數(shù)學7.1 實際問題中導數(shù)的意義完整版ppt課件

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1.了解導數(shù)在實際問題中的意義.2.能用導數(shù)解釋一些實際問題.
低碳生活(lw carbn living)，就是指在生活中要盡力減少所消耗的能量，特別是二氧化碳的排放量，從而減少對大氣的污染，減緩生態(tài)惡化.低碳生活節(jié)能環(huán)保，勢在必行.現(xiàn)實生活中，當汽車行駛路程一定時，我們希望汽油的使用效率最高，即每千米路程的汽油消耗最少或每升汽油能使汽車行駛的路程最長.如何使汽油的使用效率最高？
一、導數(shù)在物理學中的應用
二、導數(shù)在經濟活動中的應用
三、導數(shù)在生活中的應用
例1　物體作自由落體運動，其方程為s(t)＝ (其中位移單位：m，時間單位：s，g＝9.8 m/s2).(1)計算當t從2 s變到4 s時位移s關于時間t的平均變化率，并解釋它的意義；
解　當t從2 s變到4 s時，位移s從s(2)變到s(4)，此時，位移s關于時間t的平均變化率為
它表示物體從2 s到4 s這段時間平均每秒下落29.4 m.
(2)求s′(2)，并解釋它的意義.
解　∵s′(t)＝gt，∴s′(2)＝2g＝19.6(m/s).它表示物體在t＝2 s時的瞬時速度為19.6 m/s.
反思感悟　在物理學中：(1)瞬時速度：物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度，它是位移s關于時間t的導數(shù)；速度v關于時間t的導數(shù)是加速度.(2)功與功率：通常稱力在單位時間內做的功為功率，它是功W關于時間t的導數(shù).(3)線密度：單位長度的物質質量稱為線密度，它是質量關于長度的導數(shù).
跟蹤訓練1　某人拉一車前行，他所做的功(單位：J)是時間t(單位：s)的函數(shù)，其函數(shù)關系式為W(t)＝t3－2t＋1.(1)求t從1 s變到3 s時，功W關于時間t的平均變化率，并解釋其意義；
解　當t從1 s變到3 s時，功W從W(1)＝1－2＋1＝0(J)變到W(3)＝33－2×3＋1＝22(J)，
它表示從t＝1 s到t＝3 s這段時間內，這個人平均每秒做功11 J.
(2)求W′(1)，W′(2)，解釋它們的意義.
解　因為W′(t)＝3t2－2，所以W′(1)＝3－2＝1(J/s)，W′(2)＝3×22－2＝10(J/s)，W′(1)，W′(2)分別表示t＝1 s和t＝2 s時，這個人每秒做的功為1 J和10 J.
例2　某機械廠生產某種機器配件的最大生產能力為每日100件，假設日產品的總成本C(元)與日產量x(件)的函數(shù)關系為C(x)＝ ＋60x＋2 050.求當日產量由10件提高到20件時，總成本的平均改變量，并說明其實際意義.
解　當x從10件提高到20件時，總成本C從C(10)＝2 675元變到C(20)＝3 350元.
其表示日產量從10件提高到20件時平均每件產品的總成本的改變量.
延伸探究　若本例的條件不變，求當日產量為75件時的邊際成本，并說明其實際意義.
它指的是當日產量為75件時，每多生產一件產品，需增加成本97.5元.
反思感悟　在生活和生產及科研中經常遇到的成本問題、用料問題、效率問題和利潤等問題，在討論其改變量時常用導數(shù)解決.
跟蹤訓練2　東方機械廠生產一種木材旋切機械，已知生產總利潤c元與生產量x臺之間的關系式為c(x)＝－2x2＋7 000x＋600.(1)求產量為1 000臺的總利潤與平均利潤；
解　產量為1 000臺時的總利潤為c(1 000)＝－2×1 0002＋7 000×1 000＋600＝5 000 600(元)，
解　當產量由1 000臺提高到1 500臺時，總利潤的平均改變量為
(2)求產量由1 000臺提高到1 500臺時，總利潤的平均改變量；
解　∵c′(x)＝(－2x2＋7 000x＋600)′＝－4x＋7 000，∴c′(1 000)＝－4×1 000＋7 000＝3 000(元/臺).c′(1 500)＝－4×1 500＋7 000＝1 000(元/臺).c′(1 000)＝3 000表示當產量為1 000臺時，每多生產一臺機械可多獲利3 000元.c′(1 500)＝1 000表示當產量為1 500臺時，每多生產一臺機械可多獲利1 000元.
(3)求c′(1 000)與c′(1 500)，并說明它們的實際意義.
例3　某年高考，某考生在參加數(shù)學科考試時，其解答完的題目數(shù)量y(單位：道)與所用時間x(單位：分鐘)近似地滿足函數(shù)關系y＝f(x)＝(1)求x從0分鐘變化到36分鐘時，y關于x的平均變化率，并解釋它的實際意義；
解　x從0分鐘變化到36分鐘時，
(2)求f′(64)，f′(100)，并解釋它們的實際意義.
反思感悟　解決實際問題的一般步驟(1)審題：閱讀理解文字表達的題意，分清條件和結論，找出問題的主要關系.(2)建模：將文字語言轉化成數(shù)學語言，利用數(shù)學知識，建立相應的數(shù)學模型.(3)解模：把數(shù)學問題化歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學方法求解.(4)對結果進行驗證評估，定性、定量分析，作出正確的判斷，確定其答案.
跟蹤訓練3　一名工人上班后開始連續(xù)工作，生產的產品數(shù)量y(單位：g)是工作時間x(單位：h)的函數(shù)，設這個函數(shù)表示為y＝f(x)＝(1)求x從1 h變到4 h時，y關于時間x的平均變化率，并解釋它的實際意義；
(2)求f′(1)，f′(4)，并解釋它的實際意義.
1.知識清單：(1)導數(shù)在物理學中的應用.(2)導數(shù)在經濟活動中的應用.(3)導數(shù)在生活中的應用.2.方法歸納：數(shù)學建模.3.常見誤區(qū)：忽略實際問題的定義域.
1.某人拉動一個物體前進，他所做的功W是時間t的函數(shù)W＝W(t)，則W′(t0)表示A.t＝t0時做的功B.t＝t0時的速度C.t＝t0時的位移D.t＝t0時的功率
2.在一次降雨過程中，降雨量y是時間t的函數(shù)，用y＝f(t)表示，則f′(10)表示A.t＝10時的降雨強度 B.t＝10時的降雨量C.t＝10時的時間 D.t＝10時的溫度
解析　f′(t)表示t時刻的降雨強度.故選A.
3.如果物體做直線運動的方程為s(t)＝2(1－t)2，則其在t＝4時的瞬時速度為A.12 B.－12 C.4 D.－4
解析　s′(t)＝－4(1－t)，∴s′(4)＝－4(1－4)＝12.
4.某汽車的路程函數(shù)是s＝2t3－ (g＝10 m/s2)，則當t＝2 s時，汽車的加速度是_____m/s2.
解析　∵v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，a(t)＝v′(t)＝12t－g，∴a(2)＝12×2－10＝14(m/s2).
1.煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對原油進行冷卻和加熱，如果第x小時，原油溫度(單位：℃)為f(x)＝ －x2＋8(0≤x≤5)，那么原油溫度的瞬時變化率的最小值是A.8 B. C.－1 D.－8
解析　原油溫度的瞬時變化率為f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以當x＝1時，原油溫度的瞬時變化率取得最小值－1.
2.(多選)下列四個命題是假命題的是A.曲線y＝x3在原點處沒有切線B.若函數(shù)f(x)＝ ，則f′(0)＝0C.加速度是動點位移函數(shù)s(t)對時間t的導數(shù)D.函數(shù)y＝x5的導函數(shù)的值恒非負
解析　A中，y′＝3x2，x＝0時，y′＝0，∴y＝x3在原點處的切線為y＝0；B中，f(x)在x＝0處導數(shù)不存在；C中，s(t)對時間t的導數(shù)為瞬時速度；D中，y′＝5x4≥0，∴命題A，B，C為假命題，D為真命題.
3.某公司的盈利y(元)和時間x(天)的函數(shù)關系是y＝f(x)，假設f′(x)>0恒成立，且f′(10)＝10，f′(20)＝1，則這些數(shù)據(jù)說明第20天與第10天比較A.公司已經虧損B.公司的盈利在增加，但增加的幅度變小C.公司在虧損且虧損幅度變小D.公司的盈利在增加，且增加的幅度變大
解析　因為導數(shù)的含義是變化率，f′(10)>f′(20)>0，所以公司的盈利在增加，且增加的幅度變小.
4.細桿AB的長為20 cm，M為細桿AB上的一點，AM段的質量與A到M的距離的平方成正比，當AM＝2 cm時，AM的質量為8 g，那么當AM＝x cm時，M處的細桿線密度ρ(x)為A.2x B.3x C.4x D.5x
解析　設m(x)＝kx2，當AM＝2時，m(2)＝k·22＝8，∴k＝2.∴m(x)＝2x2.∴ρ(x)＝m′(x)＝4x.
5.某汽車的緊急剎車在遇到特別情況時需在2 s內完成剎車，其位移s(單位：m)關于時間t(單位：s)的函數(shù)為s(t)＝ －4t2＋20t＋15，則s′(1)的實際意義為A.汽車剎車后1 s內的位移B.汽車剎車后1 s內的平均速度C.汽車剎車后1 s時的瞬時速度D.汽車剎車后1 s時的位移
解析　由導數(shù)的實際意義知，位移關于時間的瞬時變化率為該時刻的瞬時速度.
6.汽車經過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程s看作時間t的函數(shù)，其圖象可能是
7.人體血液中藥物的質量濃度c＝f(t)(單位：mg/mL)隨時間t(單位：min)變化，且f′(2)＝0.3，則f′(2)表示_______________________________________________________________.
服藥后2 min時血液中藥物的質量濃度以每分鐘0.3 mg/mL的速度增加
8.如圖，水波的半徑以50 cm/s的速度向外擴張，當半徑為250 cm時，一水波面的圓面積的膨脹率是________.
解析　∵面積S＝πr2，半徑r＝50t，∴S＝2 500πt2.令r＝50t＝250，∴t＝5，又S′＝5 000πt，∴當t＝5時的膨脹率為5 000π×5＝25 000π.
9.某企業(yè)每天的產品均能售出，售價為490元/噸，其每天成本C與每天產量q之間的函數(shù)為C(q)＝2 000＋450q＋0.02q2.(1)寫出收入函數(shù)；
解　設收入函數(shù)為R(q)，利潤函數(shù)為L(q).收入函數(shù)為R(q)＝490q.
解　利潤函數(shù)為L(q)＝R(q)－C(q)＝490q－(2 000＋450q＋0.02q2)＝－2 000＋40q－0.02q2.
(3)求利潤函數(shù)的導數(shù)，并說明其經濟意義.
解　利潤函數(shù)的導數(shù)為L′(q)＝(－2 000＋40q－0.02q2)′＝40－0.04q.利潤函數(shù)的導數(shù)稱為邊際利潤，其經濟意義為當產量達到q時，再增加單位產量后利潤的改變量.
10.某廠生產某種產品x件的總成本c(x)＝120＋ (元).(1)當x從200變到220時，總成本c關于產量x的平均變化率是多少？它代表什么實際意義？
解　當x從200變到220時，總成本c從c(200)＝540元變到c(220)＝626元.
它表示產量從x＝200件變化到x＝220件時，平均每件的成本為4.3元.
(2)求c′(200)，并解釋它代表什么實際意義？
它指的是當產量為200件時，每多生產一件產品，需增加4.1元成本.
11.如圖，設有定圓C和定點O，當l從l0開始在平面上繞O勻速旋轉(旋轉角度不超過90°)時，它掃過的圓內陰影部分的面積S是時間t的函數(shù)，則它的圖象大致是
解析　由于是勻速旋轉，所以陰影部分的面積在開始和最后時段緩慢增加，而中間時段相對增速較快.選項A表示面積的增速是常數(shù)，與實際不符；選項B表示最后時段面積的增速較快，也與實際不符；選項C表示開始時段和最后時段面積的增速比中間時段快，與實際不符；選項D表示開始和最后時段面積的增速緩慢，中間時段增速較快.符合實際.
12.設球的半徑關于時間t的函數(shù)為R(t)，若球的體積V以均勻速度C增長，則球的表面積的增長速度與球半徑A.成正比，比例系數(shù)為CB.成正比，比例系數(shù)為2CC.成反比，比例系數(shù)為CD.成反比，比例系數(shù)為2C
球的體積增長速度為V′＝4πR2(t)·R′(t)，球的表面積增長速度為S′＝2·4πR(t)·R′(t)＝∴球的表面積的增長速度與球半徑成反比，比例系數(shù)為2C.
13.一個質量為2 kg的物體做直線運動，設運動距離s(單位：m)與時間t(單位：s)的關系可用函數(shù)s(t)＝t2＋t＋1表示，并且物體的動能Ek＝ ，則物體開始運動后第5 s時的動能為______J.
解析　由s(t)＝t2＋t＋1，得v＝s′(t)＝2t＋1.則物體開始運動后第5 s時的瞬時速度v＝s′(5)＝11，
14.假設某國家在20年間的平均通貨膨脹率為5%，物價p(單位：元)與時間t(單位：年)有如下函數(shù)關系：p(t)＝p0(1＋5%)t，其中p0為t＝0時的物價，假定某種商品的p0＝1，那么在第10個年頭，這種商品的價格上漲的速度大約是______元/年(精確到0.01).
解析　∵p0＝1，∴p(t)＝(1＋5%)t＝1.05t.在第10個年頭，這種商品價格上漲的速度，即為函數(shù)的導函數(shù)在t＝10時的函數(shù)值.∵p′(t)＝(1.05t)′＝1.05t·ln 1.05，∴p′(10)＝1.0510×ln 1.05≈0.08(元/年).∴在第10個年頭，這種商品的價格約以0.08元/年的速度上漲.
15.水以20 m3/min的速度流入一圓錐形容器，設容器深30 m，上底直徑為12 m，試求當水深10 m時，水面上升的速度為__________.
解析　設容器中水的體積在t min時為V，水深為h，
16.一個電路中，流過的電荷量Q(單位：C)關于時間t(單位：s)的函數(shù)為Q(t)＝3t2－ln t.(1)求當t從1變到2時，電荷量Q關于時間t的平均變化率，并解釋它的實際意義；
解　當t從1變到2時，電荷量從Q(1)變到Q(2)，此時電荷量Q關于時間t的平均變化率為
它表示從t＝1 s到t＝2 s這段時間內，平均每秒經過該電路的電荷量為8.31 C，也就是這段時間內電路的平均電流為8.31 A.
(2)求Q′(2)，并解釋它的實際意義.
它的實際意義是在t＝2 s這一時刻經過該電路的電荷量為11.5 C，也就是這一時刻電路的電流為11.5 A.