北師大版九年級下冊3 三角函數(shù)的計算公開課教學設(shè)計

這是一份北師大版九年級下冊3 三角函數(shù)的計算公開課教學設(shè)計，共9頁。教案主要包含了教師準備，學生準備，教師活動，學生活動，教師強調(diào)，教師總結(jié)，教師點撥，師生活動等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?3　三角函數(shù)的計算





1.經(jīng)歷用計算器由已知銳角求三角函數(shù)值及由三角函數(shù)值求相應(yīng)的銳角的過程,進一步體會三角函數(shù)的意義.
2.能夠運用計算器進行有關(guān)三角函數(shù)的計算.
3.能夠運用計算器輔助解決含三角函數(shù)計算的實際問題.

1.借助計算器,解決含三角函數(shù)的實際問題,提高用現(xiàn)代工具解決實際問題的能力.
2.發(fā)現(xiàn)實際問題中的邊角關(guān)系,提高學生有條理地思考和表達的能力.

1.通過積極參與數(shù)學活動,體會解決問題后的快樂.
2.感悟計算器的計算功能和三角函數(shù)的應(yīng)用價值.

【重點】
1.用計算器由已知銳角求三角函數(shù)值.
2.能夠用計算器輔助解決含三角函數(shù)計算的實際問題.
【難點】　用計算器輔助解決含三角函數(shù)計算的實際問題.

【教師準備】　多媒體課件.
【學生準備】
1.科學計算器.
2.復(fù)習三角函數(shù)的計算方法.


導(dǎo)入一:
同學們小的時候都玩過蹺蹺板吧?如圖所示,蹺蹺板AB的一端B碰到地面時,AB與地面的夾角為15°,且OA=OB=3 m.你能求出此時另一端A離地面的高度嗎?

【問題】　要求A離地面的高度,實際上就是求直角三角形的直角邊,所以只要求出sin B的值即可,但是15°不是特殊角怎么辦呢?可以使用計算器進行解決.
[設(shè)計意圖]　用多媒體演示學生熟悉的現(xiàn)實生活中的問題,進而引出非特殊角的三角函數(shù)值,自然地引出本節(jié)課的課題.
導(dǎo)入二:

如圖所示,已知一商場自動扶梯的長l為13 m,高度h為5 m,自動扶梯與地面所成的夾角為θ,你能求出夾角θ的度數(shù)嗎?
【教師活動】　要求學生注意觀察夾角θ,l,h三者之間的關(guān)系,確定夾角θ的三角函數(shù).
【學生活動】　通過觀察發(fā)現(xiàn)sin θ==,由于不是特殊角的三角函數(shù)值,嘗試使用科學計算器求夾角θ的方法.
[設(shè)計意圖]　通過對非特殊角的三角函數(shù)值的分析,讓學生初步感知非特殊角的三角函數(shù)的計算方法——使用科學計算器,在引出課題的同時,又引導(dǎo)學生初步掌握了利用三角函數(shù)值求角度的方法.

　　[過渡語]　日常生活中我們經(jīng)常會遇到含有角度的運算,并且有些角度并非我們上節(jié)課所學的30°,45°,60°角等特殊角,對于非特殊角我們?nèi)绾吻蟪鏊鼈兊娜呛瘮?shù)值呢?
一、用計算器計算非特殊角的三角函數(shù)值
課件出示:
如圖所示,當?shù)巧嚼|車的吊箱經(jīng)過點A到達點B時,它走過了200 m.已知纜車行駛的路線與水平面的夾角為∠α=16°,那么纜車垂直上升的距離是多少?(結(jié)果精確到0.01 m)

教師引導(dǎo)學生回答:
1.纜車垂直上升的距離是線段　　　　.?
2.本題的已知條件是　　　　,需要求出的條件是　　　　.?
3.這三個量之間的關(guān)系是　　　　.?
學生思考并反饋:
1.纜車垂直上升的距離是線段BC.
2.已知條件是∠α=16°,AB=200 m,需要求出的是線段BC的長.
3.這三個量之間的關(guān)系為sin α=.
根據(jù)學生分析,師課件出示解題過程:
解:在Rt△ABC中,∠α=16°,AB=200 m,
根據(jù)正弦的定義,得sin 16°==,
∴BC=ABsin 16°=200·sin 16°.
想一想:200·sin 16°中的“sin 16°”是多少呢?我們需借助于科學計算器求出這個銳角的三角函數(shù)值,怎樣用科學計算器求三角函數(shù)值呢?用科學計算器求三角函數(shù)值時,需要用到sin,cos鍵和tan鍵.
【教師活動】　例如,求sin 16°,cos 72°38'25″,tan 85°的按鍵順序如下表所示.
(課件演示操作步驟)

【學生活動】　同學們用自己的計算器按上述按鍵順序計算sin 16°,cos 72°38'25″,tan 85°.看顯示的結(jié)果是否和表中顯示的結(jié)果相同.
【教師強調(diào)】
1.不同的計算器按鍵方式可能不同,所以同學們可以利用自己所使用的計算器探索計算三角函數(shù)值的具體步驟,也可以和其他同學互相交流其他計算器計算三角函數(shù)值的方法.
2.用計算器求三角函數(shù)值時,計算結(jié)果一般精確到萬分位.
【做一做】　下面就請同學們利用計算器求出本節(jié)剛開始提出的問題.
生得出:BC=200sin 16°≈55.12(m).
[設(shè)計意圖]　引導(dǎo)學生利用計算器求三角函數(shù)值的具體步驟,并注意在使用計算器求值的過程中出現(xiàn)的問題.
[知識拓展]　用計算器求三角函數(shù)值的按鍵順序:
第一步:按相應(yīng)的三角函數(shù)鍵,即按下“sin,cos或tan”鍵;
第二步:按下角度;
第三步:按“=”鍵得到相應(yīng)的三角函數(shù)值.
二、用計算器計算非特殊角的三角函數(shù)值的運用
　　[過渡語]　看來同學們已經(jīng)能熟練地用計算器計算一個銳角的三角函數(shù)值了.下面我們運用計算器輔助解決一個含有三角函數(shù)值計算的實際問題.
課件出示:

【議一議】　在本節(jié)一開始的問題中,當纜車繼續(xù)由點B到達點D時,它又走過了200 m,纜車由點B到點D的行駛路線與水平面的夾角為∠β=42°,由此你還能算出什么?
【教師活動】　留出時間和空間讓學生思考問題如何解決,不要代替學生思考,進而培養(yǎng)學生的思維能力.
【學生活動】　生獨立思考后,小組交流,代表發(fā)言:
思路一
纜車從A→B→D上升的垂直高度:
在Rt△DBE中,∠β=42°,BD=200 m,
所以纜車上升的垂直高度DE=BDsin 42°=200sin 42°≈133.83(m),
所以纜車從A→B→D上升的垂直高度為BC+DE≈55.12+133.83=188.95(m).
思路二
纜車從A→B→D移動的水平距離:
在Rt△ABC中,∠α=16°,AB=200 m,AC=ABcos 16°≈192.25(m).
在Rt△DBE中,∠β=42°,BD=200 m,BE=BD·cos 42°≈148.63(m).
所以纜車從A→B→D水平移動的距離為AC+BE≈192.25+148.63=340.88(m).
[設(shè)計意圖]　讓學生學會從數(shù)學角度提出問題、分析問題,并能綜合運用所學知識解決問題,發(fā)展學生的應(yīng)用意識,讓學生進一步體會在實際問題中用計算器求銳角三角函數(shù)值的過程.
三、利用計算器根據(jù)三角函數(shù)值求銳角的度數(shù)
　　[過渡語]　同學們已經(jīng)掌握了用計算器計算一個銳角的三角函數(shù)值.如果知道了一個角的三角函數(shù)值,那么我們?nèi)绾芜\用計算器求出這個角度呢?
【想一想】　為了方便行人推自行車過天橋,市政府在10 m高的天橋兩端修建了40 m長的斜道(如圖所示).這條斜道的傾斜角是多少?

【教師活動】　由已知條件如何求出傾斜角∠A的度數(shù)?
【學生活動】　生思考后,展示:
解:如圖所示,在Rt△ABC中,BC=10 m,AC=40 m,∴sin A===.
【議一議】　我們知道,給定一個銳角的度數(shù),這個銳角的三角函數(shù)值都唯一確定.給定一個銳角的三角函數(shù)值,這個銳角的大小也唯一確定嗎?為什么?
【教師總結(jié)】　我們曾學習過兩個直角三角形的判定定理——HL定理.在上圖中,斜邊AC和直角邊BC是定值,根據(jù)HL定理可知這樣的直角三角形形狀和大小是唯一確定的,當然∠A的大小也是唯一確定的.
【教師點撥】　和第一部分探究活動一樣,如果已知三角函數(shù)值我們同樣可以利用計算器求角度.
【師生活動】　探究學習用科學計算器根據(jù)已知銳角三角函數(shù)值求相應(yīng)銳角的大小的方法.
已知三角函數(shù)值求角度,要用到sin,cos,tan鍵的第二功能 “sin-1,cos-1,tan -1”和2ndf鍵.
例如,已知sin A,cos B,tan C,求∠A,∠B,∠C的度數(shù)的按鍵順序如下表所示.
學生根據(jù)課本和說明書,自己探究計算器的操作方法:

　　給學生充分交流的時間和空間,及時引導(dǎo)學生根據(jù)自己使用的計算器,探索具體操作步驟.
學生按照教師展示的按鍵順序,進行練習.
【教師強調(diào)】
1.顯示結(jié)果是以“度”為單位的.再按°'″ 鍵即可顯示以“度、分、秒”為單位的結(jié)果.
2.以后在用計算器求角度時如果沒有特別說明,計算結(jié)果精確到1″即可.
【做一做】　你能求出上圖中∠A的大小嗎?
【學生展示】　sin A==0.25.按鍵順序為:2ndf sin 0 · 2 5 =,顯示結(jié)果為sin-1 0.25=14.47751219,再按°'″鍵 可顯示14°28'39.04″,即∠A≈14°28'39″.
[設(shè)計意圖]　相信學生完全可以通過自學、互助,求出銳角的度數(shù),可由學生講解調(diào)動其主動性,尤其讓那些動手能力強的來做這項工作.然后再總結(jié)利用計算器由三角函數(shù)值求角度的按鍵順序,讓學生學會及時總結(jié)規(guī)律,為進一步的學習與應(yīng)用做好基礎(chǔ).
[知識拓展]　用計算器根據(jù)三角函數(shù)值求角度的按鍵順序:
第一步:按2ndf鍵;
第二步:按相應(yīng)的三角函數(shù)鍵,即按下“sin,cos或tan”鍵;
第三步:按已知的三角函數(shù)值;
第四步:按“=”鍵得到相應(yīng)角度;
第五步:按°'″鍵即可顯示以“度、分、秒”為單位的結(jié)果.

1.運用計算器求銳角的三角函數(shù)值及根據(jù)三角函數(shù)值求角度的方法.
2.運用三角函數(shù)解決實際問題的方法.

1.四位學生用計算器求sin 62°20'的值正確的是(小數(shù)點后保留四位) (　　)
A.0.8857 B.0.8856
C.0.8852 D.0.8851
解析:根據(jù)科學計算器給出的結(jié)果進行判斷,sin 62°20'≈0.8857.故選A.
2.在“測量旗桿的高度”的數(shù)學課題學習中,某學習小組測得太陽光線與水平面的夾角為27°,此時旗桿在水平地面上的影子的長度為24 m,則旗桿的高度約為 (　　)
A.24 m B.20 m
C.16 m D.12 m

解析:如圖所示,∵AB⊥BC,BC=24 m,∠ACB=27°,∴AB=BC·tan 27°,把BC=24,tan 27°≈0.51代入,得AB≈24×0.51≈12(m).故選D.
3.利用計算器求下列各角(精確到1').
(1)sin A=0.75,求∠A;
(2)cos B=0.8889,求∠B;
(3)tan C=45.43,求∠C;
解:(1)∵sin A=0.75,∴∠A≈48°35'.
(2)∵cos B=0.8889,∴∠B≈27°16'.
(3)∵tan C=45.43,∴∠C≈88°44'.

4.有人說,數(shù)學家就是不用爬樹或者把樹砍倒就能夠知道樹高的人.小敏想知道校園內(nèi)一棵大樹的高,如圖所示,她測得BC=10 m,∠ACB=50°,請你幫助她算出樹高AB約為多少米?(注:①樹垂直于地面;②供選用數(shù)據(jù):sin 50°≈0.77,cos 50°≈0.64,tan 50°≈1.2)
解:在Rt△ABC中,BC=10,∠ACB=50°,
則AB=BC×tan 50°≈12,即樹高約為12 m.

3　三角函數(shù)的計算
1.用計算器求銳角的三角函數(shù)值
2.用計算器根據(jù)三角函數(shù)值求銳角的度數(shù)

一、教材作業(yè)
【必做題】
1.教材第14頁隨堂練習第1~4題.
2.教材第15頁習題1.4第1~3題.
【選做題】
教材第15頁習題1.4第4,5,6題.
二、課后作業(yè)
【基礎(chǔ)鞏固】

1.(威海中考)如圖所示,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=26°,BC=5,若用科學計算器求邊AC的長,則下列按鍵順序正確的是 (　　)

2.用計算器求sin 20°+tan 54°33'的結(jié)果等于(結(jié)果精確到0.01) (　　)
A.2.25 B.1.55
C.1.73 D.1.75
3.(陜西中考)用科學計算器計算:+3tan 56°≈　　　　.(結(jié)果精確到0.01)?

4.如圖所示,為測量旗桿AB的高度,在與B距離為8 m的C處測得旗桿頂端A的仰角為56°,那么旗桿的高度約是　　　　m(結(jié)果保留整數(shù)).(參考數(shù)據(jù):sin 56°≈0.829,cos 56°≈0.559,tan 56°≈1.483)?
【能力提升】
5.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC∶AC=3∶4,運用計算器計算,則∠A的度數(shù)是(精確到1°) (　　)
A.30° B.37° C.38° D.39°
6.(南昌中考)如下左圖所示的是小志同學書桌上的一個電子相框,將其側(cè)面抽象為如下右圖所示的幾何圖形,已知BC=BD=15 cm,∠CBD=40°,則點B到CD的距離為cm.(參考數(shù)據(jù):sin 20°≈0.342,cos 20°≈0.940,sin 40°≈0.643,cos 40°≈0.766,結(jié)果精確到0.1 cm,可用科學計算器)

7.用計算器求下列各式的值(結(jié)果精確到0.0001):
(1)sin 47°;
(2)cos 25°18';
(3)tan 44°59'59″.
8.如圖所示,在△ABC中,AB=8,AC=9,∠A=48°.求:
(1)AB邊上的高;(精確到0.01)
(2)∠B的度數(shù).(精確到1')

9.如圖所示,益陽市梓山湖中有一孤立小島,湖邊有一條筆直的觀光小道AB,現(xiàn)決定從小島架一座與觀光小道垂直的小橋PD,小張在小道上測得如下數(shù)據(jù):AB=80.0 m,∠PAB=38.5°,∠PBA=26.5°.請幫助小張求出小橋PD的長并確定小橋在小道AB上的位置(以A,B為參照點,結(jié)果精確到0.1 m).(參考數(shù)據(jù):sin 38.5°≈0.62,cos 38.5°≈0.78,tan 38.5°≈0.80,sin 26.5°≈0.45,cos 26.5°≈0.89,tan 26.5°≈0.50)

【答案與解析】
1.D(解析:由tan B=,得AC=BC·tan B=5×tan 26°.故選D.)
2.D(解析:sin 20°+tan 54°33'≈0.3420+1.4045=1.7465≈1.75.故選D.)
3.10.02(解析:≈5.5678,tan 56°≈1.4826,則+3tan 56°≈5.5678+3×1.4826≈10.02.故填10.02.)
4.12(解析:由題意知BC=8,∠C=56°,故AB=BC·tan 56°≈8×1.483≈12(m).故填12.)
5.B(解析:∵BC∶AC=3∶4,∴設(shè)BC=3x,則AC=4x,由勾股定理得AB=5x,∴sin A===0.6,運用科學計算器得∠A≈37°.故選B.)

6.14.1(解析:如圖所示,作BE⊥CD于E,∵BC=BD,∠CBD=40°,∴∠CBE=20°.在Rt△CBE中,cos∠CBE=,∴BE=BC·cos∠CBE≈15×0.940=14.1(cm).故填14.1.)
7.解:(1)sin 47°≈0.7314.　(2)cos 25°18'≈0.9041.　(3)tan 44°59'59″≈1.0000.

8.解:(1)如圖所示,過C作AB邊上的垂線CH,垂足為H,∵在Rt△ACH中,sin A=,∴CH=AC·sin A=9sin 48°≈6.69.　(2)∵在Rt△ACH中,cos A=,∴AH=AC·cos A=9cos 48°,∴在Rt△BCH中,tan B===≈3.382,∴∠B≈73°32'.
9.解:設(shè)PD=x,∵PD⊥AB,∴∠ADP=∠BDP=90°,在Rt△PAD中,tan∠PAD=,∴AD=≈=x,在Rt△PBD中,tan∠PBD=,∴DB=≈=2x.又∵AB=80.0,∴x+2x=80.0,解得x≈24.6,即PD≈24.6 m,∴DB≈2x=49.2(m).答:小橋PD的長度約為24.6 m,小橋位于AB上距B點約49.2 m處.


本節(jié)是學習用計算器求三角函數(shù)值并加以實際應(yīng)用的內(nèi)容,通過本節(jié)的學習,使學生充分認識了三角函數(shù)知識在現(xiàn)實世界中有著廣泛的應(yīng)用.雖然本節(jié)課的知識點不是很多,但是學生通過積極參與課堂活動,提高了分析問題和解決問題的能力,并且在意志力、自信心和理性思維等方面得到了良好的發(fā)展.教學時把激發(fā)學生學習熱情和獲得學習能力放在教學首位,通過運用各種啟發(fā)、激勵的語言,以及組織小組合作學習,幫助學生形成積極主動的求知態(tài)度.對于新知的應(yīng)用,由于學生缺乏經(jīng)驗和思考能力,容易產(chǎn)生困惑,所以教師要恰當?shù)乩煤眯畔⒓夹g(shù),既有利于及時點撥和調(diào)控,又有利于學生的“直接體驗”,增加學生空間想象能力以及解題能力,有利于學生突破難點、提高學習效率,更有助于減輕學生的壓力,進而改善教學的效果.

由于學生使用的科學計算器型號不統(tǒng)一,所以按鍵的順序不一樣,這樣就給教學工作帶來了麻煩,要分別給學生說明,耽誤了一些時間,造成后面的教學環(huán)節(jié)處理得稍顯緊張.

第一,力爭使用型號統(tǒng)一的科學計算器;第二,對于計算器的使用,再多給學生一些練習的時間,使學生對計算器的操作達到熟練的程度.

隨堂練習(教材第14頁)
1.(1)0.8290　(2)0.9367　(3)1.0000　(4)4.7544
2.∠θ≈56°1″
3.山高約242.8 m.
4.約為51°19'4″
習題1.4(教材第15頁)
1.(1)0.6249　(2)0.9097　(3)0.8844　(4)0.8291
2.(1)1.5087　(2)-0.2432
3.(1)71°30'2″　(2)23°18'35″　(3)38°16'46″　(4)41°53'54″

4.解:如圖所示,在Rt△ADB中,BD=ADtan 45°=60×1=60(m).在Rt△ADC中,DC=ADtan 37°≈60×0.7536≈45.22(m),∴BC=BD+DC≈105.2(m).答:大廈的高度約為105.2 m.
5.約2°51'58″
6.甲、乙兩地間的坡角為5°8'34″.


本節(jié)課學生學習的重點是熟練掌握利用計算器求三角函數(shù)值和根據(jù)三角函數(shù)值求角度的操作步驟,在學習的過程中,一定要通過對計算器的實際操作,體會其操作步驟,并進行及時總結(jié),力求做到熟練運用;在利用非特殊角的三角函數(shù)值解決實際問題時,要掌握分析問題的基本步驟和選用合適的三角函數(shù)求未知量的方法,鍛煉綜合分析問題的能力.

　(荊門中考)釣魚島自古以來就是中國的領(lǐng)土.如圖所示,我國甲、乙兩艘海監(jiān)執(zhí)法船某天在釣魚島附近海域巡航,某一時刻這兩艘船分別位于釣魚島正西方向的A處和正東方向的B處,這時兩船同時接到立即趕往C處海域巡查的任務(wù),并測得C處位于A處北偏東59°方向、位于B處北偏西44°方向.若甲、乙兩船分別沿AC,BC方向航行,其平均速度分別是20 n mile/h,18 n mile/h,試估算哪艘船先趕到C處.(參考數(shù)據(jù):cos 59°≈0.52,cos 44°≈0.72)

〔解析〕　過點C作CD⊥AB于點D,如圖所示,由題意得∠ACD=59°,∠DCB=44°,設(shè)CD的長為a n mile,分別在Rt△ACD中和Rt△BCD中,用a表示出AC和BC,然后除以速度即可求得時間,比較即可確定答案.
解:如圖所示,過點C作CD⊥AB于點D,
由題意得∠ACD=59°,∠DCB=44°.
設(shè)CD的長為a n mile,
∵在Rt△ACD中,cos∠ACD=,
∴AC=≈≈1.92a.
∵在Rt△BCD中,cos∠BCD=,
∴BC=≈≈1.39a.
∵其平均速度分別是20 n mile/h,18 n mile/h,
∴1.92a÷20=0.096a,1.39a÷18≈0.077a.
∵a>0,∴0.096a>0.077a,
∴乙船先到達C處.