甘肅省武威市西城區(qū)2021-2022學年九年級上學期期中數(shù)學【試卷+答案】

這是一份甘肅省武威市西城區(qū)2021-2022學年九年級上學期期中數(shù)學【試卷+答案】，共21頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?2021-2022學年甘肅省武威市西城區(qū)九年級第一學期期中
數(shù)學試卷
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1．下列四個圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．將一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0配方后所得的方程是（　?。?br /> A．（x﹣2）2＝2 B．（x﹣1）2＝2 C．（x﹣1）2＝3 D．（x﹣2）2＝3
3．拋物線y＝3x2向右平移1個單位，再向下平移2個單位，所得到的拋物線是（　?。?br /> A．y＝3（x﹣1）2﹣2 B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2+2
4．二次函數(shù)y＝x2﹣2x+2的頂點坐標是（　?。?br /> A．（1，1） B．（2，2） C．（1，2） D．（1，3）
5．如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉一定角度，得到△ADE．若∠CAE＝65°，∠E＝70°，且AD⊥BC，∠BAC的度數(shù)為（　?。?br />
A．60° B．75° C．85° D．90°
6．若某等腰三角形的底邊長和腰長是方程x2﹣6x+8＝0的兩實數(shù)根，則這個三角形的周長為（　?。?br /> A．8 B．10 C．8或10 D．不能確定
7．某商品原價200元，連續(xù)兩次降價a%后售價為148元，下列所列方程正確的是（　?。?br /> A．200（1+a%）2＝148 B．200（1﹣a%）2＝148
C．200（1﹣2a%）＝148 D．200（1﹣a2%）＝148
8．在同一平面直角坐標系中，函數(shù)y＝mx+m和函數(shù)y＝﹣mx2+2x+2（m是常數(shù)，且m≠0）的圖象可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．如圖，△ABC在平面直角坐標系的第二象限，頂點A的坐標是（﹣2，3），△ABC與△A1B1C1關于原點對稱，則頂點A1的坐標是（　?。?br />
A．（﹣3，2） B．（2，﹣3） C．（1，﹣2） D．（3，﹣1）
10．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，對稱軸是直線x＝1．下列結論：①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m為實數(shù)）．其中結論正確的個數(shù)為（　?。?br />
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二、填空題（每小題3分，共24分）
11．方程x2＝x的根是 　 ?。?br /> 12．若點A（a﹣1，3）和B（2，b﹣3）關于原點對稱，則a+b＝　 　．
13．若點A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在拋物線y＝﹣x2﹣3x+m上，則y1，y2，y3的大小關系是 　 ?。?br /> 14．已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一個根，則代數(shù)式m2﹣m的值是　 　．
15．若拋物線y＝ax2+bx+c的頂點是A（2，1），且經(jīng)過點B（1，0），則拋物線的解析式為 　 　．
16．若關于x的一元二次方程x2﹣6x+n＝0的一個解為x1＝1，則另一個解x2＝　 ?。?br /> 17．如圖，在等邊三角形ABC中，AB＝6，D是BC上一點，且BC＝3BD，△ABD繞點A旋轉后得到△ACE，則CE的長度為　 　．

18．如圖，是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c圖象的一部分，其對稱軸為直線x＝1，若其與x軸一交點為A（3，0），則由圖象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是　 ?。?br />
三、解答題（共66分）
19．解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣12＝0．
（2）4（x﹣2）2＝36．
（3）x2+2x﹣7＝0．
21．已知，二次函數(shù)y＝ax2﹣5x+c的圖象如圖．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式和它的圖象的頂點坐標；
（2）觀察圖象，回答：何時y隨x的增大而增大；何時y隨x的增大而減?。?br />
22．已知關于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2．
（1）求k的取值范圍；
（2）是否存在實數(shù)k，使方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由．
23．有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有64人患了流感．
（1）求每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？
（2）如果不及時控制，第三輪將又有多少人被傳染？
24．如圖，△ABC三個頂點的坐標分別為A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）請畫出△ABC關于原點對稱的△A1B1C1，并寫出A1，B1，C1的坐標；
（2）請畫出△ABC繞點B逆時針旋轉90°后的△A2BC2．

25．某商品的進價為每件40元．當售價為每件60元時，每星期可賣出300件，現(xiàn)需降價處理，且經(jīng)市場調(diào)查：每降價1元，每星期可多賣出20件．在確保盈利的前提下，解答下列問題：
（1）若設每件降價x元、每星期售出商品的利潤為y元，請寫出y與x的函數(shù)關系式，并求出自變量x的取值范圍；
（2）當降價多少元時，每星期的利潤最大？最大利潤是多少？
26．如圖所示，拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過點A（4，0），B（2，2），連接OB，AB．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）求證：△OAB是等腰直角三角形；
（3）將△OAB繞點O按順時針方向旋轉135°得到△OA′B'，寫出A′B′的中點P的坐標，試判斷點P是否在此拋物線上，并說明理由．



參考答案
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1．下列四個圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；
B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤；
C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；
D、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項正確．
故選：D．
2．將一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0配方后所得的方程是（　?。?br /> A．（x﹣2）2＝2 B．（x﹣1）2＝2 C．（x﹣1）2＝3 D．（x﹣2）2＝3
【分析】配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準確使用，把左邊配成完全平方式，右邊化為常數(shù)．
解：∵x2﹣2x﹣2＝0，
∴x2﹣2x＝2，
∴x2﹣2x+1＝2+1，
∴（x﹣1）2＝3．
故選：C．
3．拋物線y＝3x2向右平移1個單位，再向下平移2個單位，所得到的拋物線是（　　）
A．y＝3（x﹣1）2﹣2 B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2+2
【分析】根據(jù)圖象向下平移減，向右平移減，可得答案．
解：拋物線y＝3x2向右平移1個單位，再向下平移2個單位，所得到的拋物線是y＝3（x﹣1）2﹣2，
故選：A．
4．二次函數(shù)y＝x2﹣2x+2的頂點坐標是（　?。?br /> A．（1，1） B．（2，2） C．（1，2） D．（1，3）
【分析】根據(jù)頂點坐標公式，可得答案．
解：y＝x2﹣2x+2的頂點橫坐標是﹣＝1，縱坐標是＝1，
y＝x2﹣2x+2的頂點坐標是（1，1）．
故選：A．
5．如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉一定角度，得到△ADE．若∠CAE＝65°，∠E＝70°，且AD⊥BC，∠BAC的度數(shù)為（　?。?br />
A．60° B．75° C．85° D．90°
【分析】根據(jù)旋轉的性質(zhì)知，旋轉角∠EAC＝∠BAD＝65°，對應角∠C＝∠E＝70°，則在直角△ABF中易求∠B＝25°，所以利用△ABC的內(nèi)角和是180°來求∠BAC的度數(shù)即可．
解：根據(jù)旋轉的性質(zhì)知，∠EAC＝∠BAD＝65°，∠C＝∠E＝70°．
如圖，設AD⊥BC于點F．則∠AFB＝90°，
∴在Rt△ABF中，∠B＝90°﹣∠BAD＝25°，
∴在△ABC中，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣25°﹣70°＝85°，即∠BAC的度數(shù)為85°．
故選：C．

6．若某等腰三角形的底邊長和腰長是方程x2﹣6x+8＝0的兩實數(shù)根，則這個三角形的周長為（　?。?br /> A．8 B．10 C．8或10 D．不能確定
【分析】先利用因式分解法解方程求出x的值，再根據(jù)等腰三角形概念和三角形三邊關系確定三角形三邊長度，從而得出答案．
解：∵x2﹣6x+8＝0，
∴（x﹣2）（x﹣4）＝0，
則x﹣2＝0或x﹣4＝0，
解得x1＝2，x2＝4，
若腰長為2，此時三角形三邊長度分別為2、2、4，由2+2＝4知不能構成三角形；
若腰長為4，此時三角形三邊長度分別為4、4、2，符合三角形三邊長度關系，
所以周長為4+4+2＝10，
故選：B．
7．某商品原價200元，連續(xù)兩次降價a%后售價為148元，下列所列方程正確的是（　　）
A．200（1+a%）2＝148 B．200（1﹣a%）2＝148
C．200（1﹣2a%）＝148 D．200（1﹣a2%）＝148
【分析】主要考查增長率問題，本題可用降價后的價格＝降價前的價格×（1﹣降價率），首先用x表示兩次降價后的售價，然后由題意可列出方程．
解：依題意得兩次降價后的售價為200（1﹣a%）2，
∴200（1﹣a%）2＝148．
故選：B．
8．在同一平面直角坐標系中，函數(shù)y＝mx+m和函數(shù)y＝﹣mx2+2x+2（m是常數(shù)，且m≠0）的圖象可能是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】本題主要考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象所經(jīng)過的象限的問題，關鍵是m的正負的確定，對于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c，當a＞0時，開口向上；當a＜0時，開口向下．對稱軸為x＝﹣，與y軸的交點坐標為（0，c）．
解：A、由函數(shù)y＝mx+m的圖象可知m＜0，即函數(shù)y＝﹣mx2+2x+2開口方向朝上，與圖象不符，故A選項錯誤；
B、由函數(shù)y＝mx+m的圖象可知m＜0，對稱軸為x＝﹣＝﹣＝＜0，則對稱軸應在y軸左側，與圖象不符，故B選項錯誤；
C、由函數(shù)y＝mx+m的圖象可知m＞0，即函數(shù)y＝﹣mx2+2x+2開口方向朝下，與圖象不符，故C選項錯誤；
D、由函數(shù)y＝mx+m的圖象可知m＜0，即函數(shù)y＝﹣mx2+2x+2開口方向朝上，對稱軸為x＝﹣＝﹣＝＜0，則對稱軸應在y軸左側，與圖象相符，故D選項正確；
故選：D．
9．如圖，△ABC在平面直角坐標系的第二象限，頂點A的坐標是（﹣2，3），△ABC與△A1B1C1關于原點對稱，則頂點A1的坐標是（　?。?br />
A．（﹣3，2） B．（2，﹣3） C．（1，﹣2） D．（3，﹣1）
【分析】根據(jù)題意知，點A與點A1關于原點對稱，關于原點對稱的兩個點的橫縱坐標均互為相反數(shù)．
解：根據(jù)題意知，點A（﹣2，3）與點A1關關于原點對稱，則點A1的坐標是（2，﹣3）．
故選：B．
10．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，對稱軸是直線x＝1．下列結論：①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m為實數(shù)）．其中結論正確的個數(shù)為（　?。?br />
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【分析】①由拋物線開口方向得到a＞0，對稱軸在y軸右側，得到a與b異號，又拋物線與y軸負半軸相交，得到c＜0，可得出abc＞0，選項①錯誤；
②把b＝﹣2a代入a﹣b+c＞0中得3a+c＞0，所以②正確；
③由x＝1時對應的函數(shù)值y＜0，可得出a+b+c＜0，得到a+c＜﹣b，x＝﹣1時，y＞0，可得出a﹣b+c＞0，得到|a+c|＜|b|
，即可得到（a+c）2﹣b2＜0，選項③正確；
④由對稱軸為直線x＝1，即x＝1時，y有最小值，可得結論，即可得到④正確．
解：①∵拋物線開口向上，∴a＞0，
∵拋物線的對稱軸在y軸右側，∴b＜0
∵拋物線與y軸交于負半軸，
∴c＜0，
∴abc＞0，①錯誤；
②當x＝﹣1時，y＞0，∴a﹣b+c＞0，
∵，∴b＝﹣2a，
把b＝﹣2a代入a﹣b+c＞0中得3a+c＞0，所以②正確；
③當x＝1時，y＜0，∴a+b+c＜0，
∴a+c＜﹣b，
當x＝﹣1時，y＞0，∴a﹣b+c＞0，
∴a+c＞b，
∴|a+c|＜|b|
∴（a+c）2＜b2，即（a+c）2﹣b2＜0，所以③正確；
④∵拋物線的對稱軸為直線x＝1，
∴x＝1時，函數(shù)的最小值為a+b+c，
∴a+b+c≤am2+mb+c，
即a+b≤m（am+b），所以④正確．
故選：C．
二、填空題（每小題3分，共24分）
11．方程x2＝x的根是 　x1＝0，x2＝1?。?br /> 【分析】先把方程化為一般式，再把方程左邊因式分解得x（x﹣1）＝0，方程就可轉化為兩個一元一次方程x＝0或x﹣1＝0，然后解一元一次方程即可．
解：x2﹣x＝0，
x（x﹣1）＝0，
∴x＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝0，x2＝1．
故答案為x1＝0，x2＝1．
12．若點A（a﹣1，3）和B（2，b﹣3）關于原點對稱，則a+b＝　﹣1?。?br /> 【分析】直接利用關于原點對稱點的性質(zhì)（兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反）得出a，b的值，進而得出答案．
解：∵點A（a﹣1，3）和B（2，b﹣3）關于原點對稱，
∴a﹣1+2＝0，b﹣3+3＝0，
解得：a＝﹣1，b＝0，
則a+b＝﹣1+0＝﹣1．
故答案為：﹣1．
13．若點A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在拋物線y＝﹣x2﹣3x+m上，則y1，y2，y3的大小關系是 　y3＜y1＜y2?。?br /> 【分析】先求得拋物線開口方向和對稱軸，然后根據(jù)二次函數(shù)的對稱性和增減性即可得到結論．
解：∵二次函數(shù)y＝﹣x2﹣3x+m，
∴該二次函數(shù)的拋物線開口向下，且對稱軸為：x＝﹣＝﹣．
∵點A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在拋物線y＝﹣x2﹣3x+m上，
∴點（1，y1）與點A（﹣4，y1）關于對稱軸對稱，
∵﹣1＜1＜2，
∴y3＜y1＜y2，
故答案為：y3＜y1＜y2．
14．已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一個根，則代數(shù)式m2﹣m的值是　2?。?br /> 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．
解：把m代入方程x2﹣x﹣2＝0，得到m2﹣m﹣2＝0，所以m2﹣m＝2．
故本題答案為2．
15．若拋物線y＝ax2+bx+c的頂點是A（2，1），且經(jīng)過點B（1，0），則拋物線的解析式為 　y＝﹣x2+4x﹣3　．
【分析】設拋物線的解析式為y＝a（x﹣2）2+1，將點B（1，0）代入解析式即可求出a的值，從而得到二次函數(shù)解析式．
解：設拋物線的解析式為y＝a（x﹣2）2+1，
將B（1，0）代入y＝a（x﹣2）2+1得，
a＝﹣1，
函數(shù)解析式為y＝﹣（x﹣2）2+1，
展開得y＝﹣x2+4x﹣3．
故答案為y＝﹣x2+4x﹣3．
16．若關于x的一元二次方程x2﹣6x+n＝0的一個解為x1＝1，則另一個解x2＝　5?。?br /> 【分析】由方程的一個根為x1＝1，結合兩根之和等于﹣，即可求出另一個解x2＝5．
解：a＝1，b＝﹣6．
∵關于x的一元二次方程x2﹣6x+n＝0的一個解為x1＝1，
∴另一個解x2＝﹣﹣x1＝﹣﹣1＝5．
故答案為：5．
17．如圖，在等邊三角形ABC中，AB＝6，D是BC上一點，且BC＝3BD，△ABD繞點A旋轉后得到△ACE，則CE的長度為　2?。?br />
【分析】由在等邊三角形ABC中，AB＝6，D是BC上一點，且BC＝3BD，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，即可求得BD的長，然后由旋轉的性質(zhì)，即可求得CE的長度．
解：∵在等邊三角形ABC中，AB＝6，
∴BC＝AB＝6，
∵BC＝3BD，
∴BD＝BC＝2，
∵△ABD繞點A旋轉后得到△ACE，
∴△ABD≌△ACE，
∴CE＝BD＝2．
故答案為：2．
18．如圖，是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c圖象的一部分，其對稱軸為直線x＝1，若其與x軸一交點為A（3，0），則由圖象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是　﹣1＜x＜3　．

【分析】利用二次函數(shù)的對稱性，可得出圖象與x軸的另一個交點坐標，結合圖象可得出ax2+bx+c＜0的解集．
解：由圖象得：對稱軸是直線x＝1，其中一個點的坐標為（3，0）
∴圖象與x軸的另一個交點坐標為（﹣1，0）
利用圖象可知：
ax2+bx+c＜0的解集即是y＜0的解集，
∴﹣1＜x＜3
故填：﹣1＜x＜3
三、解答題（共66分）
19．解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣12＝0．
（2）4（x﹣2）2＝36．
（3）x2+2x﹣7＝0．
【分析】（1）利用十字相乘法將方程的左邊因式分解后求解可得；
（2）利用直接開平方法求解即可；
（3）將常數(shù)項移到方程的右邊，兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方配成完全平方式后，再開方即可得．
解：（1）∵x2﹣4x﹣12＝0，
∴（x﹣6）（x+2）＝0，
則x﹣6＝0或x+2＝0，
解得x1＝6，x2＝﹣2；
（2）∵4（x﹣2）2＝36，
∴（x﹣2）2＝9，
則x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
解得x1＝5，x2＝﹣1；
（3）∵x2+2x﹣7＝0，
∴x2+2x＝7，
∴x2+2x+1＝7+1，即（x+1）2＝8，
∴x+1＝±2，
∴x1＝﹣1+2，x2＝﹣1﹣2．
21．已知，二次函數(shù)y＝ax2﹣5x+c的圖象如圖．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式和它的圖象的頂點坐標；
（2）觀察圖象，回答：何時y隨x的增大而增大；何時y隨x的增大而減?。?br />
【分析】（1）由圖知，該二次函數(shù)經(jīng)過（1，0）、（4，0），可將這兩點坐標代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)的值；然后將所得函數(shù)解析式化為頂點式，從而求出其頂點坐標；
（2）根據(jù)（1）得出的拋物線的對稱軸及開口方向，分段討論拋物線的增減性．
解：（1）根據(jù)二次函數(shù)y＝ax2﹣5x+c的圖象可得

解得a＝1，c＝4；
所以這個二次函數(shù)的解析式是y＝x2﹣5x+4；
y＝x2﹣5x+4
＝﹣
＝，
它的圖象的頂點坐標（）；

（2）當x＞，y隨x的增大而增大；
當x＜，y隨x的增大而減小．
注：①頂點坐標如用公式得出同樣給分；
②對第（2）小題，如回答，函數(shù)y＝x2﹣5x+4的圖象在對稱軸右側部分，y隨x的增大而增大；在對稱軸的左側部分，y隨x的增大而減??；也視為正確，同樣給分．
22．已知關于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2．
（1）求k的取值范圍；
（2）是否存在實數(shù)k，使方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由．
【分析】（1）因為方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2．得出其判別式Δ＞0，可解得k的取值范圍；
（2）假設存在兩根的值互為相反數(shù)，根據(jù)根與系數(shù)的關系，列出對應的不等式即可解的k的值．
解：（1）方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2，
可得k﹣1≠0，
∴k≠1且Δ＝﹣12k+13＞0，
可解得且k≠1；

（2）假設存在兩根的值互為相反數(shù)，設為 x1，x2，
∵x1+x2＝0，
∴，
∴，
又∵且k≠1
∴k不存在．
23．有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有64人患了流感．
（1）求每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？
（2）如果不及時控制，第三輪將又有多少人被傳染？
【分析】（1）設每輪傳染中平均每人傳染了x人，根據(jù)經(jīng)過兩輪傳染后共有64人患了流感，可求出x，
（2）進而求出第三輪過后，又被感染的人數(shù)．
解：（1）設每輪傳染中平均每人傳染了x人，
1+x+x（x+1）＝64
x＝7或x＝﹣9（舍去）．
答：每輪傳染中平均一個人傳染了7個人；

（2）64×7＝448（人）．
答：第三輪將又有448人被傳染．
24．如圖，△ABC三個頂點的坐標分別為A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）請畫出△ABC關于原點對稱的△A1B1C1，并寫出A1，B1，C1的坐標；
（2）請畫出△ABC繞點B逆時針旋轉90°后的△A2BC2．

【分析】（1）直接利用關于原點對稱點的性質(zhì)得出對應點位置進而得出答案；
（2）直接利用旋轉的性質(zhì)得出對應點位置，進而得出答案．
解：（1）如圖所示：△A1B1C1，即為所求，A1（﹣2，﹣4）、B1（﹣1，﹣1）、C1（﹣4，﹣3）；


（2）如圖所示：△A2B2C2，即為所求
25．某商品的進價為每件40元．當售價為每件60元時，每星期可賣出300件，現(xiàn)需降價處理，且經(jīng)市場調(diào)查：每降價1元，每星期可多賣出20件．在確保盈利的前提下，解答下列問題：
（1）若設每件降價x元、每星期售出商品的利潤為y元，請寫出y與x的函數(shù)關系式，并求出自變量x的取值范圍；
（2）當降價多少元時，每星期的利潤最大？最大利潤是多少？
【分析】（1）根據(jù)題意，賣出了（60﹣x）（300+20x）元，原進價共40（300+20x）元，則y＝（60﹣x）（300+20x）﹣40（300+20x）．
（2）根據(jù)x＝﹣時，y有最大值即可求得最大利潤．
解：（1）y＝（60﹣x）（300+20x）﹣40（300+20x），
即y＝﹣20x2+100x+6000．
因為降價要確保盈利，所以40＜60﹣x≤60（或40＜60﹣x＜60也可）．
解得0≤x＜20（或0＜x＜20）；

（2）當時，
y有最大值，
即當降價2.5元時，利潤最大且為6125元．
26．如圖所示，拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過點A（4，0），B（2，2），連接OB，AB．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）求證：△OAB是等腰直角三角形；
（3）將△OAB繞點O按順時針方向旋轉135°得到△OA′B'，寫出A′B′的中點P的坐標，試判斷點P是否在此拋物線上，并說明理由．

【分析】（1）利用待定系數(shù)法，將點A、B代入拋物線方程求解；
（2）作BC⊥x軸于點C，根據(jù)點A、B的坐標得到OC＝BC＝AC，∠BOC＝∠CBO＝∠CBA＝∠CAB＝45°，從而證明△OAB是等腰直角三角形；
（3）將△OAB繞點O按順時針方向旋轉135°得到圖像，求出A′、B′的坐標，計算中點坐標，代入拋物線驗證．
解：（1）將點A（4，0），B（2，2）代入拋物線y＝ax2+bx得，
，
解得，
∴拋物線y＝﹣x2+2x；
（2）作BC⊥x軸于點C，如圖，

∵點B（2，2），A（4，0），
∴C點（2，0），
∴OC＝BC＝AC＝2，
∴∠BOC＝∠CBO＝∠CBA＝∠CAB＝45°，
∴△OAB是等腰直角三角形；
（3）點P不在此拋物線上，
理由：將△OAB繞點O按順時針方向旋轉135°，如圖，

在Rt△BCA中，BC＝AC＝2，
AB＝＝2，
∴OB＝AB＝2，
∴A'點坐標（﹣2，﹣2），B'點坐標（0，﹣2），
A′B′的中點P的坐標（﹣，﹣2），
當x＝﹣時，y＝﹣（﹣2+2×＝﹣1﹣2≠﹣2，
∴點P不在此拋物線上．