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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第三冊第七章 隨機(jī)變量及其分布7.3 離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征學(xué)案
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這是一份高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第三冊第七章 隨機(jī)變量及其分布7.3 離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征學(xué)案,共16頁。
甲、乙兩個(gè)工人生產(chǎn)同一產(chǎn)品,在相同的條件下,他們生產(chǎn)100件產(chǎn)品所出的不合格產(chǎn)品數(shù)分別用X,Y表示,X,Y的分布列如下:
如何比較甲、乙兩人的技術(shù)?
問題 情境中的問題,我們可以分別求出甲、乙兩人不合格品數(shù)的均值,但是兩人的均值相等,我們應(yīng)如何更準(zhǔn)確地比較兩個(gè)工人的技術(shù)水平?
提示 我們知道,當(dāng)樣本平均值相差不大時(shí),可以利用樣本方差考察樣本數(shù)據(jù)與樣本平均值的偏離程度.
1.離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差
正確求解隨機(jī)變量的方差的關(guān)鍵是正確求解分布列及其期望值
設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為
考慮X所有可能取值xi與E(X)的偏差的平方(x1-E(X))2,(x2-E(X))2 ,…,(xn-E(X))2 ,因?yàn)閄取每個(gè)值的概率不盡相同,所以我們用偏差平方關(guān)于取值概率的加權(quán)平均,來度量隨機(jī)變量X取值與其均值E(X)的偏離程度,我們稱
D(X)=(x1-E(X))2 p1 +(x2-E(X))2 p2+…+(xn-E(X))2pn=eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i=1)) (xi-E(X))2pi
為隨機(jī)變量X的方差,有時(shí)也記為Var(X),并稱eq \r(D(X))為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差,記為σ(X).
2.幾個(gè)常見的結(jié)論
(1)D(aX+b)=a2D(X).
(2)若X服從兩點(diǎn)分布,則D(X)=p(1-p).
拓展深化
[微判斷]
1.離散型隨機(jī)變量的方差越大, 隨機(jī)變量越穩(wěn)定.(×)
提示 隨機(jī)變量的方差越小,隨機(jī)變量越穩(wěn)定.
2.若a是常數(shù), 則D(a)=0.(√)
3.離散型隨機(jī)變量的方差反映了隨機(jī)變量偏離于期望的平均程度.(√)
[微訓(xùn)練]
1.若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布, 且成功的概率p=0.5, 則E(X)和D(X)分別為( )
A.0.5和0.25 B.0.5和0.75
C.1和0.25 D.1和0.75
解析 E(X)=p=0.5,D(X)=p(1-p)=0.5×0.5=0.25.
答案 A
2.設(shè)隨機(jī)變量X的方差D(X)=1,則D(2X+1)的值為( )
A.2 B.3
C.4 D.5
解析 D(2X+1)=4D(X)=4×1=4.
答案 C
[微思考]
離散型隨機(jī)變量的方差越大,隨機(jī)變量越穩(wěn)定還是方差越小越穩(wěn)定?
提示 離散型隨機(jī)變量的方差越小隨機(jī)變量越穩(wěn)定.
題型一 求離散型隨機(jī)變量的方差
角度1 用定義求離散型隨機(jī)變量的方差
【例1】 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為
則D(X)等于( )
A.eq \f(29,12) B.eq \f(121,144)
C.eq \f(179,144) D.eq \f(17,12)
解析 由題意知,E(X)=1×eq \f(1,4)+2×eq \f(1,3)+3×eq \f(1,6)+4×eq \f(1,4)=eq \f(29,12),故D(X)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1-\f(29,12)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,4)+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2-\f(29,12)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,3)+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3-\f(29,12)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,6)+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4-\f(29,12)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,4)=eq \f(179,144).
答案 C
角度2 求兩點(diǎn)分布的方差
【例2】 若某運(yùn)動(dòng)員投籃命中率p=0.8,則該運(yùn)動(dòng)員在一次投籃中命中次數(shù)X的方差為__________.
解析 依題意知:X服從兩點(diǎn)分布,
所以D(X)=0.8×(1-0.8)=0.16.
答案 0.16
規(guī)律方法 求離散型隨機(jī)變量的方差的類型及解決方法
(1)已知分布列型(非兩點(diǎn)分布):直接利用定義求解,先求均值,再求方差.
(2)已知分布列是兩點(diǎn)分布:直接套用公式D(X)=p(1-p)求解.
(3)未知分布列型:求解時(shí)可先借助已知條件及概率知識(shí)求得分布列,然后轉(zhuǎn)化成(1)中的情況.
【訓(xùn)練1】 袋中有大小相同的四個(gè)球,編號(hào)分別為1,2,3,4,每次從袋中任取一個(gè)球,記下其編號(hào).若所取球的編號(hào)為偶數(shù),則把該球編號(hào)改為3后放回袋中繼續(xù)取球;若所取球的編號(hào)為奇數(shù),則停止取球.
(1)求“第二次取球后才停止取球”的概率;
(2)若第一次取到偶數(shù),記第二次和第一次取球的編號(hào)之和為X,求X的分布列和方差.
解 (1)記“第二次取球后才停止取球”為事件A.
易知第一次取到偶數(shù)球的概率為eq \f(2,4)=eq \f(1,2),
第二次取球時(shí)袋中有三個(gè)奇數(shù),
所以第二次取到奇數(shù)球的概率為eq \f(3,4),
而這兩次取球相互獨(dú)立,
所以P(A)=eq \f(1,2)×eq \f(3,4)=eq \f(3,8).
(2)若第一次取到2,則第二次取球時(shí)袋中有編號(hào)為1,3,3,4的四個(gè)球;
若第一次取到4,則第二次取球時(shí)袋中有編號(hào)為1,2,3,3的四個(gè)球.
所以X的可能取值為3,5,6,7,
所以P(X=3)=eq \f(1,2)×eq \f(1,4)=eq \f(1,8),
P(X=5)=eq \f(1,2)×eq \f(2,4)+eq \f(1,2)×eq \f(1,4)=eq \f(3,8),
P(X=6)=eq \f(1,2)×eq \f(1,4)+eq \f(1,2)×eq \f(1,4)=eq \f(1,4),
P(X=7)=eq \f(1,2)×eq \f(2,4)=eq \f(1,4),
所以X的分布列為
均值E(X)=3×eq \f(1,8)+5×eq \f(3,8)+6×eq \f(1,4)+7×eq \f(1,4)=eq \f(11,2),
方差D(X)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3-\f(11,2)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,8)+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5-\f(11,2)))eq \s\up12(2)×eq \f(3,8)+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6-\f(11,2)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,4)+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7-\f(11,2)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,4)=eq \f(3,2).
題型二 方差的性質(zhì)的應(yīng)用
【例3】 已知隨機(jī)變量X的分布列為:
若E(X)=eq \f(2,3).
(1)求D(X)的值;
(2)若Y=3X-2,求eq \r(D(Y))的值.
解 由分布列的性質(zhì),得eq \f(1,2)+eq \f(1,3)+p=1,解得p=eq \f(1,6),
∵E(X)=0×eq \f(1,2)+1×eq \f(1,3)+eq \f(1,6)x=eq \f(2,3), ∴x=2.
(1)D(X)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0-\f(2,3)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,2)+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1-\f(2,3)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,3)+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2-\f(2,3)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,6)=eq \f(15,27)=eq \f(5,9).
(2)∵Y=3X-2,∴D(Y)=D(3X-2)=9D(X)=5,
∴eq \r(D(Y))=eq \r(5).
規(guī)律方法 求隨機(jī)變量Y=aX+b方差的方法
求隨機(jī)變量Y=aX+b的方差,一種方法是先求Y的分布列,再求其均值,最后求方差;另一種方法是應(yīng)用公式D(aX+b)=a2D(X)求解.
【訓(xùn)練2】 設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為
若Y=2X+2,則D(Y)等于( )
A.-eq \f(1,3) B.eq \f(5,9)
C.eq \f(10,9) D.eq \f(20,9)
解析 由題意知,E(X)=-1×eq \f(1,2)+0×eq \f(1,3)+1×eq \f(1,6)=-eq \f(1,3),故D(X)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-1+\f(1,3)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,2)+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0+\f(1,3)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,3)+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1+\f(1,3)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,6)=eq \f(5,9),D(Y)=D(2X+2)=4D(X)=4×eq \f(5,9)=eq \f(20,9).
答案 D
題型三 均值與方差的綜合應(yīng)用
【例4】 有甲、乙兩種建筑材料,從中各取等量樣品檢查它們的抗拉強(qiáng)度如下:
其中,XA,XB分別表示甲、乙兩種材料的抗拉強(qiáng)度,在使用
時(shí)要求抗拉強(qiáng)度不低于120,試比較甲、乙兩種建筑材料的穩(wěn)定程度(哪一個(gè)的穩(wěn)定性較好).
解 E(XA)=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125,
E(XB)=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125,
D(XA)=0.1×(110-125)2+0.2×(120-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(135-125)2=50,
D(XB)=0.1×(100-125)2+0.2×(115-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(145-125)2=165.
由此可見E(XA)=E(XB),D(XA)<D(XB),
故兩種材料的抗拉強(qiáng)度的平均值相等,其穩(wěn)定程度材料乙明顯不如材料甲,即甲的穩(wěn)定性好.
規(guī)律方法 (1)均值體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均大小,在兩種產(chǎn)品相比較時(shí),只比較均值往往是不恰當(dāng)?shù)?,還需比較它們的取值的離散程度,即通過比較方差,才能準(zhǔn)確地得出更恰當(dāng)?shù)呐袛啵?br>(2)離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差之間存在著緊密的聯(lián)系,利用題目中所給出的條件,合理地列出方程或方程組求解,同時(shí)也應(yīng)注意合理選擇公式,簡化問題的解答過程.
【訓(xùn)練3】 袋中有20個(gè)大小相同的球,其中記上0號(hào)的有10個(gè),記上n號(hào)的有n個(gè)(n=1,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取一球,X表示所取球的標(biāo)號(hào).
(1)求X的方差;
(2)若Y=aX+b,E(Y)=1,D(Y)=11,試求a,b的值.
解 (1)X的分布列為
則E(X)=0×eq \f(1,2)+1×eq \f(1,20)+2×eq \f(1,10)+3×eq \f(3,20)+4×eq \f(1,5)=1.5.
D(X)=(0-1.5)2×eq \f(1,2)+(1-1.5)2×eq \f(1,20)+(2-1.5)2×eq \f(1,10)+(3-1.5)2×eq \f(3,20)+(4-1.5)2×eq \f(1,5)=2.75.
(2)由D(Y)=a2D(X),得a2·2.75=11,得a=±2.
又E(Y)=aE(X)+b,所以當(dāng)a=2時(shí),
由1=2×1.5+b,得b=-2;
當(dāng)a=-2時(shí),由1=-2×1.5+b,得b=4.
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a=2,,b=-2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a=-2,,b=4))即為所求.
一、素養(yǎng)落地
1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).
2.隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度,以及隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度.方差D(X)或標(biāo)準(zhǔn)差eq \r(D(X))越小,則隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度越小,說明X的取值越集中;方差D(X)或標(biāo)準(zhǔn)差eq \r(D(X))越大,表明隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度越大,說明X的取值越分散.
3.求離散型隨機(jī)變量X的均值、方差的步驟
(1)理解X的意義,寫出X的所有可能取值.
(2)求X取每一個(gè)值的概率.
(3)寫出隨機(jī)變量X的分布列.
(4)由均值、方差的定義求E(X),D(X).
特別地,若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布,可根據(jù)公式直接計(jì)算E(X)和D(X).
二、素養(yǎng)訓(xùn)練
1.若離散型隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差eq \r(D(X))為8,則隨機(jī)變量Y=2X-1的標(biāo)準(zhǔn)差為( )
A.8 B.15
C.16 D.32
解析 eq \r(D(2X-1))=eq \r(4D(X))=2eq \r(D(X))=16.
答案 C
2.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為
若E(X)=eq \f(15,8),則D(X)=( )
A.eq \f(33,64) B.eq \f(55,64)
C.eq \f(7,32) D.eq \f(9,32)
解析 由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)得x+y=eq \f(1,2),由E(X)=eq \f(15,8),得1×eq \f(1,2)+2x+3y=eq \f(15,8),解得x=eq \f(1,8),y=eq \f(3,8).∴D(X)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1-\f(15,8)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,2)+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2-\f(15,8)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,8)+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3-\f(15,8)))×eq \f(3,8)=eq \f(55,64).
答案 B
3.有甲、乙兩種水稻,測得每種水稻各10株的分蘗數(shù)據(jù),計(jì)算出樣本均值E(X甲)=E(X乙),方差分別為D(X甲)=11,D(X乙)=3.4.由此可以估計(jì)( )
A.甲種水稻比乙種水稻分蘗整齊
B.乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊
C.甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度相同
D.甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度不能比較
解析 由E(X甲)=E(X乙),D(X甲)>D(X乙)知B正確.
答案 B
4.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示,若E(X)=0,D(X)=1,則a=__________,b=__________.
解析 由題意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a+b+c=\f(11,12),,-a+c+\f(1,6)=0,,a+c+\f(1,3)=1,))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a=\f(5,12),,b=\f(1,4),,c=\f(1,4).))
答案 eq \f(5,12) eq \f(1,4)
5.甲、乙兩人進(jìn)行定點(diǎn)投籃游戲,投籃者若投中,則繼續(xù)投籃,否則由對(duì)方投籃,第一次由甲投籃;已知每次投籃甲、乙命中的概率分別為eq \f(1,3),eq \f(3,4).
(1)求第三次由乙投籃的概率;
(2)在前3次投籃中,乙投籃的次數(shù)為X,求X的分布列、期望及標(biāo)準(zhǔn)差.
解 (1)設(shè)第三次由乙投籃為事件A,則
P(A)=eq \f(1,3)×eq \f(2,3)+eq \f(2,3)×eq \f(3,4)=eq \f(13,18).
(2)由題意,X的取值為0,1,2.
P(X=0)=eq \f(1,3)×eq \f(1,3)=eq \f(1,9);
P(X=1)=eq \f(1,3)×eq \f(2,3)+eq \f(2,3)×eq \f(1,4)=eq \f(7,18).
P(X=2)=eq \f(2,3)×eq \f(3,4)=eq \f(1,2).故X的分布列為
E(X)=0×eq \f(1,9)+1×eq \f(7,18)+2×eq \f(1,2)=eq \f(25,18),
D(X)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0-\f(25,18)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,9)+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1-\f(25,18)))eq \s\up12(2)×eq \f(7,18)+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2-\f(25,18)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,2)=eq \f(149,324),∴eq \r(D(X))=eq \f(\r(149),18).
基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)
一、選擇題
1.設(shè)一隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果只有A和eq \(A,\s\up6(-)),且P(A)=m,令隨機(jī)變量X=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1,A發(fā)生,,0,A不發(fā)生,))則X的方差D(X)等于( )
A.m B.2m(1-m)
C.m(m-1) D.m(1-m)
解析 由題意知X服從兩點(diǎn)分布,故D(X)=m(1-m).
答案 D
2.已知隨機(jī)變量X的分布列為P(X=k)=eq \f(1,5),k=1,2,3,4,5,則D(2X-5)=( )
A.6 B.8
C.3 D.4
解析 E(X)=1×eq \f(1,5)+2×eq \f(1,5)+3×eq \f(1,5)+4×eq \f(1,5)+5×eq \f(1,5)=3,
∴D(X)=eq \f(1,5)×[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2]=2,
∴D(2X-5)=4D(X)=4×2=8.
答案 B
3.設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列為P(X=k)=pk·(1-p)1-k(k=0,1),則E(X),D(X)的值分別是( )
A.0和1 B.p和p2
C.p和1-p D.p和(1-p)p
解析 易知X服從兩點(diǎn)分布,∴E(X)=p,D(X)=p(1-p).
答案 D
4.以往的統(tǒng)計(jì)資料表明,甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員在比賽中得分情況為
現(xiàn)有一場比賽,派哪位運(yùn)動(dòng)員參加較好?( )
A.甲 B.乙
C.甲、乙均可 D.無法確定
解析 E(X1)=E(X2)=1.1,D(X1)=1.12×0.2+0.12×0.5+0.92×0.3=0.49,D(X2)=1.12×0.3+0.12×0.3+0.92×0.4=0.69,∴D(X1)
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