2023年甘肅省武威市中考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

這是一份2023年甘肅省武威市中考數(shù)學(xué)試卷（含解析），共24頁(yè)。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
2023年甘肅省武威市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  的算術(shù)平方根是(    )A.  B.  C.  D. 2.  若，則(    )A.  B.  C.  D. 3.  計(jì)算：(    )A.  B.  C.  D. 4.  若直線是常數(shù)，經(jīng)過第一、第三象限，則的值可為(    )A.  B.  C.  D. 5.  如圖，是等邊的邊上的高，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧交的延長(zhǎng)于點(diǎn)，則(    )A.
B.
C.
D. 6.  方程的解為(    )A.  B.  C.  D. 7.  如圖，將矩形紙片對(duì)折，使邊與，與分別重合，展開后得到四邊形若，，則四邊形的面積為(    )
 A.  B.  C.  D. 8.  據(jù)統(tǒng)計(jì)，數(shù)學(xué)家群體是一個(gè)長(zhǎng)壽群體，某研究小組隨機(jī)抽取了收錄約位數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)家傳略辭典中部分歲及以上的長(zhǎng)壽數(shù)學(xué)家的年齡為樣本，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理與分析，統(tǒng)計(jì)圖表部分?jǐn)?shù)據(jù)如下，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(    )年齡范圍歲人數(shù)人 
A. 該小組共統(tǒng)計(jì)了名數(shù)學(xué)家的年齡
B. 統(tǒng)計(jì)表中的值為
C. 長(zhǎng)壽數(shù)學(xué)家年齡在歲的人數(shù)最多
D. 數(shù)學(xué)家傳略辭典中收錄的數(shù)學(xué)家年齡在歲的人數(shù)估計(jì)有人9.  如圖，漢代初期的淮南萬(wàn)畢術(shù)是中國(guó)古代有關(guān)物理、化學(xué)的重要文獻(xiàn)，書中記載了我國(guó)古代學(xué)者在科學(xué)領(lǐng)域做過的一些探索及成就其中所記載的“取大鏡高懸，置水盆于其下，則見四鄰矣”，是古人利用光的反射定律改變光路的方法，即“反射光線與入射光線、法線在同一平面上；反射光線和入射光線位于法線的兩側(cè)；反射角等于入射角”為了探清一口深井的底部情況，運(yùn)用此原理，如圖在井口放置一面平面鏡可改變光路，當(dāng)太陽(yáng)光線與地面所成夾角時(shí)，要使太陽(yáng)光線經(jīng)反射后剛好垂直于地面射入深井底部，則需要調(diào)整平面鏡與地面的夾角(    )

 A.  B.  C.  D. 10.  如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，為邊的中點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)停止設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程為，線段的長(zhǎng)為，與的函數(shù)圖象如圖所示，則點(diǎn)的坐標(biāo)為(    )
A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）11.  因式分解：______．12.  關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則 ______ 寫出一個(gè)滿足條件的值．13.  近年來，我國(guó)科技工作者踐行“科技強(qiáng)國(guó)”使命，不斷取得世界級(jí)的科技成果如由我國(guó)制的中國(guó)首臺(tái)作業(yè)型全海深自主遙控潛水器“海斗一號(hào)”，最大下潛深度米，填補(bǔ)了中國(guó)水下萬(wàn)米作業(yè)型無(wú)人潛水器的空白；由我國(guó)自主研發(fā)的極目一號(hào)Ⅲ型浮空艇“大白鯨”，升空高度至海拔米，創(chuàng)造了浮空艇原位大氣科學(xué)觀測(cè)海拔最高的世界記錄如果把海平面以上米記作“米”，那么海平面以下米記作“______ ．14.  如圖，內(nèi)接于，是的直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，則 ______
 15.  如圖，菱形中，，，，垂足分別為，，若，則 ______ ．
16.  如圖，我國(guó)是世界上最早制造使用水車的國(guó)家年蘭州人段續(xù)的第一架水車創(chuàng)制成功后，黃河兩岸人民紛紛仿制，車水灌田，水渠縱橫，沃土繁豐而今，蘭州水車博覽園是百里黃河風(fēng)情線上的標(biāo)志性景觀，是蘭州“水車之都”的象征如圖是水車舀水灌溉示意圖，水車輪的輻條圓的半徑長(zhǎng)約為米，輻條盡頭裝有刮板，刮板間安裝有等距斜掛的長(zhǎng)方體形狀的水斗，當(dāng)水流沖動(dòng)水車輪刮板時(shí)，驅(qū)使水車徐徐轉(zhuǎn)動(dòng)，水斗依次舀滿河水在點(diǎn)處離開水面，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)上升至輪子上方處，斗口開始翻轉(zhuǎn)向下，將水傾入木槽，由木槽導(dǎo)入水渠，進(jìn)而灌溉，那么水斗從處舀水轉(zhuǎn)動(dòng)到處倒水所經(jīng)過的路程是______ 米結(jié)果保留

 三、解答題（本大題共11小題，共72.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.  本小題分
計(jì)算：．18.  本小題分
解不等式組：．19.  本小題分
化簡(jiǎn)：．20.  本小題分
年，丹麥數(shù)學(xué)家莫爾在他的著作歐幾里得作圖中指出：只用圓規(guī)可以完成一切尺規(guī)作圖年，意大利數(shù)學(xué)家馬斯凱羅尼又獨(dú)立發(fā)現(xiàn)此結(jié)論，并寫在他的著作圓規(guī)的幾何學(xué)中請(qǐng)你利用數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，完成下面的作圖題：
如圖，已知，是上一點(diǎn)，只用圓規(guī)將的圓周四等分按如下步驟完成，保留作圖痕跡
以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑，自點(diǎn)起，在上逆時(shí)針方向順次截取；
分別以點(diǎn)，點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于上方點(diǎn)；
以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧交于，兩點(diǎn)即點(diǎn)，，，將的圓周四等分．
21.  本小題分
為傳承紅色文化，激發(fā)革命精神，增強(qiáng)愛國(guó)主義情感，某校組織七年級(jí)學(xué)生開展“講好紅色故事，傳承紅色基因”為主題的研學(xué)之旅，策劃了三條紅色線路讓學(xué)生選擇：南梁精神紅色記憶之旅華池縣；長(zhǎng)征會(huì)師勝利之旅會(huì)寧縣；西路軍紅色征程之旅高臺(tái)縣，且每人只能選擇一條線路小亮和小剛兩人用抽卡片的方式確定一條自己要去的線路他們準(zhǔn)備了張不透明的卡片，正面分別寫上字母，，，卡片除正面字母不同外其余均相同，將張卡片正面向下洗勻，小亮先從中隨機(jī)抽取一張卡片，記下字母后正面向下放回，洗勻后小剛再?gòu)闹须S機(jī)抽取一張卡片．
求小亮從中隨機(jī)抽到卡片的概率；
請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法，求兩人都抽到卡片的概率．22.  本小題分
如圖，某人的一器官后面處長(zhǎng)了一個(gè)新生物，現(xiàn)需檢測(cè)其到皮膚的距離圖為避免傷害器官，可利用一種新型檢測(cè)技術(shù)，檢測(cè)射線可避開器官?gòu)膫?cè)面測(cè)量某醫(yī)療小組制定方案，通過醫(yī)療儀器的測(cè)量獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，并利用數(shù)據(jù)計(jì)算出新生物到皮膚的距離方案如下：課題檢測(cè)新生物到皮膚的距離工具醫(yī)療儀器等示意圖說明如圖，新生物在處，先在皮膚上選擇最大限度地避開器官的處照射新生物，檢測(cè)射線與皮膚的夾角為；再在皮膚上選擇距離處的處照射新生物，檢測(cè)射線與皮膚的夾角為．測(cè)量數(shù)據(jù)，，請(qǐng)你根據(jù)上表中的測(cè)量數(shù)據(jù)，計(jì)算新生物處到皮膚的距離結(jié)果精確到
參考數(shù)據(jù)：，，，，，23.  本小題分
某校八年級(jí)共有名學(xué)生，為了解八年級(jí)學(xué)生地理學(xué)科的學(xué)習(xí)情況，從中隨機(jī)抽取名學(xué)生的八年級(jí)上、下兩個(gè)學(xué)期期末地理成績(jī)進(jìn)行整理和分析兩次測(cè)試試卷滿分均為分，難度系數(shù)相同；成績(jī)用表示，分成個(gè)等級(jí)：；；；；；下面給出了部分信息：
八年級(jí)學(xué)生上、下兩個(gè)學(xué)期期末地理成績(jī)的統(tǒng)計(jì)圖如圖：

八年級(jí)學(xué)生上學(xué)期期末地理成績(jī)?cè)?/span>這一組的成績(jī)是：，，，，，，，，，；
八年級(jí)學(xué)生上、下兩個(gè)學(xué)期期末地理成績(jī)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)如下： 學(xué)期平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)八年級(jí)上學(xué)期八年級(jí)下學(xué)期根據(jù)以上信息，回答下列問題：
填空： ______ ；
若為優(yōu)秀，則這名學(xué)生八年級(jí)下學(xué)期期末地理成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的約有______ 人；
你認(rèn)為該校八年級(jí)學(xué)生的期末地理成績(jī)下學(xué)期比上學(xué)期有沒有提高？請(qǐng)說明理由．24.  本小題分
如圖，一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)．
求點(diǎn)的坐標(biāo)；
用的代數(shù)式表示；
當(dāng)的面積為時(shí)，求一次函數(shù)的表達(dá)式．
25.  本小題分
如圖，內(nèi)接于，是的直徑，是上的一點(diǎn)，平分，，垂足為，與相交于點(diǎn)．
求證：是的切線；
當(dāng)的半徑為，時(shí)，求的長(zhǎng)．
26.  本小題分
【模型建立】
如圖，和都是等邊三角形，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在邊上．
求證：；
用等式寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
【模型應(yīng)用】
如圖，是直角三角形，，，垂足為，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在邊上用等式寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
【模型遷移】
在的條件下，若，，求的值．

 27.  本小題分
如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段方向勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)停止．
求拋物線的表達(dá)式；
當(dāng)時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D中過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，連接，，判斷四邊形的形狀，并說明理由；
如圖，點(diǎn)從點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以與點(diǎn)相同的速度沿軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)連接，，求的最小值．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：的算術(shù)平方根是，
故選：．
根據(jù)算術(shù)平方根的定義即可求出答案．
本題考查算術(shù)平方根，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用算術(shù)平方根的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．
 2.【答案】 【解析】解：，
．
故選：．
直接利用比例的性質(zhì)，內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積即可得出答案．
此題主要考查了比例的性質(zhì)，正確將原式變形是解題關(guān)鍵．
 3.【答案】 【解析】解：原式
．
故選：．
直接利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，再合并同類項(xiàng)得出答案．
．
 4.【答案】 【解析】解：直線是常數(shù)，經(jīng)過第一、第三象限，
．
故選：．
正比例函數(shù)是常數(shù)，的圖象經(jīng)過第一、三象限，則．
本題考查的是一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，先根據(jù)題意得出的取值范圍是解答此題的關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】解：在等邊中，，
是邊上的高，
平分，
，
，
，
故選：．
根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)等邊三角形三線合一可得，再根據(jù)作圖可知，進(jìn)一步可得的度數(shù)．
本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 6.【答案】 【解析】解：去分母得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)是分式方程的解，
故原方程的解是．
故選：．
分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．
本題考查了解分式方程，掌握轉(zhuǎn)化思想，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解是關(guān)鍵．
 7.【答案】 【解析】解：如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，

四邊形為矩形，
，，，
根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，，，，
，，
，，，，，
四邊形為菱形，
．
故選：．
由折疊可知，，，，由同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行得，，由平行線的性質(zhì)可得，，，，，再根據(jù)對(duì)角線互相垂直平分的四邊形為菱形可知四邊形為菱形，最后利用菱形的面積公式計(jì)算即可求解．
本題主要考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、菱形的判定、菱形的面積公式，熟知折疊的性質(zhì)和菱形的判定方法是解題關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：、該小組共統(tǒng)計(jì)的人數(shù)為：人，故不符合題意；
B、統(tǒng)計(jì)表中的值為人，故不符合題意；
C、長(zhǎng)壽數(shù)學(xué)家年齡在歲的人數(shù)為，長(zhǎng)壽數(shù)學(xué)家年齡在歲的人數(shù)為人，所以長(zhǎng)壽數(shù)學(xué)家年齡在歲的人數(shù)最多，故不符合題意；
D、數(shù)學(xué)家傳略辭典中收錄的數(shù)學(xué)家年齡在歲的人數(shù)估計(jì)有人，故符合題意．
故選：．
根據(jù)統(tǒng)計(jì)表和扇形統(tǒng)計(jì)圖給出的數(shù)據(jù)分別對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行分析，即可得出答案．
此題考查了統(tǒng)計(jì)表和用樣本估計(jì)總體，讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．從扇形圖上可以清楚地看出各部分?jǐn)?shù)量和總數(shù)量之間的關(guān)系．
 9.【答案】 【解析】解：如圖，

，
，
，
，
，
，
．
故選：．
根據(jù)，得，所以，再根據(jù)，得，即可得．
本題主要考查了垂線和角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂線的性質(zhì)等知識(shí)．
 10.【答案】 【解析】解：由題意可知，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，的值先減小后增大，
當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，的值逐漸減小，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為的長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)為的長(zhǎng)度，
，，
，
，
故選：．
根據(jù)圖確定點(diǎn)的橫坐標(biāo)為的長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)為的長(zhǎng)度，然后求值即可．
本題考查動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，關(guān)鍵是根據(jù)圖確定點(diǎn)的坐標(biāo)與正方形的邊之間的關(guān)系．
 11.【答案】 【解析】【分析】
此題主要考查了提取公因式法、公式法分解因式，正確運(yùn)用乘法公式是解題關(guān)鍵．
直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式．
【解答】
解：

．
故答案為：．  12.【答案】答案不唯一 【解析】解：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
，
解得：．
故答案為：答案不唯一．
根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出，解之即可得出的取值范圍，任取其內(nèi)的一個(gè)數(shù)即可．
本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．
 13.【答案】米 【解析】解：海平面以上米記作“米”，
海平面以下米記作“米”，
故答案為：米．
根據(jù)正數(shù)與負(fù)數(shù)的實(shí)際意義即可得出答案．
本題考查正數(shù)與負(fù)數(shù)的實(shí)際意義，正數(shù)和負(fù)數(shù)是一對(duì)具有相反意義的量，此為基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．
 14.【答案】 【解析】解：是的直徑，
，
，
，
故答案為：．
根據(jù)圓周角定理和三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．
本題考查了三角形的外接圓與外心：熟練掌握三角形的外心的定義與性質(zhì)．也考查了圓周角定理．
 15.【答案】． 【解析】解：連接交于，
則，
四邊形是菱形，
，，，
，
是等邊三角形，，
，
，
，
，，
，
≌，
，
，
，
故答案為：．
連接交于，則，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，，求得，根據(jù)勾股定理得到，求得，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．
本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
 16.【答案】 【解析】解：米．
故答案為：．
根據(jù)弧長(zhǎng)公式直接代入數(shù)值求解．
本題主要考查了學(xué)生對(duì)弧長(zhǎng)公式的掌握情況，難度不大，認(rèn)真計(jì)算即可．
 17.【答案】解：原式

． 【解析】直接利用二次根式的乘除運(yùn)算法則計(jì)算，進(jìn)而得出答案．
此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
 18.【答案】解：由得：，
由得：，
則不等式組的解集為． 【解析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
 19.【答案】解：原式

． 【解析】根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則，先算乘除再算加減，進(jìn)而得出答案．
此題主要考查了分式的混合運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
 20.【答案】解：如圖：點(diǎn)、、即為所求．
 【解析】根據(jù)題中的步驟作圖．
本題考查了作圖的應(yīng)用與設(shè)計(jì)，掌握?qǐng)A心角、弧及弦的關(guān)系是解題的關(guān)鍵、．
 21.【答案】解：小亮從中隨機(jī)抽到卡片的概率為；
畫樹狀圖如下：

共有種等可能的結(jié)果，其中小亮和小剛兩人都抽到卡片的結(jié)果有種，
兩人都抽到卡片的概率是． 【解析】直接由概率公式求解即可；
畫樹狀圖，共有種等可能的結(jié)果，其中小亮和小剛兩人都抽到卡片的結(jié)果有種，再由概率公式求解即可．
此題考查了用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
 22.【答案】解：過點(diǎn)作，垂足為，

設(shè)，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
解得：，
，
新生物處到皮膚的距離約為． 【解析】過點(diǎn)作，垂足為，設(shè)，則，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，從而列出關(guān)于的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
 23.【答案】   【解析】解：把八年級(jí)上學(xué)期名學(xué)生的地理成績(jī)從小到大排列，排在中間的兩個(gè)數(shù)分別為，，故中位數(shù)．
故答案為：；
人，
即這名學(xué)生八年級(jí)下學(xué)期期末地理成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的約有人．
故答案為：；
該校八年級(jí)學(xué)生的期末地理成績(jī)下學(xué)期比上學(xué)期有提高，理由如下：
因?yàn)樵撔０四昙?jí)學(xué)生的期末地理成績(jī)下學(xué)期的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)均比上學(xué)期大，所以該校八年級(jí)學(xué)生的期末地理成績(jī)下學(xué)期比上學(xué)期有提高．
根據(jù)中位數(shù)的定義可得的值；
用乘樣本中下學(xué)期期末地理成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的學(xué)生所占比例即可；
比較平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)可得答案．
本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖，樣本估計(jì)總體的思想，中位數(shù)，眾數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
 24.【答案】解：反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，
，
；
的面積為，
，
，
，
，
，
一次函數(shù)的表達(dá)式是． 【解析】由反比例函數(shù)的解析式即可求得的的坐標(biāo)；
把代入即可求得用的代數(shù)式表示的式子；
利用三角形面積求得的值，進(jìn)一步求得的值．
本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，熟知函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征滿足解析式是解題的關(guān)鍵．
 25.【答案】證明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
是圓的半徑，
是的切線；
解：是的直徑，
，
，
，
，
，
，
解得：，
． 【解析】根據(jù)“過半徑的外端垂直于半徑的直線是圓的切線”進(jìn)行證明；
根據(jù)三角函數(shù)的意義及勾股定理求解．
本題考查了切線的判定和性質(zhì)，掌握三角函數(shù)的意義及勾股定理是解題的關(guān)鍵．
 26.【答案】證明：和都是等邊三角形，
，，，
，
≌，
；
解：．
理由如下：
是等邊三角形，
，
點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，
，
，
；
．
理由如下：
如圖，過點(diǎn)作于，

點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，
，
又，
，
又，
是等腰直角三角形，
又是等腰直角三角形，
，，
，
∽，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即：．
解：如圖，過點(diǎn)作于，

又，
是等腰直角三角形，
又，
，，
，，
，
又，
，
在中，由勾股定理得：，
． 【解析】根據(jù)和都是等邊三角形推出判定和全等，然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；
根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和對(duì)稱的性質(zhì)即可推出線段，，的數(shù)量關(guān)系；
過點(diǎn)作于，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)推出判定∽，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和對(duì)稱性即可推出線段，，的數(shù)量關(guān)系；
過點(diǎn)作于，推出是等腰直角三角形，求出、、的長(zhǎng)后即可求出的值．
本題是幾何變換綜合題，主要考查等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，深入理解題意是解決問題的關(guān)鍵．
 27.【答案】解：拋物線過點(diǎn)，
，
，
．
答：拋物線的表達(dá)式為．
四邊形是平行四邊形，理由如下：
如圖，作交軸于點(diǎn)，連接、，

點(diǎn)在上，
，，
連接，
，
．
，
，
，
當(dāng)時(shí)，，
，
，
，
，
軸，軸，
，
四邊形是平行四邊形．
如圖，由題意得，，連接，

在上方作，使得，，
，，
，
，
，，，
≌，
，
當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)最短，
的最小值為，
，
，
即的最小值為．
答：的最小值為． 【解析】利用待定系數(shù)法將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線中，即可求解．
作輔助線，根據(jù)題意，求出的長(zhǎng)，，，利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可得證．
作出圖，證明≌，的最小值為，根據(jù)勾股定理求出即可解答．
本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．