到AB的距離為5，則⊙O的半徑為（　　）

A．12 B．12 C．13 D．12
7．（3分）已知圓的直徑為10cm，如果圓心與直線的距離是6cm，那么直線和圓的公共點的個數(shù)為（　?。?br /> A．0 B．1 C．2 D．3
8．（3分）以原點為中心，把點A（3，6）逆時針旋轉90°，得到點B，則點B的坐標為（　　）
A．（6，3） B．（﹣3，﹣6） C．（6，﹣3） D．（﹣6，3）
9．（3分）下列說法中，正確的個數(shù)為：①在等圓中，等弦對等弧；②直徑是圓的對稱軸；③平分弦的直徑垂直于這條弦．（　?。?br /> A．0 B．1 C．2 D．3
10．（3分）已知兩點M（6，y1），N（2，y2）均在拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）上，點P（x0，y0）是拋物線的頂點，若y0≤y2＜y1，則x0的取值范圍是（　　）
A．x0＜4 B．x0＞﹣2 C．﹣6＜x0＜﹣2 D．﹣2＜x0＜2
　
二、填空題：共8小題，每小題3分，共24分．
11．（3分）平面直角坐標系中，點P（﹣2，5）關于原點的對稱點坐標為　 ?。?br /> 12．（3分）二次函數(shù)y=x2+6x﹣7與x軸的交點坐標為　 　．
13．（3分）已知二次函數(shù)y=﹣2x2+x+4，當x＜　 　時，y隨x的增大而增大．
14．（3分）在“線段、等腰三角形、四邊形、圓”這幾個圖形中，中心對稱圖形是　 　．
15．（3分）如圖，PA、PB分別與⊙O相切于A、B兩點，若∠P=52°，則∠C的度數(shù)為　 ?。?br />
16．（3分）已知⊙O的直徑為10，圓心O（4，5），則⊙O截y軸所得的弦長為　 ?。?br /> 17．（3分）已知點P（m，1）與點P′（5，n）關于點A（﹣2，3）對稱，則m﹣n=　 ?。?br /> 18．（3分）定義[a，b，c]為函數(shù)y=ax2+bx+c的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函數(shù)的一些結論：
①當m=﹣3時，函數(shù)圖象的頂點坐標是（，）；
②當m＞0時，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長度大于；
③當m＜0時，函數(shù)在時，y隨x的增大而減小；
④當m≠0時，函數(shù)圖象經過x軸上一個定點．
其中正確的結論有　 ?。ㄖ恍杼顚懶蛱枺?br /> 　
三、解答題：共46分．
19．（5分）已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0），若自變量x一函數(shù)值y的部分對應值如表所示，求拋物線的解析式．
x
…
﹣1
0
3
…
y1=ax2+bx+c
…
0

0
…
20．（6分）如圖，已知△ABC是等腰三角形，AD為中線，⊙O的圓心在AD上且與腰AB相切于點E，求證：AC是⊙O的切線．

21．（7分）如圖，△ABD，△ACE都是等邊三角形，求證：BE=DC．

22．（8分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（6，0），B（0，6），點P為線段AB上的動點，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，當矩形PCOD面積最大時，求點P的坐標．

23．（10分）如圖，AB、BC、CD分別與⊙O相切于E、F、G三點，且AB∥CD，OB=6cm，OC=8cm．
（Ⅰ）求證：OB⊥OC；
（Ⅱ）求CG的長．

24．（10分）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+2ax﹣3a與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側）．
（Ⅰ）求拋物線的對稱軸及線段AB的長；
（Ⅱ）如拋物線的頂點為P，若∠APB=120°，求頂點P的坐標及a的值；
（Ⅲ）若a＞0，且在拋物線上存在點N，使得∠ANB=90°，是直接寫出a的取值范圍．
　

2017-2018學年天津市河北區(qū)九年級（上）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
　
一、選擇題：共10小題，每小題3分，共30分．
1．（3分）二次函數(shù)y=3x2的對稱軸是（　?。?br /> A．x=3 B．x=﹣3 C．x=0 D．y=0
【解答】解：∵a=3，b=0，
∴二次函數(shù)y=3x2的對稱軸是直線x=﹣=﹣=0．
故選：C．
　
2．（3分）在拋物線y=x2+2x﹣1上的一個點是（　?。?br /> A．（1，2） B．（0，1） C．（0，0） D．（﹣1，2）
【解答】解：
當x=1時，y=1+2﹣1=2，故意點（1，2）在拋物線上，故A正確；
當x=0時，y=﹣1≠1，故點（0，1）和（0，0）不在拋物線上，故B、C不正確；
當x=﹣1時，y=1﹣2﹣1=﹣2≠2，故點（﹣1，2）不在拋物線上，故D不正確；
故選：A．
　
3．（3分）下列圖形中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【解答】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；
B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；
C、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意；
D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意．
故選：C．
　
4．（3分）二次函數(shù)y=﹣（x﹣1）2+5的頂點坐標是（　?。?br /> A．（﹣1，5） B．（1，5） C．（﹣1，﹣5） D．（1，﹣5）
【解答】解：因為y=﹣（x﹣1）2+5是拋物線的頂點式，
根據頂點式的坐標特點，頂點坐標為（1，5）．
故選：B．
　
5．（3分）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，已知∠BCE=70°，則∠A的度數(shù)是（　?。?br />
A．110° B．70° C．55° D．35°
【解答】解：∵四邊形ABCD內接于⊙O，
∴∠A=∠BCE=70°，
故選：B．
　
6．（3分）如圖，在⊙O中，弦AB的長為24圓心O到AB的距離為5，則⊙O的半徑為（　?。?br />
A．12 B．12 C．13 D．12
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AC=BC=AB=12，
則OA==13，
故選：C．
　
7．（3分）已知圓的直徑為10cm，如果圓心與直線的距離是6cm，那么直線和圓的公共點的個數(shù)為（　?。?br /> A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：根據題意，可知圓的半徑為5cm．
因為圓心到直線l的距離為6cm，
d＞r，[來源:Zxxk.Com]
直線和圓相離，
所以直線和圓的公共點的個數(shù)為0，
故選：A．
　
8．（3分）以原點為中心，把點A（3，6）逆時針旋轉90°，得到點B，則點B的坐標為（　?。?br /> A．（6，3） B．（﹣3，﹣6） C．（6，﹣3） D．（﹣6，3）
【解答】解：如圖所示，建立平面直角坐標系，點B的坐標為（﹣6，3）．

故選：D．
　
9．（3分）下列說法中，正確的個數(shù)為：①在等圓中，等弦對等?。虎谥睆绞菆A的對稱軸；③平分弦的直徑垂直于這條弦．（　?。來源:Z。xx。k.Com]
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：在等圓中，等弦對的弧不一定是等弧，①錯誤；
直徑所在的直線是圓的對稱軸，②錯誤；
平分弦（不是直徑）的直徑垂直于這條弦，③錯誤；
故選：A．
　
10．（3分）已知兩點M（6，y1），N（2，y2）均在拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）上，點P（x0，y0）是拋物線的頂點，若y0≤y2＜y1，則x0的取值范圍是（　　）[來源:學科網ZXXK]
A．x0＜4 B．x0＞﹣2 C．﹣6＜x0＜﹣2 D．﹣2＜x0＜2
【解答】解：∵點C（x0，y0）是拋物線的頂點，y1＞y2≥y0，
∴拋物線有最小值，函數(shù)圖象開口向上，
∴a＞0，36a+6b+c＞4a+2b+c，
∴8a＞﹣b，
∴﹣＜=4，
∴x0＜4．
故選：A．
　
二、填空題：共8小題，每小題3分，共24分．
11．（3分）平面直角坐標系中，點P（﹣2，5）關于原點的對稱點坐標為　（2，﹣5）　．
【解答】解：點P（﹣2，5）關于原點的對稱點坐標為（2，﹣5），
故答案為：（2，﹣5）．
　
12．（3分）二次函數(shù)y=x2+6x﹣7與x軸的交點坐標為?。ī?，0）和（1，0）　．
【解答】解：當y=0時，有x2+6x﹣7=0，即（x+7）（x﹣1）=0，
解得：x1=﹣7，x2=1，
∴二次函數(shù)y=x2+6x﹣7與x軸的交點坐標為（﹣7，0）和（1，0）．
故答案為：（﹣7，0）和（1，0）．
　
13．（3分）已知二次函數(shù)y=﹣2x2+x+4，當x＜　　時，y隨x的增大而增大．
【解答】解：
∵y=﹣2x2+x+4=﹣2（x﹣）2+，
∴拋物線開口向下，對稱軸為x=，
∴當x＜時，y隨x的增大而增大，
故答案為：．
　
14．（3分）在“線段、等腰三角形、四邊形、圓”這幾個圖形中，中心對稱圖形是　線段、圓　．
【解答】解：在“線段、等腰三角形、四邊形、圓”這幾個圖形中，中心對稱圖形是：線段、圓．
故答案為：線段、圓．
　
15．（3分）如圖，PA、PB分別與⊙O相切于A、B兩點，若∠P=52°，則∠C的度數(shù)為　64°?。?br />
【解答】解：∵PA、PB分別與⊙O相切于A、B兩點，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=180°﹣∠P=180°﹣52°=128°，
∴∠C=∠AOB=×128°=64°．
故答案為64°．
　
16．（3分）已知⊙O的直徑為10，圓心O（4，5），則⊙O截y軸所得的弦長為　6　．
【解答】解：
∵⊙O的直徑為10，
∴OA=5，
∵OD=4，
∴AD=，
∴⊙O截y軸所得的弦長為6，
故答案為：6．
　
17．（3分）已知點P（m，1）與點P′（5，n）關于點A（﹣2，3）對稱，則m﹣n=　﹣14　．
【解答】解：∵點P（m，1）與點P′（5，n）關于點A（﹣2，3）對稱，
∴=﹣2， =3，
∴m=﹣9，n=5，
則m﹣n=﹣9﹣5=﹣14．
故答案為﹣14．
　
18．（3分）定義[a，b，c]為函數(shù)y=ax2+bx+c的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函數(shù)的一些結論：
①當m=﹣3時，函數(shù)圖象的頂點坐標是（，）；
②當m＞0時，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長度大于；
③當m＜0時，函數(shù)在時，y隨x的增大而減小；
④當m≠0時，函數(shù)圖象經過x軸上一個定點．
其中正確的結論有?、佗冖堋。ㄖ恍杼顚懶蛱枺?br /> 【解答】解：因為函數(shù)y=ax2+bx+c的特征數(shù)為[2m，1﹣m，﹣1﹣m]；
①當m=﹣3時，y=﹣6x2+4x+2=﹣6（x﹣）2+，頂點坐標是（，）；此結論正確；
②當m＞0時，令y=0，有2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）=0，解得x=，x1=1，x2=﹣﹣，
|x2﹣x1|=+＞，所以當m＞0時，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長度大于，此結論正確；
③當m＜0時，y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m） 是一個開口向下的拋物線，其對稱軸是：，在對稱軸的右邊y隨x的增大而減小．因為當m＜0時， =﹣＞，即對稱軸在x=右邊，因此函數(shù)在x=右邊先遞增到對稱軸位置，再遞減，此結論錯誤；
④當x=1時，y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）=2m+（1﹣m）+（﹣1﹣m）=0 即對任意m，函數(shù)圖象都經過點（1，0）那么同樣的：當m=0時，函數(shù)圖象都經過同一個點（1，0），當m≠0時，函數(shù)圖象經過同一個點（1，0），故當m≠0時，函數(shù)圖象經過x軸上一個定點此結論正確．
根據上面的分析，①②④都是正確的，③是錯誤的．
故答案為：①②④．
　
三、解答題：共46分．
19．（5分）已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0），若自變量x一函數(shù)值y的部分對應值如表所示，求拋物線的解析式．
x
…
﹣1
0
3
…
y1=ax2+bx+c
…
0

0
…
【解答】解：由題意拋物線與x軸交于點（﹣1，0），（3，0），設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣3），
把（0，）代入，得﹣3a=，解得a=﹣，
所以拋物線的解析式為y=﹣（x+1）（x﹣3），
即y=﹣x2+x+．
　
20．（6分）如圖，已知△ABC是等腰三角形，AD為中線，⊙O的圓心在AD上且與腰AB相切于點E，求證：AC是⊙O的切線．

【解答】證明：過點O作OE⊥AC于點E，連結OD，OA，
∵AB與⊙O相切于點D，
∴AB⊥OD，
∵△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點，
∴AO是∠BAC的平分線，
∴OE=OD，即OE是⊙O的半徑，
∵AC經過⊙O的半徑OE的外端點且垂直于OE，
∴AC是⊙O的切線．

　
21．（7分）如圖，△ABD，△ACE都是等邊三角形，求證：BE=DC．

【解答】證明：∵△ABD、△AEC都是等邊三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°，
∴∠DAC=∠BAC+60°，
∠BAE=∠BAC+60°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴BE=DC．
　
22．（8分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（6，0），B（0，6），點P為線段AB上的動點，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，當矩形PCOD面積最大時，求點P的坐標．

【解答】解：設點P的橫坐標為t，則OD=PC=t，
∵OA=6、OB=6，OA⊥OB，
∴∠B=30°，PC⊥OB，
∴BC===t，
∴OC=OB﹣BC=6﹣t，[來源:學科網]
則S矩形OCPD=OD?OC=t（6﹣t）=﹣t2+6t=﹣（t﹣3）2+9，
∴當t=3時，S矩形OCPD取得最大值，
當t=3時，OC=6﹣3=3，
所以點P的坐標為（3，3）．
　
23．（10分）如圖，AB、BC、CD分別與⊙O相切于E、F、G三點，且AB∥CD，OB=6cm，OC=8cm．
（Ⅰ）求證：OB⊥OC；
（Ⅱ）求CG的長．

【解答】解：（Ⅰ）連接OF；根據切線長定理得：BE=BF，CF=CG，∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠OBE+∠OCF=90°，
∴∠BOC=90°；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠BOC=90°．
∵OB=6cm，OC=8cm，
∴由勾股定理得到：BC==10cm，
∴OF=4.8cm．
∴BF=3.6cm，
∵CF、CG分別與⊙O相切于F、G，
∴CG=CF=6.4cm．

　
24．（10分）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+2ax﹣3a與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側）．
（Ⅰ）求拋物線的對稱軸及線段AB的長；
（Ⅱ）如拋物線的頂點為P，若∠APB=120°，求頂點P的坐標及a的值；
（Ⅲ）若a＞0，且在拋物線上存在點N，使得∠ANB=90°，是直接寫出a的取值范圍．
【解答】解：（Ⅰ）令y=0得：ax2+2ax﹣3a=0，即a（x+3）（x﹣1）=0，
解得：x=﹣3或x=1，
∴A（﹣3，0）、B（1，0）．
∴拋物線的對稱軸為直線x=﹣1，AB=4．

（Ⅱ）如圖1所示：

設拋物線的對稱軸與x軸交于點H．
∵∠APB=120°，AB=4，PH在對稱軸上，
∴AH=2，∠APH=60°．
∴PH=．
∴點P的坐標為（﹣1，±）．
將點P的坐標代入得：±=﹣4a，解得a=±．

（Ⅲ）如圖2所示：以AB為直徑作⊙H．

∵當∠ANB=90°，
∴點N在⊙H上．
∵點N在拋物線上，
∴點N為拋物線與⊙H的交點．
∴點P在圓上或點P在圓外．
∴HP≥2．
∵將x=﹣1代入得：y=﹣4a．
∴HP=4a．
∴4a≥2，解得a≥．
∴a的取值范圍是a≥．