搜索
    上傳資料 賺現(xiàn)金

    [精] (新)人教B版(2019)必修第三冊學(xué)案:第7章 7.2 7.2.2 單位圓與三角函數(shù)線(含解析)

    • 512.5 KB
    • 2025-07-27 06:12
    • 296
    • 13
    • 教習(xí)網(wǎng)會員514210
    加入資料籃
    立即下載
    (新)人教B版(2019)必修第三冊學(xué)案:第7章 7.2 7.2.2 單位圓與三角函數(shù)線(含解析)第1頁
    1/8
    (新)人教B版(2019)必修第三冊學(xué)案:第7章 7.2 7.2.2 單位圓與三角函數(shù)線(含解析)第2頁
    2/8
    (新)人教B版(2019)必修第三冊學(xué)案:第7章 7.2 7.2.2 單位圓與三角函數(shù)線(含解析)第3頁
    3/8

    高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第三冊7.2.2 單位圓與三角函數(shù)線優(yōu)質(zhì)導(dǎo)學(xué)案

    展開

    這是一份高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第三冊7.2.2 單位圓與三角函數(shù)線優(yōu)質(zhì)導(dǎo)學(xué)案,共8頁。






    1.單位圓


    (1)一般地把半徑為1的圓叫做單位圓.


    (2)角α的余弦和正弦分別等于角α終邊與單位圓交點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo).


    2.三角函數(shù)線





    思考:三角函數(shù)線的方向是怎樣確定的?


    [提示] 三角函數(shù)線的方向,即規(guī)定的有向線段的方向:凡三角函數(shù)線與x軸或y軸同向的相應(yīng)三角函數(shù)值為正值,反向的為負(fù)值.





    1.如圖,在單位圓中角α的正弦線、正切線完全正確的是( )





    A.正弦線eq \(PM,\s\up8(→)),正切線eq \(A′T′,\s\up8(→))


    B.正弦線eq \(MP,\s\up8(→)),正切線eq \(A′T′,\s\up8(→))


    C.正弦線eq \(MP,\s\up8(→)),正切線eq \(AT,\s\up8(→))


    D.正弦線eq \(PM,\s\up8(→)),正切線eq \(AT,\s\up8(→))


    C [由三角函數(shù)線的定義知C正確.]


    2.角eq \f(π,5)和角eq \f(6π,5)有相同的( )


    A.正弦線 B.余弦線


    C.正切線D.不能確定


    C [eq \f(π,5)與eq \f(6π,5)的終邊互為反向延長線,故它們有相同的正切線.]


    3.角eq \f(5π,6)的終邊與單位圓的交點的坐標(biāo)是________.


    eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(\r(3),2),\f(1,2))) [由于角eq \f(5π,6)的終邊與單位圓的交點橫坐標(biāo)是cs eq \f(5π,6)=-eq \f(\r(3),2),縱坐標(biāo)是sin eq \f(5π,6)=eq \f(1,2),


    ∴角eq \f(5π,6)的終邊與單位圓的交點的坐標(biāo)是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(\r(3),2),\f(1,2))).]





    【例1】(1)設(shè)P點為角α的終邊與單位圓O的交點,且sin α=MP,cs α=OM,則下列命題成立的是( )


    A.總有MP+OM>1


    B.總有MP+OM=1


    C.存在角α,使MP+OM=1


    D.不存在角α,使MP+OM<0


    (2)分別作出eq \f(3,4)π和-eq \f(4,7)π的正弦線、余弦線和正切線.


    (1)C [顯然,當(dāng)角α的終邊不在第一象限時,MP+OM<1,MP+OM<0都有可能成立;當(dāng)角α的終邊落在x軸或y軸正半軸時,MP+OM=1,故選C.]


    (2)[解] ①在直角坐標(biāo)系中作單位圓,如圖甲,以O(shè)x軸為始邊作eq \f(3,4)π角,角的終邊與單位圓交于點P,作PM⊥Ox軸,垂足為M,由單位圓與Ox軸正方向的交點A作Ox軸的垂線,與OP的反向延長線交于T點,則sin eq \f(3,4)π=MP,cs eq \f(3,4)π=OM,tan eq \f(3,4)π=AT,即eq \f(3,4)π的正弦線為eq \(MP,\s\up8(→)),余弦線為eq \(OM,\s\up8(→)),正切線為eq \(AT,\s\up8(→)).


    ②同理可作出-eq \f(4,7)π的正弦線、余弦線和正切線,如圖乙.


    sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(4,7)π))=M1P1,


    cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(4,7)π))=O1M1,


    taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(4,7)π))=A1T1,即-eq \f(4,7)π的正弦線為eq \(M1P1,\s\up8(→)),余弦線為eq \(O1M1,\s\up8(→)),正切線為eq \(A1T1,\s\up8(→)).





    1.作正弦線、余弦線時,首先找到角的終邊與單位圓的交點,然后過此交點作x軸的垂線,得到垂足,從而得到正弦線和余弦線.


    2.作正切線時,應(yīng)從A(1,0)點引單位圓的切線交角的終邊于一點T,即可得到正切線eq \(AT,\s\up8(→)),要特別注意,當(dāng)角的終邊在第二或第三象限時,應(yīng)將角的終邊反向延長,再按上述作法來作正切線.








    1.下列四個命題中:


    ①α一定時,單位圓中的正弦線一定;


    ②單位圓中,有相同正弦線的角相等;


    ③α和α+π有相同的正切線;


    ④具有相同正切線的兩個角終邊在同一條直線上.


    不正確命題的個數(shù)是( )


    A.0 B.1 C.2 D.3


    C [由三角函數(shù)線的定義①④正確,②③不正確.②中有相同正弦線的角可能不等,如eq \f(5π,6)與eq \f(π,6);③中當(dāng)α=eq \f(π,2)時,α與α+π都沒有正切線.]


    【例2】 在單位圓中畫出適合下列條件的角α終邊的范圍,并由此寫出角α的集合.


    (1)sin α≥eq \f(\r(3),2);(2)cs α≤-eq \f(1,2).


    [思路探究] 作出滿足sin α=eq \f(\r(3),2),cs α=-eq \f(1,2)的角的終邊,然后根據(jù)已知條件確定角α終邊的范圍.


    [解](1)作直線y=eq \f(\r(3),2),交單位圓于A,B兩點,連接OA,OB,則OA與OB圍成的區(qū)域(圖(1)中陰影部分)即為角α的終邊的范圍.


    故滿足條件的角α的集合為{α|2kπ+eq \f(π,3)≤α≤2kπ+eq \f(2π,3),k∈Z }.





    (2)作直線x=-eq \f(1,2),交單位圓于C,D兩點,連接OC與OD,則OC與OD圍成的區(qū)域(圖(2)中的陰影部分)即為角α的終邊的范圍.


    故滿足條件的角α的集合為{α|2kπ+eq \f(2π,3)≤α≤2kπ+eq \f(4π,3),k∈Z }.





    1.通過解答本題,我們可以總結(jié)出用三角函數(shù)線來解基本的三角不等式的步驟:


    (1)作出取等號的角的終邊;


    (2)利用三角函數(shù)線的直觀性,在單位圓中確定滿足不等式的角的范圍;


    (3)將圖中的范圍用不等式表示出來.


    2.求與三角函數(shù)有關(guān)的定義域時,先轉(zhuǎn)化為三角不等式(組),然后借助三角函數(shù)線解此不等式(組)即可得函數(shù)的定義域.








    2.求y=lg(1-eq \r(2)cs x)的定義域.


    [解] 如圖所示,


    ∵1-eq \r(2)cs x>0,


    ∴cs x<eq \f(\r(2),2),


    ∴2kπ+eq \f(π,4)<x<2kπ+eq \f(7π,4)(k∈Z),


    ∴函數(shù)定義域為(2kπ+eq \f(π,4),2kπ+eq \f(7π,4))(k∈Z).


    [探究問題]


    1.為什么在三角函數(shù)線上,點P的坐標(biāo)為(cs α,sin α),點T的坐標(biāo)為(1,tan α)呢?


    [提示] 由三角函數(shù)的定義可知sin α=eq \f(y,r),cs α=eq \f(x,r),而在單位圓中,r=1,所以單位圓上的點都是(cs α,sin α);另外角的終邊與直線x=1的交點的橫坐標(biāo)都是1,所以根據(jù)tan α=eq \f(y,x),知縱坐標(biāo)y=tan α,所以點T的坐標(biāo)為(1,tan α).


    2.如何利用三角函數(shù)線比較大?。?br/>

    [提示] 利用三角函數(shù)線比較三角函數(shù)值的大小時,一般分三步:(1)角的位置要“對號入座”;(2)比較三角函數(shù)線的長度;(3)確定有向線段的正負(fù).


    【例3】 已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),試比較sin α,α,tan α的大?。?br/>

    [思路探究] 本題可以利用正弦線,所對的弧長及正切線來表示sin α,α,tan α,并借助它們所在的扇形及三角形的面積大小來解決.


    [解] 如圖所示,設(shè)角α的終邊與單位圓交于點P,單位圓交x軸正半軸于點A,作PM⊥x軸,作AT⊥x軸,交α的終邊于點T,由三角函數(shù)線定義,


    得sin α=MP,tan α=AT,


    又α=eq \(AP,\s\up10(︵))的長,


    ∴S△AOP=eq \f(1,2)·OA·MP=eq \f(1,2)sin α,


    S扇形AOP=eq \f(1,2)·eq \(AP,\s\up10(︵))·OA=eq \f(1,2)·eq \(AP,\s\up10(︵))=eq \f(1,2)α,


    S△AOT=eq \f(1,2)·OA·AT=eq \f(1,2)tan α.


    又∵S△AOP<S扇形AOP<S△AOT,


    ∴sin α<α<tan α.





    1.本題的實質(zhì)是數(shù)形結(jié)合思想,即要先找到與所研究問題相應(yīng)的幾何解釋,再由圖形相關(guān)性質(zhì)解決問題.


    2.三角函數(shù)線是單位圓中的有向線段,比較三角函數(shù)值大小時,一般把三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為單位圓中的某些線段,進(jìn)而用幾何方法解決問題.








    3.利用三角函數(shù)線證明:|sin α|+|cs α|≥1.


    [證明](圖略) 在△OMP中,OP=1,OM=|cs α|,MP=|sin α|,因為三角形兩邊之和大于第三邊,所以|sin α|+|cs α|>1.


    當(dāng)點P在坐標(biāo)軸上時,|sin α|+|cs α|=1.


    綜上可知,|sin α|+|cs α|≥1.





    1.應(yīng)用三角函數(shù)線比較大小的策略


    ①三角函數(shù)線是一個角的三角函數(shù)值的體現(xiàn),從三角函數(shù)線的方向可以看出三角函數(shù)值的正負(fù),其長度是三角函數(shù)值的絕對值.


    ②比較兩個三角函數(shù)值的大小,不僅要看其長度,還要看其方向.


    2.利用三角函數(shù)線解三角不等式的方法


    ①正弦、余弦型不等式的解法


    對于sin x≥b,cs x≥a(sin x≤b,cs x≤a),求解關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)貙で簏c,只需作直線y=b或x=a與單位圓相交,連接原點與交點即得角的終邊所在的位置,此時再根據(jù)方向即可確定相應(yīng)的范圍.


    ②正切型不等式的解法


    對于tan x≥c,取點(1,c)連接該點和原點并反向延長,即得角的終邊所在的位置,結(jié)合圖像可確定相應(yīng)的范圍.





    1.已知α(0<α<2π)的正弦線和余弦線長度相等,且符號相同,那么α的值為( )


    A.eq \f(3π,4)或eq \f(π,4) B.eq \f(5π,4)或eq \f(7π,4)


    C.eq \f(π,4)或eq \f(5π,4) D.eq \f(π,4)或eq \f(7π,4)


    C [由題意α的終邊為一、三象限的平分線,且0<α<2π,故得α=eq \f(π,4)或eq \f(5π,4).]


    2.在[0,2π]上滿足sin x≥eq \f(1,2)的x的取值范圍是( )


    A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,6))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6),\f(5π,6)))


    C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6),\f(2π,3))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,6),π))


    B [畫出單位圓(圖略),結(jié)合正弦線得出sin x≥eq \f(1,2)的取值范圍是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6),\f(5π,6))).]


    3.用三角函數(shù)線比較sin 1與cs 1的大小,結(jié)果是 .


    sin 1>cs 1 [∵eq \f(π,4)

    相關(guān)學(xué)案

    數(shù)學(xué)必修 第三冊7.2.2 單位圓與三角函數(shù)線導(dǎo)學(xué)案及答案:

    這是一份數(shù)學(xué)必修 第三冊7.2.2 單位圓與三角函數(shù)線導(dǎo)學(xué)案及答案,共4頁。學(xué)案主要包含了學(xué)習(xí)目標(biāo),學(xué)習(xí)過程,作業(yè)布置等內(nèi)容,歡迎下載使用。

    數(shù)學(xué)必修 第三冊第七章 三角函數(shù)7.2 任意角的三角函數(shù)7.2.2 單位圓與三角函數(shù)線導(dǎo)學(xué)案:

    這是一份數(shù)學(xué)必修 第三冊第七章 三角函數(shù)7.2 任意角的三角函數(shù)7.2.2 單位圓與三角函數(shù)線導(dǎo)學(xué)案,共9頁。

    2020-2021學(xué)年7.2.2 單位圓與三角函數(shù)線學(xué)案及答案:

    這是一份2020-2021學(xué)年7.2.2 單位圓與三角函數(shù)線學(xué)案及答案,共6頁。學(xué)案主要包含了學(xué)習(xí)過程等內(nèi)容,歡迎下載使用。

    英語朗讀寶
    資料下載及使用幫助
    版權(quán)申訴
    • 1.電子資料成功下載后不支持退換,如發(fā)現(xiàn)資料有內(nèi)容錯誤問題請聯(lián)系客服,如若屬實,我們會補償您的損失
    • 2.壓縮包下載后請先用軟件解壓,再使用對應(yīng)軟件打開;軟件版本較低時請及時更新
    • 3.資料下載成功后可在60天以內(nèi)免費重復(fù)下載
    版權(quán)申訴
    若您為此資料的原創(chuàng)作者,認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán),請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員,我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
    入駐教習(xí)網(wǎng),可獲得資源免費推廣曝光,還可獲得多重現(xiàn)金獎勵,申請 精品資源制作, 工作室入駐。
    版權(quán)申訴二維碼
    高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第三冊電子課本

    7.2.2 單位圓與三角函數(shù)線

    版本: 人教B版 (2019)

    年級: 必修 第三冊

    切換課文
    • 同課精品
    • 所屬專輯24份
    • 課件
    • 教案
    • 試卷
    • 學(xué)案
    • 更多
    歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
    • 900萬優(yōu)選資源,讓備課更輕松
    • 600萬優(yōu)選試題,支持自由組卷
    • 高質(zhì)量可編輯,日均更新2000+
    • 百萬教師選擇,專業(yè)更值得信賴
    微信掃碼注冊
    qrcode
    二維碼已過期
    刷新

    微信掃碼,快速注冊

    手機號注冊
    手機號碼

    手機號格式錯誤

    手機驗證碼 獲取驗證碼 獲取驗證碼

    手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送,5分鐘內(nèi)有效

    設(shè)置密碼

    6-20個字符,數(shù)字、字母或符號

    注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」「隱私條款」
    QQ注冊
    手機號注冊
    微信注冊

    注冊成功

    返回
    頂部
    添加客服微信 獲取1對1服務(wù)
    微信掃描添加客服