第21章 代數(shù)方程 單元綜合檢測-2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊高頻考點精講與精練高分突破（滬教版）

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第21章 代數(shù)方程 單元綜合檢測 一、單選題 1．下列說法正確的是(????) A．是二項方程 B．是二元二次方程 C．是分式方程 D．是無理方程 【答案】B 【分析】根據(jù)二項方程：形如;無理方程:根式方程就是根號下含有未知數(shù)的方程.二元二次方程：含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)是二的整式方程；分式方程：是指分母里含有未知數(shù)的有理方程，依次判斷即可． 【解析】解：A、沒有常數(shù)項，不符合題意； B、符合二元二次方程的定義，符合題意； C、分母中無未知量，不符合分式方程的定義，不符合題意； D、根號下無未知量，不符合無理方程的定義，不符合題意； 故選：B． 【點睛】此題考查了各類方程的定義，熟記二項方程，二元二次方程，分式方程，無理方程的定義是解題的關(guān)鍵． 2．由方程組消去y后化簡得到的方程是（　?。?A．2x2﹣2x﹣6＝0 B．2x2+2x+5＝0 C．2x2+5＝0 D．2x2﹣2x+5＝0 【答案】D 【分析】根據(jù)題目中方程組的特點，由x﹣y﹣1＝0，可以得到y(tǒng)＝x-1，然后將x-1看成一個整體，換為y代入第二方程，再化簡即可解答本題． 【解析】解：， 由①，得y＝x-1③， 將③代入②，得（x﹣1）2+x2+4＝0， 化簡，得2x2﹣2x+5＝0， 故選：D． 【點睛】本題考查二元二次方程組，解答本題的關(guān)鍵是明確消元法，利用方程的思想解答． 3．用換元法解分式方程時，如果設(shè)，那么原方程可化為（????） A．； B．； C．； D．． 【答案】A 【分析】把代入原方程，得出，再進行整理即可． 【解析】解：整理，得 ， 把代入方程得： ， 整理得：， 故選 A． 【點睛】本題考查了解分式方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握利用換元法，把一個式子做為整體進行替換，將分式方程化簡為一元二次方程． 4．下列方程中，有一個根是的方程是（????） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解方程再檢驗，或把x=2代入選項中的每個方程，再逐個判斷． 【解析】A.解方程， 方程兩邊都乘以x-2，得x=2， 檢驗：當(dāng)x=2時，x-2=0，所以x=2是增根， 即x=2不是原方程的解，故A選項不符合題意； B.當(dāng)x=2時，分母不等于0， 方程的左邊=， 右邊=0， 即左邊=右邊， 所以x=2是原方程的解，故本選項符合題意； C．當(dāng)x=2時，中x-3＜0， 所以x=2不是方程的解，故本選項不符合題意； D．當(dāng)x=2時，中x-6＜0， 所以x=2不是方程的解，故本選項不符合題意； 故選：B． 【點睛】本題考查了解分式方程和解無理方程，注意：解分式方程和解無理方程的過程中都必須進行檢驗． 5．下列關(guān)于的方程中，一定有實數(shù)解的是（????） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解答選項中的各個方程，即可判斷那個選項中的方程一定有實數(shù)解，從而可以解答本題． 【解析】解：∵， ∴無解，故選項A錯誤； ∵，得， ∴， 則Δ＝，故此方程無解，故選項B錯誤； ∵，∴Δ＝， ∴一定有兩個不相等的實數(shù)根，故選項C正確； ∵，解得，x＝1，而x＝1時，x?1＝0，故此分式方程無解，故選項D錯誤； 故選：C． 【點睛】本題考查無理方程、根的判別式、分式方程的解，解題的關(guān)鍵是明確無理方程根號里面的數(shù)或式子大于等于0，根的判別式△0時，方程有實數(shù)根，分式方程的解要使得原分式方程有意義． 6．如果關(guān)于的方程有實數(shù)根，那么的值是（??） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把代入方程得出，再求出方程的解即可． 【解析】解：把代入方程， 得：， 兩邊平方得：， 解得：， 經(jīng)檢驗是方程的解， 即， 故選：A． 【點睛】本題考查了解無理方程和方程的解，能把無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程是解此題的關(guān)鍵． 7．方程組的解是（　?。?A． B． C． D． 【答案】A 【分析】將分解因式，將x?y＝1代入可得x＋y＝3，據(jù)此可求出x，y． 【解析】解：由得：（x＋y）（x?y）＝3， ∵x?y＝1①， ∴x＋y＝3②， 由①＋②得2x＝4， 解得：x＝2， 把x＝2代入x?y＝1得y＝1， ∴方程組的解為， 故選：A． 【點睛】本題考查解二元二次方程組，解題的關(guān)鍵是將二次方程通過因式分解和整體代換轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組． 8．A，B兩地相距180km，新修的高速公路開通后，在A，B兩地間行駛的長途客車平均車速提高了50%，而從A地到B地的時間縮短了1h．若設(shè)原來的平均車速為，則根據(jù)題意可列方程為（????） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】設(shè)原來的平均車速為，則根據(jù)題意“從A地到B地的時間縮短了1h”，列出分式方程即可求解． 【解析】解：設(shè)原來的平均車速為，則新修的高速公路開通后車速為，根據(jù)題意可列方程為 ． 故選A． 【點睛】本題考查了列分式方程，找到等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵． 9．二元二次方程組的解的個數(shù)是（　?。?A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【答案】C 【分析】先由方程①求出x，y的值，代入②，求解，即可得出結(jié)論． 【解析】解：， 由①得x＝﹣1或y＝2， 當(dāng)x＝﹣1時，代入②得∶y＝1， 當(dāng)y＝2時， 代入②得∶x＝±， 所以方程組的解或或． 故選：C． 【點睛】本題主要考查解方程的能力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)中化歸思想，消元和降次是解此類問題的關(guān)鍵． 10．方程組有四組不同的實數(shù)解，則m的取值范圍是（??　 ） A． B． C． D．，且 【答案】D 【分析】首先運用代入法將方程組變形，然后利用根的判別式即可得解. 【解析】 由②，得③ 將③代入①，得 ∵方程組有四組不同的實數(shù)解， ∴且 ∴，且 故選：D. 【點睛】此題主要考查根據(jù)二元二次方程組的解求參數(shù)的取值范圍，解題關(guān)鍵的利用根的判別式. 二、填空題 11．方程 的解是_______． 【答案】 【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解． 【解析】解：去分母得：， 移項合并得：， 檢驗：當(dāng)時，， ∴分式方程的解為． 故答案為：． 【點睛】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗． 12．二元二次方程可以化為兩個一次方程，它們是______． 【答案】x-6y=0或x+y=0 【分析】把y看成常量，方程就是關(guān)于x的一元二次方程，利用因式分解法化為兩個一次方程即可． 【解析】解：x2-5xy-6y2=0， （x-6y）（x+y）=0， ∴x-6y=0或x+y=0． 故答案為：x-6y=0或x+y=0． 【點睛】本題考查了二元二次方程，把y看成常量，方程看成關(guān)于x的一元二次方程是解決本題的關(guān)鍵． 13．方程的根是______． 【答案】 【分析】首先把方程兩邊同時平方，去掉根號，然后解一元二次方程，最后檢驗即可求解． 【解析】解：兩邊平方得，， 移項得：， 即， 解得，， 經(jīng)檢驗，是增根， ∴方程的解為． 故答案為：． 【點睛】此題主要考查了解無理方程的方法，解題的關(guān)鍵是利用平方把方程的根號去掉，化無理方程為有理方程． 14．方程組的解為______． 【答案】 【分析】設(shè)=m，=n，即可得到一個關(guān)于m，n的方程組求得m，n的值，進而即可求得x，y的值． 【解析】解：設(shè)=m，=n． 則原方程組即可化為：， 解得：， 則， 解得：． 經(jīng)檢驗是原方程組的解． 故答案是：． 【點睛】本題主要考查了分式方程組的解法，利用換元法轉(zhuǎn)化為整式方程組是解題的關(guān)鍵． 15．甲乙兩人加工一批零件，甲先加工了一半，然后乙加工了剩下部分，前后共用了10天完成，如果甲乙兩人一起加工，6天可加工完，如設(shè)甲、乙兩人單獨加工完成這批零件各需x天．y天可列方程組為______． 【答案】 【分析】根據(jù)“甲先加工了一半，然后乙加工了剩下部分，前后共用了10天完成”得到第一個等量關(guān)系；根據(jù)“如果甲乙兩人一起加工，6天可加工完”得到第二個等量關(guān)系，據(jù)此列出方程組即可． 【解析】解：由題意，得 ， 故答案為：． 【點睛】此題考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找出題目中的等量關(guān)系，工程問題中常用的關(guān)系式有：工作時間=工作總量÷工作效率． 16．解關(guān)于的方程有增根，則的值為___________ 【答案】## 【分析】根據(jù)分式方程增根的產(chǎn)生，即使其最簡公分母為0，但適合其轉(zhuǎn)化為的整式方程進行求解． 【解析】解：根據(jù)題意，得 該分式方程的增根是， 該分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，得， 把代入，得． 故答案為：． 【點睛】此題考查了分式方程的增根，即適合分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，但卻使分式方程的最簡公分母為0． 17．如果關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，那么a的取值范圍是___________． 【答案】且 【分析】根據(jù)解分式方程的一般步驟，可得分式方程的解，根據(jù)解為正數(shù)，可得不等式，根據(jù)解不等式，可得答案． 【解析】解：， ， 解得：， ， ， 即， 解得， 因為解為正數(shù)， ， 即， 解得， 故答案為：且． 【點睛】此題考查分式方程的解；解題關(guān)鍵在于根據(jù)解為正數(shù)，可得不等式再求出解集. 18．若關(guān)于x的方程-2x+m+4020=0存在整數(shù)解，則正整數(shù)m的所有取值的和為___________. 【答案】18 【分析】將原方程變形為m=2x-4020，由m為正整數(shù)、被開方數(shù)非負，可得出2010≤x≤2018，依此代入各值求出m的值，再將是正整數(shù)的m的值相加即可得出結(jié)論． 【解析】原題可得：m=2x-4020， ∵m為正整數(shù)， ∴m≥0， ∴2x-4020≥0， ∴x≥2010． ∵2018-x≥0， ∴x≤2018， ∴2010≤x≤2018． 當(dāng)x=2010時，2m=0，m=0，不符合題意； 當(dāng)x=2011時，m=2，m=，不符合題意； 當(dāng)x=2012時，m=4，m=，不符合題意； 當(dāng)x=2013時，m=6，m=，不符合題意； 當(dāng)x=2014時，2m=8，m=4； 當(dāng)x=2015時，m=10，m=，不符合題意； 當(dāng)x=2016時，m=12，m=6，不符合題意； 當(dāng)x=2017時，m=14； 當(dāng)x=2018時，0=16，不成立． ∴正整數(shù)m的所有取值的和為4+14=18． 故答案為18． 【點睛】本題考查了無理方程，由被開方數(shù)非負及m為正整數(shù)，找出x的取值范圍是解題的關(guān)鍵． 三、解答題 19．解方程組： 【答案】或 【分析】根據(jù)①得，即或，分別與②聯(lián)立解方程組即可求解． 【解析】解： 由①得， 則或， ∴或， 解得：或． 【點睛】本題考查了解二元二次方程組，正確的計算是解題的關(guān)鍵． 20．解方程：． 【答案】 【分析】先把移到方程的右邊，兩邊平方，化簡后再次平方，然后解一元二次方程，最后檢驗即可. 【解析】解： 兩邊平方化簡， 兩邊平方化簡． 解之得， 檢驗：將代入原方程，左邊右邊，舍去． 所以原方程的解為． 【點睛】本題考查了解無理方程，以及解一元二次方程，通過平方把無理方程化為有理方程是解答本題的關(guān)鍵. 21．解方程組：． 【答案】 【分析】設(shè)，，可解得，即得，可解得，再檢驗，即可得答案． 【解析】解：設(shè)，，則原方程組變形為： ， 解得， ，即， 解得， 經(jīng)檢驗，是原方程組的解， 原方程組的解為：． 【點睛】本題考查解分式方程，解題的關(guān)鍵是用換元法把方程組變形． 22．解方程： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2)，； (3)，，，． 【分析】（1）移項后兩邊平方得出，求出，再方程兩邊平方得出，求出，再進行檢驗即可； （2）觀察可得最簡公分母是，方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解； （3）令，則，代入原方程，得，所以，，然后分兩種情況分別解方程即可． 【解析】（1） 解：移項得，， 兩邊平方得，， 合并同類項得，， ∴， 兩邊平方得，， 整理得，， ∴， 解得：，， 經(jīng)檢驗，，不是原方程的解， ∴原方程的解為：． （2） 解：方程兩邊同時乘以得， 整理得，， 解得，， ∴，， 經(jīng)檢驗，，時，， ∴原方程的根為：，． （3） 解： 令，代入原方程得，， ∴， 解得：，， 當(dāng)時，，即： ， ∴，解得：，， 當(dāng)時，，即： ， ∴，解得：，， 經(jīng)檢驗都為原方程的解 ∴原方程的解為：，，，． 【點睛】本題考查了解無理方程，能把無理方程轉(zhuǎn)化成有理方程是解此題的關(guān)鍵；還考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解，（2）解分式方程一定注意要驗根． 23．關(guān)于x的方程有且只有一個實數(shù)解，求k. 【答案】4或或0 【分析】分k=0和k≠0求解，當(dāng)k≠0時，再分方程是一元二次方程和不是一元二次方程兩種情況求解． 【解析】當(dāng)k=0時，方程變形為，整理，得4x+1=0， 方程只有一個實數(shù)解，符合題意， 當(dāng)k≠0時，方程兩邊用時乘以x(x-1)， 整理，得， 當(dāng)k=4時，方程變形為3x+1=0， 方程只有一個實數(shù)解，符合題意， 當(dāng)k≠4時，方程只有一個實數(shù)根， 所以， 解得k=， 綜上所述，當(dāng)方程只有一個實數(shù)解，符合題意的k值為4或或0． 【點睛】本題考查了分式方程的解法，分式方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程或一元二次方程，正確進行分類是解題的關(guān)鍵． 24．北京冬奧會期間，海內(nèi)外掀起一股購買冬奧會吉祥物“冰墩墩”的熱潮．某玩具廠接到6000箱“冰墩墩”的訂單，需要在冬奧會閉幕之前全部交貨．為了盡快完成訂單，玩具廠改良了原有的生產(chǎn)線，每天可以多生產(chǎn)20箱“冰墩墩”，結(jié)果提前10天完成任務(wù)，求該玩具廠改良生產(chǎn)線前每天生產(chǎn)多少箱“冰墩墩”？ 【答案】100箱 【分析】設(shè)該玩具廠改良生產(chǎn)線前每天生產(chǎn)x箱“冰墩墩”，則該玩具廠改良生產(chǎn)線后每天生產(chǎn)(x+20)箱“冰墩墩”，根據(jù)題意即可列出分式方程，解分式方程即可求得． 【解析】解：設(shè)該玩具廠改良生產(chǎn)線前每天生產(chǎn)x箱“冰墩墩”，則該玩具廠改良生產(chǎn)線后每天生產(chǎn)箱“冰墩墩”， 根據(jù)題意得 整理得： 解得，(舍去) 經(jīng)檢驗：，都是原方程的解，但不符合題意舍去， 故該玩具廠改良生產(chǎn)線前每天生產(chǎn)100箱“冰墩墩”． 【點睛】本題考查了分式方程的實際應(yīng)用，找準等量關(guān)系，列出分式方程是解決本題的關(guān)鍵，注意要檢驗． 25．甲，乙兩名摩托車選手在勻速狀態(tài)下進行賽道訓(xùn)練，已知兩名選手先后從起點A地駛往相距60千米的終點B地．如果甲的速度比乙的速度慢1千米/分鐘．甲比乙早出發(fā)1分鐘，最后乙先到達終點B地．設(shè)甲的行駛時間為x（分鐘），甲、乙的行駛路程、（千米）與x之間的函數(shù)圖像如圖所示． （1）根據(jù)圖像，回答問題： 當(dāng)乙到達終點B地時，________千米； （2）求甲、乙兩名摩托車選手的速度； （3）求關(guān)于x的函數(shù)解析式． 【答案】（1）52；（2）甲的速度是3千米/分鐘，乙的速度是4千米/分鐘；（3）（1≤x≤12） 【分析】（1）由圖象可直接得出答案； （2）設(shè)乙摩托車選手的速度為v千米/分鐘，根據(jù)路程、速度與時間的關(guān)系，即可解答； （3）利用待定系數(shù)法即可求解． 【解析】解：（1）觀察圖象知當(dāng)乙到達終點B地時，y甲=52千米， 故答案為：52； （2）設(shè)乙的速度是x千米/分鐘， 由題意，， 解得：x1=-13，x2=4， 經(jīng)檢驗，x1=-13，x2=4是原方程的解， x1=-13，不合題意，舍去， ∴乙的速度是4千米/分鐘，甲的速度是3千米/分鐘； （3）乙的行駛時間為60÷5=12（分鐘）， 設(shè)y乙關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=kx+b，根據(jù)題意得， ， 解得：， ∴y乙關(guān)于x的函數(shù)解析式為（1≤x≤12）． 【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，利用路程、速度與時間的關(guān)系得出方程是解題關(guān)鍵． 26．“程，課程也，二物者二程，三物者三程，皆如物數(shù)程之，并列為行，故謂之方程．”這是我國古代著名數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)》對方程一詞給出的注釋．對于一些特殊的方程，我們給出兩個定義：①若兩個方程有相同的一個解，則稱這兩個方程為“相似方程”：②若兩個方程有相同的整數(shù)解，則稱這兩個方程為“相伴方程”． (1)判斷分式方程與無理方程是否是“相似方程”，并說明理由； (2)已知關(guān)于x，y的方程：和，它們是“相似方程”嗎？如果是，請寫出它們的公共解；如果不是，請說明理由； (3)已知關(guān)于x，y的二元一次方程：和（其中k為常數(shù)）是“相伴方程”，求k的值. 【答案】(1)分式方程與無理方程是“相似方程”，理由見解析； (2)和，它們是“相似方程”，公共解為 (3)或或 【分析】（1）分別求出分式方程和無理方程的解，然后根據(jù)“相似方程”的定義進行判斷即可； （2）聯(lián)立兩個兩個方程，求出它們的公共解，如果只有唯一解，即說明兩個方程是“相似方程”，如果沒有唯一解則說明兩個方程不是“相似方程”； （3）聯(lián)立兩個方程得到，再分當(dāng)時， 當(dāng)時，兩種情況討論求解即可． 【解析】（1）解：分式方程與無理方程是“相似方程”，理由如下： 兩邊用時乘以得：， ∴， ∴， ∴或， 經(jīng)檢驗和都是原方程的解； ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴分式方程與無理方程有一個相同的解， ∴分式方程與無理方程是“相似方程”； （2）解：聯(lián)立得：， ∴， ∴， ∴， ∴原方程組的解為， ∴方程和方程有一個公共解， ∴和，它們是“相似方程”，公共解為 （3）解：∵關(guān)于x，y的二元一次方程：和（其中k為常數(shù)）是“相伴方程”， ∴， ∴， 當(dāng)時，即不符合題意； 當(dāng)時，則， ∵x、y都是整數(shù)， ∴或或 【點睛】本題主要考查了解分式方程，解無理方程，解二元二次方程，解二元一次方程組等等，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．