2025高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷第4題突破正切對(duì)稱中心（一題多解）（含答案解析）

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【2025年新高考全國(guó)一卷T4】若點(diǎn)a,0a>0是函數(shù)y=2tanx?π3的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，則a的最小值為（ ）
A．π6 B．π3 C．π2 D．4π3
【本題源自人教A版必修第一冊(cè)第214頁(yè)習(xí)題5.4第19題】容易知道，正弦函數(shù)y=sinx是奇函數(shù)，正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即原點(diǎn)是正弦曲線的對(duì)稱中心，除原點(diǎn)外，正弦曲線還有其他對(duì)稱中心嗎？如果有，那么對(duì)稱中心的坐標(biāo)是什么？另外，正弦曲線是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，那么對(duì)稱軸的方程是什么？你能用已經(jīng)學(xué)過(guò)的正弦函數(shù)性質(zhì)解釋上述現(xiàn)象嗎？對(duì)余弦函數(shù)和正切函數(shù)，討論上述同樣的問(wèn)題.
【解析】由正弦函數(shù)的周期性可知，除原點(diǎn)外，正弦曲線還有其他對(duì)稱中心，它們的坐標(biāo)為(kπ,0) (k∈Z)，正弦曲線是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸的方程為x=kπ+π2(k∈Z).由余弦函數(shù)和正切函數(shù)的周期性可知，余弦曲線的對(duì)稱中心坐標(biāo)為π2+kπ,0(k∈Z)，對(duì)稱軸的方程是x=kπ(k∈Z)，正切曲線的對(duì)稱中心坐標(biāo)為kπ2,0(k∈Z)，正切曲線不是軸對(duì)稱圖形.
【試題探源】教學(xué)中要重視課本習(xí)題的深度挖掘，不僅要掌握知識(shí)結(jié)論，更要理解探究過(guò)程（如對(duì)稱性的推導(dǎo)邏輯 ）.高考復(fù)習(xí)需以課本為根基，拓展知識(shí)應(yīng)用場(chǎng)景，強(qiáng)化知識(shí)間的關(guān)聯(lián)與遷移，提升學(xué)生應(yīng)對(duì)高考靈活題型的能力
由正切函數(shù)的對(duì)稱中心，得出正弦型函數(shù)y=2tanx?π3的對(duì)稱中心，進(jìn)而對(duì)k進(jìn)行賦值結(jié)合a>0，確定a的最小值.
因?yàn)閠anx的對(duì)稱中心為kπ2,0,k∈Z，所以y=2tanx?π3的對(duì)稱中心為kπ2+π3,0,k∈Z，所以a=kπ2+π3,k∈Z，又a>0，所以a的最小值為π3，選B．
1．把函數(shù)fx=tan12x的圖象向右平移a個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)gx的圖象，且gx的圖象關(guān)于點(diǎn)6a,0對(duì)稱，則a的最小正值為 ．
2．若y=3sinωx+π12+2的圖象向右平移π6個(gè)單位后與自身重合，且y=tanωx的一個(gè)對(duì)稱中心為π48,0，則ω的最小正值為 ．
由正切函數(shù)的性質(zhì)得到tanx的對(duì)稱中心，進(jìn)而利用平移變換確定y=2tanx?π3的對(duì)稱中心，進(jìn)而對(duì)k進(jìn)行賦值結(jié)合a>0，確定a的最小值.
tanx的對(duì)稱中心為kπ2,0,k∈Z，向右平移π3個(gè)長(zhǎng)度單位，得y=2tanx?π3的對(duì)稱中心為kπ2+π3,0，k∈Z，所以a=kπ2+π3,k∈Z，又a>0，所以a的最小值為π3，選B．
3．已知fx=tan2x+π3，若函數(shù)fx+m為奇函數(shù)，則最小正數(shù)m的值為 .
根據(jù)題意，觀察選項(xiàng)，依次從小到大代入檢驗(yàn)即可.
根據(jù)題意，觀察選項(xiàng)，依次從小到大代入檢驗(yàn)直至滿足即可，當(dāng)a=π4時(shí)，y=2tanπ4?π3≠0，不滿足題意；
當(dāng)a=π3時(shí)，y=2tanπ3?π3=0，滿足題意；
故選：B．
4．設(shè)函數(shù)fx=2tanωx?π3ω>0的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為π6,0，則fx的一個(gè)最小正周期是（ ）
A．π3B．π4C．π5D．2π5
5．已知函數(shù)fx=tan3x+φ φ≤π4的圖象關(guān)于點(diǎn)?π9,0對(duì)稱，則fπ12=（ ）
A．?2?3B．?2+3C．2?3D．2+3
6．將函數(shù)y=tan(ωx?π2)(ω>0)的圖象分別向左、向右各平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的兩個(gè)圖象對(duì)稱中心重合，則ω的最小值為（ ）
A．32B．2C．3D．6
7．已知ω>0，f(x)=1+tanωx1?tanωx，f(x+π3)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(π3,0)對(duì)稱，則ω的最小值為
A．12B．1C．32D．2
8．已知函數(shù)fx=?tanωx0