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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第三冊7.2.2 單位圓與三角函數(shù)線優(yōu)質(zhì)導(dǎo)學(xué)案
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這是一份高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第三冊7.2.2 單位圓與三角函數(shù)線優(yōu)質(zhì)導(dǎo)學(xué)案,共8頁。
1.單位圓
(1)一般地把半徑為1的圓叫做單位圓.
(2)角α的余弦和正弦分別等于角α終邊與單位圓交點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo).
2.三角函數(shù)線
思考:三角函數(shù)線的方向是怎樣確定的?
[提示] 三角函數(shù)線的方向,即規(guī)定的有向線段的方向:凡三角函數(shù)線與x軸或y軸同向的相應(yīng)三角函數(shù)值為正值,反向的為負(fù)值.
1.如圖,在單位圓中角α的正弦線、正切線完全正確的是( )
A.正弦線eq \(PM,\s\up8(→)),正切線eq \(A′T′,\s\up8(→))
B.正弦線eq \(MP,\s\up8(→)),正切線eq \(A′T′,\s\up8(→))
C.正弦線eq \(MP,\s\up8(→)),正切線eq \(AT,\s\up8(→))
D.正弦線eq \(PM,\s\up8(→)),正切線eq \(AT,\s\up8(→))
C [由三角函數(shù)線的定義知C正確.]
2.角eq \f(π,5)和角eq \f(6π,5)有相同的( )
A.正弦線 B.余弦線
C.正切線D.不能確定
C [eq \f(π,5)與eq \f(6π,5)的終邊互為反向延長線,故它們有相同的正切線.]
3.角eq \f(5π,6)的終邊與單位圓的交點的坐標(biāo)是________.
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(\r(3),2),\f(1,2))) [由于角eq \f(5π,6)的終邊與單位圓的交點橫坐標(biāo)是cs eq \f(5π,6)=-eq \f(\r(3),2),縱坐標(biāo)是sin eq \f(5π,6)=eq \f(1,2),
∴角eq \f(5π,6)的終邊與單位圓的交點的坐標(biāo)是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(\r(3),2),\f(1,2))).]
【例1】(1)設(shè)P點為角α的終邊與單位圓O的交點,且sin α=MP,cs α=OM,則下列命題成立的是( )
A.總有MP+OM>1
B.總有MP+OM=1
C.存在角α,使MP+OM=1
D.不存在角α,使MP+OM<0
(2)分別作出eq \f(3,4)π和-eq \f(4,7)π的正弦線、余弦線和正切線.
(1)C [顯然,當(dāng)角α的終邊不在第一象限時,MP+OM<1,MP+OM<0都有可能成立;當(dāng)角α的終邊落在x軸或y軸正半軸時,MP+OM=1,故選C.]
(2)[解] ①在直角坐標(biāo)系中作單位圓,如圖甲,以O(shè)x軸為始邊作eq \f(3,4)π角,角的終邊與單位圓交于點P,作PM⊥Ox軸,垂足為M,由單位圓與Ox軸正方向的交點A作Ox軸的垂線,與OP的反向延長線交于T點,則sin eq \f(3,4)π=MP,cs eq \f(3,4)π=OM,tan eq \f(3,4)π=AT,即eq \f(3,4)π的正弦線為eq \(MP,\s\up8(→)),余弦線為eq \(OM,\s\up8(→)),正切線為eq \(AT,\s\up8(→)).
②同理可作出-eq \f(4,7)π的正弦線、余弦線和正切線,如圖乙.
sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(4,7)π))=M1P1,
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(4,7)π))=O1M1,
taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(4,7)π))=A1T1,即-eq \f(4,7)π的正弦線為eq \(M1P1,\s\up8(→)),余弦線為eq \(O1M1,\s\up8(→)),正切線為eq \(A1T1,\s\up8(→)).
1.作正弦線、余弦線時,首先找到角的終邊與單位圓的交點,然后過此交點作x軸的垂線,得到垂足,從而得到正弦線和余弦線.
2.作正切線時,應(yīng)從A(1,0)點引單位圓的切線交角的終邊于一點T,即可得到正切線eq \(AT,\s\up8(→)),要特別注意,當(dāng)角的終邊在第二或第三象限時,應(yīng)將角的終邊反向延長,再按上述作法來作正切線.
1.下列四個命題中:
①α一定時,單位圓中的正弦線一定;
②單位圓中,有相同正弦線的角相等;
③α和α+π有相同的正切線;
④具有相同正切線的兩個角終邊在同一條直線上.
不正確命題的個數(shù)是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
C [由三角函數(shù)線的定義①④正確,②③不正確.②中有相同正弦線的角可能不等,如eq \f(5π,6)與eq \f(π,6);③中當(dāng)α=eq \f(π,2)時,α與α+π都沒有正切線.]
【例2】 在單位圓中畫出適合下列條件的角α終邊的范圍,并由此寫出角α的集合.
(1)sin α≥eq \f(\r(3),2);(2)cs α≤-eq \f(1,2).
[思路探究] 作出滿足sin α=eq \f(\r(3),2),cs α=-eq \f(1,2)的角的終邊,然后根據(jù)已知條件確定角α終邊的范圍.
[解](1)作直線y=eq \f(\r(3),2),交單位圓于A,B兩點,連接OA,OB,則OA與OB圍成的區(qū)域(圖(1)中陰影部分)即為角α的終邊的范圍.
故滿足條件的角α的集合為{α|2kπ+eq \f(π,3)≤α≤2kπ+eq \f(2π,3),k∈Z }.
(2)作直線x=-eq \f(1,2),交單位圓于C,D兩點,連接OC與OD,則OC與OD圍成的區(qū)域(圖(2)中的陰影部分)即為角α的終邊的范圍.
故滿足條件的角α的集合為{α|2kπ+eq \f(2π,3)≤α≤2kπ+eq \f(4π,3),k∈Z }.
1.通過解答本題,我們可以總結(jié)出用三角函數(shù)線來解基本的三角不等式的步驟:
(1)作出取等號的角的終邊;
(2)利用三角函數(shù)線的直觀性,在單位圓中確定滿足不等式的角的范圍;
(3)將圖中的范圍用不等式表示出來.
2.求與三角函數(shù)有關(guān)的定義域時,先轉(zhuǎn)化為三角不等式(組),然后借助三角函數(shù)線解此不等式(組)即可得函數(shù)的定義域.
2.求y=lg(1-eq \r(2)cs x)的定義域.
[解] 如圖所示,
∵1-eq \r(2)cs x>0,
∴cs x<eq \f(\r(2),2),
∴2kπ+eq \f(π,4)<x<2kπ+eq \f(7π,4)(k∈Z),
∴函數(shù)定義域為(2kπ+eq \f(π,4),2kπ+eq \f(7π,4))(k∈Z).
[探究問題]
1.為什么在三角函數(shù)線上,點P的坐標(biāo)為(cs α,sin α),點T的坐標(biāo)為(1,tan α)呢?
[提示] 由三角函數(shù)的定義可知sin α=eq \f(y,r),cs α=eq \f(x,r),而在單位圓中,r=1,所以單位圓上的點都是(cs α,sin α);另外角的終邊與直線x=1的交點的橫坐標(biāo)都是1,所以根據(jù)tan α=eq \f(y,x),知縱坐標(biāo)y=tan α,所以點T的坐標(biāo)為(1,tan α).
2.如何利用三角函數(shù)線比較大?。?br/>
[提示] 利用三角函數(shù)線比較三角函數(shù)值的大小時,一般分三步:(1)角的位置要“對號入座”;(2)比較三角函數(shù)線的長度;(3)確定有向線段的正負(fù).
【例3】 已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),試比較sin α,α,tan α的大?。?br/>
[思路探究] 本題可以利用正弦線,所對的弧長及正切線來表示sin α,α,tan α,并借助它們所在的扇形及三角形的面積大小來解決.
[解] 如圖所示,設(shè)角α的終邊與單位圓交于點P,單位圓交x軸正半軸于點A,作PM⊥x軸,作AT⊥x軸,交α的終邊于點T,由三角函數(shù)線定義,
得sin α=MP,tan α=AT,
又α=eq \(AP,\s\up10(︵))的長,
∴S△AOP=eq \f(1,2)·OA·MP=eq \f(1,2)sin α,
S扇形AOP=eq \f(1,2)·eq \(AP,\s\up10(︵))·OA=eq \f(1,2)·eq \(AP,\s\up10(︵))=eq \f(1,2)α,
S△AOT=eq \f(1,2)·OA·AT=eq \f(1,2)tan α.
又∵S△AOP<S扇形AOP<S△AOT,
∴sin α<α<tan α.
1.本題的實質(zhì)是數(shù)形結(jié)合思想,即要先找到與所研究問題相應(yīng)的幾何解釋,再由圖形相關(guān)性質(zhì)解決問題.
2.三角函數(shù)線是單位圓中的有向線段,比較三角函數(shù)值大小時,一般把三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為單位圓中的某些線段,進(jìn)而用幾何方法解決問題.
3.利用三角函數(shù)線證明:|sin α|+|cs α|≥1.
[證明](圖略) 在△OMP中,OP=1,OM=|cs α|,MP=|sin α|,因為三角形兩邊之和大于第三邊,所以|sin α|+|cs α|>1.
當(dāng)點P在坐標(biāo)軸上時,|sin α|+|cs α|=1.
綜上可知,|sin α|+|cs α|≥1.
1.應(yīng)用三角函數(shù)線比較大小的策略
①三角函數(shù)線是一個角的三角函數(shù)值的體現(xiàn),從三角函數(shù)線的方向可以看出三角函數(shù)值的正負(fù),其長度是三角函數(shù)值的絕對值.
②比較兩個三角函數(shù)值的大小,不僅要看其長度,還要看其方向.
2.利用三角函數(shù)線解三角不等式的方法
①正弦、余弦型不等式的解法
對于sin x≥b,cs x≥a(sin x≤b,cs x≤a),求解關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)貙で簏c,只需作直線y=b或x=a與單位圓相交,連接原點與交點即得角的終邊所在的位置,此時再根據(jù)方向即可確定相應(yīng)的范圍.
②正切型不等式的解法
對于tan x≥c,取點(1,c)連接該點和原點并反向延長,即得角的終邊所在的位置,結(jié)合圖像可確定相應(yīng)的范圍.
1.已知α(0<α<2π)的正弦線和余弦線長度相等,且符號相同,那么α的值為( )
A.eq \f(3π,4)或eq \f(π,4) B.eq \f(5π,4)或eq \f(7π,4)
C.eq \f(π,4)或eq \f(5π,4) D.eq \f(π,4)或eq \f(7π,4)
C [由題意α的終邊為一、三象限的平分線,且0<α<2π,故得α=eq \f(π,4)或eq \f(5π,4).]
2.在[0,2π]上滿足sin x≥eq \f(1,2)的x的取值范圍是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,6))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6),\f(5π,6)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6),\f(2π,3))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,6),π))
B [畫出單位圓(圖略),結(jié)合正弦線得出sin x≥eq \f(1,2)的取值范圍是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6),\f(5π,6))).]
3.用三角函數(shù)線比較sin 1與cs 1的大小,結(jié)果是 .
sin 1>cs 1 [∵eq \f(π,4)
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