2024年河南省鄭州市九年級中考數(shù)學(xué)模擬預(yù)測題（一）（原卷版+解析版）

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一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 貴陽軌道交通3號線是中國貴州省貴陽市第三條地鐵線路，標(biāo)志色為中國紅．3號線總長為43030m，將43030用科學(xué)記數(shù)法可表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法，解題的關(guān)鍵是掌握科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值時，是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值時，是負(fù)整數(shù)．
【詳解】解：43030用科學(xué)記數(shù)法表示為，
故選：B．
2. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式的定義：形如的式子叫做二次根式，即可解答．
【詳解】解：A、沒有意義，故A不符合題意；
B、不是二次根式，故B不符合題意；
C、是二次根式，故C符合題意；
D、當(dāng)時，是二次根式，當(dāng)時，沒有意義，故D不符合題意；
故選C．
【點睛】本題考查了二次根式的識別，熟練掌握二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．
3. 若與是同類項，則的值為（ ）
A. 2027B. 2021C. 4051D. 4045
【答案】A
【解析】
【分析】此題考查了同類項的知識，根據(jù)同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同，求出m和n的值代入即可求出結(jié)果．
【詳解】解：∵與是同類項，
∴，
∴，
故選A．
4. 下列關(guān)于反比例函數(shù)，結(jié)論正確的是（ ）
A. 圖象必經(jīng)過B. 圖象在一，三象限內(nèi)
C. y隨x的增大而增大D. 圖象關(guān)于原點中心對稱
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)；
根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐項判斷即可．
【詳解】解：A.∵，
∴圖象不經(jīng)過，結(jié)論錯誤；
B.∵，
∴圖象在二，四象限內(nèi)，結(jié)論錯誤；
C.∵，
∴圖象在二，四象限，且在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，結(jié)論錯誤；
D.圖象關(guān)于原點中心對稱，正確；
故選：D．
5. 已知點與點關(guān)于原點對稱，則（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了關(guān)于原點對稱的點的性質(zhì)；
根據(jù)“關(guān)于原點對稱的點，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”求解即可．
【詳解】解：∵點與點關(guān)于原點對稱，
∴，，
∴，，
故選：A．
6. 如圖，是的直徑，點C、D在上，，則的大小為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了圓周角定理；
先求出，再根據(jù)圓周角定理得出的大?。?br>【詳解】解：∵，
∴，
∴，
故選：B．
7. 如圖是測量一顆玻璃球體積的過程：
（1）將300ml的水倒進(jìn)一個容量為500ml的杯子中；
（2）將四顆相同的玻璃球放入水中，結(jié)果水沒有滿；
（3）再加一顆同樣的玻璃球放入水中，結(jié)果水滿溢出．
根據(jù)以上過程，推測這樣一顆玻璃球的體積在（ ）
A. 20cm3以上，30cm3以下B. 30cm3以上，40cm3以下C. 40cm3以上，50cm3以下D. 50cm3以上，60cm3以下
【答案】C
【解析】
【詳解】設(shè)玻璃球的體積為x，根據(jù)題意可得
不等式組，
解得40＜x＜50，
則一顆玻璃球的體積在40cm3以上，50cm3以下．
故答案選C．
8. 如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸的一個交點為，對稱軸是直線，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. C. D. 點在函數(shù)圖象上
【答案】B
【解析】
【分析】利用二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系可得出，a、b、c的正負(fù)，進(jìn)而得出的正負(fù)；利用對稱軸為直線，可得出與0的關(guān)系；由拋物線與x軸的交點情況，可得出與的大小關(guān)系；由拋物線與x軸的一個交點坐標(biāo)為，再結(jié)合對稱軸為直線，可得出另一個交點坐標(biāo)．
【詳解】解：A、由二次函數(shù)的圖形可知：，所以．故本選項不符合題意；
B、因為二次函數(shù)的對稱軸是直線，則，即．故本選項符合題意；
C、因為拋物線與x軸有兩個交點，所以，即．故本選項不符合題意；
D、因為拋物線與x軸的一個交點坐標(biāo)為，且對稱軸為直線，所以它與x軸的另一個交點的坐標(biāo)為．故本選項不符合題意；
故選：B．
【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與各項系數(shù)的關(guān)系，正確求得a，b，c的正負(fù)以及巧妙利用拋物線的對稱軸是解決問題的關(guān)鍵．
9. 如圖，的內(nèi)切圓與，，分別相切于點D，E，F(xiàn)，若的半徑為r，，則的值和的大小分別為（ ）
A. 2r，B. 0，C. 2r，D. 0，
【答案】D
【解析】
【分析】如圖，連接．利用切線長定理，圓周角定理，切線的性質(zhì)解決問題即可．
【詳解】解：如圖，連接．
∵的內(nèi)切圓與，，分別相切于點D，E，F(xiàn)，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故選：D．
【點睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，圓周角定理，切線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．
10. 如圖，在中，分別以點A和點C為圓心，大于的長為半徑作?。ɑ∷趫A的半徑都相等），兩弧相交于M，N兩點，直線分別與邊相交于點D，E，連接．若，則的長為（ ）

A. 9B. 8C. 7D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】由作圖可知直線為邊的垂直平分線，再由得到，則可知三點在以為圓心直徑的圓上，進(jìn)而得到，由勾股定理求出即可．
【詳解】解：由作圖可知，直線為邊的垂直平分線，
∵
∴，
∵，
∴，
∴三點在以為圓心直徑的圓上，
∴，
∵，
∴
∴．
故選：D．
【點睛】本題考查了線段垂直平分線的尺規(guī)作圖和性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)和勾股定理，解答關(guān)鍵是熟練掌握常用尺規(guī)作圖的作圖痕跡，由作圖過程得到新的結(jié)論．
二．填空題
11. 計算 的結(jié)果等于_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用平方差公式進(jìn)行計算即可.
【詳解】
故填13.
【點睛】本題考查平方差公式及二次根式的運算，熟練掌握公式是解題關(guān)鍵.
12. 如圖，兩個全等的直角三角形重疊在一起，將其中的一個三角形沿方向平移到的位置，，平移距離為4，則陰影部分面積為______．
【答案】18
【解析】
【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)得出，，則，則，根據(jù)梯形的面積公式即可求解．
【詳解】解:由平移的性質(zhì)知，，，
∴，
根據(jù)題意得：，
∴，
∴．
故答案為：18．
【點睛】本題主要考查了平移的性質(zhì)及梯形的面積公式，得出是解題的關(guān)鍵．
13. 在以“激情五月，唱響青春”為主題的演講比賽中，只剩甲，乙，丙，丁四名同學(xué)進(jìn)入決賽時段，則甲，乙同學(xué)獲得前兩名的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了列表法或樹狀圖法求概率；
畫出樹狀圖，根據(jù)樹狀圖得出所有情況數(shù)和甲，乙同學(xué)獲得前兩名的情況數(shù)，再利用概率公式計算即可．
【詳解】解：畫樹狀圖如圖：
由樹狀圖可得：共有12種等可能的結(jié)果，其中甲，乙同學(xué)獲得前兩名的情況有2種，
所以甲，乙同學(xué)獲得前兩名的概率是，
故答案為：．
14. 如果一個正多邊形的中心角是，那么這個正多邊形的邊數(shù)為________．
【答案】18
【解析】
【分析】根據(jù)正n邊形的中心角的度數(shù)為進(jìn)行計算即可得到答案．
【詳解】根據(jù)正n邊形的中心角的度數(shù)為，
則，
故這個正多邊形的邊數(shù)為18，
故答案為：18．
【點睛】本題考查的是正多邊形內(nèi)角和中心角的知識，掌握中心角的計算公式是解題的關(guān)鍵．
15. 如圖，的半徑為1，為的切線，切點為A，B，，點M為劣弧上一動點，過點M作的切線，分別交于點E，F(xiàn)，的最小值 ___________．

【答案】
【解析】
【分析】由切線的性質(zhì)定理，可得，從而得到，再證明可得，，從而得到，設(shè)的外心為點C，作于點H，連接，根據(jù)三角形外心的性質(zhì)，可得，從而得到，，再由，可得，從而得到，即可求解．
【詳解】解：如圖，連接，

∵為的切線，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理，
∴，
設(shè)的外心為點C，作于點H，連接，

∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值為．
故答案為：
【點睛】本題考查有關(guān)圓的最值問題，關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形外心的性質(zhì)．
16. 如圖，以面積為20cm2的Rt△ABC的斜邊AB為直徑作⊙O，∠ACB的平分線交⊙O于點D，若，則AC＋BC＝_____．
【答案】##厘米
【解析】
【分析】連接，延長交于點，連接，先根據(jù)圓周角定理和圓的性質(zhì)可得，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可得，從而可得，作，交于點，從而可得，然后在中，利用直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可得，設(shè)，從而可得，利用直角三角形的面積公式可求出的值，由此即可得．
【詳解】解：如圖，連接，延長交于點，連接，
都是的直徑，
，
，
，
在中，，
，
平分，且，
，
，
，
，
如圖，作，交于點，
，
在中，，
，
設(shè)，則，
，
，
解得或（不符題意，舍去），
則，
故答案為：．
【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值、圓周角定理、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識點，通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形和等腰三角形是解題關(guān)鍵．
三、解答題
17. 先化簡，再求值：并在2，3，-3，4這四個數(shù)中取一個合適的數(shù)作為a的值代入求值．
【答案】－；a=4時，原式=-3．
【解析】
【分析】按照先乘除后加減進(jìn)行化簡，再代入能使原式有意義的a值4即可求出結(jié)論；
【詳解】解：原式=
=
＝－．
∵a≠-3，2，3，
∴取a=4，
原式=－=-3．
【點睛】本題考查分式的化簡求值，代入求值時代入的數(shù)值必須能使分式有意義．
18. 如圖，點B、E分別在AC、DF上，AF分別交BD、CE于點M、N，∠A＝∠F，∠C＝∠D．
（1）求證：四邊形BCED是平行四邊形；
（2）已知DE＝3，連接BN，若BN平分∠DBC，求CN的長．

【答案】（1）見解析；（2）3
【解析】
【分析】（1）先證明 再證明 從而可得結(jié)論；
（2）先證明可得 再結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)可得答案．
【詳解】解：（1）證明：∵∠A＝∠F，
∴DF∥AC，
∴∠C＝∠FEC，
又∵∠C＝∠D，
∴∠FEC＝∠D，
∴DB∥EC，
∴四邊形BCED是平行四邊形；
（2）∵BN平分∠DBC，
∴∠DBN＝∠CBN，
∵BD∥EC，
∴∠DBN＝∠BNC，
∴∠CBN＝∠BNC，
∴CN＝BC，
又∵四邊形BCED平行四邊形；
BC＝DE＝3，
∴CN＝3．
【點睛】本題考查的是平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)與判定，掌握平行四邊形的判定方法與等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵．
19. 脫貧攻堅工作讓老百姓過上了幸福生活．如圖①是政府給貧困戶新建的房屋，如圖②是房屋的側(cè)面示意圖，它是一個軸對稱圖形，對稱軸是房屋的高所在的直線．為了測量房屋的高度，在地面上點測得屋頂?shù)难鼋菫?，此時地面上點、屋檐上點、屋頂上點三點恰好共線，繼續(xù)向房屋方向走到達(dá)點時，又測得屋檐點的仰角為，房屋的頂層橫梁，，交于點（點，，在同一水平線上）．（參考數(shù)據(jù)：，，，）

（1）求屋頂?shù)綑M梁的距離；
（2）求房屋的高（結(jié)果精確到）．
【答案】（1）4.2米；（2）14米
【解析】
【分析】（1）可得，在中由即可求AG；
（2）設(shè)，利用三角函數(shù)由x表示DH、CH，由DH-CH=8列方程即可求解．
【詳解】解：（1）∵房屋的側(cè)面示意圖是軸對稱圖形，所在直線是對稱軸，，

∴，，．
在中，，，
∵，，．
∴（米）
答：屋頂?shù)綑M梁的距離約是4.2米．
（2）過點作于點，設(shè)，
在中，，，
∵，∴，
在中，，，
∵，∴．
∵，
∴，
∵，，
解得．
∴（米）
答：房屋的高約是14米．
【點睛】本題主要考查了仰角的定義及其解直角三角形的應(yīng)用，解題時首先正確理解仰角的定義，然后構(gòu)造直角三角形利用三角函數(shù)和已知條件列方程解決問題．
20. 如圖，正六邊形ABCDEF的對稱中心P在反比例函數(shù)的圖象上，邊CD在x軸上，點B在y軸上，已知CD＝4．
（1）點A是否在該反比例函數(shù)的圖象上？請說明理由；
（2）若反比例函數(shù)的圖象與DE交于點Q，求點Q的橫坐標(biāo)．
【答案】（1）點A在該反比例函數(shù)的圖象上，理由見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）過點P作x軸垂線PG，連接BP，可得BP＝4，G是CD的中點，所以P（4，）；
（2）易求D（6，0），E（8，），待定系數(shù)法求出DE的解析式為y＝x﹣，聯(lián)立反比例函數(shù)與一次函數(shù)即可求點Q．
【小問1詳解】
解：點A在該反比例函數(shù)的圖象上，理由如下：
過點P作x軸垂線PG，連接BP，
∵P是正六邊形ABCDEF的對稱中心，CD＝4，
∴BP＝4，G是CD的中點，
∴，
∴P（4，），
∵P在反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象上，
∴k＝，
∴反比例函數(shù)解析式為y＝，
由正六邊形的性質(zhì)可知，A（2，），
∴點A在反比例函數(shù)圖象上；
【小問2詳解】
解：由（1）得D（6，0），E（8，），
設(shè)DE的解析式為y＝mx+b，
∴，
∴，
∴y＝x﹣，
由方程，
解得x＝（負(fù)數(shù)舍去），
∴Q點橫坐標(biāo)為．
．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，正六邊形的性質(zhì)；將正六邊形的邊角關(guān)系與反比例函數(shù)上點的坐標(biāo)結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
21. 某校政治實踐小組就近期人們比較關(guān)注的五個話題：“A．通訊；B．民法典；C．北斗導(dǎo)航；D．?dāng)?shù)字經(jīng)濟；E．小康社會”，對學(xué)生進(jìn)行了隨機抽樣調(diào)查，每人只能從中選擇一個本人最關(guān)注的話題，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如圖兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請結(jié)合統(tǒng)計圖中的信息，解決下列問題：

（1）政治實踐小組在這次活動中，調(diào)查的學(xué)生共有 人；
（2）將圖中的最關(guān)注話題條形統(tǒng)計圖補充完整；
（3）政治實踐小組進(jìn)行專題討論中，甲、乙兩個小組從三個話題：“A．通訊；B．民法典；C．北斗導(dǎo)航”中抽簽（不放回）選一項進(jìn)行發(fā)言，利用樹狀圖或表格，求出兩個小組選擇A、B話題發(fā)言的概率．
【答案】（1）200 （2）見解析
（3）
【解析】
【分析】本題主要考查了扇形統(tǒng)計圖與條形統(tǒng)計圖信息相關(guān)聯(lián)，樹狀圖法或列表法求解概率：
（1）用B的人數(shù)除以其人數(shù)占比即可得到答案；
（2）先求出C的人數(shù)，進(jìn)而求出A的人數(shù)，再補全統(tǒng)計圖即可；
（3）先畫出樹狀圖得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到兩個小組選擇A、B話題發(fā)言的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計算公式求解即可．
【小問1詳解】
解：調(diào)查的學(xué)生共有：（人），
故答案為：200；
【小問2詳解】
解：選擇C的學(xué)生有：（人），
∴選擇A的學(xué)生有：（人），
補全的條形統(tǒng)計圖如圖所示：
【小問3詳解】
解：畫樹狀圖如下：

共有6個等可能的結(jié)果，甲、乙兩個小組選擇A、B話題發(fā)言的結(jié)果有2個，
∴兩個小組選擇A、B話題發(fā)言的概率為．
22. 如圖，是的直徑，射線交于點D，E是劣弧上一點，且，過點E作于點F，延長和的延長線交與點G．
（1）證明：是的切線；
（2）若，求的半徑．
【答案】（1）見解析 （2）3
【解析】
【分析】（1）連接，先證明，再證明，，進(jìn)而證明，即可證明是的切線；
（2）設(shè)的半徑為r，根據(jù)勾股定理得到，解方程即可得到的半徑，即可．
【小問1詳解】
證明：如圖，連接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切線；
【小問2詳解】
解：設(shè)的半徑為r，，
∵在中，，
∴，
解得，
即的半徑為3．
【點睛】本題為圓的綜合題，考查了圓周角定理，切線的判定，勾股定理等知識，熟知相關(guān)定理并根據(jù)題意靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．
23. 如圖，在中，，，，點是上一動點（不與點，）重合，，．
（1）求度數(shù)；
（2）在點運動過程中，的值是否為定值？說明理由；
（3）當(dāng)時，連接，三邊上分別有動點、、，（點在上），當(dāng)?shù)闹荛L取最小值時，求的長．
【答案】（1）
（2）的值為定值，理由見解析．
（3）．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題干的條件得出為等腰直角三角形，求出，再結(jié)合，即可解題．
（2）作交的延長線于點，交于點，構(gòu)造三角形全等，將轉(zhuǎn)化為，再利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，即可解題．
（3）根據(jù)對稱的性質(zhì)和“兩點之間線段最短”，將的周長轉(zhuǎn)移到同一直線上，再利用等腰三角形頂角一定時，腰長越短，底邊越短和垂線段最短，即可解題．
【小問1詳解】
解：中，，，
，
，
，
．
【小問2詳解】
解：的值為定值，理由如下：
作交的延長線于點，交于點，如圖所示：
，，
，，
，即有為的角平分線，
，
，
，，有為等腰三角形，，
，
，
，
．
【小問3詳解】
解：在上取一點，作關(guān)于對稱，關(guān)于對稱，
連接與交于點，與交于點，如圖所示：
由對稱性質(zhì)可知：，，，，，所以為等腰三角形，
，
，
，
大小一定，當(dāng)?shù)妊切雾斀且欢〞r，腰長越短，底邊越短，
當(dāng)，最短時，最短，
即當(dāng)最短時，的周長最小，
最短時為，即，
，
．
【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和判定、三角形的外角、平行線的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定和對稱的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于靈活運用性質(zhì)定理構(gòu)造輔助線，再結(jié)合圖形和題干的條件解決問題．
24. 科研人員為了研究彈射器的某項性能，利用無人機測量小鋼球豎直向上運動的相關(guān)數(shù)據(jù)．無人機上升到離地面30米處開始保持勻速豎直上升，此時，在地面用彈射器（高度不計）豎直向上彈射一個小鋼球（忽路空氣阻力），在1秒時，它們距離地面都是35米，在6秒時，它們距離地面的高度也相同．其中無人機離地面高度（米）與小鋼球運動時間（秒）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示；小鋼球離地面高度（米）與它的運動時間（秒）之間的函數(shù)關(guān)系如圖中拋物線所示．
（1）直接寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求出與之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）小鋼球彈射1秒后直至落地時，小鋼球和無人機的高度差最大是多少米？
【答案】（1）；（2）；（3）70米
【解析】
【分析】（1）先設(shè)出一次函數(shù)的解析式，再用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（2）用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（3）當(dāng)1＜x≤6時小鋼球在無人機上方，因此求y2-y1，當(dāng)6＜x≤8時，無人機在小鋼球的上方，因此求y1-y2，然后進(jìn)行比較判斷即可．
【詳解】解：（1）設(shè)y1與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y1=kx+b'，
∵函數(shù)圖象過點（0，30）和（1，35），
則，
解得，
∴y1與x之間的函數(shù)關(guān)系式為．
（2）∵時，，
∵的圖象是過原點的拋物線，
∴設(shè)，
∴點，拋物線上．
∴，即，
解得，
∴．
答：與的函數(shù)關(guān)系式為．
（3）設(shè)小鋼球和無人機的高度差為米，
由得或.
①時，
，
∵，∴拋物線開口向下，
又∵，
∴當(dāng)時，的最大值為；
②時，
，
∵，∴拋物線開口向上，
又∵對稱軸是直線，
∴當(dāng)時，隨的增大而增大，
∵，
∴當(dāng)時，的最大值為70．
∵，
∴高度差的最大值為70米．
答：高度差的最大值為70米．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)以及一次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)根據(jù)實際情況判斷無人機和小鋼球的高度差．