2022-2023學年北京市海淀實驗中學八年級（上）期中數(shù)學試卷【含解析】

這是一份2022-2023學年北京市海淀實驗中學八年級（上）期中數(shù)學試卷【含解析】，共32頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內容，歡迎下載使用。
1．（3分）圖中的圖形為軸對稱圖形，該圖形的對稱軸的條數(shù)為（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（3分）點M（1，2）關于y軸對稱點的坐標為（ ）
A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（2，﹣1）
3．（3分）以厘米為單位，下列各組數(shù)中，以它們?yōu)檫吥軜嫵扇切蔚氖牵? ）
A．3，5，8B．8，8，18C．，1，D．3，40，8
4．（3分）下列多邊形中，內角和與外角和相等的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）如圖，△ABC≌△FDE，∠C＝40°，∠F＝110°，則∠B等于（ ）
A．20°B．30°C．40°D．150°
6．（3分）如圖，OP平分∠MON，PA⊥ON于點A，點Q是射線OM上的一個動點．若PA＝4．則PQ的最小值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（3分）如圖，經過直線AB外一點C作這條直線的垂線，作法如下：
（1）任意取一點K，使點K和點C在AB的兩旁．
（2）以點C為圓心，CK長為半徑作弧，交AB于點D和E．
（3）分別以點D和點E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，兩弧相交于點F．
（4）作直線CF．則直線CF就是所求作的垂線．根據(jù)以上尺規(guī)作圖過程，若將這些點作為三角形的頂點，其中不一定是等腰三角形的為（ ）
A．△CDFB．△CDKC．△CDED．△DEF
8．（3分）一個三角形的三個內角的度數(shù)之比為1：2：3，則這個三角形一定是（ ）
A．銳角三角形B．直角三角形
C．鈍角三角形D．等腰直角三角形
9．（3分）在如圖所示的若干個正方形拼成的圖形中，與三角形ABC全等的三角形是（ ）
A．△AEGB．△ADFC．△DFGD．△CEG
10．（3分）如圖，平面直角坐標系xOy中，點A在第一象限，B（2，0），∠AOB＝60°，∠ABO＝90°．在x軸上取一點P（m，0），過點P作直線l垂直于直線OA，將OB關于直線l的對稱圖形記為O′B′，當O′B′和過A點且平行于x軸的直線有交點時，m的取值范圍為（ ）
A．m≥4B．m≤6C．4＜m＜6D．4≤m≤6
二、填空題（本大題共30分，每小題3分）
11．（3分）如圖，在△ABC中，∠A＝70°，∠ACD是△ABC的外角．若∠ACD＝130°，則∠B＝ °．
12．（3分）如圖，要測量池塘兩岸相對的兩點A，B的距離，可以在池塘外取AB的垂線BF上的兩點C，D，使BC＝CD，再畫出BF的垂線DE，使E與A，C在一條直線上．若想知道兩點A，B的距離，只需要測量出線段 即可．
13．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是高．若AD＝2，則BD＝ ．
14．（3分）如圖，△ABC中，BC＝10，邊BC的垂直平分線分別交AB、BC于點E、D，BE＝6．則△BCE的周長是 ．
15．（3分）在平面直角坐標系中，若一個圖形上所有點的縱坐標不變，橫坐標乘以﹣1，則所得的新圖形圖形與原圖形關于 對稱．
16．（3分）如果等腰三角形的兩邊長分別為3和6，那么它的周長為 ．
17．（3分）如圖，將△ABC沿DE、HG、EF翻折，三個頂點均落在點O處，若∠1＝129°，則∠2的度數(shù)為 ．
18．（3分）如圖，△ABC中∠A＝32°，E是AC邊上的點，先將△ABE沿著BE翻折，翻折后△ABE的AB邊交EC于點D，又將△BCD沿著BD翻折，C點恰好落在BE上，則∠EBD ∠DBC（填“＝”或“＜”或“＞”），若此時∠CDB＝82°，則∠C＝ 度．
19．（3分）如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，若∠ABC與∠ACD互補，CD＝5，則BC的長為 ．
20．（3分）在平面直角坐標系xOy中，已知A（2，﹣1），在x軸上確定點P，使△AOP為等腰三角形，符合條件的點P有 個．
三、解答題（本大題共40分，23、26每題4分，27每題8分，其它每小題4分）
21．（4分）已知：如圖，AB＝AC，AD平分∠BAC．求證：∠B＝∠C．
22．（6分）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，△ABC的頂點都在網(wǎng)格線的交點上，點B關于y軸的對稱點的坐標為（2，0），點C關于x軸的對稱點的坐標為（﹣1，﹣2）．
（1）根據(jù)上述條件，在網(wǎng)格中建立平面直角坐標系xOy；
（2）畫出△ABC關于y軸的對稱圖形△A1B1C1．
23．（6分）《淮南子?天文調》中記載了一種確定東西方向的方法，大意是：日出時，在地面上點A處立一根桿，在地面上沿著桿的影子的方向取一點B，使B，A兩點間的距離為10步（步是古代的一種長度單位），在點B處立一根桿：日落時，在地面上沿著點B處的桿的影子的方向取一點C，使C，B兩點間的距離為10步，在點C處立一根桿，取CA的中點D，那么直線DB表示的方向為東西方向．
（1）上述方法中，桿在地面上的影子所在直線及點A，B，C的位置如圖所示．尺規(guī)作圖，在圖中作CA的中點D（保留作圖痕跡）；
（2）在如圖中，確定了直線DB表示的方向為東西方向，根據(jù)南北方向與東西方向互相垂直，可以判斷直線CA表示的方向為南北方向，完成如下證明．
證明：∵在△ABC中，BA＝ ，且D是CA的中點．
∴ .（等腰三角形三線合一）
∵直線DB表示的方向為東西方向，
∴直線CA表示的方向為南北方向．
24．（6分）如圖所示，將兩個含30°角的三角尺擺放在一起，可以證得△ABD是等邊三角形，于是我們得到：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．
交換命題的條件和結論，得到下面的命題：
在直角△ABC中，∠ACB＝90°，如果CB＝AB，那么∠BAC＝30°．請判斷此命題的真假，若為真命題，請給出證明；若為假命題，請說明理由．
25．（6分）在△ABC中，AB＞BC，直線l垂直平分AC．作∠ABC的平分線交直線l于點D，連接AD，CD．
（1）尺規(guī)作圖補全圖形；
（2）判斷∠BAD和∠BCD的數(shù)量關系，并證明．
26．（4分）已知：三點A（1，2）、B（1，3）、C（0，6），點P為y軸上一動點．
（1）在圖中找到點P，使得△OAP與△CBP周長的和取得最小值，此時點P的坐標應為 ；
（2）當∠APB＝40°時，∠OAP+∠PBC的度數(shù)為 ．
27．（8分）對于△ABC及其邊上的點P，給出如下定義：如果點M1，M2，M3，……，Mn都在△ABC的邊上，且PM1＝PM2＝PM3＝……＝PMn，那么稱點M1，M2，M3，……，Mn為△ABC關于點P的等距點，線段PM1，PM2，PM3，……，PMn為△ABC關于點P的等距線段．
（1）如圖1，△ABC中，∠A＜90°，AB＝AC，點P是BC的中點．
①點B，C △ABC關于點P的等距點，線段PA，PB △ABC關于點P的等距線段；（填“是”或“不是”）
②△ABC關于點P的兩個等距點M1，M2分別在邊AB，AC上，當相應的等距線段最短時，在圖1中畫出線段PM1，PM2；
（2）△ABC是邊長為4的等邊三角形，點P在BC上，點C，D是△ABC關于點P的等距點，且PC＝1，求線段DC的長；
（3）如圖2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．點P在BC上，△ABC關于點P的等距點恰好有四個，且其中一個是點C．若BC＝a，直接寫出PC長的取值范圍．（用含a的式子表示）
2022-2023學年北京市海淀實驗中學八年級（上）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共30分，每小題3分）
1．（3分）圖中的圖形為軸對稱圖形，該圖形的對稱軸的條數(shù)為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】一個圖形沿一條直線對折，直線兩旁的部分能夠完全重合，這個圖形就是軸對稱圖形，這條直線就是這個圖形的一條對稱軸，由此即可解決問題．
【解答】解：如圖所示，該圖形有5條對稱軸，
故選：D．
【點評】此題考查了利用軸對稱圖形的定義判斷軸對稱圖形的對稱軸條數(shù)和位置的靈活應用．
2．（3分）點M（1，2）關于y軸對稱點的坐標為（ ）
A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（2，﹣1）
【分析】根據(jù)關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)解答．
【解答】解：點M（1，2）關于y軸對稱點的坐標為（﹣1，2）．
故選：A．
【點評】本題考查了關于x軸、y軸對稱的點的坐標，解決本題的關鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律：
（1）關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)；
（2）關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)；
（3）關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)．
3．（3分）以厘米為單位，下列各組數(shù)中，以它們?yōu)檫吥軜嫵扇切蔚氖牵? ）
A．3，5，8B．8，8，18C．，1，D．3，40，8
【分析】根據(jù)在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．即可求解．
【解答】解：A、3+5＝8，不能構成三角形，故此選項不合題意；
B、8+8＜18，不能構成三角形，故此選項不合題意；
C、+1＞，能構成三角形，故此選項符合題意；
D、3+8＜40，不能構成三角形，故此選項不合題意．
故選：C．
【點評】本題考查了能夠組成三角形三邊的條件，其實用兩條較短的線段相加，如果大于最長的那條就能夠組成三角形．
4．（3分）下列多邊形中，內角和與外角和相等的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)多邊形的內角和公式（n﹣2）?180°與多邊形的外角和定理列式進行計算即可得解．
【解答】解：設所求多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意得：
（n﹣2）?180°＝360°，
解得n＝4．
故選：B．
【點評】本題考查了多邊形的內角和公式與外角和定理，熟記公式與定理是解題的關鍵．
5．（3分）如圖，△ABC≌△FDE，∠C＝40°，∠F＝110°，則∠B等于（ ）
A．20°B．30°C．40°D．150°
【分析】根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠BAC＝∠F，然后根據(jù)三角形的內角和等于180°列式進行計算即可求解．
【解答】解：∵△ABC≌△FDE，
∴∠BAC＝∠F，
∵∠F＝110°，
∴∠BAC＝110°，
又∵∠C＝40°，
∴∠B＝180°﹣110°﹣40°＝30°．
故選：B．
【點評】本題主要考查了全等三角形對應角相等的性質，三角形的內角和定理，準確確定對應角并求出∠BAC的度數(shù)是解題的關鍵．
6．（3分）如圖，OP平分∠MON，PA⊥ON于點A，點Q是射線OM上的一個動點．若PA＝4．則PQ的最小值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根據(jù)垂線段最短得出當PQ⊥OM時，PQ的值最小，根據(jù)角平分線性質得出PQ＝PA，求出即可．
【解答】解：當PQ⊥OM時，PQ的值最小，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA＝4，
∴PQ＝PA＝4．
故選：D．
【點評】本題考查了角平分線性質，垂線段最短的應用，做出垂線段從而應用角平分線的性質是解此題的關鍵．
7．（3分）如圖，經過直線AB外一點C作這條直線的垂線，作法如下：
（1）任意取一點K，使點K和點C在AB的兩旁．
（2）以點C為圓心，CK長為半徑作弧，交AB于點D和E．
（3）分別以點D和點E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，兩弧相交于點F．
（4）作直線CF．則直線CF就是所求作的垂線．根據(jù)以上尺規(guī)作圖過程，若將這些點作為三角形的頂點，其中不一定是等腰三角形的為（ ）
A．△CDFB．△CDKC．△CDED．△DEF
【分析】依據(jù)尺規(guī)作圖，即可得到CD＝CK，CD＝CE，DF＝EF，進而得出△CDK，△CDE，△DEF都是等腰三角形．
【解答】解：由作圖可得，CD，DF，CF不一定相等，故△CDF不一定是等腰三角形；
而CD＝CK，CD＝CE，DF＝EF，故△CDK，△CDE，△DEF都是等腰三角形；
故選：A．
【點評】本題主要考查了等腰三角形的判定，如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．
8．（3分）一個三角形的三個內角的度數(shù)之比為1：2：3，則這個三角形一定是（ ）
A．銳角三角形B．直角三角形
C．鈍角三角形D．等腰直角三角形
【分析】根據(jù)三角形內角和等于180°計算即可．
【解答】解：設三角形的三個內角的度數(shù)之比為x、2x、3x，
則x+2x+3x＝180°，
解得，x＝30°，
則3x＝90°，
∴這個三角形一定是直角三角形，
故選：B．
【點評】本題考查的是三角形內角和定理的應用，掌握三角形內角和等于180°是解題的關鍵．
9．（3分）在如圖所示的若干個正方形拼成的圖形中，與三角形ABC全等的三角形是（ ）
A．△AEGB．△ADFC．△DFGD．△CEG
【分析】根據(jù)勾股定理進行計算，可得DG＝BC，F(xiàn)G＝AC，進而得到△ABC和△DFG三邊分別對應相等，從而得出這兩個三角形全等．
【解答】解：如圖所示，BC＝DG＝＝，AC＝FG＝＝，AB＝FD＝3，
在△ABC和△FDG中，
，
∴△ABC≌△FDG（SSS），
故選：C．
【點評】本題主要考查了全等三角形的判定以及勾股定理的運用，三條邊分別對應相等的兩個三角形全等．
10．（3分）如圖，平面直角坐標系xOy中，點A在第一象限，B（2，0），∠AOB＝60°，∠ABO＝90°．在x軸上取一點P（m，0），過點P作直線l垂直于直線OA，將OB關于直線l的對稱圖形記為O′B′，當O′B′和過A點且平行于x軸的直線有交點時，m的取值范圍為（ ）
A．m≥4B．m≤6C．4＜m＜6D．4≤m≤6
【分析】根據(jù)題意可以作出合適的輔助線，然后根據(jù)題意，利用分類討論的方法可以計算出m的兩個極值，從而可以得到m的取值范圍．
【解答】解：如右圖所示，
當直線l垂直平分OA時，O′B′和過A點且平行于x軸的直線有交點，
∵點A在第一象限，B（2，0），∠AOB＝60°，∠ABO＝90°，
∴∠BAO＝30°，OB＝2，
∴OA＝4，
∵直線l垂直平分OA，點P（m，0）是直線l與x軸的交點，
∴OP＝4，
∴當m＝4；
作BB″∥OA，交過點A且平行于x軸的直線與B″，
當直線l垂直平分BB″和過A點且平行于x軸的直線有交點，
∵四邊形OBB″O′是平行四邊形，
∴此時點P與x軸交點坐標為（6，0），
由圖可知，當OB關于直線l的對稱圖形為O′B′到O″B″的過程中，點P符合題目中的要求，
∴m的取值范圍是4≤m≤6，
故選：D．
【點評】本題考查坐標與圖形的變化﹣對稱，解答本題的關鍵是明確題意，作出合適的輔助線，利用數(shù)形結合的思想解答．
二、填空題（本大題共30分，每小題3分）
11．（3分）如圖，在△ABC中，∠A＝70°，∠ACD是△ABC的外角．若∠ACD＝130°，則∠B＝ 60 °．
【分析】直接利用三角形的外角性質進行求解即可．
【解答】解：∵∠A＝70°，∠ACD是△ABC的外角，∠ACD＝130°，
∴∠B＝∠ACD＝∠A＝60°．
故答案為：60．
【點評】本題主要考查三角形的外角性質，解答的關鍵是熟記三角形的外角性質：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角之和．
12．（3分）如圖，要測量池塘兩岸相對的兩點A，B的距離，可以在池塘外取AB的垂線BF上的兩點C，D，使BC＝CD，再畫出BF的垂線DE，使E與A，C在一條直線上．若想知道兩點A，B的距離，只需要測量出線段 DE 即可．
【分析】根據(jù)全等三角形的判定進行判斷，注意看題目中提供了哪些證明全等的要素，要根據(jù)已知選擇判斷方法．
【解答】解：利用CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，即兩角及這兩角的夾邊對應相等即ASA這一方法，可以證明△ABC≌△EDC，
故想知道兩點A，B的距離，只需要測量出線段DE即可．
故答案為：DE．
【點評】此題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做題時注意選擇．
注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．
13．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是高．若AD＝2，則BD＝ 6 ．
【分析】求出∠A，求出∠ACD，根據(jù)含30度角的直角三角形性質求出AC＝2AD，AB＝2AC，求出AB即可．
【解答】解：∵CD是高，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝90°＝∠ACB，
∵∠B＝30°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝60°，
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°，
∵AD＝2，
∴AC＝2AD＝4，
∴AB＝2AC＝8，
∴BD＝AB﹣AD＝8﹣2＝6，
故答案為：6．
【點評】本題主要考查的是含30度角的直角三角形性質和三角形內角和定理的應用，關鍵是求出AC＝2AD，AB＝2AC．
14．（3分）如圖，△ABC中，BC＝10，邊BC的垂直平分線分別交AB、BC于點E、D，BE＝6．則△BCE的周長是 22 ．
【分析】由已知條件，根據(jù)線段垂直平分線的性質得到線段相等，由△BCE的周長＝EC+BE+BC得到答案．
【解答】解：因為邊BC的垂直平分線分別交AB、BC于點E、D，所以EC＝BE＝6．
又因為BC＝10，所以
△BCE的周長是EC+BE+BC＝6+6+10＝22．
故填22．
【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質；由于已知三角形的兩條邊長，根據(jù)垂直平分線的性質，求出另一條的長，相加即可．
15．（3分）在平面直角坐標系中，若一個圖形上所有點的縱坐標不變，橫坐標乘以﹣1，則所得的新圖形圖形與原圖形關于 y軸 對稱．
【分析】首先熟悉：平面直角坐標系中任意一點P（x，y），關于x軸的對稱點的坐標是（x，﹣y）；關于y軸的對稱點的坐標是（﹣x，y）．橫坐標都乘以﹣1，即是橫坐標變成相反數(shù)，則實際是得出了這個圖形關于y軸的對稱圖形．
【解答】解：根據(jù)軸對稱的性質，得縱坐標不變，橫坐標都乘以﹣1，即是橫坐標變成相反數(shù)，
則實際是所得圖形與原圖形關于y軸的對稱圖形．
故答案為：y軸．
【點評】此題考查了關于y軸對稱點的坐標，掌握平面直角坐標系中兩個關于坐標軸成軸對稱的點的坐標特點是解題關鍵．
16．（3分）如果等腰三角形的兩邊長分別為3和6，那么它的周長為 15 ．
【分析】求等腰三角形的周長，即是確定等腰三角形的腰與底的長求周長；題目給出等腰三角形有兩條邊長為3和6，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形．
【解答】解：當?shù)妊切蔚难鼮?時，三邊為3，3，6，3+3＝6，三邊關系不成立，
當?shù)妊切蔚难鼮?時，三邊為3，6，6，三邊關系成立，周長為3+6+6＝15．
故答案為：15．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系；題目從邊的方面考查三角形，涉及分類討論的思想方法．求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，而應養(yǎng)成檢驗三邊長能否組成三角形的好習慣，把不符合題意的舍去．
17．（3分）如圖，將△ABC沿DE、HG、EF翻折，三個頂點均落在點O處，若∠1＝129°，則∠2的度數(shù)為 51° ．
【分析】根據(jù)翻折的性質可知，∠DOE＝∠A，∠HOG＝∠B，∠EOF＝∠C，又∠A+∠B+∠C＝180°，可知∠1+∠2＝180°，又∠1＝129°，繼而即可求出答案．
【解答】解：根據(jù)翻折的性質可知，∠DOE＝∠A，∠HOG＝∠B，∠EOF＝∠C，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠DOE+∠HOG+∠EOF＝180°，
∴∠1+∠2＝180°，
又∵∠1＝129°，
∴∠2＝51°．
故答案為：51°．
【點評】本題考查翻折變換的知識，解答此題的關鍵是三角形折疊以后的圖形和原圖形全等，對應的角相等，同時注意三角形內角和定理的靈活運用．
18．（3分）如圖，△ABC中∠A＝32°，E是AC邊上的點，先將△ABE沿著BE翻折，翻折后△ABE的AB邊交EC于點D，又將△BCD沿著BD翻折，C點恰好落在BE上，則∠EBD ＝ ∠DBC（填“＝”或“＜”或“＞”），若此時∠CDB＝82°，則∠C＝ 73 度．
【分析】由折疊的性質得∠GDB＝∠CDB＝82°，∠FBE＝∠ABE＝∠ABG，再由三角形外角性質得∠DBF＝∠GDB﹣∠F＝50°，則∠FBE＝∠ABE＝25°，從而可求得∠FBG的度數(shù)，再利用三角形的內角和即可求∠C．
【解答】解：如圖，
由折疊的性質得：∠GDB＝∠CDB＝82°，∠FBE＝∠ABE＝∠ABG，
∵∠GDB是△BDF的外角，
∴∠DBF＝∠GDB﹣∠F＝82°﹣32°＝50°，
∴∠FBE＝∠ABE＝25°，
∴∠FBG＝3×25°＝75°，
∴∠G＝180°﹣∠F﹣∠FBG＝73°，
即原三角形中的∠C為73°．
故答案為：＝，73．
【點評】此題考查了圖形的翻折變換的性質以及三角形內角和定理等知識，由翻折變換的性質得出∠FBE＝∠ABE＝∠ABG是解答此題的關鍵．
19．（3分）如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，若∠ABC與∠ACD互補，CD＝5，則BC的長為 10 ．
【分析】延長AB、CD交于點E，證明△ADE≌△ADC（ASA），得出ED＝CD＝5，∠E＝∠ACD，證出∠E＝∠ACD＝∠CBE，得出BC＝CE＝2CD＝10即可．
【解答】解：延長AB、CD交于點E，如圖：
∵AD平分∠BAC，CD⊥AD，
∴∠EAD＝∠CAD，∠ADE＝∠ADC＝90°，
在△ADE和△ADC中，，
∴△ADE≌△ADC（ASA），
∴ED＝CD＝5，∠E＝∠ACD，
∵∠ABC與∠ACD互補，∠ABC與∠CBE互補，
∴∠E＝∠ACD＝∠CBE，
∴BC＝CE＝2CD＝10，
故答案為：10．
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定等知識；證明三角形全等是解題的關鍵．
20．（3分）在平面直角坐標系xOy中，已知A（2，﹣1），在x軸上確定點P，使△AOP為等腰三角形，符合條件的點P有 4 個．
【分析】分三種情況：當AO＝AP時，當OA＝OP時，當PA＝PO時，進行討論即可解答．
【解答】解：如圖：
分三種情況：
當AO＝AP時，以點A為圓心，以AO長為半徑作圓，交x 軸于點P1，
當OA＝OP時，以點O為圓心，以AO長為半徑作圓，交x 軸于點P2，P3，
當PA＝PO時，作OA的垂直平分線，交x 軸于點P4，
綜上所述，符合條件的點P有4個，
故答案為：4．
【點評】本題考查了等腰三角形的判定，坐標與圖形的性質，分三種情況討論是解題的關鍵．
三、解答題（本大題共40分，23、26每題4分，27每題8分，其它每小題4分）
21．（4分）已知：如圖，AB＝AC，AD平分∠BAC．求證：∠B＝∠C．
【分析】由“SAS”可證△BAD≌△CAD，可得結論．
【解答】證明：∵AD平分∠BAD，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△BAD≌△CAD（SAS），
∴∠B＝∠C．
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，掌握全等三角形的判定是解題的關鍵．
22．（6分）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，△ABC的頂點都在網(wǎng)格線的交點上，點B關于y軸的對稱點的坐標為（2，0），點C關于x軸的對稱點的坐標為（﹣1，﹣2）．
（1）根據(jù)上述條件，在網(wǎng)格中建立平面直角坐標系xOy；
（2）畫出△ABC關于y軸的對稱圖形△A1B1C1．
【分析】（1）根據(jù)條件確定平面直角坐標系即可．
（2）分別作出A，B，C的對應點A1，B1，C1即可．
【解答】解：（1）如圖，平面直角坐標系即為所求作．
（2）如圖，△A1B1C1即為所求作．
【點評】本題考查作圖﹣軸對稱變換，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
23．（6分）《淮南子?天文調》中記載了一種確定東西方向的方法，大意是：日出時，在地面上點A處立一根桿，在地面上沿著桿的影子的方向取一點B，使B，A兩點間的距離為10步（步是古代的一種長度單位），在點B處立一根桿：日落時，在地面上沿著點B處的桿的影子的方向取一點C，使C，B兩點間的距離為10步，在點C處立一根桿，取CA的中點D，那么直線DB表示的方向為東西方向．
（1）上述方法中，桿在地面上的影子所在直線及點A，B，C的位置如圖所示．尺規(guī)作圖，在圖中作CA的中點D（保留作圖痕跡）；
（2）在如圖中，確定了直線DB表示的方向為東西方向，根據(jù)南北方向與東西方向互相垂直，可以判斷直線CA表示的方向為南北方向，完成如下證明．
證明：∵在△ABC中，BA＝ BC ，且D是CA的中點．
∴ BD⊥AC .（等腰三角形三線合一）
∵直線DB表示的方向為東西方向，
∴直線CA表示的方向為南北方向．
【分析】（1）根據(jù)題意作AC的垂直平分線即可；
（2）根據(jù)等腰三角形三線合一即可完成證明．
【解答】（1）解：如圖，點D即為所求；
（2）證明：在△ABC中，BA＝BC，且D是CA的中點．
∴BD⊥AC（等腰三角形三線合一），
∵直線DB表示的方向為東西方向，
∴直線CA表示的方向為南北方向．
故答案為：BC，BD⊥AC．
【點評】本題考查了作圖﹣應用與設計作圖，線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，平行投影，解決本題的關鍵是掌握線段垂直平分線的作法．
24．（6分）如圖所示，將兩個含30°角的三角尺擺放在一起，可以證得△ABD是等邊三角形，于是我們得到：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．
交換命題的條件和結論，得到下面的命題：
在直角△ABC中，∠ACB＝90°，如果CB＝AB，那么∠BAC＝30°．請判斷此命題的真假，若為真命題，請給出證明；若為假命題，請說明理由．
【分析】延長BC至點D，使CD＝BC，連接AD，證明△ABD是等邊三角形，得到∠BAD＝60°，根據(jù)等腰三角形的三線合一證明即可．
【解答】解：此命題是真命題，
理由如下：延長BC至點D，使CD＝BC，連接AD，
∵∠ACB＝90°，CD＝BC，
∴AC是線段BD的垂直平分線，
∴AB＝AD，
∵CB＝AB，
∴BD＝AB，
∴△ABD是等邊三角形，
∴∠BAD＝60°，
∵AC⊥BD，
∴∠BAC＝∠BAD＝30°．
【點評】本題考查的是命題的證明，掌握等邊三角形的性質、正確作出輔助性是解題的關鍵．
25．（6分）在△ABC中，AB＞BC，直線l垂直平分AC．作∠ABC的平分線交直線l于點D，連接AD，CD．
（1）尺規(guī)作圖補全圖形；
（2）判斷∠BAD和∠BCD的數(shù)量關系，并證明．
【分析】（1）由題意畫出圖形；
（2）過點D作DE⊥AB于E，作DF⊥BC交BC的延長線于F，由角平分線的性質可得DE＝DF，由線段垂直平分線的性質可得DA＝DC，由“HL”可證Rt△ADE≌Rt△CDF，可得∠BAD＝∠FCD．可得結論；
【解答】解：（1）補全圖形；
（2）結論：∠BAD+∠BCD＝180°，
理由：過點D作DE⊥AB于E，作DF⊥BC交BC的延長線于F，
則∠AED＝∠CFD＝90°．
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DF．
∵直線l垂直平分AC，
∴DA＝DC，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）．
∴∠BAD＝∠FCD．
∵∠FCD+∠BCD＝180°，
∴∠BAD+∠BCD＝180°．
【點評】本題考查了作圖﹣基本作圖，全等三角形的判定和性質，角平分線的性質，線段垂直平分線的性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．
26．（4分）已知：三點A（1，2）、B（1，3）、C（0，6），點P為y軸上一動點．
（1）在圖中找到點P，使得△OAP與△CBP周長的和取得最小值，此時點P的坐標應為 （0，） ；
（2）當∠APB＝40°時，∠OAP+∠PBC的度數(shù)為 175° ．
【分析】（1）首先由題意可得當AP+BP最小時，△OAP與△CBP周長的和取得最小值，然后過點A作關于y軸的對稱點A′，連接A′B，則A′B與y軸的交點即為所求的點P，再設直線A′B的解析式為：y＝kx+b，利用待定系數(shù)法即可求得其解析式，繼而求得點P的坐標（也可以利用中點坐標公式可得點P的坐標）；
（2）如圖2，作輔助線，構建等腰直角△A'BO和全等三角形，證明△A'AB≌△OEA（SAS）和△OA'B是等腰直角三角形，再利用三角形和四邊形的內角和定理可得結論．
【解答】解：（1）如圖1，∵A（1，2）、B（1，3）、C（0，6），
∴OA，BC是定長，
∴當點P在線段OC上時，△OAP與△CBP周長的和取得最小值，
∵OP+PC＝OC＝6，
∵△OAP與△CBP周長的和為：OA+AP+OP+PC+BC+BP＝OA+BC+OC+AP+BP，
∴當AP+BP最小時，△OAP與△CBP周長的和取得最小值，
過點A作關于y軸的對稱點A′，連接A′B，則A′B與y軸的交點即為所求的點P，
∴A′（﹣1，2），
解法一：設直線A′B的解析式為：y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直線A′B的解析式為：y＝x+，
當x＝0時，y＝2×0+＝，
∴當△OAP與△CBP周長的和取得最小值時，點P的坐標為：（0，）；
解法二：P是AB的中點，
∴P（，），即P（0，）；
故答案為：（0，）；
（2）如圖2，過點B作BD⊥OC于D，
∵CD＝OD＝3，
∴BC＝OB，
∴∠BCO＝∠BOC，
過點A作關于y軸的對稱點A′，連接A′B，OA'，OB，AB，
∴OA＝OA'，
∴∠OAE＝∠OA'E，
∵AB＝AE＝1，AA'＝OE＝2，∠BAA'＝∠AEO＝90°，
∴△A'AB≌△OEA（SAS），
∴∠BA'A＝∠AOE，A'B＝OA＝OA'，
∵∠AOE+∠OAE＝90°，
∴∠OA'E+∠AA'B＝90°，
∵A'B＝OA＝OA'，
∴△OA'B是等腰直角三角形，
∴∠BOA'＝45°，
∴∠BOD+∠A'OE＝∠BCD+∠AOE＝45°，
∵∠APB＝40°，
∴∠ABP+∠BAP＝140°，
∴∠OAP+∠PBC＝360°﹣140°﹣45°＝175°，
故答案為：175°．
【點評】此題考查了待定系數(shù)求一次函數(shù)解析式，圖形與坐標的性質，三角形全等的性質和判定，等腰直角三角形的性質和判定，三角形和四邊形的內角和定理，軸對稱的最短路徑問題．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．
27．（8分）對于△ABC及其邊上的點P，給出如下定義：如果點M1，M2，M3，……，Mn都在△ABC的邊上，且PM1＝PM2＝PM3＝……＝PMn，那么稱點M1，M2，M3，……，Mn為△ABC關于點P的等距點，線段PM1，PM2，PM3，……，PMn為△ABC關于點P的等距線段．
（1）如圖1，△ABC中，∠A＜90°，AB＝AC，點P是BC的中點．
①點B，C 是 △ABC關于點P的等距點，線段PA，PB 不是 △ABC關于點P的等距線段；（填“是”或“不是”）
②△ABC關于點P的兩個等距點M1，M2分別在邊AB，AC上，當相應的等距線段最短時，在圖1中畫出線段PM1，PM2；
（2）△ABC是邊長為4的等邊三角形，點P在BC上，點C，D是△ABC關于點P的等距點，且PC＝1，求線段DC的長；
（3）如圖2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．點P在BC上，△ABC關于點P的等距點恰好有四個，且其中一個是點C．若BC＝a，直接寫出PC長的取值范圍．（用含a的式子表示）
【分析】（1）①由新定義“△ABC關于點P的等距線段”即可得出答案；
②作PM1⊥AB于M1，PM2⊥AC于M2，由垂線段最短即可得出答案：
（2）以P為圓心，PC長為半徑作圓P，交AC于D，交BC于D'，連接PD，則PD'＝PC＝PD＝1，得出CD'＝PC+PD'＝2；證出△PCD是等邊三角形，得出CD＝PC＝1即可；
（3）分別求出當PC＝BC＝a時、當PC＝BC＝a時，△ABC關于點P的等距點，即可得出答案．
【解答】解：（1）①∵點P是BC的中點，
∴PB＝PC，
∴點B，C是△ABC關于點P的等距點；
∵AB＝AC，
∴PA⊥BC，PA≠PB，
∴線段PA，PB不是△ABC關于點P的等距線段；
故答案為：是，不是；
②作PM1⊥AB于M1，PM2⊥AC于M2，連接PA，如圖1﹣1所示：
∵AB＝AC，點P是BC的中點，
∴PA平分∠BAC，
∴PM1＝PM2；
由垂線段最短可知：PM1，PM2是△ABC關于點P等距線段最短的線段；
（2）如圖1﹣2，以P為圓心，PC長為半徑作圓P，交AC于D，交BC于D'，連接PD，
則PD'＝PC＝PD＝1，
∴CD'＝PC+PD'＝2；
∵△ABC是等邊三角形，
∴BC＝AC＝4，∠C＝60°，
∴△PCD是等邊三角形，
∴CD＝PC＝1；
即線段DC的長為2或1；
（3）當PC＝BC＝a時，
當P為BC的中點，則PB＝PC，
∴B、C是，△ABC關于點P的等距點，
作PE⊥AB于E，截取EF＝EB，連接PF，如圖2所示：
則PF＝PB＝a，
∵∠B＝30°，
∴PE＝BP＝a，
∴AB邊上存在2個△ABC關于點P的等距點，
∵△ABC關于點P的等距點恰好有四個，且其中一個是點C．
∴PC＜BC，即PC＜；
當PC＝BC＝a時，PB＝a，PE＝BP＝a，
則△ABC關于點P的等距點有2個在BC上，有1個在AB上，
∵△ABC關于點P的等距點恰好有四個，且其中一個是點C．
∴PC＞BC，
∴PC長的取值范圍是＜PC＜．
【點評】本題是三角形綜合題目，考查了新定義“△ABC關于點P的等距線段”，等腰三角形的性質、等邊三角形的判定與性質、含30°角的直角三角形的性質、圓的性質等知識；熟練掌握等邊三角形的判定與性質和直角三角形的性質，理解新定義“△ABC關于點P的等距線段”是解題的關鍵．
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