2025高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷第11題三角魔法變換，破解三角形謎題（一題多解）（含答案解析）

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【新高考全國(guó)一卷第11題】已知△ABC的面積為14，若cs2A+cs2B+2sinC=2,csAcsBsinC=14，則（ ）
A．sinC=sin2A+sin2B B．AB=2
C．sinA+sinB=62 D．AC2+BC2=3
如何判斷A選項(xiàng)呢？發(fā)現(xiàn)所給式子中有2A，2B，考慮利用余弦的二倍角公式化簡(jiǎn)變形即可判斷；對(duì)于B：根據(jù)正弦定理得出a2+b2≥c2，利用分類(lèi)討論的方法判斷出a2+b2=c2，得出C=π2，再結(jié)合題目中的第三個(gè)條件csAcsBsinC=14，進(jìn)而求解；對(duì)于C：一般情況下，多選題各個(gè)選項(xiàng)之間有關(guān)聯(lián)，所以利用選項(xiàng)A及選項(xiàng)B中sinAsinB=14可以作出判斷；對(duì)于D：在直角三角形中，利用勾股定理可快速作出判斷．
對(duì)于A：cs2A+cs2B+2sinC=1?2sin2A+1?2sin2B+2sinC=2，
所以sin2A+sin2B=sinC．
對(duì)于B： 令a=BC，b=AC，c=AB，
則asinA=bsinB=csinC=2R（R為△ABC的外接圓半徑），
由sin2A+sin2B=sinC，得a2+b2=c?2R≥c2．
若a2+b2>c2，則△ABC為銳角三角形，則A+B>π2，即A>π2?B，
則sinA>sinπ2?B=csB，所以sinC=sin2A+sin2B>cs2B+sin2B=1，矛盾．
故a2+b2=c2，即C=A+B=π2，
所以csA+B=csAcsB?sinAsinB=0，
又csAcsBsinC=csAcsB=14，所以sinAsinB=14．
因?yàn)镾△ABC=12absinC=12ab=14，所以ab=12，所以absinAsinB=2R2=1214=2，所以2R=2，
所以c=2R?sinC=2．
對(duì)于C：sinA+sinB2=sin2A+sin2B+2sinAsinB =sinC+2sinAsinB=1+2×14=32，
所以sinA+sinB=62．
對(duì)于D：AC2+BC2=AB2=c2=2．
故選ABC．
1．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若c2=ba+b，則（ ）
A．cπ2，注意到csAcsBsinC=14，則csAcsB>0，
于是csA>0,csB>0（兩者同負(fù)會(huì)有兩個(gè)鈍角，不成立），于是A,B∈0,π2，
結(jié)合A+B>π2?A>π2?B，而A,π2?B都是銳角，則sinA>sinπ2?B=csB>0，
于是sinC=sin2A+sin2B>cs2B+sin2B=1，這和sinC≤1相矛盾，
故C∈(0,π2)不成立，則C=π2．
3．△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若acsB2=bcsA2，則△ABC是（ ）三角形.
A．等邊B．等腰C．直角D．等腰或直角
先利用二倍角公式對(duì)cs2A+cs2B+2sinC=2變形，得出sinC=sin2A+sin2B，驗(yàn)證 A 選項(xiàng)．接著通過(guò)誘導(dǎo)公式、展開(kāi)式推導(dǎo)，結(jié)合A、B范圍，推出sinC=1，確定C=π2．再依據(jù)csAcsBsinC=14等條件，推出sinAcsA=14、sin2B=12的值，結(jié)合A、B范圍設(shè)Ab，所以A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，因?yàn)閏2=ba+b，所以由余弦定理得csB=a2+c2?b22ac=a2+ab2ac=a+b2c=c2b2c=c2b，
所以由正弦定理得csB=sinC2sinB，所以sinC=2sinBcsB=sin2B，
因?yàn)镃∈0,π,2B∈0,2π，所以C=2B或C+2B=π，
若C+2B=π，則A=B，所以a=b，此時(shí)c2=b(a+b)=a2+b2，
所以C=π2，則A=B=π4，此時(shí)C=2B，所以B正確，
對(duì)于C，由選項(xiàng)B可知C=2B，所以B+C=3B∈0,π，所以B∈0,π3，所以C正確，
對(duì)于D，由正弦定理得ab=sinAsinB=sin(π?B?C)sinB=sin(B+C)sinB=sinBcsC+csBsinCsinB
=sinBcs2B+csBsin2BsinB
=cs2B+2sinBcs2BsinB
=2cs2B?1+2cs2B=4cs2B?1，
因?yàn)锽∈0,π3，所以csB∈12,1，所以cs2B∈14,1，
所以4cs2B∈1,4，所以4cs2B?1∈0,3，所以ab∈0,3，所以D正確.
故選：BCD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查正弦定理和余弦定理的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是利用這兩個(gè)定理進(jìn)行邊角互化，再三角函數(shù)質(zhì)求解，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題.
2．B
【分析】化簡(jiǎn)得到csB=cs2A，從而得到2A=B，得到C=π?3A，A∈0,π3，利用正弦定理得到AC?BCAB=12csA+1，從而得到AC?BCAB的取值范圍.
【詳解】sinπ2?B=csB=cs2A，
在△ABC中，A,B∈0,π，故2A=B或2A+B=2π，
當(dāng)2A+B=2π時(shí)，A+B2=π，故A+B>π，不合要求，舍去，
所以2A=B，C=π?A?B=π?A?2A=π?3A，
因?yàn)锳,B∈0,π，所以2A∈0,π，即A∈0,π2，
因?yàn)镃=π?3A∈0,π，所以A∈0,π3，
由正弦定理得ACsinB=ABsinC=BCsinA，
故AC?BCAB=sinB?sinAsinC=sin2A?sinAsinπ?3A=2sinAcsA?sinAsin2A+A=2sinAcsA?sinAsin2AcsA+cs2AsinA因?yàn)锳∈0,π，所以sinA≠0，
故AC?BCAB=2csA?12cs2A+cs2A=2csA?14cs2A?1=2csA?12csA?12csA+1，
因?yàn)锳∈0,π3，所以2csA?1>0，
故AC?BCAB=12csA+1，
因?yàn)锳∈0,π3，所以csA∈12,1，2csA∈1,2，2csA+1∈2,3，
故AC?BCAB=12csA+1∈13，12.
故選：B
【點(diǎn)睛】解三角形中最值或范圍問(wèn)題，通常涉及與邊長(zhǎng)，周長(zhǎng)有關(guān)的范圍問(wèn)題，與面積有關(guān)的范圍問(wèn)題，或與角度有關(guān)的范圍問(wèn)題，
常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；
②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；
③巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.
3．B
【分析】根據(jù)正弦定理和二倍角公式得到sinA2=sinB2，即A2=B2或A2+B2=π，分析得到A2+B2=π不合要求，從而得到答案.
【詳解】acsB2=bcsA2，由正弦定理得sinAcsB2=sinBcsA2，
即2sinA2csA2csB2=2sinB2csB2csA2，
由于A,B∈0,π，故A2,B2∈0,π2，故csA2≠0,csB2≠0，
故sinA2=sinB2，所以A2=B2或A2+B2=π.
若A2+B2=π，則A+B=2π，與三角形內(nèi)角和矛盾，舍去，
若A2=B2，則△ABC是等腰三角形，滿足要求.
故選：B
4．①②④
【分析】利用余弦定理可判斷①；利用平方關(guān)系再結(jié)合正余弦定理可判斷②；利用邊化角結(jié)合兩角和正弦公式可判斷③；利用邊化角結(jié)合弦切互化可判斷④.
【詳解】對(duì)于①，由余弦定理可得：b2=a2+c2?2accs60°=a2+c2?ac，
又因?yàn)閎2=ac，所以ac=a2+c2?ac?a?c2=0?a=c，
即△ABC一定是等邊三角形，故①正確；
對(duì)于②，由平方關(guān)系可得：1?sin2A+1?sin2B?1?sin2C>1?sin2A+sin2B