2023-2024學年北京師大附中九年級（上）月考數(shù)學試卷（10月份）（含解析）

這是一份2023-2024學年北京師大附中九年級（上）月考數(shù)學試卷（10月份）（含解析），共22頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
2023-2024學年北京師大附中九年級（上）月考數(shù)學試卷（10月份）一、選擇題（本大題共10小題，共20.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.拋物線的頂點坐標是(    )A.  B.  C.  D. 2.用配方法解一元二次方程，配方正確的是(    )A.  B.  C.  D. 3.將拋物線先向左平移個單位，再向下平移個單位，所得拋物線的表達式為(    )A.  B.
C.  D. 4.如圖，平面直角坐標系中，，，點為線段的中點，則線段的長為(    )
 
 A.
B.
C.
D. 5.已知，是一元二次方程的兩根，則的值是(    )A.  B.  C.  D. 6.關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則滿足(    )A.  B. 且 C. 且 D. 7.已知點，，在拋物線上，則，，的大小關(guān)系是(    )A.  B.  C.  D. 8.函數(shù)中與自變量的部分對應值如下表： 則當時，的取值范圍是(    )A.  B.  C. 或 D. 或9.二次函數(shù)的圖象可能是(    )A.  B.
C.  D. 10.在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點，其中將此拋物線向上平移，與軸交于，兩點，其中，下面結(jié)論正確的是(    )A. 當時，，
B. 當時，，
C. 當時，，
D. 當時，，二、填空題（本大題共8小題，共16.0分）11.若關(guān)于的函數(shù)是二次函數(shù)，則的取值范圍是______ ．12.若是一元二次方程的一個根，則的值為______．13.請你寫出一個二次函數(shù)______ 滿足以下條件：
開口向下；
與軸交于點．14.如圖，直線與拋物線交于，兩點，其中點，點，不等式的解集為______．
 15.如圖，平行四邊形的對角線與相交于點，且，若是邊的中點，，，則的長為______ ．
 16.為響應國家號召打贏脫貧攻堅戰(zhàn)，小明利用信息技術(shù)開了一家網(wǎng)絡(luò)商店，將家鄉(xiāng)的土特產(chǎn)銷往全國．今年月份盈利元，月份盈利元，求月份到月份盈利的月平均增長率．設(shè)月份到月份盈利的月平均增長率為，根據(jù)題意，可列方程為______．17.已知拋物線，若拋物線關(guān)于軸對稱，則 ______ ，此時拋物線關(guān)于軸對稱的圖象解析式為______ ．18.已知某函數(shù)的圖象過，兩點，下面有四個推斷：
若此函數(shù)的圖象為直線，則此函數(shù)的圖象經(jīng)過；
若此函數(shù)的圖象為拋物線，且經(jīng)過，則該拋物線開口向下；
若此函數(shù)的解析式為，且經(jīng)過原點，則；
若此函數(shù)的解析式為，開口向下，且，則的范圍是．
所有合理推斷的序號是______ ．三、解答題（本大題共9小題，共64.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）19.本小題分
選擇合適的方法解方程：
；
．20.本小題分
已知二次函數(shù)．
求二次函數(shù)圖象的頂點坐標；
在平面直角坐標系中，畫出二次函數(shù)的圖象；
當時，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出的取值范圍．
21.本小題分
如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的部分圖象經(jīng)過點，．
求該拋物線的解析式；
結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出時，的取值范圍；
將該拋物線向上平移______ 個單位后，所得拋物線與軸只有一個公共點．
22.本小題分
關(guān)于的一元二次方程．
若該方程無實數(shù)根，求的取值范圍；
給取一個適當?shù)闹担乖摲匠逃袃蓚€不同的實數(shù)根，并求出方程的兩個根．23.本小題分
已知拋物線與軸交于點，頂點為，與直線交于，兩點，其中點坐標為．
求拋物線和直線解析式；
直接寫出拋物線關(guān)于對稱的拋物線的解析式；
求的面積．24.本小題分
如圖，一個圓形噴水池的中央豎直安裝了一個柱形噴水裝置，，從處向外噴出的水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下王麗芳同學根據(jù)題意在圖中建立如圖所示的坐標系，水流噴出的高度與水平距離之間的關(guān)系式是，已知水流的最高點到的水平距離是，最高點離水面是．
求二次函數(shù)表達式；
若不計其他因素，水池的半徑至少為多少米，才能使噴出的水流不至于落在池外？

 25.本小題分
已知二次函數(shù)．
求該二次函數(shù)圖象的對稱軸；
當時，函數(shù)圖象的最高點為，最低點為，點的縱坐標為，求點和點的坐標；
對于該二次函數(shù)圖象上的兩點，，當，時，均有，請結(jié)合圖象，直接寫出的取值范圍．26.本小題分

如圖，在中，，，點在邊上不與點，重合，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接．
根據(jù)題意補全圖形，并證明：；
取的中點，連接，用等式表示線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
27.本小題分
對于平面圖形，和直線這里，均為常數(shù)，若它們同時滿足以下兩個條件：
對上任意一點，均有；
對上任意一點，均有．
則稱直線是圖形，的“分界線”．
回答以下問題．
如圖所示，在平面直角坐標系中有正方形和三角形例如：直線是正方形和三角形的一條“分界線”．
在下列直線中，可以作為正方形和三角形的“分界線”的是______ 填選項的標號；
；
；
；
．
若直線是正方形和三角形的“分界線”，結(jié)合圖形，求的取值范圍．
如圖所示，在平面直角坐標系中有拋物線：和正方形，正方形的頂點的坐標為若直線是拋物線和正方形的“分界線”，直接寫出的取值范圍．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：因為是拋物線的頂點式，
根據(jù)頂點式的坐標特點可知，的頂點坐標是．
故選：．
已知拋物線解析式為頂點式，根據(jù)頂點式的特點直接寫出頂點坐標．
此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)為頂點坐標是．2.【答案】 【解析】解：，
，
，
．
故選：．
先移項得到，再把方程兩邊加上，然后把方程左邊用完全平方形式表示即可．
本題考查了解一元二次方程配方法．配方法的一般步驟：
把常數(shù)項移到等號的右邊；
把二次項的系數(shù)化為；
等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．3.【答案】 【解析】解：將拋物線先向左平移個單位，再向下平移個單位，所得拋物線的表達式為：．
故選：．
直接根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進行解答即可．
本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關(guān)鍵．4.【答案】 【解析】解：，，
，，
，
，
點為線段的中點，
．
故選：．
根據(jù)坐標求線段的長，利用勾股定理求解．
本題考查了坐標和圖形的性質(zhì)，及直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理求解是解題的關(guān)鍵．5.【答案】 【解析】解：，是一元二次方程的兩根，
；．
則．
故選：．
直接根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出、的值，再代入計算即可．
本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是掌握，是一元二次方程的兩根時，，．6.【答案】 【解析】解：由已知得：，
解得：且．
故選：．
由方程有實數(shù)根可知根的判別式，結(jié)合二次項的系數(shù)非零，可得出關(guān)于的一元一次不等式組，解不等式組即可得出結(jié)論．
本題考查了根的判別式，解題的關(guān)鍵是得出關(guān)于的一元一次不等式組．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，由根的判別式結(jié)合二次項系數(shù)非零得出不等式組是關(guān)鍵．7.【答案】 【解析】解：在二次函數(shù)，對稱軸，
在圖象上的三點，，點離對稱軸的距離最遠，離對稱軸的距離最近，
，
故選：．
對二次函數(shù)，對稱軸，在對稱軸兩側(cè)時，則三點的橫坐標離對稱軸越近，則縱坐標越大，由此判斷、、的大?。?/span>
本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，由點的橫坐標到對稱軸的距離判斷點的縱坐標的大?。?/span>8.【答案】 【解析】解：拋物線經(jīng)過點，，
拋物線的對稱軸為直線，
當或時，，
拋物線的頂點坐標為，
拋物線開口向上，
當或時，．
故選：．
利用拋物線的對稱性得到拋物線的對稱軸為直線，則當或時，，再利用拋物線的頂點坐標為可判斷拋物線開口向上，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷當或時，．
本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：拋物線，，拋物線開口向上，時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，取得最小值；當時，拋物線的開口向下，時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，取得最大值．9.【答案】 【解析】【分析】
此題考查了二次函數(shù)的圖象，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)題意，點在二次函數(shù)的圖象上，可知符合題意的選項．
【解答】
解：當時，，
點在二次函數(shù)的圖象上，
故選：．10.【答案】 【解析】解：當時，如圖所示：

拋物線的對稱軸為直線，
，且；
當時，如圖所示：

拋物線的對稱軸為直線，
，且．
故選：．
分和兩種情況，根據(jù)平移的性質(zhì)畫出函數(shù)圖象，由函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)圖象解答即可．
本題考查拋物線與軸的交點，平移的性質(zhì)以及函數(shù)的圖象，解題關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想進行解答．11.【答案】 【解析】解：函數(shù)是關(guān)于的二次函數(shù)，
，
解得．
故答案為：．
根據(jù)二次函數(shù)的定義列不等式求解即可．
本題主要考查二次函數(shù)的定義，熟練掌握形如、、是常數(shù)，的函數(shù)，叫做二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵．12.【答案】 【解析】解：是一元二次方程的一個根，
，
解得，，
故答案為：．
根據(jù)是一元二次方程的一個根，可以求得的值，本題得以解決．
本題考查一元二次方程的解，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出的值．13.【答案】答案不唯一 【解析】解：設(shè)拋物線解析式為，
拋物線開口向下，
可取，
與軸交于點，
，
滿足條件的函數(shù)解析式可以是答案不唯一．
故答案為：答案不唯一．
由拋物線開口方向可確定二次項系數(shù)，由與軸交于點，可得，則可求得答案．
本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的開口方向與的符號與關(guān)、與軸的交點與有關(guān)是解題的關(guān)鍵．14.【答案】 【解析】解：由圖象可得，在點，之間的拋物線在直線下方，
時，，
故答案為：．
根據(jù)圖象及點，坐標求解．
本題考查二次函數(shù)與不等式，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系，結(jié)合圖象求解．15.【答案】 【解析】解：，
，
，，
，
四邊形是平行四邊形，
點為的中點，
又點為邊的中點，
為的中位線，
，
故答案為：．
先利用勾股定理求出，再證明為的中位線，則．
本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理，證明為的中位線是解題的關(guān)鍵．16.【答案】 【解析】解：依題意得，
故答案為：．
利用今年月份的盈利今年月份的盈利月份到月份盈利的月平均增長率，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．
本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．17.【答案】   【解析】解：拋物線關(guān)于軸對稱，
對稱軸為軸，
，
；
此時拋物線關(guān)于軸對稱的圖象解析式為，即，
故答案為：，．
拋物線關(guān)于軸對稱，則對稱軸為軸，，解得，根據(jù)關(guān)于軸對稱的點的特點是橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)寫出拋物線關(guān)于軸對稱的圖象解析式．
本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與幾何變換，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18.【答案】 【解析】解：設(shè)過，兩點的直線為，
，解得：，
直線為：，
當時，，
函數(shù)經(jīng)過，故符合題意；
此函數(shù)的圖象為拋物線，且經(jīng)過，，，
則，解得，
拋物線為：，
拋物線的開口向上，故不符合題意；
當函數(shù)的解析式為，且經(jīng)過，，，
同理設(shè)拋物線，
則，解得：，
拋物線為：，
對稱軸為直線，
而，故不符合題意，
二次函數(shù)過，，
則，解得：，
所以拋物線為：，
開口向下，且，而，
，而，
即，
，即，故符合題意；
故答案為：．
對于都利用待定系數(shù)法先求解函數(shù)的解析式，再利用一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷，對于先利用函數(shù)過，可得函數(shù)解析式為，再結(jié)合題意建立不等式組模型即可解決問題．
本題考查的是利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，理解題意建立方程或不等式組模型解題是關(guān)鍵．19.【答案】解：，
，
，；
，
，
，． 【解析】利用因式分解法解方程．
此題主要看了一元二次方程的解法，解題的關(guān)鍵是結(jié)合方程的特點選擇適合的方法．20.【答案】解：

，
二次函數(shù)圖象的頂點坐標為；
解：列表如下： 描點、連線，如圖所示：

由函數(shù)圖象可知，當時，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出的取值范圍． 【解析】根據(jù)配方法將二次函數(shù)一般式化為頂點式即可得出答案；
根據(jù)描點法：列表、描點、連線即可得到二次函數(shù)圖象；
根據(jù)二次函數(shù)圖象即可得到答案．
本題考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，涉及將二次函數(shù)一般式化為頂點式、作二次函數(shù)圖象及已知自變量范圍，利用二次函數(shù)圖象求函數(shù)值等，熟練掌握二次函數(shù)圖象與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．21.【答案】 【解析】解：將，代入得：
，
解得，
．
令，
解得或，
拋物線經(jīng)過，，
拋物線開口向上，
時，；
要使拋物線與軸只有一個公共點，即要求頂點在軸上，
由得該拋物線的表達式為，
該拋物線的頂點為，
要使頂點在軸上，
則頂點縱坐標應為，
將該拋物線向上平移個單位后，所得拋物線與軸只有一個公共點．
故答案為：．
通過待定系數(shù)法求解．
求出拋物線與軸交點坐標，通過拋物線開口向上求解；
求得拋物線的頂點，再判斷頂點經(jīng)過怎樣的平移能到軸上．
本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線與軸的交點，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)圖象與幾何變換以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，解決本題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求解析式和函數(shù)的圖象特征以及平移規(guī)律．22.【答案】解：方程沒有實數(shù)根，
，
解得；
當方程有兩個不同的實數(shù)根時，
，
解得，
當時，
原方程為，
解得：，． 【解析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范圍；
由判別式，得出的取值范圍，取一個的值，將其代入原方程中再解方程即可．
本題考查了根的判別式以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：牢記“當時，方程沒有實數(shù)根”；由的取值范圍及為負整數(shù)確定的值．23.【答案】解：拋物線過、兩點
代入拋物線解析式可得：，
解得：，
拋物線解析式為；
直線過點，
，
，
直線為，
，
拋物線的頂點，
頂點關(guān)于直線的對應點的坐標為，
拋物線關(guān)于對稱的拋物線的解析式為，
由，解得或，
，
拋物線的頂點，
把代入，得，
的面積． 【解析】利用待定系數(shù)法求解即可；
先確定點關(guān)于直線的對應點的坐標，然后根據(jù)頂點式寫出對稱后的拋物線解析式；
利用待定系數(shù)法求得直線解析式，解析式聯(lián)立成方程組求得點的坐標，然后利用三角形面積公式求得即可．
本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的圖象與幾何變換，三角形的面積，熟知軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24.【答案】解：水流的最高點到的水平距離是，最高點離水面是，，
拋物線的頂點坐標為，
故設(shè)拋物線的解析式為，
，
解得，
拋物線的解析式為，
拋物線的解析式為．
令得到，
解得舍去，
故水池的半徑至少為米． 【解析】根據(jù)拋物線的頂點式求解即可．
令得到求得拋物線與軸正半軸的交點坐標，其橫坐標就是所求．
本題考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的實際應用，熟練掌握待定系數(shù)法和二次函數(shù)實際意義是解題的關(guān)鍵．25.【答案】解：該二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線；
該二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線，，
當時，的值最大，即
把代入，解得．
該二次函數(shù)的表達式為．
當時，，

，開口向上，對稱軸，
當，時，均有，
，即；或，，
綜合分析的取值范圍或． 【解析】利用對稱軸公式計算即可；
構(gòu)建方程求出的值即可解決問題；
當，時，均滿足，推出當拋物線開口向下，點在點左邊或重合時，滿足條件，可得，由此即可解決問題；
本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的最值問題等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．26.【答案】證明：圖形如圖所示；
，
，，
；
解：結(jié)論：．
理由：連接．
，，
，
，
，
，，
，
，，，四點共圓，
，
，
，
，
，
∽，
，
 【解析】根據(jù)要求作出圖形，利用等角的余角相等證明即可；
證明，可得結(jié)論．
本題考查作圖旋轉(zhuǎn)變換，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．27.【答案】 【解析】解：從函數(shù)圖象看，和明顯不符合題意，
對于直線：和直線：，如下圖：

從圖上可以看出：直線和直線符合題意，
故答案為：；
如圖，直線、為符合題意時臨界點的情況，

直線：過點，
將點坐標代入得：，
解得：，
直線：該直線過點，
將點的坐標代入得：，
解得：，
故的取值范圍為：或；
如圖，當拋物線在直線的下方時，符合題意，
當直線和拋物線只有有個交點時，為臨界點，
聯(lián)立和并整理得：，
則，
解得：，
此外，還要考慮正方形左下角的點是否被分離的情況，
則需要是直線與軸的交點橫坐標，
解得：，
綜上：．
通過畫圖，用數(shù)形結(jié)合的分析即可求解；
通過畫圖，確定直線、為符合題意時臨界點的情況，即可求解；
如圖，當拋物線在直線的下方時，符合題意，即可求解．
本題為二次函數(shù)綜合題，涉及到一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)、新定義、點坐標的確定等，理解性定義，運用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．