2023-2024學年廣東省廣州市荔灣區(qū)真光中學八年級（下）期中數(shù)學試卷（含解析）

這是一份2023-2024學年廣東省廣州市荔灣區(qū)真光中學八年級（下）期中數(shù)學試卷（含解析），共25頁。試卷主要包含了選擇題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1．下列二次根式是最簡二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各式計算正確的是（ ）
A．+＝B．4﹣3＝1C．2×2＝4D．÷＝3
3．下列各組數(shù)中，能構(gòu)成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．6，8，9C．1，1，D．3，4，6
4．下列二次根式中，與能合并的是（ ）
A．B．C．D．
5．如圖，在4×4的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A、B、C都在格點上，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．AB＝2
B．∠BAC＝90°
C．△ABC的面積為10
D．點A到直線BC的距離是2
6．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AO＝CO，BO＝DO．添加下列條件，不能判定四邊形ABCD是菱形的是（ ）
A．AB＝ADB．AC＝BDC．AC⊥BDD．∠ABO＝∠CBO
7．實數(shù)a，b在數(shù)軸上對應的點的位置如圖所示，化簡|a|+的結(jié)果是（ ）
A．﹣2a+bB．2a﹣bC．﹣bD．b
8．有一個圓柱（如圖），它的高等于12厘米，底面周長等于10厘米，在圓柱下底面的A點有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點相對的B點處的食物，則螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程為（ ）
A．厘米B．12.4厘米C．13厘米D．10厘米
9．如圖，△ABC中，D為AB中點，E在AC上，且BE⊥AC．若DE＝5，AE＝8，EC＝，則BC的長度是（ ）
A．B．8C．D．
10．如圖，正方形ABCD中，點E、F、H分別是AB、BC、CD的中點，CE、DF交于G，連接AG、HG．下列結(jié)論：①CE⊥DF；②AG＝AD；③∠CHG＝∠DAG；④．其中正確的有（ ）
A．①②B．①②④C．①③④D．①②③④
二．填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
11．要使二次根式有意義，則的取值范圍是 ．
12．如圖，在△ABC中，EF是△ABC的中位線，且EF＝5，則AC等于 ．
13．若，則（a+b）2024＝ ．
14．如圖，在數(shù)軸上點A表示的實數(shù)是 ．
15．在Rt△ABC中，其中兩條邊的長分別是3和4，則這個三角形的面積等于 ．
16．如圖，E是正方形ABCD的對角線AC上一動點，以DE為一邊作正方形DEFG，H是DC的中點，連接GH，若正方形的邊長AB＝2，則GH的最小值是 ．
三．解答題（本大題共9小題，滿分72分）
17．計算：
（1）；
（2）．
18．如圖，在?ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，且AE＝CF，求證：四邊形BEDF為平行四邊形．
19．先化簡，再求值：，其中．
20．位于沈陽的紅河峽谷漂流項目深受歡迎，在景區(qū)游船放置區(qū)，工作人員把偏離的游船從點A拉回點B的位置（如圖）．在離水面高度為8m的岸上點C，工作人員用繩子拉船移動，開始時繩子AC的長為17m，工作人員以0.35米/秒的速度拉繩子，經(jīng)過20秒后游船移動到點D的位置，問此時游船移動的距離AD的長是多少？
21．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，且AC＝16，BD＝12，求菱形ABCD的高DH．
22．如圖，已知等腰△ABC的底邊BC＝25cm，D是腰AB上一點，連接CD，且CD＝24cm，BD＝7cm．
（1）求證：△BDC是直角三角形；
（2）求AB的長．
23．已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為點D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點E．
（1）求證：四邊形ADCE為矩形；
（2）當△ABC滿足時（添加一個條件），四邊形ADCE是正方形，并證明．
24．在△ABC和△ADE中，點D在BC邊上，∠BAC＝∠DAE＝α，AD＝AE．
（1）若AB＝AC．
?。┤鐖D1，當α＝90°時，連接EC，證明：BD2+CD2＝ED2；
ⅱ）如圖2，當α＝60°時，過點A作DE的垂線，交BC邊于點F，若BC＝8，BD＝2，求線段CF的長；
（2）如圖3，已知α＝90°，作∠DAE的角平分線交BC邊于點H，若，，當CH＝1時，求線段BD的長．
25．點P是正方形ABCD對角線AC上一動點，點E在射線BC上，且PE＝PB，連接PD，O為AC中點．
（1）如圖1，當點P在線段AO上時，連接DE交AC于點F．
①試判斷△PDE的形狀，并說明理由；
②若正方形邊長為4，當點E為BC的中點，則PE的長為 ．
（2）如圖2，當點P在線段OC上時，試探究線段AP，CP，CE的等量關系，并說明理由．
（3）若AC＝10，連接DE，取DE的中點Q，則當點P從點A運動到點C時，點Q所經(jīng)過的路徑長為 ．
參考答案
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）
1．下列二次根式是最簡二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義分別對每一項進行分析，即可得出答案．
解：A、，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
B、是最簡二次根式，故本選項符合題意；
C、，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
D、，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意．
故選：B．
【點評】本題考查最簡二次根式的定義．根據(jù)最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：
（1）被開方數(shù)不含分母；
（2）被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式．
2．下列各式計算正確的是（ ）
A．+＝B．4﹣3＝1C．2×2＝4D．÷＝3
【分析】直接利用二次根式的混合運算法則計算得出答案．
解：A、+，無法合并，故此選項錯誤；
B、4﹣3＝，故此選項錯誤；
C、2×2＝12，故此選項錯誤；
D、÷＝3，正確．
故選：D．
【點評】此題主要考查了二次根式的混合運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．
3．下列各組數(shù)中，能構(gòu)成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．6，8，9C．1，1，D．3，4，6
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形．如果沒有這種關系，這個三角形就不是直角三角形．
解：A、12+22≠32，不能構(gòu)成直角三角形，故此選項不符合題意；
B、62+82≠92，不能構(gòu)成直角三角形，故此選項不符合題意；
C、12+12＝（）2，能構(gòu)成直角三角形，故此選項符合題意；
D、32+42≠62，不能構(gòu)成直角三角形，故此選項不符合題意．
故選：C．
【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，在應用勾股定理的逆定理時，應先認真分析所給邊的大小關系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關系，進而作出判斷．
4．下列二次根式中，與能合并的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先把各個二次根式化簡，根據(jù)同類二次根式的概念判斷即可．
解：，
根據(jù)同類二次根式的定義可知能與合并，
故選：D．
【點評】本題考查的是同類二次根式，關鍵是掌握把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式．
5．如圖，在4×4的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A、B、C都在格點上，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．AB＝2
B．∠BAC＝90°
C．△ABC的面積為10
D．點A到直線BC的距離是2
【分析】根據(jù)三角形的面積公式、勾股定理、勾股定理的逆定理計算，判斷即可．
解：A、∵AB2＝22+42＝20，
∴AB＝2，本選項結(jié)論正確，不符合題意；
B、∵AC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，本選項結(jié)論正確，不符合題意；
C、S△ABC＝4×4﹣×3×4﹣×1×2﹣×2×4＝5，本選項結(jié)論錯誤，符合題意；
D、設點A到直線BC的距離為h，
∵BC2＝32+42＝25，
∴BC＝5，
則×5×h＝5，
解得，h＝2，即點A到直線BC的距離是2，本選項結(jié)論正確，不符合題意；
故選：C．
【點評】本題考查的是勾股定理、三角形的面積計算，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．
6．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AO＝CO，BO＝DO．添加下列條件，不能判定四邊形ABCD是菱形的是（ ）
A．AB＝ADB．AC＝BDC．AC⊥BDD．∠ABO＝∠CBO
【分析】根據(jù)菱形的定義及其判定、矩形的判定對各選項逐一判斷即可得．
解：∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
當AB＝AD或AC⊥BD時，均可判定四邊形ABCD是菱形；
當∠ABO＝∠CBO時，
由AD∥BC知∠CBO＝∠ADO，
∴∠ABO＝∠ADO，
∴AB＝AD，
∴四邊形ABCD是菱形；
當AC＝BD時，可判定四邊形ABCD是矩形；
故選：B．
【點評】本題主要考查菱形的判定，解題的關鍵是掌握菱形的定義和各判定及矩形的判定．
7．實數(shù)a，b在數(shù)軸上對應的點的位置如圖所示，化簡|a|+的結(jié)果是（ ）
A．﹣2a+bB．2a﹣bC．﹣bD．b
【分析】根據(jù)數(shù)軸表示a＜0，|a|＝﹣a．＝|a﹣b|．
解：根據(jù)數(shù)軸可知：a＜0＜b，且|a|＞|b|．
∴|a|+＝﹣a﹣（a﹣b）＝﹣2a+b．
故選：A．
【點評】本題是一道考查有關二次根式的性質(zhì)、有理數(shù)的減法的題目，熟練掌握二次根式的運算法則是關鍵．
8．有一個圓柱（如圖），它的高等于12厘米，底面周長等于10厘米，在圓柱下底面的A點有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點相對的B點處的食物，則螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程為（ ）
A．厘米B．12.4厘米C．13厘米D．10厘米
【分析】根據(jù)題意得出螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是指展開后線段AB的長，求出AC，BC，根據(jù)勾股定理求出AB即可．
解：根據(jù)題意得出：螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是指展開后線段AB的長，
由題意得：AC＝×10厘米＝5厘米，BC＝12厘米，
由勾股定理得：AB＝＝13（厘米），
故選：C．
【點評】本題主要考查對勾股定理，平面展開﹣最短路徑問題等知識點的理解和掌握，理解題意知道螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是指展開后線段AB的長是解此題的關鍵．
9．如圖，△ABC中，D為AB中點，E在AC上，且BE⊥AC．若DE＝5，AE＝8，EC＝，則BC的長度是（ ）
A．B．8C．D．
【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線求出AB長，根據(jù)勾股定理求出BE即可．
解：∵BE⊥AC，
∴∠BEA＝90°，
∵DE＝5，D為AB中點，
∴AB＝2DE＝10，
在Rt△ABE中，
∵AE＝8，
∴由勾股定理得：BE＝＝＝6，
在Rt△CBE中，
∵EC＝，BE＝6，
∴由勾股定理得：BC＝＝＝．
故選：C．
【點評】本題考查直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，勾股定理的應用，掌握相關圖形的性質(zhì)是解題的關鍵．
10．如圖，正方形ABCD中，點E、F、H分別是AB、BC、CD的中點，CE、DF交于G，連接AG、HG．下列結(jié)論：①CE⊥DF；②AG＝AD；③∠CHG＝∠DAG；④．其中正確的有（ ）
A．①②B．①②④C．①③④D．①②③④
【分析】連接AH，由四邊形ABCD是正方形與點E、F、H分別是AB、BC、CD的中點，易證得△BCE≌△CDF與△ADH≌△DCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，易證得CE⊥DF與AH⊥DF，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，即可證得AG＝AD，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得HG＝AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，即可得∠CHG＝∠DAG．則問題得解．
解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，
∵點E、F、H分別是AB、BC、CD的中點，
∴△BCE≌△CDF，
∴∠ECB＝∠CDF，
∵∠BCE+∠ECD＝90°，
∴∠ECD+∠CDF＝90°，
∴∠CGD＝90°，
∴CE⊥DF，故①正確；
在Rt△CGD中，H是CD邊的中點，
∴HG＝CD＝AD，故④正確；
連接AH，
同理可得：AH⊥DF，
∵HG＝HD＝CD，
∴DK＝GK，
∴AH垂直平分DG，
∴AG＝AD，故②正確；
∴∠DAG＝2∠DAH，
同理：△ADH≌△DCF，
∴∠DAH＝∠CDF，
∵GH＝DH，
∴∠HDG＝∠HGD，
∴∠GHC＝∠HDG+∠HGD＝2∠CDF，
∴∠CHG＝∠DAG．故③正確．
故選：D．
【點評】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及垂直平分線的性質(zhì)等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應用．
二．填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
11．要使二次根式有意義，則的取值范圍是 x≥5 ．
【分析】直接利用二次根式的定義得出答案．
解：二次根式有意義，故x﹣5≥0，
則x的取值范圍是：x≥5．
故答案為：x≥5．
【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握二次根式的定義是解題關鍵．
12．如圖，在△ABC中，EF是△ABC的中位線，且EF＝5，則AC等于 10 ．
【分析】根據(jù)三角形中位線定理即可求出AC．
解：在△ABC中，
∵EF是△ABC的中位線，
∴EF＝AC，
∴AC＝2EF，
∵EF＝5，
∴AC＝2×5＝10，
故答案為：10．
【點評】本題主要考查了三角形中位線定理，熟記三角形的中位線等于第三邊的一半是解決問題的關鍵．
13．若，則（a+b）2024＝ 1 ．
【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列出方程求出未知數(shù)的值，再代入所求代數(shù)式計算即可．
解：∵，
∴a﹣2＝0，b+1＝0，
∴a＝2，b＝﹣1，
∴（a+b）2024＝1，
故答案為：1．
【點評】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)．初中階段有三種類型的非負數(shù)：（1）絕對值；（2）偶次方；（3）二次根式（算術平方根）．當它們相加和為0時，必須滿足其中的每一項都等于0．
14．如圖，在數(shù)軸上點A表示的實數(shù)是 ．
【分析】直接利用勾股定理得出三角形斜邊長即可得出A點對應的實數(shù)．
解：由圖形可得：原點到A點的距離為，
則數(shù)軸上點A表示的實數(shù)是：．
故答案為：．
【點評】此題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸、勾股定理等知識，正確原點到A的距離是解題關鍵．
15．在Rt△ABC中，其中兩條邊的長分別是3和4，則這個三角形的面積等于 6或 ．
【分析】分4是直角邊、4是斜邊兩種情況，根據(jù)勾股定理、三角形的面積公式計算．
解：當4是直角邊時，這個三角形的面積＝×3×4＝6，
當4是斜邊時，另一條直角邊＝＝
這個三角形的面積＝×3×＝，
故答案為：6或．
【點評】本題考查的是勾股定理的應用，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．
16．如圖，E是正方形ABCD的對角線AC上一動點，以DE為一邊作正方形DEFG，H是DC的中點，連接GH，若正方形的邊長AB＝2，則GH的最小值是 ．
【分析】作EM⊥CD于點M，作GH⊥CD于點N，證明△DEM≌△GDN，然后設CM的長為x，把GH用含x的式子表示出來，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案．
解：如圖，作EM⊥CD于點M，作GH⊥CD于點N，
∵∠EDG＝90°，
∴∠DEM＝∠GDN，
在△DEM和△GDN中，
，
∴△DEM≌△GDN（AAS），
∴EM＝DN，DM＝GN，
設CM＝x（0＜x＜2），則DM＝2﹣x＝DG，
由勾股定理得GD＝，
∴GH＝＝，
∵0＜x＜2，
∴當x＝時，GH取得最小值為，
故答案為：．
【點評】本題主要考查全等三角形得判定和正方形的性質(zhì)，關鍵是要牢記正方形的性質(zhì)，能作出輔助線構(gòu)造全等三角形．
三．解答題（本大題共9小題，滿分72分）
17．計算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先化簡，然后合并同類二次根式即可；
（2）先算乘除法，再算減法即可．
解：（1）
＝3﹣﹣2
＝3﹣﹣2
＝﹣；
（2）
＝﹣
＝4﹣
＝3．
【點評】本題考查二次根式的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．
18．如圖，在?ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，且AE＝CF，求證：四邊形BEDF為平行四邊形．
【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，可得BE∥DF，又AF＝CE，所以四邊形AECF是平行四邊形．
【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DE∥FB，AD＝BC，
又∵AE＝CF，
∴DE＝FB，
∴四邊形BEDF是平行四邊形．
【點評】此題主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，解決本題的關鍵是熟記一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
19．先化簡，再求值：，其中．
【分析】先計算括號內(nèi)分式的減法、將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再約分即可化簡原式，再將x的值代入計算即可．
解：原式＝（﹣）?
＝?
＝，
當時，
原式＝
＝
＝1﹣．
【點評】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關鍵是掌握分式的混合運算順序和運算法則．
20．位于沈陽的紅河峽谷漂流項目深受歡迎，在景區(qū)游船放置區(qū)，工作人員把偏離的游船從點A拉回點B的位置（如圖）．在離水面高度為8m的岸上點C，工作人員用繩子拉船移動，開始時繩子AC的長為17m，工作人員以0.35米/秒的速度拉繩子，經(jīng)過20秒后游船移動到點D的位置，問此時游船移動的距離AD的長是多少？
【分析】在Rt△ABC中用勾股定理求出AB＝15，在Rt△DBC中用勾股定理求出BD＝6，再根據(jù)AD＝AB﹣BD的出結(jié)果．
解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝8m，AC＝17m，
∴AB＝＝＝15（m），
∵工作人員以0.35米/秒的速度拉繩子，經(jīng)過20秒后游船移動到點D的位置，
∴CD＝17﹣0.35×20＝10（m），
∴BD＝＝＝6（m），
∴AD＝AB﹣BD＝9（m）．
答：此時游船移動的距離AD的長是9m．
【點評】本題考查勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理在實際問題中的應用，從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型是解題關鍵．
21．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，且AC＝16，BD＝12，求菱形ABCD的高DH．
【分析】首先求出AB，再利用AB?DH＝AC?BD，即可解決問題．
解：∵四邊形ABCD是菱形，DH⊥AB，
∴OA＝OC＝8，OB＝OD＝6，AC⊥BD，
∴在Rt△AOB中，AB＝，
∴AB?DH＝AC?BD，
∴10?DH＝×16×12，
∴DH＝9.6．
【點評】本題考查菱形的性質(zhì)、面積、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活應用這些知識解決問題，屬于中考常考題型．
22．如圖，已知等腰△ABC的底邊BC＝25cm，D是腰AB上一點，連接CD，且CD＝24cm，BD＝7cm．
（1）求證：△BDC是直角三角形；
（2）求AB的長．
【分析】（1）由BC＝25cm，CD＝24cm，BD＝7cm，知道BC2＝BD2+CD2，根據(jù)勾股定理的逆定理可得△BDC為直角三角形；
（2）設AB＝x cm，根據(jù)勾股定理得到關于x的方程，解方程可求出AB的長．
【解答】（1）證明：∵BC＝25cm，CD＝24cm，BD＝7cm，
∴BC2＝132＝169，
BD2+CD2＝52+122＝25+144＝169，
即BC2＝BD2+CD2，
∴△BDC為直角三角形；
（2）解：設AB＝x cm，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC＝x cm．
∵△BDC為直角三角形，
∴△ADC為直角三角形，
∴AD2+CD2＝AC2，
即x2＝（x﹣7）2+242，
解得：，
故AB的長為：．
【點評】此題考查等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理以及逆定理的應用，關鍵是掌握勾股定理的逆定理解答．
23．已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為點D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點E．
（1）求證：四邊形ADCE為矩形；
（2）當△ABC滿足時（添加一個條件），四邊形ADCE是正方形，并證明．
【分析】（1）根據(jù)矩形的有三個角是直角的四邊形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以求證∠DAE＝90°，可以證明四邊形ADCE為矩形；
（2）根據(jù)正方形的判定，我們可以假設當AD＝BC，由已知可得，DC＝BC，由（1）的結(jié)論可知四邊形ADCE為矩形，所以證得，四邊形ADCE為正方形．
【解答】（1）證明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD＝，
∵AN是∠CAM的平分線，
∴∠MAE＝∠CAE＝，
∴∠DAE＝，
∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°，
∴四邊形ADCE為矩形．
（2）解：當△ABC滿足∠BAC＝90°時，四邊形ADCE是一個正方形，理由如下；
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝45°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠ACD＝45°，
∴DC＝AD，
∵四邊形ADCE為矩形，
∴矩形ADCE是正方形，
故當∠BAC＝90°時，四邊形ADCE是一個正方形．
【點評】本題是以開放型試題，主要考查了對矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，及角平分線的性質(zhì)等知識點的綜合運用．
24．在△ABC和△ADE中，點D在BC邊上，∠BAC＝∠DAE＝α，AD＝AE．
（1）若AB＝AC．
ⅰ）如圖1，當α＝90°時，連接EC，證明：BD2+CD2＝ED2；
ⅱ）如圖2，當α＝60°時，過點A作DE的垂線，交BC邊于點F，若BC＝8，BD＝2，求線段CF的長；
（2）如圖3，已知α＝90°，作∠DAE的角平分線交BC邊于點H，若，，當CH＝1時，求線段BD的長．
【分析】（1）?。┯肧AS證明△BAD≌△CAE，進而證得△CDE是直角三角形，即可得結(jié)論；
ⅱ）連接EF、CE，作EG⊥BC交BC的延長線于點G，用SAS證明△BAD≌△CAE，得∠BAD＝∠CAE，△ABC、△ADE都是等邊三角形，再利用等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理建立方程即可求解；
（2）延長AC至N，使CN＝AC，連接EN，交BC的延長線于點M，連接HE，作AP⊥BC于P，用SAS證明△BAD≌△NAE，再利用等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理建立方程即可求解；
【解答】（1）?。┳C明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，
∴CE2+CD2＝ED2，
∴BD2+CD2＝ED2；
ⅱ）解：連接EF、CE，作EG⊥BC交BC的延長線于點G，
∵∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝AC，AD＝AE，
∴∠BAD＝∠CAE，△ABC、△ADE都是等邊三角形，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝60°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝60°+60°＝120°，
∴∠ECG＝180°﹣∠BCE＝60°，
∴∠CEG＝30°，
∴，
∵BC＝8，BD＝2，
∴BD＝CE＝2，
∴，
∵AF⊥DE，
∴AF是DE的垂直平分線，
∴DF＝EF，
設CF＝x，則DF＝EF＝8﹣2﹣x＝6﹣x，
在Rt△EFG中，EF2＝EG2+FG2，
即，
解得，
即線段CF的長為．
（2）解：延長AC至N，使CN＝AC，連接EN，交BC的延長線于點M，連接HE，
作AP⊥BC于P，
∵，
∴，
∵，
∴AB＝AN，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ANE中，
，
∴△BAD≌△NAE（SAS），
∴BD＝NE，∠B＝∠N，
∵∠ACB＝∠NCM，∠B+∠ACB＝90°，
∴∠N+∠NCM＝90°，
∴NE⊥BM，
∵Rt△ABC中，，，
∴，
∴，即，
∴AP＝4，
∵∠ACB＝∠NCM，∠APC＝∠NMC＝90°，AC＝NC，
∴△APC≌△NMC（AAS），
∴AP＝NM＝4，
∴，
∴HM＝3，Rt△HEM
∵AH是∠DAE的角平分線，AD＝AE，
∴AH是線段DE的垂直平分線，
∴DH＝EH，
設BD＝NE＝x，則DH＝HE＝BC﹣BD﹣CH＝9﹣x，ME＝x﹣4，
在Rt△HEM中，HE2＝HM2+ME2，
即（9﹣x）2＝32+（x﹣4）2，
解得，x＝5.6，
∴線段BD的長為5.6．
【點評】本題是考查全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、以及線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關鍵．
25．點P是正方形ABCD對角線AC上一動點，點E在射線BC上，且PE＝PB，連接PD，O為AC中點．
（1）如圖1，當點P在線段AO上時，連接DE交AC于點F．
①試判斷△PDE的形狀，并說明理由；
②若正方形邊長為4，當點E為BC的中點，則PE的長為 ．
（2）如圖2，當點P在線段OC上時，試探究線段AP，CP，CE的等量關系，并說明理由．
（3）若AC＝10，連接DE，取DE的中點Q，則當點P從點A運動到點C時，點Q所經(jīng)過的路徑長為 ．
【分析】（1）①根據(jù)點P在線段AO上，利用三角形的全等判定可以得出問題；
②勾股定理得出DE，根據(jù)①的結(jié)論即可求解；
（2）過點P作MG⊥AB交AB于點M，交DC于點G，過點P作PN⊥BC于點N，設NC＝a，BN＝b，分別求得，CE＝b﹣a，即可求解；
（3）根據(jù)題意得出點Q的起始點，進而根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)即可求解．
解：（1）①△PDE是等腰直角三角形，理由如下：
連接DE，如圖所示，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP＝45°，
∵PC＝PC，
∴△BCP≌△DCP（SAS），
∴PB＝PD，∠PBC＝∠PDC，
∵PE＝PB，
∴PD＝PE，∠PBC＝∠PEB，
∴∠PDC＝∠PEB，
∴∠PDC+∠PEC＝180°，
由四邊形PECD內(nèi)角和為360°，
∴∠DPE+∠DCE＝180°，
∵∠DCE＝90°，
∴∠DPE＝90°，
∴PD＝PE且PD⊥PE；
∴△PDE是等腰直角三角形；
②若正方形邊長為4，當點E為BC的中點，
則CE＝2，
在Rt△DCE中，，
∵△PDE是等腰直角三角形，
∴PE＝，
故答案為：．
（2）如圖所示，過點P作MG⊥AB交AB于點M，交DC于點G，過點P作PN⊥BC于點N，
∴△AMP，△PNC是等腰直角三角形，四邊形BMPN是矩形，
設NC＝a，BN＝b
則AM＝MP＝b，PN＝NC＝a
∴，
∵PB＝PE，PN⊥BC，
∴BN＝NE，
∴CE＝NE﹣NC＝NB﹣NC＝b﹣a，
∴；
（3）如圖所示，作B關于CD的對稱點H，連接DH，取中點K，連接OK，
當點P與點A重合時，點Q與點O重合，當點P與點C重合時，點Q與點K重合，
∴當點P從點A運動到點C時，點Q所經(jīng)過的路徑長為OK的長，
∵AC＝10，
∴，
則
∵，
∴，
故答案為：．
【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)與判定，勾股定理，三角形中位線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．