2024年廣東省深圳市中考數(shù)學試題（解析版）

這是一份2024年廣東省深圳市中考數(shù)學試題（解析版），共26頁。試卷主要包含了全卷共6頁，考試結(jié)束后，請將答題卡交回等內(nèi)容，歡迎下載使用。
說明：
1．答題前，請將姓名、準考證號和學校用黑色字跡的鋼筆或簽字筆填寫在答題卡定的位置上，并將條形碼粘貼好．
2．全卷共6頁．考試時間90分鐘，滿分100分．
3．作答選擇題1-8，選出每題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目答案標號的信息點框涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案．作答非選擇題9—20，用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將答案（含作輔助線）寫在答題卡指定區(qū)域內(nèi)．寫在本試卷或草稿紙上，其答案一律無效．
4．考試結(jié)束后，請將答題卡交回．
第一部分 選擇題
一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分，每小題有四個選項，其中只有一個是正確的）
1. 下列用七巧板拼成的圖案中，為中心對稱圖形的是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了中心對稱圖形的識別．在同一平面內(nèi)，如果把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．
【詳解】解：選項A、B、D均不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完全重合，所以不是中心對稱圖形，
選項C能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完全重合，所以是中心對稱圖形，
故選：C．
2. 如圖，實數(shù)a，b，c，d在數(shù)軸上表示如下，則最小的實數(shù)為（ ）
A. aB. bC. cD. d
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了根據(jù)數(shù)軸比較實數(shù)的大?。鶕?jù)數(shù)軸上右邊的數(shù)總比左邊的大即可判斷．
【詳解】解：由數(shù)軸知，，
則最小的實數(shù)為a，
故選：A．
3. 下列運算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了合并同類項，積的乘方，單項式乘以單項式，完全平方公式．根據(jù)單項式乘以單項式，積的乘方，完全平方公式法則進行計算即可求解．
【詳解】解：A、，故該選項不符合題意；
B、，故該選項符合題意；
C、，故該選項不符合題意；
D、，故該選項不符合題意；
故選：B．
4. 二十四節(jié)氣，它基本概括了一年中四季交替的準確時間以及大自然中一些物候等自然現(xiàn)象發(fā)生的規(guī)律，二十四個節(jié)氣分別為：春季（立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小滿、芒種、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若從二十四個節(jié)氣中選一個節(jié)氣，則抽到的節(jié)氣在夏季的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了概率公式．根據(jù)概率公式直接得出答案．
【詳解】解：二十四個節(jié)氣中選一個節(jié)氣，抽到的節(jié)氣在夏季的有六個，
則抽到的節(jié)氣在夏季的概率為，
故選：D．
5. 如圖，一束平行光線照射平面鏡后反射，若入射光線與平面鏡夾角，則反射光線與平面鏡夾角的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)，，則，再結(jié)合平行線的性質(zhì)，得出同位角相等，即可作答．
【詳解】解：如圖：
∵一束平行光線照射平面鏡后反射，若入射光線與平面鏡夾角，
∴，，
∴，
則，
∵光線是平行的，
即，
∴，
故選：B．
6. 在如圖的三個圖形中，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，能判斷射線平分的是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. 只有①
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，全等三角形的判定與性質(zhì)解決問題的關鍵是掌握角平分線的判定定理．利用基本作圖對三個圖形的作法進行判斷即可．在圖①中，利用基本作圖可判斷平分；在圖③中，利用作法得， 可證明，有，可得，進一步證明，得，繼而可證明，得，得到是的平分線；在圖②中，利用基本作圖得到D點為的中點，則為邊上的中線．
【詳解】在圖①中，利用基本作圖可判斷平分；
在圖③中，利用作法得，

在和中，
，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的平分線；
在圖②中，利用基本作圖得到D點為的中點，則為邊上的中線．
則①③可得出射線平分．
故選：B．
7. 在明朝程大位《算法統(tǒng)宗》中有首住店詩：我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．詩的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一間客房住7人，那么有7人無房可??；如果每一間客房住9人，那么就空出一間房．設該店有客房x間，房客y人，則可列方程組為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組．設該店有客房x間，房客y人；每一間客房住7人，那么有7人無房可?。蝗绻恳婚g客房住9人，那么就空出一間客房得出方程組即可．
【詳解】解：設該店有客房x間，房客y人；根據(jù)題意得：
，
故選：A．
8. 如圖，為了測量某電子廠的高度，小明用高的測量儀測得的仰角為，小軍在小明的前面處用高的測量儀測得的仰角為，則電子廠的高度為（ ）（參考數(shù)據(jù)：，，）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了解直角三角形，與俯角有關的解直角三角形，矩形的判定與性質(zhì)，先證明四邊形、、是矩形，再設，表示，然后在以及運用線段和差關系，即，再求出，即可作答．
【詳解】解：如圖：延長交于一點，
∵
∴四邊形是矩形
∵
∴四邊形是矩形
同理得四邊形是矩形
依題意，得，
∴，
∴
∴設，則
在
∴
即
在
∴
即
∴
∴
∴
∴
故選：A
第二部分 非選擇題
二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）
9. 已知一元二次方程的一個根為1，則______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程解的定義，根據(jù)一元二次方程的解的定義，將代入原方程，列出關于的方程，然后解方程即可．
【詳解】解：關于的一元二次方程的一個根為，
滿足一元二次方程，
，
解得，．
故答案為：．
10. 如圖所示，四邊形，，均為正方形，且，，則正方形的邊長可以是________．（寫出一個答案即可）
【答案】2（答案不唯一）
【解析】
【分析】本題考查了算術平方根的應用，無理數(shù)的估算．利用算術平方根的性質(zhì)求得，，再根據(jù)無理數(shù)的估算結(jié)合，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴正方形的邊長，即，
∴正方形的邊長可以是2，
故答案為：2（答案不唯一）．
11. 如圖，在矩形中，，O為中點，，則扇形的面積為________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了扇形的面積公式，解直角三角形．利用解直角三角形求得，，得到，再利用扇形的面積公式即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵O為中點，
∴，
∵，
在中，，
∴，
同理，
∴，
∴扇形的面積為，
故答案為：．
12. 如圖，在平面直角坐標系中，四邊形為菱形，，且點A落在反比例函數(shù)上，點B落在反比例函數(shù)上，則________．
【答案】8
【解析】
【分析】本題主要考查反比例函數(shù)與幾何的綜合及三角函數(shù)；過點作軸的垂線，垂足分別為，然后根據(jù)特殊三角函數(shù)值結(jié)合勾股定理求得，，再求得點，利用待定系數(shù)法求解即可．
【詳解】解：過點作軸的垂線，垂足分別為，如圖，
∵，
∴，
∴設，則，
∴點，
∵點A在反比例函數(shù)上，
∴，
∴（負值已舍），則點，
∴，，
∴，
∵四邊形為菱形，
∴，，
∴點，
∵點B落在反比例函數(shù)上，
∴，
故答案為：8．
13. 如圖，在中，，，D為上一點，且滿足，過D作交延長線于點E，則________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了解直角三角形、勾股定理，平行線分線段成比例，先設，根據(jù)，，得出再分別用勾股定理，故，再運用解直角三角形得出，，代入，化簡即可作答．
【詳解】解：如圖，過點A作垂足為H,
∵，，
設，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得
∴，，
∴，，
∴，
過點C作垂足為M，
∴，，
∵,，
∴，
∴，
故答案為：．
三、解答題（本題共7小題，其中第14題5分，第15題7分，第16題8分，第17題8分，第18題9分，第19題12分，第20題12分，共61分）
14. 計算：．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查特殊銳角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，絕對值以及負整數(shù)指數(shù)冪．先將各項化簡，再算乘法，最后從左往右計算即可得
【詳解】解：
．
15. 先化簡，再求值： ，其中
【答案】，
【解析】
【分析】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式混合運算的運算順序和運算法則是解題關鍵．
原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，把a的值代入計算即可求出值．
【詳解】解：
=
=
=，
當時，原式=．
16. 據(jù)了解，“i深圳”體育場地一鍵預約平臺是市委、市政府打造“民生幸福標桿”城市過程中，推動的惠民利民重要舉措，在滿足市民健身需求、激發(fā)全民健身熱情、促進體育消費等方面具有重大意義．按照符合條件的學校體育場館和社會體育場館“應接盡接”原則，“i深圳”體育場館一鍵預約平臺實現(xiàn)了“讓想運動的人找到場地，已有的體育場地得到有效利用”．
小明爸爸決定在周六上午預約一所學校的操場鍛煉身體，現(xiàn)有A，B兩所學校適合，小明收集了這兩所學校過去10周周六上午的預約人數(shù)：
學校A：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50，50
學校B：

（1）
（2）根據(jù)上述材料分析，小明爸爸應該預約哪所學校？請說明你的理由．
【答案】（1）①48.3；②25；③47.5
（2）小明爸爸應該預約學校A，理由見解析
【解析】
【分析】本題考查求平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)，利用方差判斷穩(wěn)定性：
（1）根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)的確定方法，進行求解即可；
（2）根據(jù)方差判斷穩(wěn)定性，進行判斷即可．
【小問1詳解】
解：①；
②數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的是25，故眾數(shù)為25；
③數(shù)據(jù)排序后，排在中間兩位的數(shù)據(jù)為，故中位數(shù)為：；
填表如下：
【小問2詳解】小明爸爸應該預約學校A，理由如下：
學校A的方差小，預約人數(shù)相對穩(wěn)定，大概率會有位置更好的進行鍛煉．
17.
【答案】任務1：；任務2：一次性最多可以運輸18臺購物車；任務3：共有3種方案
【解析】
【分析】本題考查了列代數(shù)式表達式，一元一次不等式的應用，正確掌握相關性質(zhì)內(nèi)容是解題的關鍵．
任務1：根據(jù)一輛購物車車身長，每增加一輛購物車，車身增加，且采購了n輛購物車，L是車身總長，即可作答．
任務2：結(jié)合“已知該商場的直立電梯長為，且一次可以運輸兩列購物車”，得出，再解不等式，即可作答．
任務3：根據(jù)“該商場扶手電梯一次性可以運輸24輛購物車，若要運輸100輛購物車，且最多只能使用電梯5次”，列式，再解不等式，即可作答．
【詳解】解：任務1：∵一輛購物車車身長，每增加一輛購物車，車身增加
∴
任務2：依題意，∵已知該商場的直立電梯長為，且一次可以運輸兩列購物車，
令，
解得：
∴一次性最多可以運輸18臺購物車
任務3：設x次扶手電梯，則次直梯
由題意∵該商場扶手電梯一次性可以運輸24輛購物車，若要運輸100輛購物車，且最多只能使用電梯5次
可列方程為：，
解得：
方案一：直梯3次，扶梯2次；
方案二：直梯2次，扶梯3次：
方案三：直梯1次，扶梯4次
答：共有三種方案
18. 如圖，在中，，為的外接圓，為的切線，為的直徑，連接并延長交于點E．
（1）求證：；
（2）若，，求的半徑．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，中垂線的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)：
（1）連接并延長，交于點，連接，易證垂直平分，圓周角定理，切線的性質(zhì)，推出四邊形為矩形，即可得證；
（2）由（1）可知，勾股定理求出的長，設的半徑為，在中，利用勾股定理進行求解即可．
【小問1詳解】
證明：連接并延長，交于點，連接，
∵，，
∴垂直平分，
∴，，
∵為的切線，
∴，
∵為的直徑，
∴，
∴四邊形為矩形，
∴；
【小問2詳解】
由（1）知四邊形為矩形，，，
∴，
∴，
設的半徑為，則：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：；
即：的半徑為．
19. 為了測量拋物線的開口大小，某數(shù)學興趣小組將兩把含有刻度的直尺垂直放置，并分別以水平放置的直尺和豎直放置的直尺為x，y軸建立如圖所示平面直角坐標系，該數(shù)學小組選擇不同位置測量數(shù)據(jù)如下表所示，設的讀數(shù)為x，讀數(shù)為y，拋物線的頂點為C．
（1）（Ⅰ）列表：
（Ⅱ）描點：請將表格中的描在圖2中；
（Ⅲ）連線：請用平滑的曲線在圖2將上述點連接，并求出y與x的關系式；
（2）如圖3所示，在平面直角坐標系中，拋物線的頂點為C，該數(shù)學興趣小組用水平和豎直直尺測量其水平跨度為，豎直跨度為，且，，為了求出該拋物線的開口大小，該數(shù)學興趣小組有如下兩種方案，請選擇其中一種方案，并完善過程：
方案一：將二次函數(shù)平移，使得頂點C與原點O重合，此時拋物線解析式為．
①此時點的坐標為________；
②將點坐標代入中，解得________；（用含m，n的式子表示）
方案二：設C點坐標為
①此時點B的坐標為________；
②將點B坐標代入中解得________；（用含m，n的式子表示）
（3）【應用】如圖4，已知平面直角坐標系中有A，B兩點，，且軸，二次函數(shù)和都經(jīng)過A，B兩點，且和的頂點P，Q距線段的距離之和為10，若軸且，求a的值．
【答案】（1）圖見解析，；
（2）方案一：①；②；方案二：①；②；
（3）a的值為或．
【解析】
【分析】（1）描點，連線，再利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）根據(jù)圖形寫出點或點B的坐標，再代入求解即可；
（3）先求得，，頂點坐標為，再求得頂點距線段的距離為，得到的頂點距線段的距離為，得到的頂點坐標為或，再分類求解即可．
【小問1詳解】
解：描點，連線，函數(shù)圖象如圖所示，
觀察圖象知，函數(shù)為二次函數(shù)，
設拋物線的解析式為，
由題意得，
解得，
∴y與x的關系式為；
【小問2詳解】
解：方案一：①∵，，
∴，
此時點的坐標為；
故答案：；
②由題意得，
解得，
故答案為：；
方案二：①∵C點坐標為，，，
∴，
此時點B的坐標為；
故答案：；
②由題意得，
解得，
故答案為：；
【小問3詳解】
解：根據(jù)題意和的對稱軸為，
則，，的頂點坐標為，
∴頂點距線段的距離為，
∴的頂點距線段的距離為，
∴的頂點坐標為或，
當?shù)捻旤c坐標為時，，
將代入得，解得；
當?shù)捻旤c坐標為時，，
將代入得，解得；
綜上，a的值為或．
【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應用，拋物線的平移等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關鍵．
20. 垂中平行四邊形的定義如下：在平行四邊形中，過一個頂點作關于不相鄰的兩個頂點的對角線的垂線交平行四邊形的一條邊，若交點是這條邊的中點，則該平行四邊形是“垂中平行四邊形”．
（1）如圖1所示，四邊形為“垂中平行四邊形”，，，則________；________；
（2）如圖2，若四邊形為“垂中平行四邊形”，且，猜想與的關系，并說明理由；
（3）①如圖3所示，在中，，，交于點，請畫出以為邊的垂中平行四邊形，要求：點在垂中平行四邊形的一條邊上（溫馨提示：不限作圖工具）；
②若關于直線對稱得到，連接，作射線交①中所畫平行四邊形的邊于點，連接，請直接寫出的值．
【答案】（1），
（2），理由見解析
（3）①見解析；②或．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意可推出，得到，從而推出，再根據(jù)勾股定理可求得，再求得；
（2）根據(jù)題意可推出，得到，設，則，，再利用勾股定理得到，從而推出、，即可求得答案；
（3）①分情況討論，第一種情況，作的平行線，使，連接，延長交于點；第二種情況，作的平分線，取交的平分線于點，延長交的延長線于點，在射線上取，連接；第三種情況，作，交的延長線于點，連接，作的垂直平分線；
在延長線上取點F，使，連接；
②根據(jù)①中的三種情況討論：
第一種情況，根據(jù)題意可證得是等腰三角形，作，則，可推出，從而推出，計算可得，最后利用勾股定理即可求得；
第二種情況，延長、交于點，同理可得是等腰三角形，連接，可由，結(jié)合三線合一推出，從而推出，同第一種情況即可求得；
第三種情況無交點，不符合題意．
【小問1詳解】
解：，為的中點，，，，
，，
，即，解得，
，
；
故答案為：1；；
【小問2詳解】
解：，理由如下：
根據(jù)題意，在垂中四邊形中，，且為的中點，
，；
又，
，
；
設，則，
，
，
，，
，
，
，
；
【小問3詳解】
解：①第一種情況：
作的平行線，使，連接，
則四邊形為平行四邊形；
延長交于點，
，
，
，
，，
，即，
為的中點；
故如圖1所示，四邊形即為所求的垂中平行四邊形：

第二種情況：
作的平分線，取交的平分線于點，延長交的延長線于點，在射線上取，連接，
故為的中點；
同理可證明：，
則，
則四邊形是平行四邊形；
故如圖2所示，四邊形即為所求的垂中平行四邊形：
第三種情況：
作，交的延長線于點，連接，作的垂直平分線；
在延長線上取點F，使，連接，
則為的中點，
同理可證明，從而，
故四邊形是平行四邊形；
故如圖3所示，四邊形即為所求的垂中平行四邊形：
②若按照圖1作圖，
由題意可知，，
四邊形是平行四邊形，
，
，
是等腰三角形；
過P作于H，則，
，，
，，
，
；
,，
，
，即
∴
若按照圖2作圖，
延長、交于點，
同理可得：是等腰三角形，
連接，
，
，
，
，
；
同理，，
，，，
，即，
，
若按照圖3作圖，則：沒有交點，不存在PE（不符合題意）
故答案為：或．
【點睛】本題考查了垂中平行四邊形的定義，平行四邊形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，尺規(guī)作圖，等腰三角形的判定與性質(zhì)等，熟練掌握以上知識點，讀懂題意并作出合適的輔助線是解題的關鍵．學校
平均數(shù)
眾數(shù)
中位數(shù)
方差
A
①________
48
83299
B
48.4
②________
③________
354.04
學校
平均數(shù)
眾數(shù)
中位數(shù)
方差
A
48.3
48
83.299
B
48.4
25
47.5
354.04
背景
【繽紛618，優(yōu)惠送大家】
今年618各大電商平臺促銷火熱，線下購物中心也亮出大招，年中大促進入“白熱化”．深圳各大購物中心早在5月就開始推出618活動，進入6月更是持續(xù)加碼，如圖，某商場為迎接即將到來的618優(yōu)惠節(jié)，采購了若干輛購物車．
素材
如圖為某商場疊放的購物車，右圖為購物車疊放在一起的示意圖，若一輛購物車車身長，每增加一輛購物車，車身增加．
問題解決
任務1
若某商場采購了n輛購物車，求車身總長L與購物車輛數(shù)n的表達式；
任務2
若該商場用直立電梯從一樓運輸該批購物車到二樓，已知該商場的直立電梯長為，且一次可以運輸兩列購物車，求直立電梯一次性最多可以運輸多少輛購物車？
任務3
若該商場扶手電梯一次性可以運輸24輛購物車，若要運輸100輛購物車，且最多只能使用電梯5次，求：共有多少種運輸方案？
①
②
③
④
⑤
⑥
x
0
2
3
4
5
6
y
0
1
2.25
4
6.25
9