2020年寧夏中考數學試卷

這是一份2020年寧夏中考數學試卷，共31頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內容，歡迎下載使用。
?2020年寧夏中考數學試卷
一、選擇題（本題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個選項中只有一個是符合題目要求的）
1．（3分）（2020?寧夏）下列各式中正確的是（　?。?br /> A．a3?a2＝a6 B．3ab﹣2ab＝1
C．6a2+13a=2a+1 D．a（a﹣3）＝a2﹣3a
2．（3分）（2020?寧夏）小明為了解本班同學一周的課外閱讀量，隨機抽取班上15名同學進行調查，并將調查結果繪制成折線統(tǒng)計圖（如圖），則下列說法正確的是（　　）

A．中位數是3，眾數是2
B．眾數是1，平均數是2
C．中位數是2，眾數是2
D．中位數是3，平均數是2.5
3．（3分）（2020?寧夏）現有4條線段，長度依次是2、4、6、7，從中任選三條，能組成三角形的概率是（　?。?br /> A．14 B．12 C．35 D．34
4．（3分）（2020?寧夏）如圖擺放的一副學生用直角三角板，∠F＝30°，∠C＝45°，AB與DE相交于點G，當EF∥BC時，∠EGB的度數是（　　）

A．135° B．120° C．115° D．105°
5．（3分）（2020?寧夏）如圖，菱形ABCD的邊長為13，對角線AC＝24，點E、F分別是邊CD、BC的中點，連接EF并延長與AB的延長線相交于點G，則EG＝（　?。?br />
A．13 B．10 C．12 D．5
6．（3分）（2020?寧夏）如圖，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC=2，以點C為圓心畫弧與斜邊AB相切于點D，交AC于點E，交BC于點F，則圖中陰影部分的面積是（　　）

A．1-π4 B．π-14 C．2-π4 D．1+π4
7．（3分）（2020?寧夏）如圖，函數y1＝x+1與函數y2=2x的圖象相交于點M（1，m），N（﹣2，n）．若y1＞y2，則x的取值范圍是（　?。?br />
A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2或x＞1
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1
8．（3分）（2020?寧夏）如圖2是圖1長方體的三視圖，若用S表示面積，S主＝a2，S左＝a2+a，則S俯＝（　?。?br /> A．a2+a B．2a2 C．a2+2a+1 D．2a2+a
二、填空題（本題共8小題，每小題3分，共24分）
9．（3分）（2020?寧夏）分解因式：3a2﹣6a+3＝　 　．
10．（3分）（2020?寧夏）若二次函數y＝﹣x2+2x+k的圖象與x軸有兩個交點，則k的取值范圍是　 　．
11．（3分）（2020?寧夏）有三張大小、形狀完全相同的卡片．卡片上分別寫有數字4、5、6，從這三張卡片中隨機先后不放回地抽取兩張，則兩次抽出數字之和為奇數的概率是　 ?。?br /> 12．（3分）（2020?寧夏）我國古代數學經典著作《九章算術》中記載了一個“圓材埋壁”的問題：“今有圓材埋在壁中，不知大?。凿忎徶?，深一寸，鋸道長一尺．問徑幾何？”意思是：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小．用鋸去鋸這木材，鋸口深ED＝1寸，鋸道長AB＝1尺（1尺＝10寸）．問這根圓形木材的直徑是　 　寸．
13．（3分）（2020?寧夏）如圖，直線y=52x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，把△AOB繞點B逆時針旋轉90°后得到△A1O1B，則點A1的坐標是　 　．

14．（3分）（2020?寧夏）如圖，在△ABC中，∠C＝84°，分別以點A、B為圓心，以大于12AB的長為半徑畫弧，兩弧分別交于點M、N，作直線MN交AC點D；以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交BA、BC于點E、F，再分別以點E、F為圓心，大于12EF的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線BP，此時射線BP恰好經過點D，則∠A＝　 　度．

15．（3分）（2020?寧夏）《西游記》、《三國演義》、《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著某興趣小組閱讀四大名著的人數，同時滿足以下三個條件：
（1）閱讀過《西游記》的人數多于閱讀過《水滸傳》的人數；
（2）閱讀過《水滸傳》的人數多于閱讀過《三國演義》的人數；
（3）閱讀過《三國演義》的人數的2倍多于閱讀過《西游記》的人數．
若閱讀過《三國演義》的人數為4，則閱讀過《水滸傳》的人數的最大值為　 ?。?br /> 16．（3分）（2020?寧夏）2002年8月，在北京召開的國際數學家大會會標取材于我國古代數學家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形（如圖1），且大正方形的面積是15，小正方形的面積是3，直角三角形的較短直角邊為a，較長直角邊為b．如果將四個全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，那么圖2中最大的正方形的面積為　 　．

三、解答題（本題共有6個小題，每小題6分，共36分）
17．（6分）（2020?寧夏）在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點的坐標分別是A（1，3），B（4，1），C（1，1）．
（1）畫出△ABC關于x軸成軸對稱的△A1B1C1；
（2）畫出△ABC以點O為位似中心，位似比為1：2的△A2B2C2．

18．（6分）（2020?寧夏）解不等式組：5-x≥3(x-1)①2x-13-5x+12＜1②．
19．（6分）（2020?寧夏）先化簡，再求值：（a+1a+2+1a-2）÷2a2-4，其中a=2．
20．（6分）（2020?寧夏）在“抗擊疫情”期間，某學校工會號召廣大教師積極開展了“獻愛心捐款”活動，學校擬用這筆捐款購買A、B兩種防疫物品．如果購買A種物品60件，B種物品45件，共需1140元；如果購買A種物品45件，B種物品30件，共需840元．
（1）求A、B兩種防疫物品每件各多少元；
（2）現要購買A、B兩種防疫物品共600件，總費用不超過7000元，那么A種防疫物品最多購買多少件？
21．（6分）（2020?寧夏）如圖，在?ABCD中，點E是AD的中點，連接CE并延長，交BA的延長線于點F．求證：FA＝AB．

22．（6分）（2020?寧夏）某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭20天的日用水量數據（單位：m3）和使用了節(jié)水龍頭20天的日用水量數據，得到頻數分布表如下：
未使用節(jié)水龍頭20天的日用水量頻數分布表：
日用水量/m3
0≤x＜0.1
0.1≤x＜0.2
0.2≤x＜0.3
0.3≤x＜0.4
0.4≤x＜0.5
頻數
0
4
2
4
10
使用了節(jié)水龍頭20天的日用水量頻數分布表：
日用水量/m3
0≤x＜0.1
0.1≤x＜0.2
0.2≤x＜0.3
0.3≤x＜0.4
頻數
2
6
8
4
（1）計算未使用節(jié)水龍頭20天的日平均用水量和使用了節(jié)水龍頭20天的日平均用水量；
（2）估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少立方米水？（一年按365天計算）
四、解答題（本題共4道題，其中23、24題每題8分，25、26題每題10分，共36分）
23．（8分）（2020?寧夏）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，點D為AC上一點，以CD為直徑的⊙O交AB于點E，連接CE，且CE平分∠ACB．
（1）求證：AE是⊙O的切線；
（2）連接DE，若∠A＝30°，求BEDE．

24．（8分）（2020?寧夏）“低碳生活，綠色出行”是一種環(huán)保、健康的生活方式，小麗從甲地勻速步行前往乙地，同時，小明從乙地沿同一路線勻速步行前往甲地，兩人之間的距離y（m）與步行時間x（min）之間的函數關系式如圖中折線段AB﹣BC﹣CD所示．
（1）小麗與小明出發(fā)　 　min相遇；
（2）在步行過程中，若小明先到達甲地．
①求小麗和小明步行的速度各是多少？
②計算出點C的坐標，并解釋點C的實際意義．

25．（10分）（2020?寧夏）在綜合與實踐活動中，活動小組的同學看到網上購鞋的鞋號（為正整數）與腳長（毫米）的對應關系如表1：
鞋號（正整數）
22
23
24
25
26
27
…
腳長（毫米）
160±2
165±2
170±2
175±2
180±2
185±2
…
為了方便對問題的研究，活動小組將表1中的數據進行了編號，并對腳長的數據bn定義為[bn]如表2：
序號n
1
2
3
4
5
6
…
鞋號an
22
23
24
25
26
27
…
腳長bn
160±2
165±2
170±2
175±2
180±2
185±2
…
腳長[bn]
160
165
170
175
180
185
…
定義：對于任意正整數m、n，其中m＞2．若[bn]＝m，則m﹣2≤bn≤m+2．
如：[b4]＝175表示175﹣2≤b4≤175+2，即173≤b4≤177．
（1）通過觀察表2，猜想出an與序號n之間的關系式，[bn]與序號n之間的關系式；
（2）用含an的代數式表示[bn]；計算鞋號為42的鞋適合的腳長范圍；
（3）若腳長為271毫米，那么應購鞋的鞋號為多大？
26．（10分）（2020?寧夏）如圖（1）放置兩個全等的含有30°角的直角三角板ABC與DEF（∠B＝∠E＝30°），若將三角板ABC向右以每秒1個單位長度的速度移動（點C與點E重合時移動終止），移動過程中始終保持點B、F、C、E在同一條直線上，如圖（2），AB與DF、DE分別交于點P、M，AC與DE交于點Q，其中AC＝DF=3，設三角板ABC移動時間為x秒．

（1）在移動過程中，試用含x的代數式表示△AMQ的面積；
（2）計算x等于多少時，兩個三角板重疊部分的面積有最大值？最大值是多少？

2020年寧夏中考數學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個選項中只有一個是符合題目要求的）
1．（3分）（2020?寧夏）下列各式中正確的是（　?。?br /> A．a3?a2＝a6 B．3ab﹣2ab＝1
C．6a2+13a=2a+1 D．a（a﹣3）＝a2﹣3a
【解答】解：A、a3?a2＝a5，所以A錯誤；
B、3ab﹣2ab＝ab，所以B錯誤；
C、6a2+13a=2a+13a，所以C錯誤；
D、a（a﹣3）＝a2﹣3a，所以D正確；
故選：D．
2．（3分）（2020?寧夏）小明為了解本班同學一周的課外閱讀量，隨機抽取班上15名同學進行調查，并將調查結果繪制成折線統(tǒng)計圖（如圖），則下列說法正確的是（　?。?br />
A．中位數是3，眾數是2
B．眾數是1，平均數是2
C．中位數是2，眾數是2
D．中位數是3，平均數是2.5
【解答】解：15名同學一周的課外閱讀量為0，1，1，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，4，4，
處在中間位置的一個數為2，因此中位數為2；
平均數為（0×1+1×4+2×6+3×2+4×2）÷15＝2；
眾數為2；
故選：C．
3．（3分）（2020?寧夏）現有4條線段，長度依次是2、4、6、7，從中任選三條，能組成三角形的概率是（　?。?br /> A．14 B．12 C．35 D．34
【解答】解：畫樹狀圖如圖：

共有24個等可能的結果，能組成三角形的結果有12個，
∴能構成三角形的概率為1224=12，
故選：B．
4．（3分）（2020?寧夏）如圖擺放的一副學生用直角三角板，∠F＝30°，∠C＝45°，AB與DE相交于點G，當EF∥BC時，∠EGB的度數是（　?。?br />
A．135° B．120° C．115° D．105°
【解答】解：過點G作HG∥BC，
∵EF∥BC，
∴GH∥BC∥EF，
∴∠HGB＝∠B，∠HGE＝∠E，
∵在Rt△DEF和Rt△ABC中，∠F＝30°，∠C＝45°
∴∠E＝60°，∠B＝45°
∴∠HGB＝∠B＝45°，∠HGE＝∠E＝60°
∴∠EGB＝∠HGE+∠HGB＝60°+45°＝105°
故∠EGB的度數是105°，
故選：D．
5．（3分）（2020?寧夏）如圖，菱形ABCD的邊長為13，對角線AC＝24，點E、F分別是邊CD、BC的中點，連接EF并延長與AB的延長線相交于點G，則EG＝（　?。?br />
A．13 B．10 C．12 D．5
【解答】解：連接BD，交AC于點O，如圖：
∵菱形ABCD的邊長為13，點E、F分別是邊CD、BC的中點，
∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝DA＝13，EF∥BD，
∵AC、BD是菱形的對角線，AC＝24，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝12，OB＝OD，
又∵AB∥CD，EF∥BD，
∴DE∥BG，BD∥EG，
∵DE∥BG，BD∥EG，
∴四邊形BDEG是平行四邊形，
∴BD＝EG，
在△COD中，∵OC⊥OD，CD＝13，CO＝12，
∴OB＝OD=132-122=5，
∴BD＝2OD＝10，
∴EG＝BD＝10；
故選：B．

6．（3分）（2020?寧夏）如圖，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC=2，以點C為圓心畫弧與斜邊AB相切于點D，交AC于點E，交BC于點F，則圖中陰影部分的面積是（　?。?br />
A．1-π4 B．π-14 C．2-π4 D．1+π4
【解答】解：連接CD，如圖，
∵AB是圓C的切線，
∴CD⊥AB，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=2AC=2×2=2，
∴CD=12AB＝1，
∴圖中陰影部分的面積＝S△ABC﹣S扇形ECF
=12×2×2-90?π?12360
＝1-π4．
故選：A．

7．（3分）（2020?寧夏）如圖，函數y1＝x+1與函數y2=2x的圖象相交于點M（1，m），N（﹣2，n）．若y1＞y2，則x的取值范圍是（　?。?br />
A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2或x＞1
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1
【解答】解：由一次函數和反比例函數的圖象可知，當一次函數圖象在反比例函數圖象之上時，所對應的x的取值范圍為﹣2＜x＜0或x＞1，
故答案為：﹣2＜x＜0或x＞1．
故選：D．

8．（3分）（2020?寧夏）如圖2是圖1長方體的三視圖，若用S表示面積，S主＝a2，S左＝a2+a，則S俯＝（　　）
A．a2+a B．2a2 C．a2+2a+1 D．2a2+a
【解答】解：∵S主=a2=a?a，S左=a2+a=a(a+1)，
∴俯視圖的長為a+1，寬為a，
∴S俯=a?(a+1)=a2+a，
故選：A．
二、填空題（本題共8小題，每小題3分，共24分）
9．（3分）（2020?寧夏）分解因式：3a2﹣6a+3＝　3（a﹣1）2　．
【解答】解：原式＝3（a2﹣2a+1）＝3（a﹣1）2．
故答案為：3（a﹣1）2．
10．（3分）（2020?寧夏）若二次函數y＝﹣x2+2x+k的圖象與x軸有兩個交點，則k的取值范圍是　k＞﹣1?。?br /> 【解答】解：∵二次函數y＝﹣x2+2x+k的圖象與x軸有兩個交點，
∴△＝4﹣4×（﹣1）?k＞0，
解得：k＞﹣1，
故答案為：k＞﹣1．
11．（3分）（2020?寧夏）有三張大小、形狀完全相同的卡片．卡片上分別寫有數字4、5、6，從這三張卡片中隨機先后不放回地抽取兩張，則兩次抽出數字之和為奇數的概率是　23　．
【解答】解：列表得：

4
5
6
4

9
10
5
9

11
6
10
11

共有6種情況，取出的兩張卡片上的數字之和為奇數的情況數為4種，
∴兩次抽出數字之和為奇數的概率為46=23．
故答案為：23．
12．（3分）（2020?寧夏）我國古代數學經典著作《九章算術》中記載了一個“圓材埋壁”的問題：“今有圓材埋在壁中，不知大?。凿忎徶?，深一寸，鋸道長一尺．問徑幾何？”意思是：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小．用鋸去鋸這木材，鋸口深ED＝1寸，鋸道長AB＝1尺（1尺＝10寸）．問這根圓形木材的直徑是　26　寸．
【解答】解：由題意可知OE⊥AB，
∵OE為⊙O半徑，
∴AD=BD=12AB=12尺＝5寸，
設半徑OA＝OE＝r，
∵ED＝1，
∴OD＝r﹣1，
則Rt△OAD中，根據勾股定理可得：（r﹣1）2+52＝r2，
解得：r＝13，
∴木材直徑為26寸；
故答案為：26．
13．（3分）（2020?寧夏）如圖，直線y=52x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，把△AOB繞點B逆時針旋轉90°后得到△A1O1B，則點A1的坐標是?。?，125）?。?br />
【解答】解：在y=52x+4中，令x＝0得，y＝4，
令y＝0，得0=52x+4，解得x=-85，
∴A（-85，0），B（0，4），
由旋轉可得△AOB≌△A1O1B，∠ABA1＝90°，
∴∠ABO＝∠A1BO1，∠BO1A1＝∠AOB＝90°，OA＝O1A1=85，OB＝O1B＝4，
∴∠OBO1＝90°，
∴O1B∥x軸，
∴點A1的縱坐標為OB﹣OA的長，即為4-85=125；
橫坐標為O1B＝OB＝4，
故點A1的坐標是（4，125），
故答案為：（4，125）．
14．（3分）（2020?寧夏）如圖，在△ABC中，∠C＝84°，分別以點A、B為圓心，以大于12AB的長為半徑畫弧，兩弧分別交于點M、N，作直線MN交AC點D；以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交BA、BC于點E、F，再分別以點E、F為圓心，大于12EF的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線BP，此時射線BP恰好經過點D，則∠A＝　32　度．

【解答】解：由作圖可得，MN是線段AB的垂直平分線，BD是∠ABC的平分線，
∴AD＝BD，∠ABD=∠CBD=12∠ABC，
∴∠A＝∠ABD，
∴∠A＝∠ABD＝∠CBD，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，且∠C＝84°，
∴∠A+2∠ABD＝180°﹣∠C，
即3∠A＝180°﹣84°，
∴∠A＝32°．
故答案為：32．
15．（3分）（2020?寧夏）《西游記》、《三國演義》、《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著某興趣小組閱讀四大名著的人數，同時滿足以下三個條件：
（1）閱讀過《西游記》的人數多于閱讀過《水滸傳》的人數；
（2）閱讀過《水滸傳》的人數多于閱讀過《三國演義》的人數；
（3）閱讀過《三國演義》的人數的2倍多于閱讀過《西游記》的人數．
若閱讀過《三國演義》的人數為4，則閱讀過《水滸傳》的人數的最大值為　6　．
【解答】解：設閱讀過《西游記》的人數是a，閱讀過《水滸傳》的人數是b（a，b均為整數），
依題意，得：a＞bb＞4a＜8，
∵a，b均為整數
∴4＜b＜7，
∴b最大可以取6．
故答案為：6．
16．（3分）（2020?寧夏）2002年8月，在北京召開的國際數學家大會會標取材于我國古代數學家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形（如圖1），且大正方形的面積是15，小正方形的面積是3，直角三角形的較短直角邊為a，較長直角邊為b．如果將四個全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，那么圖2中最大的正方形的面積為　27?。?br />
【解答】解：由題意可得在圖1中：a2+b2＝15，（b﹣a）2＝3，
圖2中大正方形的面積為：（a+b）2，
∵（b﹣a）2＝3
a2﹣2ab+b2＝3，
∴15﹣2ab＝3
2ab＝12，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝15+12＝27，
故答案為：27．
三、解答題（本題共有6個小題，每小題6分，共36分）
17．（6分）（2020?寧夏）在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點的坐標分別是A（1，3），B（4，1），C（1，1）．
（1）畫出△ABC關于x軸成軸對稱的△A1B1C1；
（2）畫出△ABC以點O為位似中心，位似比為1：2的△A2B2C2．

【解答】解：（1）由題意知：△ABC的三個頂點的坐標分別是A（1，3），B（4，1），C（1，1），
則△ABC關于x軸成軸對稱的△A1B1C1的坐標為A1（1，﹣3），B1（4，﹣1），C1（1，﹣1），
連接A1C1，A1B1，B1C1
得到△A1B1C1．
如圖所示△A1B1C1為所求；
（2）由題意知：位似中心是原點，
則分兩種情況：
第一種，△A2B2C2和△ABC在同一側
則A2（2，6），B2（8，2），C2（2，2），
連接各點，得△A2B2C2．
第二種，△A2B2C2在△ABC的對側
A2（﹣2，﹣6），B2（﹣8，﹣2），C2（﹣2，﹣2），
連接各點，得△A2B2C2．
綜上所述：如圖所示△A2B2C2為所求；

18．（6分）（2020?寧夏）解不等式組：5-x≥3(x-1)①2x-13-5x+12＜1②．
【解答】解：由①得：x≤2，
由②得：x＞﹣1，
所以，不等式組的解集是﹣1＜x≤2．
19．（6分）（2020?寧夏）先化簡，再求值：（a+1a+2+1a-2）÷2a2-4，其中a=2．
【解答】解：原式=(a+1)(a-2)+a+2a2-4?a2-42
=a2-a-2+a+22
=a22
當a=2時，原式=(2)22=1．
20．（6分）（2020?寧夏）在“抗擊疫情”期間，某學校工會號召廣大教師積極開展了“獻愛心捐款”活動，學校擬用這筆捐款購買A、B兩種防疫物品．如果購買A種物品60件，B種物品45件，共需1140元；如果購買A種物品45件，B種物品30件，共需840元．
（1）求A、B兩種防疫物品每件各多少元；
（2）現要購買A、B兩種防疫物品共600件，總費用不超過7000元，那么A種防疫物品最多購買多少件？
【解答】解：（1）設A種防疫物品每件x元，B種防疫物品每件y元，
依題意，得：60x+45y=114045x+30y=840，
解得：x=16y=4．
答：A種防疫物品每件16元，B種防疫物品每件4元．
（2）設購買A種防疫物品m件，則購買B種防疫物品（600﹣m）件，
依題意，得：16m+4（600﹣m）≤7000，
解得：m≤38313，
又∵m為正整數，
∴m的最大值為383．
答：A種防疫物品最多購買383件．
21．（6分）（2020?寧夏）如圖，在?ABCD中，點E是AD的中點，連接CE并延長，交BA的延長線于點F．求證：FA＝AB．

【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝DC，AB∥DC．
∴∠FEA＝∠DEC，∠F＝∠ECD．
又∵EA＝ED，
∴△AFE≌△DCE．
∴AF＝DC．
∴AF＝AB．
22．（6分）（2020?寧夏）某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭20天的日用水量數據（單位：m3）和使用了節(jié)水龍頭20天的日用水量數據，得到頻數分布表如下：
未使用節(jié)水龍頭20天的日用水量頻數分布表：
日用水量/m3
0≤x＜0.1
0.1≤x＜0.2
0.2≤x＜0.3
0.3≤x＜0.4
0.4≤x＜0.5
頻數
0
4
2
4
10
使用了節(jié)水龍頭20天的日用水量頻數分布表：
日用水量/m3
0≤x＜0.1
0.1≤x＜0.2
0.2≤x＜0.3
0.3≤x＜0.4
頻數
2
6
8
4
（1）計算未使用節(jié)水龍頭20天的日平均用水量和使用了節(jié)水龍頭20天的日平均用水量；
（2）估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少立方米水？（一年按365天計算）
【解答】解：（1）未使用節(jié)水龍頭20天的日平均用水量為：120×（0×0.05+4×0.15+2×0.25+4×0.35+10×0.45）＝0.35（m3），
使用了節(jié)水龍頭20天的日平均用水量為：120×（2×0.05+6×0.15+8×0.25+4×0.35）＝0.22（m3）；

（2）365×（0.35﹣0.22）＝365×0.13＝47.45（m3），
答：估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省47.45m3水．
四、解答題（本題共4道題，其中23、24題每題8分，25、26題每題10分，共36分）
23．（8分）（2020?寧夏）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，點D為AC上一點，以CD為直徑的⊙O交AB于點E，連接CE，且CE平分∠ACB．
（1）求證：AE是⊙O的切線；
（2）連接DE，若∠A＝30°，求BEDE．

【解答】（1）證明：連接OE，如圖1所示：
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE，
又∵OE＝OC，
∴∠ACE＝∠OEC，
∴∠BCE＝∠OEC，
∴OE∥BC，
∴∠AEO＝∠B，
又∵∠B＝90°，
∴∠AEO＝90°，
即OE⊥AE，
∵OE為⊙O的半徑，
∴AE是⊙O的切線；
（2）解：連接DE，如圖2所示：
∵CD是⊙O的直徑，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠B，
又∵∠DCE＝∠ECB，
∴△DCE∽△ECB，
∴BEDE=CECD，
∵∠A＝30°，∠B＝90°，
∴∠ACB＝60°，
∴∠DCE=12∠ACB=12×60°＝30°，
∴CECD=cos∠DCE＝cos30°=32，
∴BEDE=32．


24．（8分）（2020?寧夏）“低碳生活，綠色出行”是一種環(huán)保、健康的生活方式，小麗從甲地勻速步行前往乙地，同時，小明從乙地沿同一路線勻速步行前往甲地，兩人之間的距離y（m）與步行時間x（min）之間的函數關系式如圖中折線段AB﹣BC﹣CD所示．
（1）小麗與小明出發(fā)　30　min相遇；
（2）在步行過程中，若小明先到達甲地．
①求小麗和小明步行的速度各是多少？
②計算出點C的坐標，并解釋點C的實際意義．

【解答】解：（1）由圖象可得小麗與小明出發(fā)30min相遇，
故答案為：30；
（2）①設小麗步行的速度為V1m/min，小明步行的速度為V2m/min，且V2＞V1，
則30V1+30V2=5400(67.5-30)V1=30V2，
解得：V1=80V2=100，
答：小麗步行的速度為80m/min，小明步行的速度為100m/min；
②設點C的坐標為（x，y），
則可得方程（100+80）（x﹣30）+80（67.5﹣x）＝5400，
解得x＝54，y＝（100+80）（54﹣30）＝4320m，
∴點C（54，4320），
點C表示：兩人出發(fā)54min時，小明到達甲地，此時兩人相距4320m．
25．（10分）（2020?寧夏）在綜合與實踐活動中，活動小組的同學看到網上購鞋的鞋號（為正整數）與腳長（毫米）的對應關系如表1：
鞋號（正整數）
22
23
24
25
26
27
…
腳長（毫米）
160±2
165±2
170±2
175±2
180±2
185±2
…
為了方便對問題的研究，活動小組將表1中的數據進行了編號，并對腳長的數據bn定義為[bn]如表2：
序號n
1
2
3
4
5
6
…
鞋號an
22
23
24
25
26
27
…
腳長bn
160±2
165±2
170±2
175±2
180±2
185±2
…
腳長[bn]
160
165
170
175
180
185
…
定義：對于任意正整數m、n，其中m＞2．若[bn]＝m，則m﹣2≤bn≤m+2．
如：[b4]＝175表示175﹣2≤b4≤175+2，即173≤b4≤177．
（1）通過觀察表2，猜想出an與序號n之間的關系式，[bn]與序號n之間的關系式；
（2）用含an的代數式表示[bn]；計算鞋號為42的鞋適合的腳長范圍；
（3）若腳長為271毫米，那么應購鞋的鞋號為多大？
【解答】解：（1）an＝21+n；
[bn]＝160+5（n﹣1）＝5n+155；
（2）由an＝21+n與[bn]＝5n+155解得：[bn]＝5an+50，
把an＝42代入an＝21+n得n＝21，
所以[b21]＝5×42+50＝260，
則：260﹣2≤b21≤260+2，即258≤b21≤262．
答：鞋號為42的鞋適合的腳長范圍是258mm～262mm；
（3）根據[bn]＝5n+155可知[bn]能被5整除，
∵270﹣2≤271≤270+2，
∴[bn]＝270，
將[bn]＝270代入[bn]＝5an+50中得an＝44．
故應購買44號的鞋．
26．（10分）（2020?寧夏）如圖（1）放置兩個全等的含有30°角的直角三角板ABC與DEF（∠B＝∠E＝30°），若將三角板ABC向右以每秒1個單位長度的速度移動（點C與點E重合時移動終止），移動過程中始終保持點B、F、C、E在同一條直線上，如圖（2），AB與DF、DE分別交于點P、M，AC與DE交于點Q，其中AC＝DF=3，設三角板ABC移動時間為x秒．

（1）在移動過程中，試用含x的代數式表示△AMQ的面積；
（2）計算x等于多少時，兩個三角板重疊部分的面積有最大值？最大值是多少？
【解答】解：（1）解：因為Rt△ABC中∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵∠E＝30°，
∴∠EQC＝∠AQM＝60°，
∴△AMQ為等邊三角形，
過點M作MN⊥AQ，垂足為點N．

在Rt△ABC中，AC=3，BC=AC?tanA=3，
∴EF＝BC＝3，
根據題意可知CF＝x，
∴CE＝EF﹣CF＝3﹣xCQ=CE?tanE=33(3-x)，
∴AQ=AC-CQ=3-33(3-x)=33x，
∴AM=AQ=33x，而MN=AM?sinA=12x，
∴S△MAQ=12AQ?MN=12×33x?12x=312x2，
（2）由（1）知BF＝CE＝3﹣xPF=BF?tanB=33(3-x)，
∴S重疊=S△ABC-S△AMQ-S△BPF=12AC?BC-12AQ?MN-12BF?PF=12×3×3-312x2-12(3-x)33(3-x)=-34x2+3x=-34(x-2)2+3，
所以當x＝2時，重疊部分面積最大，最大面積是3．