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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第三冊8.1 成對數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系學(xué)案
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這是一份高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第三冊8.1 成對數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系學(xué)案,共14頁。
散點(diǎn)圖可以說明變量間有無線性相關(guān)關(guān)系,但無法量化兩個變量之間的相關(guān)程度的大小,更不能精確地說明成對樣本數(shù)據(jù)之間關(guān)系的密切程度,那么我們?nèi)绾尾拍軐ふ业竭@樣一個合適的量來對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度進(jìn)行定量分析呢?
問題 若樣本系數(shù)r=0.97,則成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度如何?
提示 r=0.97,表明成對樣本數(shù)據(jù)正線性相關(guān)程度很強(qiáng).
1.相關(guān)系數(shù)r的計算
注意:相關(guān)系數(shù)是研究變量之間線性相關(guān)程度的量
假設(shè)兩個隨機(jī)變量的數(shù)據(jù)分別為(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),對數(shù)據(jù)作進(jìn)一步的“標(biāo)準(zhǔn)化處理”處理,用sx=eq \r(\f(1,n)\(∑,\s\up10 (n),\s\d10(i=1)) (xi-\(x,\s\up6(-)))2),sy=eq \r(\f(1,n)\(∑,\s\up10 (n),\s\d10(i=1)) (yi-\(y,\s\up6(-)))2)分別除xi-eq \(x,\s\up6(-))和yi-eq \(y,\s\up6(-)) (i=1,2,…,n,eq \(x,\s\up6(-))和eq \(y,\s\up6(-))分別為x1,x2,…,xn和y1,y2,…,yn的均值),得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1-\(x,\s\up6(-)),sx),\f(y1-\(y,\s\up6(-)),sy))),eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2-\(x,\s\up6(-)),sx),\f(y2-\(y,\s\up6(-)),sy))),…,eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(xn-\(x,\s\up6(-)),sx),\f(yn-\(y,\s\up6(-)),sy))),為簡單起見,把上述“標(biāo)準(zhǔn)化”處理后的成對數(shù)據(jù)分別記為(x1′,y1′),(x2′,y2′),…,(xn′,yn′),則變量x和變量y的樣本相關(guān)系數(shù)r的計算公式如下:
r=eq \f(1,n)(x1′y1′+x2′y2′+…+xn′yn′)
=eq \f(\(∑,\s\up10(n),\s\d10(i=1)) (xi-\(x,\s\up6(-)))(yi-\(y,\s\up6(-))),\r(\(∑,\s\up10(n),\s\d10(i=1)) (xi-\(x,\s\up6(-)))2)\r(\(∑,\s\up10(n),\s\d10(i=1)) (yi-\(y,\s\up6(-)))2)).
2.相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)
(1)當(dāng)r>0時,稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān);當(dāng)r0表明兩個變量負(fù)相關(guān)
B.r>1表明兩個變量正相關(guān)
C.r只能大于零
D.eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(r))越接近于0,兩個變量相關(guān)關(guān)系越弱
解析 因r>0表明兩個變量正相關(guān),故A錯誤;又因 r∈[-1,1],故B,C錯誤;兩個變量之間的相關(guān)系數(shù)r的絕對值越接近于1,表明兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng), r的絕對值越接近于0,表示兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān),故D正確.
答案 D
2.(多選題)下面的各圖中,散點(diǎn)圖與相關(guān)系數(shù)r符合的是 ( )
解析 因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)r的絕對值越接近1,線性相關(guān)程度越高,且r>0時正相關(guān),r<0時負(fù)相關(guān),故觀察各選項(xiàng),易知B不符合,A,C,D均符合.故選ACD.
答案 ACD
[微思考]
當(dāng)r=1或-1時,兩個變量的相關(guān)性如何?
提示 當(dāng)r=1時,兩個變量完全正相關(guān);當(dāng)r=-1時,兩個變量完全負(fù)相關(guān).
題型一 線性相關(guān)性的檢驗(yàn)
【例1】 現(xiàn)隨機(jī)抽取了某中學(xué)高一10名在校學(xué)生,他們?nèi)雽W(xué)時的數(shù)學(xué)成績x(分)與入學(xué)后第一次考試的數(shù)學(xué)成績y(分)如下:
請問:這10名學(xué)生的兩次數(shù)學(xué)成績是否具有線性相關(guān)關(guān)系?
解 eq \(x,\s\up6(-))=eq \f(1,10)(120+108+…+99+108)=107.8,
eq \(y,\s\up6(-))=eq \f(1,10)(84+64+…+57+71)=68,
eq \(∑,\s\up6(10),\s\d4(i=1))xeq \\al(2,i)=1202+1082+…+992+1082=116 584,
eq \(∑,\s\up6(10),\s\d4(i=1))yeq \\al(2,i)=842+642+…+572+712=47 384,
eq \(∑,\s\up6(10),\s\d4(i=1))xiyi=120×84+108×64+…+99×57+108×71
=73 796.
所以相關(guān)系數(shù)為r=
eq \f(73 796-10×107.8×68,\r((116 584-10×107.82)(47 384-10×682)))
≈0.750 6.
由此可看出這10名學(xué)生的兩次數(shù)學(xué)成績具有線性相關(guān)關(guān)系.
規(guī)律方法 利用相關(guān)系數(shù)r判斷線性相關(guān)關(guān)系,需要應(yīng)用公式計算出r的值,由于數(shù)據(jù)較大,需要借助計算器.
【訓(xùn)練1】 假設(shè)關(guān)于某種設(shè)備的使用年限x(年)與所支出的維修費(fèi)用y(萬元)有如下統(tǒng)計資料:
已知eq \(∑,\s\up6(5),\s\d4(i=1))xeq \\al(2,i)=90,eq \(∑,\s\up6(5),\s\d4(i=1))yeq \\al(2,i)=140.78,eq \(∑,\s\up6(5),\s\d4(i=1))xiyi=112.3.
(1)求eq \(x,\s\up6(-)),eq \(y,\s\up6(-));
(2)對x,y進(jìn)行線性相關(guān)性檢驗(yàn).
解 (1)eq \(x,\s\up6(-))=eq \f(2+3+4+5+6,5)=4.
eq \(y,\s\up6(-))=eq \f(2.2+3.8+5.5+6.5+7.0,5)=5.
(2) eq \(∑,\s\up6(5),\s\d4(i=1))xiyi-5eq \a\vs4\al(\(x,\s\up6(-)) )eq \a\vs4\al(\(y,\s\up6(-)) )=112.3-5×4×5=12.3,
eq \(∑,\s\up6(5),\s\d4(i=1))xeq \\al(2,i)-5eq \(x,\s\up6(-))2=90-5×42=10,
eq \(∑,\s\up6(5),\s\d4(i=1))yeq \\al(2,i)-5eq \(y,\s\up6(-))2=140.78-125=15.78,
所以r=eq \f(12.3,\r(10×15.78))≈0.979.
所以x與y之間具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.
題型二 判斷線性相關(guān)的強(qiáng)弱
【例2】 維尼綸纖維的耐熱水性能的好壞可以用指標(biāo)“縮醛化度”y來衡量,這個指標(biāo)越高,耐水性能也越好,而甲醛濃度是影響縮醛化度的重要因素,在生產(chǎn)中常用甲醛濃度x(克/升)去控制這一指標(biāo),為此必須找出它們之間的關(guān)系,現(xiàn)安排一批實(shí)驗(yàn),獲得如下數(shù)據(jù).
求樣本相關(guān)系數(shù)r并判斷它們的相關(guān)程度.
解 列表如下
eq \(x,\s\up6(-))=eq \f(168,7)=24,eq \(y,\s\up6(-))=eq \f(202.94,7),
r=eq \f(\(∑,\s\up10(7),\s\d10(i=1))xiyi-7\a\vs4\al(\(x,\s\up6(-)) )\a\vs4\al(\(y,\s\up6(-)) ),\r(\(∑,\s\up10(7),\s\d10(i=1))xeq \\al(2,i)-7\(x,\s\up6(-))2)\r(\(∑,\s\up10(7),\s\d10(i=1))yeq \\al(2,i)-7\(y,\s\up6(-))2))
=eq \f(4 900.16-7×24×\f(202.94,7),\r(4 144-7×242)\r(5 892.013 6-7×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(202.94,7)))\s\up12(2)))
≈0.96.
由此可知,甲醛濃度與縮醛化度之間有很強(qiáng)的正線性相關(guān)關(guān)系.
規(guī)律方法 當(dāng)相關(guān)系數(shù)|r|越接近1時,兩個變量的相關(guān)關(guān)系越強(qiáng),當(dāng)相關(guān)系數(shù)|r|越接近0時,兩個變量的相關(guān)關(guān)系越弱.
【訓(xùn)練2】 以下是收集到的新房屋的銷售價格y(萬元)和房屋的大小x(m2)的數(shù)據(jù).
(1)畫出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;
(2)求相關(guān)系數(shù)r,并作出評價.
解 (1)圖略.
(2)列表如下:
eq \(x,\s\up6(-))=eq \f(545,5)=109,eq \(y,\s\up6(-))=eq \f(116,5)=23.2,
r=eq \f(\(∑,\s\up10(5),\s\d10(i=1))xiyi-5\a\vs4\al(\(x,\s\up6(-)) )\a\vs4\al(\(y,\s\up6(-)) ),\r(\(∑,\s\up10(5),\s\d10(i=1))xeq \\al(2,i)-5\(x,\s\up6(-))2)\r(\(∑,\s\up10(5),\s\d10(i=1))yeq \\al(2,i)-5\(y,\s\up6(-))2))
=eq \f(12 952-5×109×23.2,\r(60 975-5×1092)\r(2 756.8-5×23.22))
=eq \f(308,\r(1 570)×\r(65.6))≈0.96,
由此可知,新房屋的銷售價格和房屋的大小之間有很強(qiáng)的正線性相關(guān)關(guān)系.
一、素養(yǎng)落地
1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).
2.判斷變量之間的線性相關(guān)關(guān)系,一般用散點(diǎn)圖,但在作圖中,由于存在誤差,有時很難判斷這些點(diǎn)是否分布在一條直線的附近,從而就很難判斷兩個變量之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系,此時就可利用線性相關(guān)系數(shù)來判斷.
3.|r|越接近1,它們的散點(diǎn)圖越接近一條直線,兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系越強(qiáng).
二、素養(yǎng)訓(xùn)練
1.兩個變量之間的相關(guān)程度越低,則其線性相關(guān)系數(shù)的數(shù)值( )
A.越小 B.越接近1
C.越接近0 D.越接近-1
解析 由相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)知選C.
答案 C
2.給定y與x的一組樣本數(shù)據(jù),求得相關(guān)系數(shù)r=-0.690,則( )
A.y與x線性不相關(guān) B.y與x正線性相關(guān)
C.y與x負(fù)線性相關(guān) D.以上都不對
解析 因?yàn)閞=-0.6900,則x增大時,y也相應(yīng)增大;
②若|r|越趨近于1,則x與y的線性相關(guān)程度越強(qiáng);
③若r=1或r=-1,則x與y的關(guān)系完全對應(yīng)(有函數(shù)關(guān)系),在散點(diǎn)圖上各個散點(diǎn)均在一條直線上.
其中正確的有( )
A.①② B.②③
C.①③ D.①②③
解析 根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義,變量之間的相關(guān)關(guān)系可利用相關(guān)系數(shù)r進(jìn)行判斷:
當(dāng)r為正數(shù)時,表示變量x,y正相關(guān);
當(dāng)r為負(fù)數(shù)時,表示兩個變量x,y負(fù)相關(guān);
|r|越接近于1,相關(guān)程度越強(qiáng);
|r|越接近于0,相關(guān)程度越弱.故可知①②③正確.
答案 D
3.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對A,B兩變量進(jìn)行線性相關(guān)試驗(yàn),并分別求得相關(guān)系數(shù)r如表:
則這四位同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果能體現(xiàn)出A,B兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性的是( )
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
解析 由相關(guān)系數(shù)的意義可知,相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1,相關(guān)性越強(qiáng),結(jié)合題意可知,丁的線性相關(guān)性最強(qiáng),故選D.
答案 D
4.對于相關(guān)系數(shù)r,下列結(jié)論正確的個數(shù)為( )
①r∈[-1,-0.75]時,兩變量負(fù)相關(guān)很強(qiáng)
②r∈[0.75,1]時,兩變量正相關(guān)很強(qiáng)
③r∈(-0.75,-0.3]或[0.3,0.75)時,兩變量相關(guān)性一般
④r=0.1時,兩變量相關(guān)性很弱
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 由相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)可知4個結(jié)論都正確.
答案 D
5.對四對變量y和x進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn),已知n是觀測值組數(shù),r是相關(guān)系數(shù),且已知:
①n=7,r=0.953 3;②n=15,r=0.301 2;
③n=17,r=0.499 1;④n=13,r=0.995 0.
則變量y和x線性相關(guān)程度最高的兩組是( )
A.①② B.①④
C.②④ D.③④
解析 相關(guān)系數(shù)r的絕對值越接近于1,變量x,y的線性相關(guān)程度越高.
答案 B
二、填空題
6.已知某個樣本點(diǎn)中的變量x,y線性相關(guān),相關(guān)系數(shù)r>0,平移坐標(biāo)系,則在以(eq \(x,\s\up6(-)),eq \(y,\s\up6(-)))為坐標(biāo)原點(diǎn)的坐標(biāo)系下的散點(diǎn)圖中,大多數(shù)的點(diǎn)都落在第__________象限.
解析 因?yàn)閞>0,
所以大多數(shù)的點(diǎn)都落在第一、三象限.
答案 一、三
7.若已知eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i=1)) (yi-eq \(y,\s\up6(-)))2是eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i=1)) (xi-eq \(x,\s\up6(-)))2的4倍,eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i=1)) (xi-eq \(x,\s\up6(-)))(yi-eq \(y,\s\up6(-)))是eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i=1)) (xi-eq \(x,\s\up6(-)))2的1.5倍,則相關(guān)系數(shù)r的值為__________.
解析 由r=eq \f(\(∑,\s\up10(n),\s\d10(i=1)) (xi-\(x,\s\up6(-)))(yi-\(y,\s\up6(-))),\r(\(∑,\s\up10(n),\s\d10(i=1)) (xi-\(x,\s\up6(-)))2)\r(\(∑,\s\up10(n),\s\d10(i=1)) (yi-\(y,\s\up6(-)))2)),得r=eq \f(3,4).
答案 eq \f(3,4)
8.部門所屬的10個工業(yè)企業(yè)生產(chǎn)性固定資產(chǎn)價值x與工業(yè)增加值y資料如下表(單位:百萬元):
根據(jù)上表資料計算的相關(guān)系數(shù)為__________.
解析 eq \(x,\s\up6(-))=eq \f(3+3+5+6+6+7+8+9+9+10,10)=6.6.
eq \(y,\s\up6(-))=eq \f(15+17+25+28+30+36+37+42+40+45,10)=31.5.
∴r=eq \f(\(∑,\s\up10(10),\s\d10(i=1)) (xi-\(x,\s\up6(-)))(yi-\(y,\s\up6(-))),\r(\(∑,\s\up10(10),\s\d10(i=1)) (xi-\(x,\s\up6(-)))2\(∑,\s\up10(10),\s\d10(i=1)) (yi-\(y,\s\up6(-)))2))≈0.991 8.
答案 0.991 8
三、解答題
9.5個學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績?nèi)绫恚?br>試用散點(diǎn)圖和相關(guān)系數(shù)r判斷它們是否有線性相關(guān)關(guān)系,若有,是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)?
解 散點(diǎn)圖法:涉及兩個變量:數(shù)學(xué)成績與物理成績,可以以數(shù)學(xué)成績?yōu)樽宰兞浚疾煲蜃兞课锢沓煽兊淖兓厔荩詘軸表示數(shù)學(xué)成績,y軸表示物理成績,可得相應(yīng)的散點(diǎn)圖.
由散點(diǎn)圖可見,兩者之間具有線性相關(guān)關(guān)系且是正相關(guān).
(相關(guān)系數(shù)r法)列表:
∴r=eq \f(\(∑,\s\up10(5),\s\d10(i=1))xiyi-5\a\vs4\al(\(x,\s\up6(-)) )\a\vs4\al(\(y,\s\up6(-)) ),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(∑,\s\up10(5),\s\d10(i=1))xeq \\al(2,i)-5\(x,\s\up6(-))2))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(∑,\s\up10(5),\s\d10(i=1))yeq \\al(2,i)-5\(y,\s\up6(-))2))))=eq \f(23 190-23 100,\r(250×40))=0.9>0.
∴兩變量具有相關(guān)關(guān)系且正相關(guān).
10.某火鍋店為了了解營業(yè)額y(百元)與氣溫x(℃)之間的關(guān)系,隨機(jī)統(tǒng)計并制作了某6天當(dāng)天營業(yè)額與當(dāng)天氣溫的對比表.
畫出散點(diǎn)圖并判斷營業(yè)額與氣溫之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系.
解 畫出散點(diǎn)圖如圖所示.
eq \(x,\s\up6(-))=eq \f(1,6)(26+18+13+10+4-1)≈11.7,
eq \(y,\s\up6(-))=eq \f(1,6)(20+24+34+38+50+64)≈38.3,
eq \(∑,\s\up10(6),\s\d10(i=1))xiyi=26×20+18×24+13×34+10×38+4×50-1×64=1 910,
eq \(∑,\s\up10(6),\s\d10(i=1))xeq \\al(2,i)=262+182+132+102+42+(-1)2=1 286,
eq \(∑,\s\up10(6),\s\d10(i=1))yeq \\al(2,i)=202+242+342+382+502+642=10 172,
由r=eq \f(\(∑,\s\up10(6),\s\d10(i=1))xiyi-6\a\vs4\al(\(x,\s\up6(-)) )\a\vs4\al(\(y,\s\up6(-)) ),\r(\(∑,\s\up10(6),\s\d10(i=1))xeq \\al(2,i)-n\(x,\s\up6(-))2)\r(\(∑,\s\up10(6),\s\d10(i=1))yeq \\al(2,i)-6\(y,\s\up6(-))2)),可得r≈-0.98.
由于|r|的值較接近1,所以x與y具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.
能力提升
11.為考察兩個變量x,y的相關(guān)性,搜集數(shù)據(jù)如下表,則兩個變量的線性相關(guān)程度( )
A.很強(qiáng) B.很弱
C.無相關(guān) D.不確定
解析 eq \(∑,\s\up10(5),\s\d10(i=1))xi=75,eq \(∑,\s\up10(5),\s\d10(i=1))y=543,eq \(∑,\s\up10(5),\s\d10(i=1))xeq \\al(2,i)=1 375,eq \(∑,\s\up10(5),\s\d10(i=1))xiyi=8 285,eq \(∑,\s\up10(5),\s\d10(i=1))yeq \\al(2,i)=59 051,eq \(x,\s\up6(-))=15,eq \(y,\s\up6(-))=108.6,
r=eq \f(\(∑,\s\up10(5),\s\d10(i=1))xiyi-5\a\vs4\al(\(x,\s\up6(-)) )\a\vs4\al(\(y,\s\up6(-)) ),\r(\(∑,\s\up10(5),\s\d10(i=1))xeq \\al(2,i)-5\(x,\s\up6(-))2)\r(\(∑,\s\up10(5),\s\d10(i=1))yeq \\al(2,i)-5\(y,\s\up6(-))2))
=eq \f(8 285-5×15×108.6,\r(1 375-5×152)×\r(59 051-5×108.62))
≈0.982 6,故相關(guān)程度很強(qiáng).
答案 A
12.下圖是我國2012年至2018年生活垃圾無害化處理量(單位:億噸)的折線圖.
注:年份代碼1~7分別對應(yīng)年份2012~2018.
由折線圖看出,y與t有線性相關(guān)關(guān)系,請用相關(guān)系數(shù)加以說明.
附注:
參考數(shù)據(jù):eq \(∑,\s\up10(7),\s\d10(i=1))yi=9.32,eq \(∑,\s\up10(7),\s\d10(i=1))tiyi=40.17,eq \r(\(∑,\s\up10(7),\s\d10(i=1)) (yi-\(y,\s\up6(-)))2)=0.55,eq \r(7)≈2.646.
參考公式:相關(guān)系數(shù)r=eq \f(\(∑,\s\up10(n),\s\d10(i=1)) (ti-\(t,\s\up6(-)))(yi-\(y,\s\up6(-))),\r(\(∑,\s\up10(n),\s\d10(i=1)) (ti-\(t,\s\up6(-)))2\(∑,\s\up10(n),\s\d10(i=1)) (yi-\(y,\s\up6(-)))2)).
解 由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得
eq \(t,\s\up6(-))=4,eq \(∑,\s\up10(7),\s\d10(i=1)) (ti-eq \(t,\s\up6(-)))2=28,eq \r(\(∑,\s\up10(7),\s\d10(i=1)) (yi-\(y,\s\up6(-)))2)=0.55.
eq \(∑,\s\up10(7),\s\d10(i=1)) (ti-eq \(t,\s\up6(-)))(yi-eq \(y,\s\up6(-)))=eq \(∑,\s\up10(7),\s\d10(i=1))tiyi-eq \(t,\s\up6(-))eq \(∑,\s\up10(7),\s\d10(i=1))yi
=40.17-4×9.32=2.89,
r≈eq \f(2.89,0.55×2×2.646)≈0.99.
因?yàn)閥與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99,所以y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)高.
創(chuàng)新猜想
13.(多選題)對于線性相關(guān)系數(shù)r,以下說法錯誤的是( )
A.r只能是正值,不能為負(fù)值
B.eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(r))≤1,且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(r))越接近于1,相關(guān)程度越大;相反則越小
C.eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(r))≤1,且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(r))越接近于1,相關(guān)程度越??;相反則越大
D.r
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