北師大版八年級下冊第一章 三角形的證明3 線段的垂直平分線課時作業(yè)

這是一份北師大版八年級下冊第一章 三角形的證明3 線段的垂直平分線課時作業(yè)，共8頁。
一．選擇題（共5小題，每題8分）
1．有一塊三角形草坪，要在草坪上建一座涼亭，使涼亭到三個頂點的距離相等，則涼亭的選址有（ ）
A．1處 B．2處 C．3處 D．4處
2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝9cm，AB的垂直平分線交BC于點M，交AB于點E，AC的垂直平分線交BC于點N，交AC于點F，則MN的長是（ ）
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm

第2題圖 第3題圖 第4題圖 第5題圖
3．如圖，兔子的三個洞口A、B、C構(gòu)成△ABC，獵狗想捕捉兔子，必須到三個洞口的距離都相等，則獵狗應蹲守在（ ）
A．三條邊的垂直平分線的交點 B．三個角的角平分線的交點
C．三角形三條高的交點 D．三角形三條中線的交點
4．如圖,在△ABC中,按以下步驟作圖:①分別以A,B為圓心,大于12AB長為半徑作弧,兩弧相交于M,N兩點;②作直線MN交BC于點D,連接AD.若AD=AC,∠B=25°,則∠C=（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
5．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點D是BC邊的中點，分別以B，C為圓心，大于線段BC長度一半的長為半徑畫圓弧，兩弧在直線BC上方的交點為P，直線PD交AC于點E，連結(jié)BE，AB＝5cm，△AEB的周長為18cm，則△ABC的周長是（ ）cm．
A．36 B．23 C．18 D．30
二．填空題（共4小題，每題5分）
6．如果一個三角形兩邊的垂直平分線的交點在第三邊上,那么這個三角形是____________
7．如圖，等腰△ABC的底邊BC=20，面積為120，點F在邊BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分線，若點D在EG上運動，則△CDF周長的最小值為__．
8．如圖，已知A(0，3)，B(2，1)，C(2，－3)，若點P是△ABC三邊垂直平分線的交點，則點P的坐標為___________________．
9．如圖,在△ABC 中,點 D 是邊 AB、BC 邊的垂直平分線交點,連接 AD 并延長交 BC 于點 E,若∠AEC=3∠BAE= 3?，則∠CAE=_____ (用含?的式子表示)

第7題圖 第8題圖 第9題圖
三．解答題（共3小題，第10題10分，第11、12題各15分）
10．如圖，直線AO，BO交于點O，過點P作PC⊥AO于點C，PD⊥BO于點D，畫出圖形．
11．下面是小蕓設計的“作三角形一邊上的高”的尺規(guī)作圖過程．
已知：△ABC．
求作：△ABC的邊BC上的高AD．
作法：①以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，交直線BC于點M，N；
②分別以點M，N為圓心，以大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧相交于點P；
③作直線AP交BC于點D，則線段AD即為所求△ABC的邊BC上的高．
根據(jù)小蕓設計的尺規(guī)作圖過程，
（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）
（2）完成下面的證明：
證明：∵AM＝ ，MP＝ ，
∴AP是線段MN的垂直平分線．（ ）（填推理的依據(jù)）
∴AD⊥BC于D，即線段AD為△ABC的邊BC上的高．
12．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB =90°，∠ABC=30°，CD平分∠ACB．
（1）尺規(guī)作圖：作線段AB的垂直平分線l;（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）記直線l與AB，CD的交點分別是點E，F(xiàn)．當AC=4時，求EF的長
試題解析
2．C
【解析】首先連接AM，AN，由AB的垂直平分線交BC于點M，交AB于點E，AC的垂直平分線交BC于點N，交AC于點F，可得AM＝BM，AN＝CN，又由在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，易證得△AMN是等邊三角形，繼而可得BM＝MN＝CN，即可求得答案．
解：連接AM，AN，
∵AB的垂直平分線交BC于點M，交AB于點E，AC的垂直平分線交BC于點N，交AC于點F，
∴AM＝BM，AN＝CN，
∴∠BAM＝∠B，∠CAN＝∠C，
∵AB＝AC，∠A＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠AMN＝∠ANM＝60°，
∴△AMN是等邊三角形，
∴AM＝MN＝AN，
∴BM＝MN＝CN，
∵BC＝9cm，
∴MN＝3cm．
故選C．
3．A
【解析】根據(jù)題意，知獵狗應該到三個洞口的距離相等，則此點就是三角形三邊垂直平分線的交點．
解：獵狗到△ABC三個頂點的距離相等，則獵狗應蹲守在△ABC的三條（邊垂直平分線）的交點．
故選：A．
4．C
【解析】利用基本作圖得到MN垂直平分AB，則DA=DB，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)求出∠CDA的度數(shù)，然后利用AD=AC得到∠C的度數(shù)．
解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B=25°，
∴∠CDA=∠DAB+∠B=50°，
∵AD=AC，
∴∠C=∠CDA=50°．
故選C．
5．D
【解析】由作圖步驟知PD是BC的中垂線，據(jù)此得BE=CE，根據(jù)AB+AE+BE=18cm且AB=5cm知AC=13cm，利用勾股定理求得BC的長可得答案．
解：由作圖步驟知PD是BC的中垂線，
∴BE=CE，
∵△ABE的周長為18cm，即AB+AE+BE=18cm且AB=5cm，
∴AE+BE=13cm，
∴AE+CE=13cm，即AC=13cm，
∵∠ABC=90°，
∴BC=AC2-AB2=132-52=12
∴△ABC的周長為5+12+13=30（cm），
故選：D．
6．直角三角形
【解析】根據(jù)垂直平分線的作圖方法,根據(jù)題意,畫出圖形,用線段垂直平分線的性質(zhì)解答．
解：如圖,CA、CB的中點分別為D,E,CA,CB的垂直平分線OD,OE相交于點O,且點O落在AB邊上,連接CO,
∵OD是AC的垂直平分線
∴OC=OA,
同理OC=OB,
∴OA=OB=OC,
∴A、B、C都落在以O為圓心,以AB為直徑的圓周上,
∴∠C是直角,故答案為：直角三角形．
7．18
【解析】如圖作AH⊥BC于H,連接AD，由EG垂直平分線段AC推出DA=DC，推出DF+DC=AD+DF，可得當A、D、F共線時DF+DC最小，最小值就是線段AF的長．
解：∵EG垂直平分線段AC，
∴DA=DC，
∴DF+DC=AD+DF，
∴當A、D、F共線時DF+DC最小，最小值就是線段AF的長．
∵12?BC?AH=120
∴AH=12
∵AB=AC,AH⊥BC，
∴BH=CH=10，
∵BF=3FC，
∴CF=FH=5，
∴AF=AH2+HF2=122+52=13
∴DF+DC的最小值為13
∴△CDF的周長最短=13+5=18.
故答案為：18.
8．(－2，－1)
【解析】利用三角形三邊的垂直平分線交點到三個頂點的距離相等和點到直線距離的公式就可做出答案.
解：設p點坐標為(a，b)，則有a2+(b-3)2=(a-2)2+(b-1)2 ，
a2+(b-3)2=(a-2)2+(b+3)2
解得:a= -2，b=-1,
所以P點的坐標為(-2，-1).
故答案為：(-2，-1)
9．90°-2a
【解析】連接BD，CD．首先證明∠DAB=∠DBA=∠DBC=∠DCB=α，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可解決問題．
解：連接BD，CD．
由題意：DA=DB=DC，
∴∠DAB=∠DBA，∠DBC=∠DCB，∠DAC=∠DCA，
∵∠AEC=3∠BAE=3α，∠AEC=∠BAE+∠ABE，
∴∠ABE=2α，
∴∠DAB=∠DBA=∠DBC=∠DCB=α，
∴∠EAC=12（180°-4α）=90°-2α．
故答案為90°-2α．
10．見解析.
【解析】分別作∠ACP＝90°，∠PDB＝90°即可
解：作∠ACP＝90°，作∠PDB＝90°，則直線PC，PD即為所求．
11．(1)作圖見解析；（2）證明見解析
【解析】（1）利用幾何語言畫出對應的幾何圖形；
（2）通過作圖得到AM=AN，MP=NP，則根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理可判斷AP是線段MN的垂直平分線，從而得到AD⊥BC．
解：（1）補全的圖形如圖所示；
（2）∵AM=AN，MP=NP，∴AP是線段MN的垂直平分線（到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上）
∴AD⊥BC于D，即線段AD為△ABC的邊BC上的高．
故答案為：AN，NP，到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．
12．（1）見解析（2）4
【解析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的作法作圖即可；
（2）連接EC．在Rt△ABC中，由30°角所對直角邊等于斜邊的一半，得到AB=8．再由垂直平分線的性質(zhì)得到AE=4，即可證明△AEC是等邊三角形，從而得到CE的長，再證明∠EFC=∠ECF，根據(jù)等角對等邊即可得出結(jié)論．
解：（1）如圖所示，直線l是所求作的線段AB的垂直平分線．
（2）連接EC．
∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=4，
∴AC=12AB，∠A=60°，
∴AB=8．
∵EF是AB的垂直平分線，
∴AE=12AB=4，∠AEF=90°，
∴AE=AC，
∴△AEC是等邊三形，
∴∠AEC=∠ACE=60°，EC=AC=4，
∴∠FEC=∠AEF+∠AEC=150°．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACF=12∠ACB=45°，
∴∠ECF=∠ECA-∠FCA=15°，
∴∠EFC=180°-∠FEC-∠ECF=15°=∠ECF，
∴EF=EC=4．