北師大版七年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列4.1三角形內(nèi)角和定理的運用【八大題型】同步學(xué)案(學(xué)生版+解析)

這是一份北師大版七年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列4.1三角形內(nèi)角和定理的運用【八大題型】同步學(xué)案(學(xué)生版+解析)，共37頁。
專題4.1 三角形內(nèi)角和定理的運用【八大題型】 【北師大版】 TOC \o "1-3" \t "正文,1" \h TOC \o "1-1" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc7550" 【題型1 運用三角形內(nèi)角和定理直接求角的度數(shù)】  PAGEREF _Toc7550 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc2836" 【題型2 三角形內(nèi)角和定理與角平分線、高線綜合】  PAGEREF _Toc2836 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc26832" 【題型3 三角形內(nèi)角和定理與平行線的性質(zhì)綜合】  PAGEREF _Toc26832 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc12177" 【題型4 三角形內(nèi)角和定理與折疊性質(zhì)綜合】  PAGEREF _Toc12177 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc286" 【題型5 三角形內(nèi)角和定理與新定義問題綜合】  PAGEREF _Toc286 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc2555" 【題型6 運用三角形內(nèi)角和定理探究角的數(shù)量關(guān)系】  PAGEREF _Toc2555 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc27146" 【題型7 判斷直角三角形】  PAGEREF _Toc27146 \h 8  HYPERLINK \l "_Toc16473" 【題型8 運用直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)倒角】  PAGEREF _Toc16473 \h 9   【知識點1 三角形的內(nèi)角及內(nèi)角和定理】 三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角均大于0°且 小于180°．三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°． 【題型1 運用三角形內(nèi)角和定理直接求角的度數(shù)】 【例1】（2021秋?渦陽縣期末）在△ABC中，已知∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+25°，求∠A的度數(shù)． 【變式1-1】（2022春?武侯區(qū)校級期中）如圖，點E、D分別在AB、AC上．若∠B＝30°，∠C＝50°，則∠1+∠2＝　 　°． 【變式1-2】（2022?哈爾濱）在△ABC中，AD為邊BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，則∠BAC是 　 　度． 【變式1-3】（2022?南京模擬）已知BD、CE是△ABC的高，直線BD、CE相交所成的角中有一個角為45°，則∠BAC等于 　 ?。?【題型2 三角形內(nèi)角和定理與角平分線、高線綜合】 【例2】（2022春?西湖區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，AD平分∠BAC，CE⊥AB于點E，則∠ADB的度數(shù)為（　　） A．100° B．90° C．80° D．50° 【變式2-1】（2021秋?靖西市期末）△ABC中，∠C＝50°，∠B＝30°，AE平分∠BAC，點F為AE上一點，F(xiàn)D⊥BC于點D，則∠EFD的度數(shù)為（　　） A．5 B．10 C．12 D．20 【變式2-2】（2022春?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，AD是高，AE是角平分線． （1）若∠B＝32°，∠C＝60°，求∠DAE的度數(shù)； （2）若∠C﹣∠B＝18°，求∠DAE的度數(shù)． 【變式2-3】（2022春?錫山區(qū)期中）已知：如圖，△ABC中，AD⊥BC于點D，BE是∠ABC的平分線，若∠DAC＝30°，∠BAC＝80°． （1）求∠EBC的度數(shù)； （2）求∠AOB的度數(shù)． 【題型3 三角形內(nèi)角和定理與平行線的性質(zhì)綜合】 【例3】（2022?高唐縣二模）將一副直角三角尺按如圖所示的方式擺放在一起，其中∠B＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠E＝60°，點C在邊DF上，AC，BC分別交DE于點G，H．若BC∥EF，則∠AGD的度數(shù)為（　?。? A．30° B．45° C．60° D．75° 【變式3-1】（2022春?興寧區(qū)校級期末）如圖，在△ABG中，D為AG上一點，AB∥DC，點E是邊AB上一點，連接ED，∠EBD＝∠EDB，DF平分∠EDG，若∠GDC＝72°，則∠BDF的度數(shù)為（　?。? A．50° B．40° C．45° D．36° 【變式3-2】（2022春?泌陽縣期末）如圖，在△ABC中，AO平分∠BAC，BO⊥AO，O為垂足，OD∥AC，若∠ABO＝40°，試求∠BOD的大?。ㄌ崾荆貉娱LAO交BC于點E） 【變式3-3】（2022春?銅梁區(qū)校級期中）如圖，AD是△ABE的角平分線，過點B作BC⊥AB交AD的延長線于點C，點F在AB上，連接EF交AD于點G． （1）若2∠1+∠EAB＝180°，求證：EF∥BC； （2）若∠C＝72°，∠AEB＝78°，求∠CBE的度數(shù)． 【題型4 三角形內(nèi)角和定理與折疊性質(zhì)綜合】 【例4】（2022春?錦江區(qū)校級期中）如圖甲所示三角形紙片ABC中，∠B＝∠C，將紙片沿過點B的直線折疊，使點C落到AB邊上的E點處，折痕為BD（如圖乙）．再將紙片沿過點E的直線折疊，點A恰好與點D重合，折痕為EF（如圖丙），則∠ABC的大小為 　 　°． 【變式4-2】（2021春?丹陽市期中）如圖，△ABC中，AD⊥BC于點D，BE⊥AC于點E，AD與BE交于點O，將△ABC沿MN折疊，使點C與點O重合，若∠AOB＝135°，則∠1+∠2 =　 　°． 【變式4-3】（2022春?鐵西區(qū)期末）有一張三角形紙片ABC，已知∠B＝30°，∠C＝50°，點D在邊AB上，請在邊BC上找一點E，將紙片沿直線DE折疊，點B落在點F處，若EF與三角形紙片ABC的邊AC平行，則∠BED的度數(shù)為 　 ?。?【變式4-4】（2022?巴彥縣二模）在△ABC中，∠A＝110°，點D在△ABC內(nèi)，將射線BA沿直線BD翻折，將射線CA沿直線CD翻折，兩射線交于點E，若∠BEC＝150°，則∠BDC的度數(shù)為 　 ?。?【題型5 三角形內(nèi)角和定理與新定義問題綜合】 【例5】（2021秋?山亭區(qū)期末）定義：當(dāng)三角形中一個內(nèi)角α是另一個內(nèi)角的兩倍時，我們稱此三角形為“倍角三角形”，其中α稱為“倍角”，如果一個“倍角三角形”的一個內(nèi)角為99°，那么倍角α的度數(shù)是 　 ?。?【變式5-1】（2022春?大豐區(qū)校級月考）當(dāng)三角形中一個內(nèi)角a是另外一個內(nèi)角á的12時，我們稱此三角形為“友好三角形”，á為友好角．如果一個“友好三角形”中有一個內(nèi)角為36°，那么這個“友好三角形”的“友好角á”的度數(shù)為 　 　． 【變式5-2】（2022春?安溪縣期末）新定義：在△ABC中，若存在最大內(nèi)角是最小內(nèi)角度數(shù)的n倍（n為大于1的正整數(shù)），則稱△ABC為“n倍角三角形”．例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，則∠C＝30°，因為∠A最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC為“3倍角三角形”． （1）在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，則△DEF為“　 　倍角三角形”． （2）如圖，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分線相交于點D，若△ABD為“6倍角三角形”，請求出∠ABD的度數(shù)． 【變式5-3】（2021秋?福田區(qū)校級期末）我們定義： 【概念理解】在一個三角形中，如果一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的4倍，那么這樣的三角形我們稱之為“完美三角形”．如：三個內(nèi)角分別為130°、40°、10°的三角形是“完美三角形”． 【簡單應(yīng)用】如圖1，∠MON＝72°，在射線OM上找一點A，過點A作AB⊥OM交ON于點B，以A為端點作射線AD，交線段OB于點C（點C不與C、B重合點） （1）∠ABO＝　 　°，△AOB　 ?。ㄌ睢笆恰被颉安皇恰保巴昝廊切巍保?（2）若∠ACB＝90°，求證：△AOC是“完美三角形”； 【應(yīng)用拓展】 如圖2，點D在△ABC的邊AB上，連接DC，作∠ADC的平分線交AC于點E，在DC上取一點F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度數(shù)． 【題型6 運用三角形內(nèi)角和定理探究角的數(shù)量關(guān)系】 【例6】（2021秋?青田縣期末）如圖，直線l∥線段BC，點A是直線l上一動點．在△ABC中，AD是△ABC的高線，AE是∠BAC的角平分線． （1）如圖1，若∠ABC＝65°，∠BAC＝80°，求∠DAE的度數(shù)； （2）當(dāng)點A在直線l上運動時，探究∠BAD，∠DAE，∠BAE之間的數(shù)量關(guān)系，并畫出對應(yīng)圖形進(jìn)行說明． 【變式6-1】（2022春?順德區(qū)期中）如圖，在△ABC中，BO，CO是△ABC的內(nèi)角平分線且BO，CO相交于點O． （1）若∠ACB＝80°，∠ABC＝40°，求∠BOC的度數(shù)； （2）若∠A＝60°，求∠BOC的度數(shù)； （3）請你直接寫出∠A與∠BOC滿足的數(shù)量關(guān)系式，不需要說明理由． 【變式6-2】（2022春?海門市期末）已知：△ABC，點D，E分別在邊AC，AB上，連接BD，CE，BD與CE交于點O，∠BOC﹣∠BAC＝54°． （1）如圖1，當(dāng)BD，CE都是△ABC的角平分線時，求∠BOC的度數(shù)； （2）如圖2，當(dāng)BD，CE都是△ABC的高時，求∠BOC的度數(shù)； （3）如圖3，當(dāng)∠ABD＝2∠ACE時，探究∠BEO與∠CDO的數(shù)量關(guān)系，并說明理由． 【變式6-3】（2022春?輝縣市期末）小明在學(xué)習(xí)中遇到這樣一個問題： 如圖1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于D． 猜想∠B、∠C、∠EAD的數(shù)量關(guān)系． （1）小明閱讀題目后，沒有發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與解題思路，于是嘗試代入∠B、∠C的值求∠EAD值，得到下面幾組對應(yīng)值： 上表中a＝　 　，于是得到∠B、∠C、∠EAD的數(shù)量關(guān)系為 　 ?。?（2）小明繼續(xù)探究，在線段AE上任取一點P，過點P作PD⊥BC于點D，請嘗試寫出∠B、∠C、∠EPD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由． （3）小明突發(fā)奇想，交換B、C兩個字母位置，如圖2，過EA的延長線是一點F作FD⊥BC交CB的延長線于D，當(dāng)∠ABC＝80°，∠C＝24°時，∠F度數(shù)為 　 　°． 【知識點2 直角三角形的判定】 直角三角形的判定：有兩個角互余的三角形是直角三角形． 【題型7 判斷直角三角形】 【例7】（2021春?歷下區(qū)期中）在下列條件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能確定△ABC是直角三角形的條件有（　　） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【變式7-1】（2022秋?旌陽區(qū)校級月考）在下列條件中（1）∠A+∠B＝∠C；（2）∠A：∠B：∠C＝1：2：3；（3）∠A＝∠B=12∠C；（4）∠A=12∠B=13∠C中，能確定△ABC為直角三角形的條件有（　　） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【變式7-2】（2021秋?謝家集區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝62°，AE平分∠BAC． （1）求∠BAE； （2）若AD⊥BC于點D，∠ADF＝74°，證明：△ADF是直角三角形． 【變式7-3】（2022春?崇川區(qū)期末）定義：如果三角形的兩個內(nèi)角α與β滿足α+2β＝100°，那么我們稱這樣的三角形為“奇妙三角形”． （1）如圖1，△ABC中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC． 求證：△ABD為“奇妙三角形” （2）若△ABC為“奇妙三角形”，且∠C＝80°．求證：△ABC是直角三角形； （3）如圖2，△ABC中，BD平分∠ABC，若△ABD為“奇妙三角形”，且∠A＝40°，直接寫出∠C的度數(shù)． 【知識點3 直角三角形的性質(zhì)】 直角三角形的性質(zhì)：直角三角形兩個內(nèi)角互余． 【題型8 運用直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)倒角】 【例8】（2022秋?寧晉縣期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC≠AB，AD是斜邊BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E、F，則圖中與∠C（∠C除外）相等的角的個數(shù)是（　?。? A．3個 B．4個 C．5個 D．6個 【變式8-1】（2022?碑林區(qū)校級模擬）如圖，已知Rt△ABC和Rt△DEF，∠BAC＝∠EDF＝90°，點F、A、D、C共線，AB、EF相交于點M，且EF⊥BC，則圖中與∠E相等的角有（　?。﹤€． A．5 B．4 C．3 D．2 【變式8-2】（2022春?鄧州市期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于點F． （1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度數(shù)； （2）試說明：∠AEF＝∠AFE． 【變式8-3】（2022春?米東區(qū)期末）如圖1，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，CE⊥AD，且BE平分∠ABC． （1）求證：∠ACE＝∠ABC； （2）求證：∠ECD+∠EBC＝∠BEC； （3）求證：∠CEF＝∠CFE． ∠B/度1030302020∠C/度7070606080∠EAD/度30a152030 專題4.1 三角形內(nèi)角和定理的運用【八大題型】 【北師大版】 TOC \o "1-3" \t "正文,1" \h TOC \o "1-1" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc7550" 【題型1 運用三角形內(nèi)角和定理直接求角的度數(shù)】  PAGEREF _Toc7550 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc2836" 【題型2 三角形內(nèi)角和定理與角平分線、高線綜合】  PAGEREF _Toc2836 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc26832" 【題型3 三角形內(nèi)角和定理與平行線的性質(zhì)綜合】  PAGEREF _Toc26832 \h 7  HYPERLINK \l "_Toc12177" 【題型4 三角形內(nèi)角和定理與折疊性質(zhì)綜合】  PAGEREF _Toc12177 \h 10  HYPERLINK \l "_Toc286" 【題型5 三角形內(nèi)角和定理與新定義問題綜合】  PAGEREF _Toc286 \h 14  HYPERLINK \l "_Toc2555" 【題型6 運用三角形內(nèi)角和定理探究角的數(shù)量關(guān)系】  PAGEREF _Toc2555 \h 18  HYPERLINK \l "_Toc27146" 【題型7 判斷直角三角形】  PAGEREF _Toc27146 \h 24  HYPERLINK \l "_Toc16473" 【題型8 運用直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)倒角】  PAGEREF _Toc16473 \h 28   【知識點1 三角形的內(nèi)角及內(nèi)角和定理】 三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角均大于0°且 小于180°．三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°． 【題型1 運用三角形內(nèi)角和定理直接求角的度數(shù)】 【例1】（2021秋?渦陽縣期末）在△ABC中，已知∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+25°，求∠A的度數(shù)． 【分析】將第一個等式代入第二等式用∠A表示出∠C，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列方程求出∠A，然后求解即可． 【解答】解：∵∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+25°， ∴∠C＝∠A+10°+25°＝∠A+35°， 由三角形內(nèi)角和定理得，∠A+∠B+∠C＝180°， 所以，∠A+∠A+10°+∠A+35°＝180°， 解得∠A＝45°． 【變式1-1】（2022春?武侯區(qū)校級期中）如圖，點E、D分別在AB、AC上．若∠B＝30°，∠C＝50°，則∠1+∠2＝　 　°． 【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理可得∠1+∠2＝∠B+∠C，從而可求解． 【解答】解：∵∠1+∠2+∠A＝180°，∠B+∠C+∠A＝180°， ∴∠1+∠2＝∠B+∠C， ∵∠B＝30°，∠C＝50°， ∴∠1+∠2＝∠B+∠C＝30°+50°＝80°． 故答案為：80°． 【變式1-2】（2022?哈爾濱）在△ABC中，AD為邊BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，則∠BAC是 　 　度． 【分析】分兩種情況：△ABC為銳角三角形或鈍角三角形，然后利用三角形內(nèi)角和定理即可作答． 【解答】解：當(dāng)△ABC為銳角三角形時，如圖， ∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°， ∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°+20°＝80°； 當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，如圖， ∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°， ∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣20°＝40°． 綜上所述，∠BAC＝80°或40°． 故答案為：80或40． 【變式1-3】（2022?南京模擬）已知BD、CE是△ABC的高，直線BD、CE相交所成的角中有一個角為45°，則∠BAC等于 　 ?。?【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理．分∠BAC與這個45°的角在一個四邊形內(nèi)，及∠BAC與這個45°的角不在一個四邊形內(nèi)兩種情況討論． 【解答】解：若∠BAC與這個45°的角在一個四邊形BCDE內(nèi)， 因為BD、CE是△ABC的高，設(shè)BD的延長線交CE的延長線于O． ∴∠AEC＝∠ADB＝90°， ∵∠O＝45°， ∴∠DAE＝180°﹣45°＝135° ∴∠BAC＝∠DAE＝135°； 若∠BAC與這個45°的角不在一個四邊形BCDE內(nèi)， 因為BD、CE是△ABC的高， 如圖：∠BAC＝180°﹣（180°﹣45°）＝45°， 所以∠BAC等于45度． 若∠ACB是鈍角，∠A是銳角， 易知∠ABD＝40°，∠A＝45° 綜上所述，∠A的值為45°或135°． 故答案為：45°或135°． 【題型2 三角形內(nèi)角和定理與角平分線、高線綜合】 【例2】（2022春?西湖區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，AD平分∠BAC，CE⊥AB于點E，則∠ADB的度數(shù)為（　?。? A．100° B．90° C．80° D．50° 【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義求出∠B與∠BAD的度數(shù)即可求解． 【解答】解：∵CE⊥AB， ∴∠BEC＝90°， ∵∠BCE＝40°， ∴∠B＝50°， ∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC， ∴∠BAD=12∠BAC＝30°， ∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD ＝180°﹣50°﹣30° ＝100°． 【變式2-1】（2021秋?靖西市期末）△ABC中，∠C＝50°，∠B＝30°，AE平分∠BAC，點F為AE上一點，F(xiàn)D⊥BC于點D，則∠EFD的度數(shù)為（　?。? A．5 B．10 C．12 D．20 【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°即可得出結(jié)論． 【解答】解：∵∠C＝50°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠A＝180°﹣50°﹣30°＝100°， ∵AE是∠BAC的平分線， ∴∠BAE＝50°， ∴∠FED＝50°+30°＝80°， 又∵DF⊥BC， ∴∠FED+∠EFD＝90°， ∴∠EFD＝90°﹣80°＝10°， 【變式2-2】（2022春?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，AD是高，AE是角平分線． （1）若∠B＝32°，∠C＝60°，求∠DAE的度數(shù)； （2）若∠C﹣∠B＝18°，求∠DAE的度數(shù)． 【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，根據(jù)角平分線的定義求出∠EAC，根據(jù)垂直求出∠ADC＝90°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠DAC，再求出答案即可； （2）求出∠C＝18°+∠B，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，根據(jù)角平分線的定義求出∠EAC，根據(jù)垂直求出∠ADC＝90°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠DAC，再求出答案即可． 【解答】解：（1）∵∠B＝32°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝88°， ∵AE是角平分線， ∴∠EAC=12∠BAC＝44°， ∵AD是高， ∴∠AC＝90°， ∵∠C＝60°， ∴∠DAC＝90°﹣∠C＝30°， ∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝44°﹣30°＝14°； （2）∵∠C﹣∠B＝18°， ∴∠C＝18°+∠B， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣∠B﹣（18°+∠B）＝162°﹣2∠B， ∵AE是角平分線， ∴∠EAC=12∠BAC＝81°﹣∠B， ∵AD是高， ∴∠AC＝90°， ∵∠C＝18°+∠B， ∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣（18°+∠B）＝72°﹣∠B， ∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝（81°﹣∠B）﹣（72°﹣∠B）＝9°． 【變式2-3】（2022春?錫山區(qū)期中）已知：如圖，△ABC中，AD⊥BC于點D，BE是∠ABC的平分線，若∠DAC＝30°，∠BAC＝80°． （1）求∠EBC的度數(shù)； （2）求∠AOB的度數(shù)． 【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)可求解∠C＝60°，利用三角形的內(nèi)角和定理可求解∠ABC＝40°，再根據(jù)角平分線的定義可求解； （2）由∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC可求解∠BAD＝50°，由角平分線的定義可求解∠ABO＝∠EBC＝20°，由三角形的內(nèi)角和定理可求解． 【解答】解：（1）∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴△ADC是直角三角形， ∵∠DAC＝30°， ∴∠C＝90°﹣∠DAC＝60°， ∵∠BAC＝80°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝40°， ∵BE是△ABC的平分線， ∴∠EBC=12∠ABC＝20°； （2）∵∠BAC＝80°，∠DAC＝30°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝50°， 由（1）可知∠EBC＝20°， ∵BE是∠ABC的平分線， ∴∠ABO＝∠EBC＝20°， 在△AOB中，∠AOB＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝110°． 【題型3 三角形內(nèi)角和定理與平行線的性質(zhì)綜合】 【例3】（2022?高唐縣二模）將一副直角三角尺按如圖所示的方式擺放在一起，其中∠B＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠E＝60°，點C在邊DF上，AC，BC分別交DE于點G，H．若BC∥EF，則∠AGD的度數(shù)為（　?。? A．30° B．45° C．60° D．75° 【分析】在△ABC中，利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠ACB（即∠HCG）的度數(shù)，由BC∥EF，利用“兩直線平行，同位角相等”可得出∠GHC的度數(shù)，在△HCG中，利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠HGC的度數(shù)，再結(jié)合對頂角相等可得出∠AGD的度數(shù)． 【解答】解：∵∠B＝90°，∠A＝45°， ∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣90°﹣45°＝45°，即∠HCG＝45°． ∵BC∥EF， ∴∠GHC＝∠E＝60°， ∴∠HGC＝180°﹣∠GHC﹣∠HCG＝180°﹣60°﹣45°＝75°， ∴∠AGD＝∠HGC＝75°． 故選：D． 【變式3-1】（2022春?興寧區(qū)校級期末）如圖，在△ABG中，D為AG上一點，AB∥DC，點E是邊AB上一點，連接ED，∠EBD＝∠EDB，DF平分∠EDG，若∠GDC＝72°，則∠BDF的度數(shù)為（　?。? A．50° B．40° C．45° D．36° 【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EBD＝∠BDC，根據(jù)角平分線的定義可得∠EDB＝∠BDC，設(shè)∠EDB＝∠BDC＝x°，表示出∠GDE，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠EDF，再根據(jù)∠BDF＝∠EDF﹣∠BDE，求解即可． 【解答】解：∵AB∥DC， ∴∠EBD＝∠BDC， ∵∠EBD＝∠EDB， ∴∠EDB＝∠BDC， 設(shè)∠EDB＝∠BDC＝x°， ∵∠GDC＝72°， ∴∠GDE＝2x°+72°， ∵DF平分∠EDG， ∴∠EDF=12∠EDG＝x°+36°， ∴∠BDF＝∠EDF﹣∠BDE＝x°+36°﹣x°＝36°， 故選：D． 【變式3-2】（2022春?泌陽縣期末）如圖，在△ABC中，AO平分∠BAC，BO⊥AO，O為垂足，OD∥AC，若∠ABO＝40°，試求∠BOD的大小．（提示：延長AO交BC于點E） 【分析】延長AO交BC于點E，根據(jù)垂直的定義得到∠AOB＝∠BOE＝90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和得出∠BAO＝50°，根據(jù)角平分線的定義得到∠EAC＝50°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EOD＝50°，根據(jù)角的和差即可得解． 【解答】解：延長AO交BC于點E， ∵BO⊥AO， ∴∠AOB＝∠BOE＝90°， ∵∠ABO＝40°， ∴∠BAO＝180°﹣∠ABO﹣∠AOB＝50°， ∵AO平分∠BAC， ∴∠EAC＝∠BAO＝50°， ∵OD∥AC， ∴∠EOD＝∠EAC＝50°， ∴∠BOD＝∠BOE+∠EOD＝140°． 【變式3-3】（2022春?銅梁區(qū)校級期中）如圖，AD是△ABE的角平分線，過點B作BC⊥AB交AD的延長線于點C，點F在AB上，連接EF交AD于點G． （1）若2∠1+∠EAB＝180°，求證：EF∥BC； （2）若∠C＝72°，∠AEB＝78°，求∠CBE的度數(shù)． 【分析】（1）先根據(jù)垂直等于得到∠ABC＝90°，則∠C+∠BAC＝90°，再證明2∠C+∠EAB＝180°，加上2∠1+∠EAB＝180°，則∠1＝∠C，然后根據(jù)平行線的判定方法得到結(jié)論； （2）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計算出計算出∠BAC＝18°，則∠EAD＝18°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠EAD+∠AED＝∠C+∠CBE，即18°+78°＝72°+∠CBE，從而可求出∠CBE的度數(shù)． 【解答】（1）證明：∵BC⊥AB， ∴∠ABC＝90°， ∴∠C+∠BAC＝90°， ∵AD是△ABE的角平分線， ∴∠BAC=12∠EAB， ∴∠C+12∠EAB＝90°， 即2∠C+∠EAB＝180°， ∵2∠1+∠EAB＝180°， ∴∠1＝∠C， ∴EF∥BC； （2）解：∵∠ABC＝90°，∠C＝72°， ∴∠BAC＝18°， ∴∠EAD＝∠BAC＝18°， ∵∠ADE＝∠BDC， ∴∠EAD+∠AED＝∠C+∠CBE， 即18°+78°＝72°+∠CBE， ∴∠CBE＝24°． 【題型4 三角形內(nèi)角和定理與折疊性質(zhì)綜合】 【例4】（2022春?錦江區(qū)校級期中）如圖甲所示三角形紙片ABC中，∠B＝∠C，將紙片沿過點B的直線折疊，使點C落到AB邊上的E點處，折痕為BD（如圖乙）．再將紙片沿過點E的直線折疊，點A恰好與點D重合，折痕為EF（如圖丙），則∠ABC的大小為 　 　°． 【分析】設(shè)∠A＝x，根據(jù)翻折不變性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠BED＝∠A+∠EDA＝2x，利用三角形內(nèi)角和定理構(gòu)建方程即可解決問題． 【解答】解：設(shè)∠A＝x，根據(jù)翻折不變性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠DEB＝∠A+∠EDA＝2x， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝2x， ∵∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴5x＝180°， ∴x＝36°， ∴∠ABC＝72°． 故答案為：72． 【變式4-2】（2021春?丹陽市期中）如圖，△ABC中，AD⊥BC于點D，BE⊥AC于點E，AD與BE交于點O，將△ABC沿MN折疊，使點C與點O重合，若∠AOB＝135°，則∠1+∠2 =　 　°． 【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到對應(yīng)角相等，推出∠1+∠2＝2∠MON，根據(jù)垂直的定義得到∠ODN＝∠OEM＝90°，利用平角的定義得到∠BOD+∠DON+∠MON+∠EOM＝180°，即可求出結(jié)果． 【解答】解：由折疊性質(zhì)可知，∠OMN＝∠CMN，∠ONM＝∠CNM，∠MON＝∠MCN， ∴∠1＝180°﹣2∠CMN，∠2＝180°﹣2∠CNM， ∴∠1+∠2＝2（180°﹣∠CMN﹣∠CNM）＝2∠MCN＝2∠MON， ∵∠AOB＝135°， ∴∠BOD＝45°， ∵AD⊥BC，BE⊥AC， ∴∠ODN＝∠OEM＝90°， ∴∠DON＝90°﹣∠2，∠EOM＝90°﹣∠1， ∵∠BOD+∠DON+∠MON+∠EOM＝180°， 即45°+90°﹣∠2+90°﹣∠1+12（∠1+∠2）＝180°， ∴12（∠1+∠2）＝45°， ∴∠1+∠2＝90°， 故答案為：90． 【變式4-3】（2022春?鐵西區(qū)期末）有一張三角形紙片ABC，已知∠B＝30°，∠C＝50°，點D在邊AB上，請在邊BC上找一點E，將紙片沿直線DE折疊，點B落在點F處，若EF與三角形紙片ABC的邊AC平行，則∠BED的度數(shù)為 　 ?。?【分析】分兩種情況：①當(dāng)點F在AB的上方時，②當(dāng)點F在BC的下方時，根據(jù)折疊性質(zhì)、平行線的性質(zhì)即可解決問題． 【解答】解：①當(dāng)點F在AB的上方時，如圖： ∵AC∥EF，∠C＝50°， ∴∠BEF＝∠C＝50°， ∴∠BED＝∠FED=12∠BEF=12×50°＝25°， ∴∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠BED＝180°﹣30°﹣25°＝125°； ②當(dāng)點F在BC的下方時，如圖： ∵AC∥EF，∠C＝50°， ∴∠CEF＝∠C＝50°， ∵∠F＝∠B＝30°， ∴∠BGD＝50°+30°＝80°， ∴∠BDG＝180°﹣80°﹣30°＝70°， ∴∠BDE=12∠BDG=12×70°＝35°； 綜上所述，∠BDE的度數(shù)為35°或125°． 故答案為：35°或125°． 【變式4-4】（2022?巴彥縣二模）在△ABC中，∠A＝110°，點D在△ABC內(nèi)，將射線BA沿直線BD翻折，將射線CA沿直線CD翻折，兩射線交于點E，若∠BEC＝150°，則∠BDC的度數(shù)為 　 ?。?【分析】當(dāng)點E在△ABC外時，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和求出∠ABE+∠ACE，再由折疊性質(zhì)求得∠ABD+∠ACD，由三角形內(nèi)角和求得∠ABC+∠ACB，便可求得∠CBD+∠BCD，最后由三角形內(nèi)角和求得∠BDC；當(dāng)點E在△ABC內(nèi)時，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出結(jié)果便可． 【解答】解：當(dāng)點E在△ABC外時，如圖， ∵∠A＝110°，∠BEC＝150°， ∴∠ABE+∠ACE＝360°﹣110°﹣150°＝100°， 由折疊性質(zhì)知，∠ABD＝∠EBD=12∠ABE，∠ACD＝∠ECD=12∠ACE， ∴∠ABD+∠ACD=12×100°=50°， ∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝70°， ∴∠CBD+∠BCD＝70°﹣50°＝20°， ∴∠BDC＝180°﹣20°＝160°， 當(dāng)點E在△ABC內(nèi)時，如圖， ∵∠A＝110°，∠BEC＝150°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣110°＝70°， ∠EBC+∠ECB＝180°﹣150°＝30°， ∴∠ABE+∠ACE＝＝70°﹣30°＝40°， 由折疊性質(zhì)知，∠DBE=12∠ABE，∠DCE=12∠ACE， ∴∠DBE+∠DCE=12（∠ABE+∠ACE）＝20°， ∴∠DBC+∠DCB＝∠DBE+∠DCE+∠EBC+∠ECB＝50°， ∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）130°， 故答案為：160°或130°． 【題型5 三角形內(nèi)角和定理與新定義問題綜合】 【例5】（2021秋?山亭區(qū)期末）定義：當(dāng)三角形中一個內(nèi)角α是另一個內(nèi)角的兩倍時，我們稱此三角形為“倍角三角形”，其中α稱為“倍角”，如果一個“倍角三角形”的一個內(nèi)角為99°，那么倍角α的度數(shù)是 　 ?。?【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及分類討論的思想解決本題． 【解答】解：設(shè)這個“倍角”三角形的三個內(nèi)角分別為α、β、γ，其中α＝2β，則可能出現(xiàn)以下幾種情況： ①當(dāng)α＝99°時，則β＝49.5°； ②當(dāng)β＝99°時，則α＝198°，該種情況不存在； ③當(dāng)γ＝99°時，則α+β+γ＝2β+β+99°＝180°，故β＝27°，α＝54°． 綜上：α＝99°或54°． 故答案為：99°或54°． 【變式5-1】（2022春?大豐區(qū)校級月考）當(dāng)三角形中一個內(nèi)角a是另外一個內(nèi)角á的12時，我們稱此三角形為“友好三角形”，á為友好角．如果一個“友好三角形”中有一個內(nèi)角為36°，那么這個“友好三角形”的“友好角á”的度數(shù)為 　 　． 【分析】利用“友好三角形”的定義討論：當(dāng)三角形的另一個內(nèi)角為72°時，可確定“友好角á”的度數(shù)為72°；當(dāng)三角形的另一個內(nèi)角為18°時，可確定“友好角á”的度數(shù)為36°；當(dāng)三角形的另兩個內(nèi)角為x，2x時，利用三角形內(nèi)角和求出x＝48°，所以2x＝96°，從而得到“友好角á”的度數(shù)． 【解答】解：∵一個“友好三角形”中有一個內(nèi)角為36°， ∴當(dāng)三角形的另一個內(nèi)角為72°時，這個“友好三角形”的“友好角á”的度數(shù)為72°； 當(dāng)三角形的另一個內(nèi)角為18°時，這個“友好三角形”的“友好角á”的度數(shù)為36°； 當(dāng)三角形的另兩個內(nèi)角為x，2x時，則x+2x+36°＝180°，解得x＝48°，2x＝96°，這個“友好三角形”的“友好角á”的度數(shù)為96°； 綜上所述，這個“友好三角形”的“友好角á”的度數(shù)為36°或72°或96°． 故答案為：36°或72°或96°． 【變式5-2】（2022春?安溪縣期末）新定義：在△ABC中，若存在最大內(nèi)角是最小內(nèi)角度數(shù)的n倍（n為大于1的正整數(shù)），則稱△ABC為“n倍角三角形”．例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，則∠C＝30°，因為∠A最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC為“3倍角三角形”． （1）在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，則△DEF為“　 　倍角三角形”． （2）如圖，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分線相交于點D，若△ABD為“6倍角三角形”，請求出∠ABD的度數(shù)． 【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠D，根據(jù)n倍角三角形的定義判斷； （2）根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理求出∠ADB，n倍角三角形的定義分情況討論計算，得到答案． 【解答】解：（1）在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝60°， 則∠D＝180°﹣∠E﹣∠F＝80°， ∴∠D＝2∠E， ∴△DEF為“2倍角三角形”， 故答案為：2； （2）∵∠C＝36°， ∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣36°＝144°， ∵∠BAC、∠ABC的角平分線相交于點D， ∴∠DAB=12∠BAC，∠DBA=12∠ABC， ∴∠DAB+∠DBA=12×144°＝72°， ∴∠ADB＝180°﹣72°＝108°， ∵△ABD為“6倍角三角形”， ∴∠ADB＝6∠ABD或∠ADB＝6∠BAD， 當(dāng)∠ADB＝6∠ABD時，∠ABD＝18°， 當(dāng)∠ADB＝6∠BAD時，∠BAD＝18°，則∠ABD＝180°﹣108°﹣18°＝54°， 綜上所述，∠ABD的度數(shù)為18°或54°． 【變式5-3】（2021秋?福田區(qū)校級期末）我們定義： 【概念理解】在一個三角形中，如果一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的4倍，那么這樣的三角形我們稱之為“完美三角形”．如：三個內(nèi)角分別為130°、40°、10°的三角形是“完美三角形”． 【簡單應(yīng)用】如圖1，∠MON＝72°，在射線OM上找一點A，過點A作AB⊥OM交ON于點B，以A為端點作射線AD，交線段OB于點C（點C不與C、B重合點） （1）∠ABO＝　 　°，△AOB　 ?。ㄌ睢笆恰被颉安皇恰保巴昝廊切巍保?（2）若∠ACB＝90°，求證：△AOC是“完美三角形”； 【應(yīng)用拓展】 如圖2，點D在△ABC的邊AB上，連接DC，作∠ADC的平分線交AC于點E，在DC上取一點F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度數(shù)． 【概念理解】在一個三角形中，如果一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的4倍，那么這樣的三角形我們稱之為“完美三角形”．如：三個內(nèi)角分別為130°、40°、10°的三角形是“完美三角形”． 【簡單應(yīng)用】如圖1，∠MON＝72°，在射線OM上找一點A，過點A作AB⊥OM交ON于點B，以A為端點作射線AD，交線段OB于點C（點C不與C、B重合點） （1）∠ABO＝　18　°，△AOB　是?。ㄌ睢笆恰被颉安皇恰保巴昝廊切巍保?（2）若∠ACB＝90°，求證：△AOC是“完美三角形”； 【應(yīng)用拓展】 如圖2，點D在△ABC的邊AB上，連接DC，作∠ADC的平分線交AC于點E，在DC上取一點F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度數(shù)． 【分析】（1）根據(jù)垂直的定義、三角形內(nèi)角和定理求出∠ABO的度數(shù)，根據(jù)“完美三角形”的概念判斷； （2）根據(jù)“完美三角形”的概念證明即可； 應(yīng)用拓展：根據(jù)比較的性質(zhì)得到∠EFC＝∠ADC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DEF＝∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE＝∠BCD，根據(jù)角平分線的定義得到∠ADE＝∠CDE，求得∠B＝∠BCD，根據(jù)“完美三角形”的定義求解即可． 【解答】解：（1）∵AB⊥OM， ∴∠OAB＝90°， ∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝90°﹣72°＝18°， ∵∠MON＝4∠ABO， ∴△AOB為“完美三角形”， 故答案為：18；是； （2）證明：∵∠MON＝72°，∠ACB＝90°， ∠ACB＝∠OAC+∠MON， ∴∠OAC＝90°﹣72°＝18°， ∵∠AOB＝72°＝4×18°＝4∠OAC， ∴△AOC是“完美三角形”； 應(yīng)用拓展： ∵∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°， ∴∠EFC＝∠ADC， ∴AD∥EF， ∴∠DEF＝∠ADE， ∵∠DEF＝∠B， ∴∠B＝∠ADE， ∴DE∥BC， ∴∠CDE＝∠BCD， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE， ∴∠B＝∠BCD， ∵△BCD是“完美三角形”， ∴∠BDC＝4∠B，或∠B＝4∠BDC， ∵∠BDC+∠BCD+∠B＝180°， ∴∠B＝30°或∠B＝80°． 【題型6 運用三角形內(nèi)角和定理探究角的數(shù)量關(guān)系】 【例6】（2021秋?青田縣期末）如圖，直線l∥線段BC，點A是直線l上一動點．在△ABC中，AD是△ABC的高線，AE是∠BAC的角平分線． （1）如圖1，若∠ABC＝65°，∠BAC＝80°，求∠DAE的度數(shù)； （2）當(dāng)點A在直線l上運動時，探究∠BAD，∠DAE，∠BAE之間的數(shù)量關(guān)系，并畫出對應(yīng)圖形進(jìn)行說明． 【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得∠BAE=12∠BAC＝40°．而∠BAD＝90°﹣∠ABD＝25°，利用角的和差關(guān)系可得答案； （2）根據(jù)高在形內(nèi)和形外進(jìn)行分類，再根據(jù)AB，AC，AD為位置進(jìn)行討論． 【解答】解：（1）∵AE是∠BAC的角平分線， ∴∠BAE=12∠BAC＝40°． ∵AD是△ABC的高線， ∴∠BDA＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝25°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣25°＝15°； （2）如圖1，∠BAD+∠BAE＝∠DAE； 如圖2，∠BAD+∠DAE＝∠BAE； 如圖3，∠BAE+∠DAE＝∠BAD； 如圖4，∠BAE+∠DAE＝∠BAD． 【變式6-1】（2022春?順德區(qū)期中）如圖，在△ABC中，BO，CO是△ABC的內(nèi)角平分線且BO，CO相交于點O． （1）若∠ACB＝80°，∠ABC＝40°，求∠BOC的度數(shù)； （2）若∠A＝60°，求∠BOC的度數(shù)； （3）請你直接寫出∠A與∠BOC滿足的數(shù)量關(guān)系式，不需要說明理由． 【分析】（1）由角平分線的定義可得∠CBO＝40°，∠BCO＝20°，由三角形的內(nèi)角和定理即可求解； （2）由三角形的內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB＝120°，再由角平分線的定義得∠CBO=12∠ABC，∠BCO=12∠ACB，從而可求得∠CBO+∠BCO＝60°，即可求∠BOC的度數(shù)； （3）仿照（2）的過程進(jìn)行求解即可． 【解答】解：（1）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∠ACB＝80°，∠ABC＝40°， ∴∠CBO=12∠ABC＝20°，∠BCO=12∠ACB＝40°， ∴∠BOC＝180°﹣∠CBO﹣∠BCO＝120°； （2）∵∠A＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°， ∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠CBO=12∠ABC，∠BCO=12∠ACB， ∴∠CBO+∠BCO=12（∠ABC+∠ACB）＝60°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝120°； （3）由題意得：∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠CBO=12∠ABC，∠BCO=12∠ACB， ∴∠CBO+∠BCO=12（∠ABC+∠ACB）＝90°?12∠A， ∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝90°+12∠A， 即∠BOC＝90°+12∠A． 【變式6-2】（2022春?海門市期末）已知：△ABC，點D，E分別在邊AC，AB上，連接BD，CE，BD與CE交于點O，∠BOC﹣∠BAC＝54°． （1）如圖1，當(dāng)BD，CE都是△ABC的角平分線時，求∠BOC的度數(shù)； （2）如圖2，當(dāng)BD，CE都是△ABC的高時，求∠BOC的度數(shù)； （3）如圖3，當(dāng)∠ABD＝2∠ACE時，探究∠BEO與∠CDO的數(shù)量關(guān)系，并說明理由． 【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計算即可； （2）根據(jù)高的定義，三角形內(nèi)角和定理以及圖形中角之間的和差關(guān)系進(jìn)行計算即可； （3）利用三角形內(nèi)角和定理，四邊形的內(nèi)角和以及角之間的和差關(guān)系進(jìn)行計算即可． 【解答】解：（1）∵BD，CE都是△ABC的角平分線， ∴∠DBC＝∠ABD=12∠ABC，∠ECB＝∠ACE=12∠ACB， ∴∠DBC+∠ECB=12（∠ABC+∠ACB） =12（180°﹣∠BAC） ＝90°?12∠BAC， ∴∠BOC＝180°﹣（∠DBC+∠ECB） ＝180°﹣（90°?12∠BAC） ＝90°+12∠BAC， 又∵∠BOC﹣∠BAC＝54°，即90°+12∠BAC﹣∠BAC＝54°， ∴∠BAC＝72°， ∴∠BOC＝90°+12∠BAC ＝90°+36° ＝126°； （2）∵BD，CE都是△ABC的高， ∴∠ADB＝∠AEC＝90°， ∵∠A+∠ADB+∠DOE+∠AEC＝360°， ∴∠A+90°+∠DOE+90°＝360°， ∴∠A＝180°﹣∠DOE， ∵∠DOE＝∠BOC， ∴∠A＝180°﹣∠BOC， ∵∠BOC﹣∠A＝54°， ∴∠BOC﹣（180°﹣∠BOC）＝54°， ∴∠BOC＝117°． （3）∠ODC﹣∠BEO＝18°，理由如下： ∵∠BEO＝∠A+∠ACE， ∴∠BOC＝∠BEO+∠ABD＝∠A+∠ACE+∠ABD， ∴∠BOC﹣∠A＝∠ACE+∠ABD． ∵∠BOC﹣∠A＝54°， ∴∠ABD＝2∠ACE， ∴54°＝∠ACE+2∠ACE， ∴∠ACE＝18°， ∴∠ABD＝2×18°＝36°， ∵∠BOC＝∠ODC+∠DCO＝∠BEO+∠ABD， ∴∠BEO+36°＝∠ODC+18°， ∴∠ODC﹣∠BEO＝18°． 【變式6-3】（2022春?輝縣市期末）小明在學(xué)習(xí)中遇到這樣一個問題： 如圖1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于D． 猜想∠B、∠C、∠EAD的數(shù)量關(guān)系． （1）小明閱讀題目后，沒有發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與解題思路，于是嘗試代入∠B、∠C的值求∠EAD值，得到下面幾組對應(yīng)值： 上表中a＝　 　，于是得到∠B、∠C、∠EAD的數(shù)量關(guān)系為 　 ?。?（2）小明繼續(xù)探究，在線段AE上任取一點P，過點P作PD⊥BC于點D，請嘗試寫出∠B、∠C、∠EPD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由． （3）小明突發(fā)奇想，交換B、C兩個字母位置，如圖2，過EA的延長線是一點F作FD⊥BC交CB的延長線于D，當(dāng)∠ABC＝80°，∠C＝24°時，∠F度數(shù)為 　 　°． 【分析】（1）求出∠BAE和∠BAD的大小即可得到∠EAD的值，再通過找規(guī)律的形式得出三者的關(guān)系， （2）分別用∠B和∠C表示出∠BAE和∠BAD，再由∠EAD＝∠BAE和﹣BAD即可得出答案， （3）分析同（2）． 【解答】解：（1）∵∠B＝30°，∠C＝70°， ∴Rt△ABD中，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝180°﹣30°﹣90°＝60°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=12∠BAC=12（180°﹣∠B﹣∠C）=12（180°﹣30°﹣70°）＝40°， ∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝60°﹣40°＝20°， ∴a＝20， 故答案為：20；2∠EAD＝∠C﹣∠B． （2）如圖，過點A作AF⊥BC于F， ∵PD⊥BC，AF⊥BC， ∴PD∥AF， ∴∠EPD＝∠EAF， ∵△ABC內(nèi)角和為180°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=12∠BAC＝90°?∠B+∠C2， 同時∠BAF＝90°﹣∠B， ∴可得出∠EAF＝∠BAF﹣∠BAE=∠C?∠B2=∠EPD， 綜上所述，∠EPD=∠C?∠B2； （3）同理（2），依舊可得∠EFD=∠C?∠B2=28°， 故答案為：28． 【知識點2 直角三角形的判定】 直角三角形的判定：有兩個角互余的三角形是直角三角形． 【題型7 判斷直角三角形】 【例7】（2021春?歷下區(qū)期中）在下列條件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能確定△ABC是直角三角形的條件有（　　） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【分析】根據(jù)直角三角形的判定對各個條件進(jìn)行分析，即可得到答案． 【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C， ∴2∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ②∵∠A：∠B：∠C＝5：3：2， 設(shè)∠A＝5x，則∠B＝3x，∠C＝2x， ∴5x+2x+3x＝180°， 解得：x＝18°， ∴∠A＝18°×5＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ③∵∠A＝90°﹣∠B， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠C＝180°﹣90°＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ④∵3∠C＝2∠B＝∠A， ∴∠A+∠B+∠C=12∠A+13∠A+∠A＝180°， ∴∠A＝（108011）°， ∴△ABC為鈍角三角形． ∴能確定△ABC是直角三角形的有①②③共3個， 【變式7-1】（2022秋?旌陽區(qū)校級月考）在下列條件中（1）∠A+∠B＝∠C；（2）∠A：∠B：∠C＝1：2：3；（3）∠A＝∠B=12∠C；（4）∠A=12∠B=13∠C中，能確定△ABC為直角三角形的條件有（　?。?A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列式計算，根據(jù)直角三角形的概念判定即可． 【解答】解：（1）∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠C＝180°， 解得：∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形； （2）設(shè)∠A＝x，則∠B＝2x，∠C＝3x， 由三角形內(nèi)角和定理得：x+2x+3x＝180°， 解得：x＝30°， ∴∠C＝30°×3＝90°， ∴△ABC是直角三角形； （3）∵∠A＝∠B=12∠C，∠A+∠B+∠C＝180° ∴12∠C+12∠C+∠C＝180°， 解得：∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形； （4）∵∠A=12∠B=13∠C， ∴∠C＝3∠A，∠B＝2∠A， ∴∠A+∠B+∠C＝3∠A+2∠A+∠A＝180°， 解得：∠A＝30°， ∴∠C＝3∠A＝90°， ∴△ABC為直角三角形． 所以能確定△ABC是直角三角形的有共4個， 故選：D． 【變式7-2】（2021秋?謝家集區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝62°，AE平分∠BAC． （1）求∠BAE； （2）若AD⊥BC于點D，∠ADF＝74°，證明：△ADF是直角三角形． 【分析】（1）在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝62°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可求得∠BAC的度數(shù)，由AE平分∠BAC，根據(jù)角平分線的定義，可求得∠BAE的度數(shù)； （2）由AD⊥BC，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可求得∠BAD的度數(shù)，繼而求得∠DAE的度數(shù)，則可求得∠ADF的度數(shù)． 【解答】（1）解：∵∠B＝30°，∠C＝62°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣62°＝88°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=12∠BAC=12×88°＝44°； （2）證明：∵AD⊥BC； ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°， ∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝60°﹣44°＝16°， ∵∠ADF＝74°， ∴∠ADF+∠EAD＝74°+16°＝90°， ∴∠AFD＝90°， ∴△ADF是直角三角形． 【變式7-3】（2022春?崇川區(qū)期末）定義：如果三角形的兩個內(nèi)角α與β滿足α+2β＝100°，那么我們稱這樣的三角形為“奇妙三角形”． （1）如圖1，△ABC中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC． 求證：△ABD為“奇妙三角形” （2）若△ABC為“奇妙三角形”，且∠C＝80°．求證：△ABC是直角三角形； （3）如圖2，△ABC中，BD平分∠ABC，若△ABD為“奇妙三角形”，且∠A＝40°，直接寫出∠C的度數(shù)． 【分析】（1）根據(jù)“奇妙三角形”的定義，在△ABD中，∠A+2∠ABD＝100°，即證明△ABD為“奇妙三角形”． （2）由三角形的內(nèi)角和知，A+∠B＝100°，由△ABC為“奇妙三角形”得出∠C+2∠B＝100°或∠C+2∠A＝100°兩種情況，計算得∠B＝90°或∠A＝90°，從而證明△ABC是直角三角形． （3）由三角形的內(nèi)角和知，∠ADB+∠ABD＝140，由△ABC為“奇妙三角形得出∠A+2∠ABD＝100°或2∠A+∠ABD＝100°兩種情況，求得∠C＝80°或100°． 【解答】（1）證明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠ABD． 在△ABC中，∵∠ACB＝80°， ∴∠A+∠ABC＝180°﹣∠ACB＝180°﹣80°＝100°， 即∠A+2∠ABD＝100°， ∴△ABD為“奇妙三角形”． （2）證明：在△ABC中，∵∠C＝80°，∴∠A+∠B＝100°， ∵△ABC為“奇妙三角形”，∴∠C+2∠B＝100°或∠C+2∠A＝100°， ∴∠B＝10°或∠A＝10°， 當(dāng)∠B＝10°時，∠A＝90°，△ABC是直角三角形． 當(dāng)∠A＝10°時，∠B＝90°，△ABC是直角三角形． 由此證得，△ABC是直角三角形． （3）解：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠ABD， ∵△ABD為“奇妙三角形”， ∴∠A+2∠ABD＝100°或2∠A+∠ABD＝100°， ①當(dāng)∠A+2∠ABD＝100°時，∠ABD＝（100°﹣40°）÷2＝30°， ∴∠ABC＝2∠ABD＝60°， ∴∠C＝80°； ②當(dāng)2∠A+∠ABD＝100°時，∠ABD＝100°﹣2∠A＝20°， ∴∠ABC＝2∠ABD＝40°， ∴∠C＝100°； 綜上得出：∠C的度數(shù)為80°或100°． 【知識點3 直角三角形的性質(zhì)】 直角三角形的性質(zhì)：直角三角形兩個內(nèi)角互余． 【題型8 運用直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)倒角】 【例8】（2022秋?寧晉縣期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC≠AB，AD是斜邊BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E、F，則圖中與∠C（∠C除外）相等的角的個數(shù)是（　?。? A．3個 B．4個 C．5個 D．6個 【分析】由“直角三角形的兩銳角互余”，結(jié)合題目條件，得∠C＝∠BDF＝∠BAD＝∠ADE． 【解答】解：如圖，∵AD是斜邊BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB， ∴∠C+∠B＝90°，∠BDF+∠B＝90°，∠BAD+∠B＝90°， ∴∠C＝∠BDF＝∠BAD， ∵∠DAC+∠C＝90°，∠DAC+∠ADE＝90°， ∴∠C＝∠ADE， ∴圖中與∠C（除之C外）相等的角的個數(shù)是3， 【變式8-1】（2022?碑林區(qū)校級模擬）如圖，已知Rt△ABC和Rt△DEF，∠BAC＝∠EDF＝90°，點F、A、D、C共線，AB、EF相交于點M，且EF⊥BC，則圖中與∠E相等的角有（　?。﹤€． A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】利用平行線的性質(zhì)與判定可得∠E＝∠BME＝∠AMF，根據(jù)同角的余角相等可得∠E＝∠C，即可求解． 【解答】解：∵∠BAC＝∠EDF＝90°， ∴∠BAC+∠EDF＝180°， ∴AB∥DE，∠E+∠F＝90°， ∴∠E＝∠BME＝∠AMF， ∵EF⊥BC， ∴∠C+∠F＝90°， ∴∠E＝∠C， 故與∠E相等的角有3個， 【變式8-2】（2022春?鄧州市期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于點F． （1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度數(shù)； （2）試說明：∠AEF＝∠AFE． 【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等得到∠ABD＝∠CAD＝36°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出∠ABE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計算即可； （2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)證明結(jié)論． 【解答】（1）解：∵AD⊥BC， ∴∠ABD+∠BAD＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAD＝90°， ∴∠ABD＝∠CAD＝36°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=12∠ABC＝18°， ∴∠AEF＝90°﹣∠ABE＝72°； （2）證明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°， ∴∠AEF＝∠BFD， ∵∠AFE＝∠BFD， ∴∠AEF＝∠AFE． 【變式8-3】（2022春?米東區(qū)期末）如圖1，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，CE⊥AD，且BE平分∠ABC． （1）求證：∠ACE＝∠ABC； （2）求證：∠ECD+∠EBC＝∠BEC； （3）求證：∠CEF＝∠CFE． 【分析】（1）根據(jù)條件易求∠ACE＝∠D，進(jìn)而可證明結(jié)論； （2）通過判定AD∥BC可得∠BEC+∠EBC＝90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)結(jié)合角平分線的定義可得2∠EBC+∠ECD＝90°，進(jìn)而可證明結(jié)論； （3）由對頂角的定義結(jié)合角平分線的定義可證明結(jié)論． 【解答】證明：（1）∵CE⊥AD，∠ACD＝90°， ∵∠ACE+∠ECD＝∠D+∠ECD＝90°， ∴∠ACE＝∠D． ∵∠D＝∠ABC， ∴∠ACE＝∠ABC； （2）∵∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC， ∴∠ACB＝∠DAC， ∴AD∥BC， ∵CE⊥AD， ∴CE⊥BC， ∴∠BEC+∠EBC＝90°， ∵∠D+∠ECD＝90°，∠D＝∠ABC， ∴∠ABC+∠ECD＝90°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠EBC ∴2∠EBC+∠ECD＝90°， ∴2∠EBC+∠ECD＝∠BEC+∠EBC， 即∠EBC+∠ECD＝∠BEC； （3）∵∠ABF+∠AFB＝90°，∠AFB＝∠CFE， ∴∠ABF+∠CFE＝90°， ∠B/度1030302020∠C/度7070606080∠EAD/度30a152030