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    人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)學(xué)案:7.3.1《離散型隨機(jī)變量的均值》(含解析)

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    高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第三冊(cè)7.3 離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征導(dǎo)學(xué)案

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    這是一份高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第三冊(cè)7.3 離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征導(dǎo)學(xué)案,共14頁(yè)。
    新知探究
    某城市隨機(jī)抽查了1 000戶居民的住房情況,發(fā)現(xiàn)戶型主要集中在160平方米,100平方米,60平方米三種,對(duì)應(yīng)住房比例為1∶5∶4,能否說(shuō)該市的戶均住房面積為eq \f(160+100+60,3)≈106.7(平方米)?
    問(wèn)題 上述情境中的計(jì)算是否合理,怎樣運(yùn)算才更合理?
    提示 此種計(jì)算顯然不合理,忽略了不同住房面積的居民所占的比例,造成了“被平均”現(xiàn)象,通過(guò)本課時(shí)的學(xué)習(xí)我們可以找到正確的計(jì)算方法.
    1.離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望
    正確地求出離散型隨機(jī)變量的分布列是求解期望的關(guān)鍵一般地,若離散型隨機(jī)變量X的分布列為
    則稱E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…xnpn=eq \( ∑,\s\up8(n),\s\d10(i=1))xipi為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望,數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱為期望.均值是隨機(jī)變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù),它綜合了隨機(jī)變量的取值和取值的概率,反映了隨機(jī)變量取值的平均水平.
    2.兩點(diǎn)分布的期望
    一般地,如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p;
    3.離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)
    設(shè)X的分布列為P(X=xi)= pi,i=1,2,…,n.
    一般地,下面的結(jié)論成立:E(aX+b)=aE(X)+b.
    拓展深化
    [微判斷]
    1.隨機(jī)變量X的均值E(X)是個(gè)變量,其隨X的變化而變化.(×)
    提示 隨機(jī)變量X的均值E(X)是個(gè)定值,不隨X的變化而變化.
    2.隨機(jī)變量的均值與樣本的平均值相同.(×)
    提示 隨機(jī)變量的均值與樣本的均值并非等價(jià),因?yàn)闃颖敬淼氖遣糠值那闆r,不能完全與整體等價(jià).
    3.若隨機(jī)變量X的均值E(X)=2,則E(2X)=4.(√)
    [微訓(xùn)練]
    1.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為
    則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=( )
    A.eq \f(30,13) B.eq \f(27,13)
    C.2 D.eq \f(25,13)
    解析 E(X)=1×eq \f(2,13)+2×eq \f(5,13)+3×eq \f(6,13)=eq \f(30,13).
    答案 A
    2.口袋中有編號(hào)分別為1,2,3的三個(gè)大小和形狀相同的小球,從中任取2個(gè),則取出的球的最大編號(hào)X的期望為__________.
    解析 X=2,3.P(X=2)=eq \f(1,Ceq \\al(2,3))=eq \f(1,3),P(X=3)=eq \f(Ceq \\al(1,2),Ceq \\al(2,3))=eq \f(2,3).
    故E(X)=2×eq \f(1,3)+3×eq \f(2,3)=eq \f(8,3).
    答案 eq \f(8,3)
    [微思考]
    某商場(chǎng)要將單價(jià)分別為18元/kg、24元/kg、36元/kg的3種糖果按3∶2∶1的比例混合銷售,如何對(duì)混合糖果定價(jià)才合理?
    提示 由于平均在每1 kg的混合糖果中,3種糖果的質(zhì)量分別是eq \f(1,2) kg、eq \f(1,3) kg和eq \f(1,6) kg,所以混合糖果的合理價(jià)格應(yīng)該是18×eq \f(1,2)+24×eq \f(1,3)+36×eq \f(1,6)=23(元/kg).
    這里的23元/kg就是混合糖果價(jià)格的均值.
    題型一 利用定義求離散型隨機(jī)變量的均值
    【例1】 袋中有4只紅球,3只黑球,今從袋中隨機(jī)取出4只球,設(shè)取到一只紅球得2分,取到一只黑球得1分,試求得分X的均值.
    解 取出4只球顏色及得分分布情況是:4紅得8分,3紅1黑得7分,2紅2黑得6分,1紅3黑得5分,因此,
    P(X=5)=eq \f(Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(3,3),Ceq \\al(4,7))=eq \f(4,35),
    P(X=6)=eq \f(Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,3),Ceq \\al(4,7))=eq \f(18,35),
    P(X=7)=eq \f(Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(1,3),Ceq \\al(4,7))=eq \f(12,35),
    P(X=8)=eq \f(Ceq \\al(4,4)Ceq \\al(0,3),Ceq \\al(4,7))=eq \f(1,35),
    故X的分布列如下:
    ∴E(X)=5×eq \f(4,35)+6×eq \f(18,35)+7×eq \f(12,35)+8×eq \f(1,35)=eq \f(44,7)(分).
    規(guī)律方法 求隨機(jī)變量的均值關(guān)鍵是寫出分布列,一般分為四步:(1)確定X的可能取值;(2)計(jì)算出P(X=k);(3)寫出分布列;(4)利用E(X)的計(jì)算公式計(jì)算E(X).
    【訓(xùn)練1】 某衛(wèi)視綜藝節(jié)目中有一個(gè)環(huán)節(jié)叫“超級(jí)猜猜猜”,規(guī)則如下:在這一環(huán)節(jié)中嘉賓需要猜三道題目,若三道題目中猜對(duì)一道題目可得1分,若猜對(duì)兩道題目可得3分,要是三道題目完全猜對(duì)可得6分,若三道題目全部猜錯(cuò),則扣掉4分.如果嘉賓猜對(duì)這三道題目的概率分別為eq \f(2,3),eq \f(1,2),eq \f(1,3),且三道題目之間相互獨(dú)立.求某嘉賓在該“猜題”環(huán)節(jié)中所得分?jǐn)?shù)的分布列與均值.
    解 根據(jù)題意,設(shè)X表示“該嘉賓所得分?jǐn)?shù)”,則X的可能取值為-4,1,3,6.
    ∴P(X=-4)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1-\f(2,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1-\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1-\f(1,3)))=eq \f(1,9),
    P(X=1)=eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)+eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)+eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)=eq \f(7,18),
    P(X=3)=eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)+eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)+eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)=eq \f(7,18),
    P(X=6)=eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)=eq \f(2,18)=eq \f(1,9).
    ∴X的分布列為
    ∴E(X)=(-4)×eq \f(1,9)+1×eq \f(7,18)+3×eq \f(7,18)+6×eq \f(1,9)=eq \f(16,9)(分).
    題型二 離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)
    【例2】 已知隨機(jī)變量X的分布列為:
    若Y=-2X,則E(Y)=__________.
    解析 由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì), 得
    eq \f(1,4)+eq \f(1,3)+eq \f(1,5)+m+eq \f(1,20)=1, 解得m=eq \f(1,6),
    ∴E(X)=(-2)×eq \f(1,4)+(-1)×eq \f(1,3)+0×eq \f(1,5)+1×eq \f(1,6)+2×eq \f(1,20)=-eq \f(17,30).
    由Y=-2X,得E(Y)=-2E(X),
    即E(Y)=-2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(17,30)))=eq \f(17,15).
    答案 eq \f(17,15)
    【遷移1】 (變?cè)O(shè)問(wèn))本例條件不變,若Y=2X-3, 求E(Y).
    解 由公式E(aX+b)=aE(X)+b及E(X)=-eq \f(17,30)得,
    E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3=2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(17,30)))-3=-eq \f(62,15).
    【遷移2】 (變條件,變?cè)O(shè)問(wèn))本例條件不變, 若Y=aX+3, 且E(Y)=-eq \f(11,2), 求a的值.
    解 ∵E(Y)=E(aX+3)=aE(X)+3=-eq \f(17,30)a+3=-eq \f(11,2),
    ∴a=15.
    規(guī)律方法 離散型隨機(jī)變量性質(zhì)有關(guān)問(wèn)題的解題思路
    若給出的隨機(jī)變量Y與X的關(guān)系為Y=aX+b,a,b為常數(shù),一般思路是先求出E(X),再利用公式E(aX+b)=aE(X)+b求E(Y).也可以利用X的分布列得到Y(jié)的分布列,關(guān)鍵是由X的取值計(jì)算Y的取值,對(duì)應(yīng)的概率相等,再由定義法求得E(Y).
    【訓(xùn)練2】 已知隨機(jī)變量X和Y,其中Y=12X+7,且E(Y)=34,若X的分布列如下表,則m的值為( )
    A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,4)
    C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,8)
    解析 因?yàn)閅=12X+7,則E(Y)=12E(X)+7,
    即E(Y)=12eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1×\f(1,4)+2·m+3·n+4×\f(1,12)))+7=34.
    所以2m+3n=eq \f(5,3),①
    又eq \f(1,4)+m+n+eq \f(1,12)=1,
    所以m+n=eq \f(2,3),②
    由①②可解得m=eq \f(1,3).
    答案 A
    題型三 離散型隨機(jī)變量均值的應(yīng)用
    【例3】 某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組,他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為eq \f(2,3)和eq \f(3,5).現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A,乙組研發(fā)新產(chǎn)品B.設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立.
    (1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率;
    (2)若新產(chǎn)品A研發(fā)成功,預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)120萬(wàn)元;若新產(chǎn)品B研發(fā)成功,預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)100萬(wàn)元.求該企業(yè)可獲利潤(rùn)的分布列和均值.
    解 記E=“甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功”,F(xiàn)=“乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功”.由題設(shè)知P(E)=eq \f(2,3),P(eq \(E,\s\up6(-)))=eq \f(1,3),P(F)=eq \f(3,5),P(eq \(F,\s\up6(-)))=eq \f(2,5),且事件E與F,E與eq \(F,\s\up6(-)),eq \(E,\s\up6(-))與F,eq \(E,\s\up6(-))與eq \(F,\s\up6(-))都相互獨(dú)立.
    (1)記H=“至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功”,則eq \(H,\s\up6(-))=eq \(E,\s\up6(-)) eq \(F,\s\up6(-)),于是P(eq \(H,\s\up6(-)))=P(eq \(E,\s\up6(-)))P(eq \(F,\s\up6(-)))=eq \f(1,3)×eq \f(2,5)=eq \f(2,15),
    故所求的概率為P(H)=1-P(eq \(H,\s\up6(-)))=1-eq \f(2,15)=eq \f(13,15).
    (2)設(shè)企業(yè)可獲利潤(rùn)為X萬(wàn)元,則X的可能取值為0,100,120,220.
    因?yàn)镻(X=0)=P(eq \a\vs4\al(\(E,\s\up6(-)) ) eq \a\vs4\al( \(F,\s\up6(-)) ))=eq \f(1,3)×eq \f(2,5)=eq \f(2,15),
    P(X=100)=P(eq \(E,\s\up6(-))F)=eq \f(1,3)×eq \f(3,5)=eq \f(1,5),
    P(X=120)=P(Eeq \(F,\s\up6(-)))=eq \f(2,3)×eq \f(2,5)=eq \f(4,15),
    P(X=220)=P(EF)=eq \f(2,3)×eq \f(3,5)=eq \f(2,5),
    故所求的分布列為
    均值為E(X)=0×eq \f(2,15)+100×eq \f(1,5)+120×eq \f(4,15)+220×eq \f(2,5)=140(萬(wàn)元).
    規(guī)律方法 解答實(shí)際問(wèn)題時(shí),(1)把實(shí)際問(wèn)題概率模型化;(2)利用有關(guān)概率的知識(shí)去分析相應(yīng)各事件可能性的大小,并列出分布列;(3)利用公式求出相應(yīng)均值.
    【訓(xùn)練3】 某公司擬資助三位大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè),現(xiàn)聘請(qǐng)兩位專家獨(dú)立地對(duì)每位學(xué)生的創(chuàng)業(yè)方案進(jìn)行評(píng)審.假設(shè)評(píng)審結(jié)果為“支持”和“不支持”的概率都是eq \f(1,2).若某人獲得兩個(gè)“支持”,則給予10萬(wàn)元的創(chuàng)業(yè)資助;若只獲得一個(gè)“支持”,則給予5萬(wàn)元的資助;若未獲得“支持”,則不予資助.令X表示該公司的資助總額.
    (1)寫出X的分布列;
    (2)求均值E(X).
    解 (1)X的所有取值為0,5,10,15,20,25,30.
    P(X=0)=eq \f(1,64),P(X=5)=eq \f(3,32),
    P(X=10)=eq \f(15,64),P(X=15)=eq \f(5,16),
    P(X=20)=eq \f(15,64),P(X=25)=eq \f(3,32),P(X=30)=eq \f(1,64).
    故X的分布列為
    (2)E(X)=0×eq \f(1,64)+5×eq \f(3,32)+10×eq \f(15,64)+15×eq \f(5,16)+20×eq \f(15,64)+25×eq \f(3,32)+30×eq \f(1,64)=15(萬(wàn)元).
    一、素養(yǎng)落地
    1.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí),進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).
    2.求離散型隨機(jī)變量均值的步驟:
    (1)確定離散型隨機(jī)變量X的取值;
    (2)寫出分布列,并檢查分布列的正確與否;
    (3)根據(jù)公式寫出均值.
    3.若X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量,且Y=aX+b,則E(Y)=aE(X)+b;如果一個(gè)隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布,可直接利用公式計(jì)算均值.
    二、素養(yǎng)訓(xùn)練
    1.袋中有10個(gè)大小相同的小球,其中記為0號(hào)的有4個(gè),記為n號(hào)的有n個(gè)(n=1,2,3).現(xiàn)從袋中任取一球,X表示所取到球的標(biāo)號(hào),則E(X)等于( )
    A.2 B.eq \f(3,2)
    C.eq \f(4,5) D.eq \f(7,5)
    解析 由題意,可知X的所有可能取值為0,1,2,3.
    P(X=0)=eq \f(2,5),P(X=1)=eq \f(1,10),P(X=2)=eq \f(1,5),P(X=3)=eq \f(3,10).
    ∴E(X)=0×eq \f(2,5)+1×eq \f(1,10)+2×eq \f(1,5)+3×eq \f(3,10)=eq \f(7,5).
    答案 D
    2.拋擲一枚硬幣,規(guī)定正面向上得1分,反面向上得-1分,則得分X的均值為( )
    A.0 B.eq \f(1,2)
    C.1 D.-1
    解析 因?yàn)镻(X=1)=eq \f(1,2),P(X=-1)=eq \f(1,2),
    所以由均值的定義得E(X)=1×eq \f(1,2)+(-1)×eq \f(1,2)=0.
    答案 A
    3.若p為非負(fù)實(shí)數(shù),隨機(jī)變量X的分布列為
    則E(X)的最小值為( )
    A.1 B.eq \f(3,2)
    C.eq \f(2,3) D.2
    解析 由p≥0,eq \f(1,2)-p≥0,得0≤p≤eq \f(1,2),則E(X)=eq \f(1,2)-p+2×eq \f(1,2)=eq \f(3,2)-p≥1.故選A.
    答案 A
    4.隨機(jī)拋擲一枚骰子,則所得骰子點(diǎn)數(shù)X的均值為______.
    解析 拋擲一枚骰子所得點(diǎn)數(shù)X的分布列為
    所以E(X)=1×eq \f(1,6)+2×eq \f(1,6)+3×eq \f(1,6)+4×eq \f(1,6)+5×eq \f(1,6)+6×eq \f(1,6)=(1+2+3+4+5+6)×eq \f(1,6)=eq \f(21,6)=eq \f(7,2).
    答案 eq \f(7,2)
    5.袋中有20個(gè)大小相同的球,其中記上0號(hào)的有10個(gè),記上n號(hào)的有n(n=1,2,3,4)個(gè).現(xiàn)從袋中任取一球,X表示所取球的標(biāo)號(hào).
    (1)求X的分布列、均值;
    (2)若Y=aX+4,E(Y)=1,求a的值.
    解 (1)X的分布列為
    X的均值E(X)=0×eq \f(1,2)+1×eq \f(1,20)+2×eq \f(1,10)+3×eq \f(3,20)+4×eq \f(1,5)=eq \f(3,2).
    (2)E(Y)=aE(X)+4=1,
    又E(X)=eq \f(3,2),
    則a·eq \f(3,2)+4=1,
    ∴a=-2.
    基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)
    一、選擇題
    1.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為
    則E(2X+1)=( )
    A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3)
    C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,4)
    解析 ∵E(X)=-1×eq \f(1,2)+0×eq \f(1,6)+1×eq \f(1,3)=-eq \f(1,6),
    ∴E(2X+1)=2E(X)+1=2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,6)))+1=eq \f(2,3).
    答案 C
    2.已知某一隨機(jī)變量X的分布列如下表所示,若E(X)=6.3,則a的值為( )
    A.4 B.5
    C.6 D.7
    解析 根據(jù)分布列的性質(zhì)可知b+0.1+0.4=1,所以b=0.5.又E(X)=a·0.5+7×0.1+9×0.4=6.3,所以a=4.
    答案 A
    3.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下表,且E(X)=1.6,則a-b等于( )
    A.0.2 B.0.1
    C.-0.2 D.-0.4
    解析 由0.1+a+b+0.1=1,得a+b=0.8.
    又由E(X)=0×0.1+1·a+2·b+3×0.1=1.6,
    得a+2b=1.3,
    解得a=0.3,b=0.5,則a-b=-0.2.
    答案 C
    4.某射擊運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次擊中10環(huán)得1分,擊不中10環(huán)得0分.已知他擊中10環(huán)的概率為0.8,則射擊一次得分X的期望是( )
    A.0.2 B.0.8
    C.1 D.0
    解析 因?yàn)镻(X=1)=0.8,P(X=0)=0.2,所以E(X)=1×0.8+0×0.2=0.8.
    答案 B
    5.隨機(jī)變量X的可能取值為1,2,3,4,P(X=k)=ak+b(k=1,2,3,4),E(X)=3,則a+b等于( )
    A.10 B.5
    C.eq \f(1,5) D.eq \f(1,10)
    解析 易知E(X)=1×(a+b)+2×(2a+b)+3×(3a+b)+4×(4a+b)=3,即30a+10b=3.①
    又(a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=1,即10a+4b=1,②
    由①②,得a=eq \f(1,10),b=0.
    答案 D
    二、填空題
    6.已知某一隨機(jī)變量X的分布列如下表:
    且E(X)=6,則a=__________,b=__________.
    解析 由0.2+0.5+a=1,得a=0.3.又由E(X)=3×0.2+b·0.5+8·a=6,得b=6.
    答案 0.3 6
    7.某商場(chǎng)經(jīng)銷某商品,根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì),顧客采用的付款期數(shù)X的分布列為
    商場(chǎng)經(jīng)銷一件該商品,采用1期付款,其利潤(rùn)為100元;分2期或3期付款,其利潤(rùn)為150元;分4期付款,其利潤(rùn)為200元.若Y表示經(jīng)銷一件該商品的利潤(rùn),則E(Y)=__________元.
    解析 由題意可知Y可以取100,150,200,分布列如下
    ∴E(Y)=100×0.5+150×0.4+200×0.1=130(元).
    答案 130
    8.某人進(jìn)行一項(xiàng)試驗(yàn),若試驗(yàn)成功,則停止試驗(yàn);若試驗(yàn)失敗,則再重新試驗(yàn)一次;若試驗(yàn)3次均失敗,則放棄試驗(yàn).若此人每次試驗(yàn)成功的概率均為eq \f(2,3),則此人試驗(yàn)次數(shù)X的均值是__________.
    解析 試驗(yàn)次數(shù)X的可能取值為1,2,3,
    則P(X=1)=eq \f(2,3),
    P(X=2)=eq \f(1,3)×eq \f(2,3)=eq \f(2,9),
    P(X=3)=eq \f(1,3)×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)+\f(1,3)))=eq \f(1,9).
    所以X的分布列為
    所以E(X)=1×eq \f(2,3)+2×eq \f(2,9)+3×eq \f(1,9)=eq \f(13,9).
    答案 eq \f(13,9)
    三、解答題
    9.盒中裝有5節(jié)同品牌的五號(hào)電池,其中混有2節(jié)廢電池,現(xiàn)在無(wú)放回地每次取一節(jié)電池檢驗(yàn),直到取到好電池為止.
    求:(1)抽取次數(shù)X的分布列;
    (2)平均抽取多少次可取到好電池.
    解 (1)由題意知,X取值為1,2,3.
    P(X=1)=eq \f(3,5);
    P(X=2)=eq \f(2,5)×eq \f(3,4)=eq \f(3,10);
    P(X=3)=eq \f(2,5)×eq \f(1,4)=eq \f(1,10).
    所以X的分布列為
    (2)E(X)=1×eq \f(3,5)+2×eq \f(3,10)+3×eq \f(1,10)=1.5(次),
    即平均抽取1.5次可取到好電池.
    10.在有獎(jiǎng)摸彩中,一期(發(fā)行10 000張彩票為一期)有200個(gè)獎(jiǎng)品是5元的,20個(gè)獎(jiǎng)品是25元的,5個(gè)獎(jiǎng)品是100元的.在不考慮獲利的前提下,一張彩票的合理價(jià)格是多少元?
    解 設(shè)一張彩票的中獎(jiǎng)?lì)~為隨機(jī)變量X,顯然X的所有可能取值為0,5,25,100.依題意,可得X的分布列為
    所以E(X)=0×eq \f(391,400)+5×eq \f(1,50)+25×eq \f(1,500)+100×eq \f(1,2 000)
    =0.2(元),
    所以一張彩票的合理價(jià)格是0.2元.
    能力提升
    11.某人有資金10萬(wàn)元,準(zhǔn)備用于投資經(jīng)營(yíng)甲、乙兩種商品,根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料:
    那么他應(yīng)該選擇經(jīng)營(yíng)________種商品.
    解析 投資甲項(xiàng)目獲利的期望E甲=2×0.4+3×0.3+(-1)×0.3=1.4,
    投資乙項(xiàng)目獲利的期望E乙=1×0.6+4×0.2+(-2)×0.2=1.因?yàn)镋甲>E乙.故他應(yīng)該選擇經(jīng)營(yíng)甲種商品.
    答案 甲
    12.如圖,將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體,切割成125個(gè)同樣大小的小正方體.經(jīng)過(guò)攪拌后,從中隨機(jī)取出一個(gè)小正方體,記它的涂油漆面數(shù)為X,求X的分布列及均值.
    解 根據(jù)題意易知X=0,1,2,3.分布列如下:
    所以E(X)=0×eq \f(27,125)+1×eq \f(54,125)+2×eq \f(36,125)+3×eq \f(8,125)=eq \f(150,125)=eq \f(6,5).
    創(chuàng)新猜想
    13.(多選題)設(shè)p為非負(fù)實(shí)數(shù),隨機(jī)變量X的概率分布為:
    則下列說(shuō)法正確的是( )
    A.p∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(1,2))) B.E(X)最大值為eq \f(3,2)
    C.p∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(1,4))) D.E(X)最大值為eq \f(5,2)
    解析 由表可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0≤\f(1,2)-p≤1,,0≤p≤1,))從而得P∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(1,2))),期望值E(X)=0×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)-p))+1·p+2×eq \f(1,2)=p+1,當(dāng)且僅當(dāng)p=eq \f(1,2)時(shí),E(X)最大值=eq \f(3,2).
    答案 AB
    14.(多空題)某射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列如下:
    已知X的均值E(X)=8.9,則x的值為____________,y的值為__________.
    解析 由題意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x+0.1+0.3+y=1,,7x+8×0.1+9×0.3+10y=8.9,))
    解得y=0.4,x=0.2.
    答案 0.2 0.4
    課標(biāo)要求
    素養(yǎng)要求
    1.通過(guò)具體實(shí)例,理解離散型隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)字特征.
    2.能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值.
    通過(guò)研究離散型隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)字特征,進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).
    X
    x1
    x2

    xi

    xn
    P
    p1
    p2

    pi

    pn
    X
    1
    2
    3
    P
    eq \f(2,13)
    eq \f(5,13)
    eq \f(6,13)
    X
    5
    6
    7
    8
    P
    eq \f(4,35)
    eq \f(18,35)
    eq \f(12,35)
    eq \f(1,35)
    X
    -4
    1
    3
    6
    P
    eq \f(1,9)
    eq \f(7,18)
    eq \f(7,18)
    eq \f(1,9)
    X
    -2
    -1
    0
    1
    2
    P
    eq \f(1,4)
    eq \f(1,3)
    eq \f(1,5)
    m
    eq \f(1,20)
    X
    1
    2
    3
    4
    P
    eq \f(1,4)
    m
    n
    eq \f(1,12)
    X
    0
    100
    120
    220
    P
    eq \f(2,15)
    eq \f(1,5)
    eq \f(4,15)
    eq \f(2,5)
    X
    0
    5
    10
    15
    20
    25
    30
    P
    eq \f(1,64)
    eq \f(3,32)
    eq \f(15,64)
    eq \f(5,16)
    eq \f(15,64)
    eq \f(3,32)
    eq \f(1,64)
    X
    0
    1
    2
    P
    p
    eq \f(1,2)-p
    eq \f(1,2)
    X
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    P
    eq \f(1,6)
    eq \f(1,6)
    eq \f(1,6)
    eq \f(1,6)
    eq \f(1,6)
    eq \f(1,6)
    X
    0
    1
    2
    3
    4
    P
    eq \f(1,2)
    eq \f(1,20)
    eq \f(1,10)
    eq \f(3,20)
    eq \f(1,5)
    X
    -1
    0
    1
    P
    eq \f(1,2)
    eq \f(1,6)
    eq \f(1,3)
    X
    a
    7
    9
    P
    b
    0.1
    0.4
    X
    0
    1
    2
    3
    P
    0.1
    A
    b
    0.1
    X
    3
    b
    8
    P
    0.2
    0.5
    a
    X
    1
    2
    3
    4
    P
    0.5
    0.2
    0.2
    0.1
    Y
    100
    150
    200
    P
    0.5
    0.4
    0.1
    X
    1
    2
    3
    P
    eq \f(2,3)
    eq \f(2,9)
    eq \f(1,9)
    X
    1
    2
    3
    P
    eq \f(3,5)
    eq \f(3,10)
    eq \f(1,10)
    X
    0
    5
    25
    100
    P
    eq \f(391,400)
    eq \f(1,50)
    eq \f(1,500)
    eq \f(1,2 000)
    投資甲獲利(萬(wàn)元)
    2
    3
    -1
    概率
    0.4
    0.3
    0.3
    投資乙獲利(萬(wàn)元)
    1
    4
    -2
    概率
    0.6
    0.2
    0.2
    X
    0
    1
    2
    3
    P
    eq \f(27,125)
    eq \f(54,125)
    eq \f(36,125)
    eq \f(8,125)
    X
    0
    1
    2
    P
    eq \f(1,2)-p
    p
    eq \f(1,2)
    X
    7
    8
    9
    10
    P
    x
    0.1
    0.3
    y

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    7.3 離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征

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