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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第三冊7.2 離散型隨機(jī)變量及其分布列第二課時(shí)導(dǎo)學(xué)案
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這是一份高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第三冊7.2 離散型隨機(jī)變量及其分布列第二課時(shí)導(dǎo)學(xué)案,共15頁。
在迎奧運(yùn)會(huì)射擊比賽訓(xùn)練中,統(tǒng)計(jì)某運(yùn)動(dòng)員的射擊結(jié)果可知,該運(yùn)動(dòng)員射擊所中環(huán)數(shù)均在7環(huán)(含7環(huán))以上,已知該運(yùn)動(dòng)員射擊一次命中7環(huán)的概率為0.1,射擊一次命中7環(huán)、8環(huán)、9環(huán)、10環(huán)的概率依次成等差數(shù)列.
問題 你能知道該運(yùn)動(dòng)員射擊命中環(huán)數(shù)的概率分布情況嗎?
提示 通過學(xué)習(xí)本節(jié)課的離散型隨機(jī)變量的分布列及其性質(zhì),我們可以很快解決此類問題.
1.離散型隨機(jī)變量的分布列
離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各值的概率之和
(1)離散型隨機(jī)變量的分布列
一般地,設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為 x1,x2,…,xn ,我們稱X取每一個(gè)值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n為X的概率分布列,簡稱為分布列.
(2)可以用表格來表示X的分布列,如下表
還可以用圖形表示,如下圖直觀地表示了擲骰子試驗(yàn)中擲出的點(diǎn)數(shù)X的分布列,稱為X的概率分布圖.
2.離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)
(1)pi≥0,i=1,2,…,n;
(2) p1+p2+…+pn=1.
3.兩點(diǎn)分布
對于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn),用A表示“成功”,eq \(A,\s\up6(-))表示“失敗”,定義X=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1,A發(fā)生,,0,\(A,\s\up6(-))發(fā)生.))如果P(A)=p,則P(eq \(A,\s\up6(-)))=1-p,那么X的分布列如表所示
我們稱X服從兩點(diǎn)分布或0-1分布.
拓展深化
[微判斷]
1.在離散型隨機(jī)變量分布列中隨機(jī)變量的每一個(gè)可能值對應(yīng)的概率可以為任意的實(shí)數(shù).(×)
提示 概率必須滿足pi≥0才行.
2.在離散型隨機(jī)變量分布列中,在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各值的概率之積.(×)
提示 在離散型隨機(jī)變量分布列中,在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各值的概率之和.
3.在離散型隨機(jī)變量分布列中,所有概率之和為1.(√)
[微訓(xùn)練]
1.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布列如下表:
則p的值為( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,6)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,4)
解析 由分布列的性質(zhì),知eq \f(1,6)+eq \f(1,3)+eq \f(1,6)+p=1,故p=eq \f(1,3).
答案 C
2.已知隨機(jī)變量X的分布列為:P(X=k)=eq \f(1,2k),k=1,2,…,則P(2<X≤4)=__________.
解析 P(2<X≤4)=P(X=3)+P(X=4)=eq \f(1,23)+eq \f(1,24)=eq \f(3,16).
答案 eq \f(3,16)
[微思考]
1.拋擲一枚骰子,朝上的一面所得點(diǎn)數(shù)X有哪些值?取每個(gè)值的概率是多少?
提示 X的取值有1,2,3,4,5,6,
則P(X=1)=eq \f(1,6),P(X=2)=eq \f(1,6),P(X=3)=eq \f(1,6),P(X=4)=eq \f(1,6),P(X=5)=eq \f(1,6),P(X=6)=eq \f(1,6).
2.離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件是彼此互斥的嗎?
提示 是.離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件不會(huì)同時(shí)發(fā)生,是彼此互斥的.
題型一 求離散型隨機(jī)變量的分布列
【例1】 為檢測某產(chǎn)品的質(zhì)量,現(xiàn)抽取5件產(chǎn)品,測量產(chǎn)品中微量元素x,y的含量(單位:毫克),測量數(shù)據(jù)如下:
如果產(chǎn)品中的微量元素x,y滿足x≥177且y≥79時(shí),該產(chǎn)品為優(yōu)等品.
現(xiàn)從上述5件產(chǎn)品中,隨機(jī)抽取2件,求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)X的分布列.
解 5件抽測品中有2件優(yōu)等品,則X的可能取值為0,1,2.
P(X=0)=eq \f(Ceq \\al(2,3),Ceq \\al(2,5))=0.3,
P(X=1)=eq \f(Ceq \\al(1,3)·Ceq \\al(1,2),Ceq \\al(2,5))=0.6,
P(X=2)=eq \f(Ceq \\al(2,2),Ceq \\al(2,5))=0.1.
∴優(yōu)等品數(shù)X的分布列為
規(guī)律方法 求離散型隨機(jī)變量分布列的步驟
(1)首先確定隨機(jī)變量X的取值;
(2)求出每個(gè)取值對應(yīng)的概率;
(3)列表對應(yīng),即為分布列.
【訓(xùn)練1】 某班有學(xué)生45人,其中O型血的有10人,A型血的有12人,B型血的有8人,AB型血的有15人.現(xiàn)從中抽1人,其血型為隨機(jī)變量X,求X的分布列.
解 將O,A,B,AB四種血型分別編號為1,2,3,4,則X的可能取值為1,2,3,4.
P(X=1)=eq \f(Ceq \\al(1,10),Ceq \\al(1,45))=eq \f(2,9),P(X=2)=eq \f(Ceq \\al(1,12),Ceq \\al(1,45))=eq \f(4,15),
P(X=3)=eq \f(Ceq \\al(1,8),Ceq \\al(1,45))=eq \f(8,45),P(X=4)=eq \f(Ceq \\al(1,15),Ceq \\al(1,45))=eq \f(1,3).
故其分布列為
題型二 分布列的性質(zhì)及其應(yīng)用
【例2】 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為
求:(1)2X+1的分布列;
(2)|X-1|的分布列.
解 由分布列的性質(zhì)知:0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,
∴m=0.3.
首先列表為
從而由上表得兩個(gè)分布列為
(1)2X+1的分布列
(2)|X-1|的分布列
規(guī)律方法 離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)的應(yīng)用
(1)通過性質(zhì)建立關(guān)系,求得參數(shù)的取值或范圍,進(jìn)一步求出概率,得出分布列.
(2)求對立事件的概率或判斷某概率是否成立.
【訓(xùn)練2】 (1)已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為
則k的值為( )
A.eq \f(1,2) B.1 C.2 D.3
解析 由eq \f(k,n)+eq \f(k,n)+…+eq \f(k,n)=1,得eq \f(nk,n)=1,即k=1.
答案 B
(2)設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X=i)=eq \f(k,2i)(i=1,2,3),則P(X≥2)=__________.
解析 由已知得隨機(jī)變量X的分布列為
∴eq \f(k,2)+eq \f(k,4)+eq \f(k,8)=1,∴k=eq \f(8,7).
∴P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=eq \f(k,4)+eq \f(k,8)=eq \f(2,7)+eq \f(1,7)=eq \f(3,7).
答案 eq \f(3,7)
題型三 兩點(diǎn)分布
【例3】 袋中有5個(gè)白球,6個(gè)紅球,從中摸出兩球,記X=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0,兩球全紅,,1,兩球非全紅,))求隨機(jī)變量X的分布列.
解 由題意知,X服從兩點(diǎn)分布,P(X=0)=eq \f(Ceq \\al(2,6),Ceq \\al(2,11))=eq \f(3,11),所以P(X=1)=1-eq \f(3,11)=eq \f(8,11).
所以隨機(jī)變量X的分布列為
規(guī)律方法 兩點(diǎn)分布的4個(gè)特點(diǎn)
(1)兩點(diǎn)分布中只有兩個(gè)對應(yīng)結(jié)果,且兩結(jié)果是對立的;
(2)兩點(diǎn)分布中的兩結(jié)果一個(gè)對應(yīng)1,另一個(gè)對應(yīng)0;
(3)由互斥事件的概率求法可知,已知P(X=0)(或P(X=1)),便可求出P(X=1)(或P(X=0));
(4)在有多個(gè)結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)中,如果我們只關(guān)心一個(gè)隨機(jī)事件是否發(fā)生,就可以利用兩點(diǎn)分布來研究它.
【訓(xùn)練3】 已知一批200件的待出廠產(chǎn)品中,有1件不合格品,現(xiàn)從中任意抽取2件進(jìn)行檢查,若用隨機(jī)變量X表示抽取的2件產(chǎn)品中的次品數(shù),求X的分布列.
解 由題意知,X服從兩點(diǎn)分布,P(X=0)=eq \f(Ceq \\al(2,199),Ceq \\al(2,200))=eq \f(99,100),
所以P(X=1)=1-eq \f(99,100)=eq \f(1,100).
所以隨機(jī)變量X的分布列為
一、素養(yǎng)落地
1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng).
2.離散型隨機(jī)變量的分布列,不僅能清楚地反映其所取的一切可能的值,而且能清楚地看到取每一個(gè)值時(shí)的概率的大小,從而反映了隨機(jī)變量在隨機(jī)試驗(yàn)中取值的分布情況.
3.一般地,離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和.
二、素養(yǎng)訓(xùn)練
1.已知隨機(jī)變量X的分布列如下:
則P(X=10)等于( )
A.eq \f(2,39) B.eq \f(2,310)
C.eq \f(1,39) D.eq \f(1,310)
解析 P(X=10)=1-eq \f(2,3)-…-eq \f(2,39)=eq \f(1,39).
答案 C
2.已知隨機(jī)變量X的分布列如下表所示,其中a,b,c成等差數(shù)列,則P(|X|=1)等于( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,4)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
解析 ∵a,b,c成等差數(shù)列,∴2b=a+c.
由分布列的性質(zhì)得a+b+c=3b=1,∴b=eq \f(1,3).
∴P(|X|=1)=P(X=1)+P(X=-1)
=1-P(X=0)=1-eq \f(1,3)=eq \f(2,3).
答案 D
3.已知隨機(jī)變量X的分布列如下表(其中a為常數(shù)):
則下列計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤的是( )
A.a(chǎn)=0.1 B.P(X≥2)=0.7
C.P(X≥3)=0.4 D.P(X≤1)=0.3
解析 易得a=0.1,P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=0.7,P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=0.3,P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=0.3,故C錯(cuò)誤.
答案 C
4.設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量,其分布列為
則P(X≤0)=__________.
解析 由分布列的性質(zhì),得1-2q≥0,q2≥0,
eq \f(1,2)+(1-2q)+q2=1,
所以q=1-eq \f(\r(2),2),q=1+eq \f(\r(2),2)(舍去).
P(X≤0)=P(X=-1)+P(X=0)
=eq \f(1,2)+1-2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1-\f(\r(2),2)))=eq \r(2)-eq \f(1,2).
答案 eq \r(2)-eq \f(1,2)
5.若離散型隨機(jī)變量X的分布列為:
試求出離散型隨機(jī)變量X的分布列.
解 由已知可得9c2-c+3-8c=1,
∴9c2-9c+2=0,∴c=eq \f(1,3)或eq \f(2,3).
檢驗(yàn):當(dāng)c=eq \f(1,3)時(shí),9c2-c=9×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(2)-eq \f(1,3)=eq \f(2,3)>0,3-8c=3-eq \f(8,3)=eq \f(1,3)>0;
當(dāng)c=eq \f(2,3)時(shí),9c2-c=9×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(2)-eq \f(2,3)>1,3-8c=3-eq \f(16,3)<0(不適合,舍去).
故c=eq \f(1,3).
故所求分布列為
基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)
一、選擇題
1.設(shè)隨機(jī)變量X等可能取值1,2,3,…,n,如果P(X
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