【考點(diǎn)全掌握】人教版數(shù)學(xué)九年級上冊-第2課時(shí)-求事件的概率-同步考點(diǎn)（知識清單+例題講解+課后練習(xí)）

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?第二課時(shí)——求事件的概率（答案卷）

知識點(diǎn)一：用直接列舉法求概率 ：
在一次實(shí)驗(yàn)中，如果可能出現(xiàn)的結(jié)果只有 有限 個，且各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性大小 相同 ，則可通過列舉實(shí)驗(yàn)結(jié)果的方法分析隨機(jī)事件發(fā)生的概率。

【類型一：利用直接列舉法求事件概率】
1．同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，則兩枚硬幣全部正面向上的概率是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】列出所有等可能的結(jié)果，再根據(jù)概率公式求解即可．
【解答】解：所以可能出現(xiàn)的結(jié)果情況有：
正正，正反，反正，反反
∵共有4種等可能的結(jié)果，其中兩枚硬幣全部正面向上的結(jié)果有1種，
∴兩枚硬幣全部正面向上的概率為．
故選：D．
2．小亮、小瑩、大剛?cè)煌瑢W(xué)隨機(jī)地站成一排合影留念，小瑩恰好站在中間的概率是 　 ?。?br /> 【分析】用列舉法列舉出小瑩站位的可能性，從而求得
【解答】解：小瑩一共有三個位置可選，分別是左、中、右，
所以小瑩恰好站在中間的概率為，
故答案為：．
3．2018年5月18日，益陽新建西流灣大橋竣工通車，如圖，從沅江A地到資陽B地有兩條路線可走，從資陽B地到益陽火車站可經(jīng)會龍山大橋或西流灣大橋或龍洲大橋到達(dá)，現(xiàn)讓你隨機(jī)選擇一條從沅江A地出發(fā)經(jīng)過資陽B地到達(dá)益陽火車站的行走路線，那么恰好選到經(jīng)過西流灣大橋的路線的概率是　 ?。?br />
【分析】由題意可知一共有6種可能，經(jīng)過西流灣大橋的路線有2種可能，根據(jù)概率公式計(jì)算即可；
【解答】解：由題意可知一共有6種可能，經(jīng)過西流灣大橋的路線有2種可能，
所以恰好選到經(jīng)過西流灣大橋的路線的概率＝＝．
故答案為．

知識點(diǎn)一：用列表法和樹狀圖法求概率：
1. 用列表法求概率：
當(dāng)一次實(shí)驗(yàn)要涉及的因素有兩個（或是需要兩部操作來完成實(shí)驗(yàn)）且核能出現(xiàn)的結(jié)果較多時(shí)，常通過用 列表 的方法列舉所有可能的結(jié)果，找出事件A可能發(fā)生的所有的結(jié)果，再利用 概率公式 求概率。
例題說明：
三張圖片除畫面不同外無其他差別，將它們從中間剪斷得到三張上部圖片和三張下部圖片，把三張上部圖片放入一個布袋，把三張下部圖片放入另一個布袋，再分別從兩個布袋中各隨機(jī)摸取一張，則這兩張小圖片恰好合成一張完整圖片的概率是多少？

a
b
c
A
（A，a）
（A，b）
（A，c）
B
（B，a）
（B，b）
（B，c）
C
（C，a）
（C，b）
（C，c）
分析：將上部三張圖片分別記作A、B、C，下部三張圖片記作a、b、c，列表得出所有等可能結(jié)果，用列表法表示如下：





可知，一共出現(xiàn)9中情況，記能合成完成的圖片為事件A，有三種情況，所以概率為：
P（A）=
2. 用樹狀圖法求概率：
當(dāng)事件要通過多個步驟（三個或以上）完成時(shí)，常通過用 畫樹狀圖 的方法列舉所有
可能的結(jié)果，在找出事件A可能發(fā)生的結(jié)果，再利用 概率公式 求概率。
例題說明：
三張圖片除畫面不同外無其他差別，將它們從中間剪斷得到三張上部圖片和三張下部圖片，把三張上部圖片放入一個布袋，把三張下部圖片放入另一個布袋，再分別從兩個布袋中各隨機(jī)摸取一張，則這兩張小圖片恰好合成一張完整圖片的概率是多少？
分析：將上部三張圖片分別記作A、B、C，下部三張圖片記作a、b、c，列表得出所有等可能結(jié)果，用樹狀圖表示如下：

可知，一共出現(xiàn)9中情況，記能合成完成的圖片為事件A，有三種情況，所以概率為：
P（A）=

【類型一：用列表法或樹狀圖法求概率】
4．現(xiàn)有A、B兩個不透明的盒子，A盒里有兩張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1、2，B盒里有三張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字3、4、5，這些卡片除數(shù)字外其余都相同，將卡片充分搖勻．從A盒、B盒里各隨機(jī)抽取一張卡片，則抽到的兩張卡片上標(biāo)有的數(shù)字之和大于5的概率為（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】畫出樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，其中抽到的兩張卡片上標(biāo)有的數(shù)字之和大于5的有3種情況，再由概率公式即可求得答案．
【解答】解：畫樹狀圖如下：

共有6種等可能的結(jié)果，其中抽到的兩張卡片上標(biāo)有的數(shù)字之和大于5的有3種情況，
∴兩次抽取的卡片上數(shù)字之和大于5的概率為＝，
故選：B．
5．某班級計(jì)劃舉辦手抄報(bào)展覽，確定了“5G時(shí)代”、“北斗衛(wèi)星”、“高鐵速度”三個主題，若小明和小亮每人隨機(jī)選擇其中一個主題，則他們恰好選擇同一個主題的概率是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】畫樹狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，其中小明和小亮恰好選擇同一個主題的結(jié)果有3種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把“5G時(shí)代”、“北斗衛(wèi)星”、“高鐵速度”三個主題分別記為A、B、C，
畫樹狀圖如下：

共有9種等可能的結(jié)果，其中小明和小亮恰好選擇同一個主題的結(jié)果有3種，
∴小明和小亮恰好選擇同一個主題的概率為＝，
故選：C．
6．為了更好防控疫情，某醫(yī)院準(zhǔn)備從甲、乙、丙三位醫(yī)生和A、B兩名護(hù)士中選取一位醫(yī)生和一名護(hù)士指導(dǎo)某社區(qū)預(yù)防疫情工作．用樹狀圖（或列表法）求恰好選中醫(yī)生甲和護(hù)士A的概率．
【分析】畫樹狀圖列出所有等可能結(jié)果，看恰好選中醫(yī)生甲和護(hù)士A的情況數(shù)占所有情況數(shù)的多少即可．
【解答】解：畫樹狀圖如下：

由樹狀圖知，共有6種等可能情形，恰好選中醫(yī)生甲和護(hù)士A只有一種情形，
所以恰好選中醫(yī)生甲和護(hù)士A的概率為．
7．某社區(qū)組織A，B，C，D四個小區(qū)的居民進(jìn)行核酸檢測，有很多志愿者參與此項(xiàng)檢測工作，志愿者王明和李麗分別被隨機(jī)安排到這四個小區(qū)中的一個小區(qū)組織居民排隊(duì)等候．
（1）王明被安排到A小區(qū)進(jìn)行服務(wù)的概率是 　 ?。?br /> （2）請用列表法或畫樹狀圖法求出王明和李麗被安排到同一個小區(qū)工作的概率．
【分析】（1）根據(jù)概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．
【解答】解：（1）王明被安排到A小區(qū)進(jìn)行服務(wù)的概率是，
故答案為：；
（2）列表如下：

A
B
C
D
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（D，D）
由表知，共有16種等可能結(jié)果，其中王明和李麗被安排到同一個小區(qū)工作的有4種結(jié)果，
所以王明和李麗被安排到同一個小區(qū)工作的概率為＝．
8．2022年4月15日是第七個全民國家安全教育日，某校七、八年級舉行了一次國家安全知識競賽，經(jīng)過評比后，七年級的兩名學(xué)生（用A，B表示）和八年級的兩名學(xué)生（用C，D表示）獲得優(yōu)秀獎．
（1）從獲得優(yōu)秀獎的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名分享經(jīng)驗(yàn)，恰好抽到七年級學(xué)生的概率是 　 　．
（2）從獲得優(yōu)秀獎的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名分享經(jīng)驗(yàn)，請用列表法或畫樹狀圖法，求抽取的兩名學(xué)生恰好一名來自七年級、一名來自八年級的概率．
【分析】（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．
【解答】解：（1）從獲得優(yōu)秀獎的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名分享經(jīng)驗(yàn)，恰好抽到七年級學(xué)生的概率是＝，
故答案為：；
（2）列表如下：

A
B
C
D
A

（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）

（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）

（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）

由表知，共有12種等可能結(jié)果，其中抽取的兩名學(xué)生恰好一名來自七年級、一名來自八年級的有8種結(jié)果，
所以抽取的兩名學(xué)生恰好一名來自七年級、一名來自八年級的概率為＝．
9．某學(xué)校開設(shè)了四門校本課程供學(xué)生選擇：A．趣味數(shù)學(xué)；B．快樂閱讀；C．魔法英語；D．硬筆書法．
（1）該校學(xué)生小喬隨機(jī)選取了一門課程，則小喬選中課程D的概率是 　 ?。?br /> （2）該校規(guī)定每名學(xué)生需選兩門不同的課程，小張和小王在選課程的過程中，若第一次都選了課程C，那么他倆第二次同時(shí)選擇課程A或課程B的概率是多少？請用列表法或畫樹狀圖的方法加以說明．
【分析】（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．
【解答】解：（1）該校學(xué)生小喬隨機(jī)選取了一門課程，則小喬選中課程D的概率是，
故答案為：；
（2）解法一：因該年級每名學(xué)生選兩門不同的課程，第一次都選了課程C，列表如下

A
B
D
A
（A，A）
（B，A）
（D，A）
B
（A，B）
（B，B）
（D，B）
D
（A，D）
（B，D）
（D，D）
等可能結(jié)果共有9種，他倆第二次同時(shí)選擇課程A或課程B的有2種，
∴．
【類型二：概率中的放回與不放回問題】
10．有四張正面分別標(biāo)有數(shù)字﹣3，0，1，5的不透明卡片，它們除數(shù)字不同外其余全部相同．現(xiàn)將它們背面朝上，洗勻后從中任取一張，記下后放回，再任取一張，則兩次取出的卡片上的數(shù)字和為正數(shù)的概率為（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】用列表法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果情況，進(jìn)而求出相應(yīng)的概率即可．
【解答】解：所有可能出現(xiàn)的結(jié)果情況如下：

共有16種可能出現(xiàn)的結(jié)果情況，其中兩次取出的卡片上的數(shù)字和為正數(shù)的有10種，
所以兩次取出的卡片上的數(shù)字和為正數(shù)的概率為＝，
故選：C．
11．有6張無差別的卡片，上面分別寫著1，2，3，4，5，6，隨機(jī)抽取1張后，放回并混在一起，再隨機(jī)抽取1張，那么第二次取出的數(shù)字能夠整除第一次取出的數(shù)字的概率是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】列舉出所有情況，看第二次取出的數(shù)字能夠整除第一次取出的數(shù)字的情況數(shù)占總情況數(shù)的多少即可．
【解答】解：如圖所示：

共有36種等可能情況，第二次取出的數(shù)字能夠整除第一次取出的數(shù)字的情況數(shù)有14種，
所以第二次取出的數(shù)字能夠整除第一次取出的數(shù)字的概率是＝，
故選：B．
12．小亮和小麗進(jìn)行摸球試驗(yàn)．他們在一個不透明的空布袋內(nèi)，放入兩個紅球，一個白球和一個黃球，共四個小球．這些小球除顏色外其它都相同．試驗(yàn)規(guī)則：先將布袋內(nèi)的小球搖勻，再從中隨機(jī)摸出一個小球，記下顏色后放回，稱為摸球一次．
（1）小亮隨機(jī)摸球10次，其中7次摸出的是紅球，求這10次中摸出紅球的頻率；
（2）若小麗隨機(jī)摸球兩次，請利用畫樹狀圖或列表的方法，求這兩次摸出的球中一個是紅球、一個是黃球的概率．
【分析】（1）根據(jù)頻率等于頻數(shù)除以總數(shù)即可求解；
（2）根據(jù)畫樹狀圖法求概率即可求解．
【解答】解：（1）小亮隨機(jī)摸球10次，其中7次摸出的是紅球，∴這10次中摸出紅球的頻率7÷10＝0.7；
（2）畫樹狀圖得：

共有16種等可能的結(jié)果，其中抽到的球是一紅一黃的結(jié)果有4種，
∴．
13．一個不透明的口袋中有四個完全相同的小球．把它們分別標(biāo)記為1，2，3，4．
（1）隨機(jī)摸取一個小球的標(biāo)號是偶數(shù)，該事件的概率為 　 ??；
（2）小雨和小佳玩摸球游戲，兩人各摸一個球，誰摸到的數(shù)字大誰獲勝．小雨先從口袋中摸出一個小球，不放回，小佳再從口袋中摸出一個小球．用畫樹狀圖（或列表）的方法，分別求出小雨和小佳獲勝的概率．
【分析】（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；
（2）畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，找出小雨和小佳獲勝的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．
【解答】解：（1）隨機(jī)摸取一個小球的標(biāo)號是偶數(shù)，該事件的概率為＝，
故答案為：．
（2）畫樹狀圖為：

共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中小雨獲勝的結(jié)果有6種，小佳獲勝的結(jié)果也有6種，
∴小雨獲勝的概率為＝，小佳獲勝的概率為＝．


14．文具店有三種品牌的筆記本，價(jià)格分別是4，5，7（單位：元），從中隨機(jī)拿出一個本，已知P（一次拿到5元本）＝．
（1）求這6個本價(jià)格的眾數(shù)；
（2）若琪琪已拿走一個5元本，嘉嘉準(zhǔn)備從剩余5個本中隨機(jī)拿一個本．
①所剩的5個本價(jià)格的中位數(shù)與原來6個本價(jià)格的中位數(shù)是否相同？并簡要說明理由；
②嘉嘉先隨機(jī)拿出一個本后不放回，之后又隨機(jī)從剩余的本中拿一個本，用列表法求嘉嘉兩次都拿到5元本的概率．
【分析】（1）根據(jù)6個筆記本，價(jià)格是4，5，7（單位：元）三種，從中隨機(jī)拿出一個本，P（一次拿到5元本）＝．可求出單價(jià)為5元的筆記本的本數(shù)，進(jìn)而得出眾數(shù)；
（2）①求出原來6本價(jià)格、后來5本價(jià)格的中位數(shù)，進(jìn)行判斷即可；
②用列表法列舉出所有等可能出現(xiàn)的情況，從中找出符合條件的情況數(shù)，進(jìn)而求出概率．
【解答】解：（1）6×＝4（本），因此單價(jià)為5元有4本，
這6本的價(jià)格為4元、5元、5元、5元、5元、7元，
因此這6個本價(jià)格的眾數(shù)是5元．
（2）①相同；
原來6本價(jià)格為：4元、5元、5元、5元、5元、7元，價(jià)格的中位數(shù)是＝5（元），
后來5本價(jià)格為：4元、5元、5元、5元、7元價(jià)格的中位數(shù)是5元，
因此相同；
②畫樹狀圖如下：

共有20種等可能的情況，其中兩次都是5的有6種，
∴P（兩次都為5）＝＝．


【類型三：利用概率判斷游戲的公平性】
15．圓圓和芳芳玩拋硬幣游戲，連續(xù)拋兩次，圓圓說：“如果兩次都是正面，那么你贏；如果兩次是一正一反，那么我贏，”該游戲 　 　（填“公平”或“不公平”）．
【分析】游戲是否公平，關(guān)鍵要看游戲雙方獲勝的機(jī)會是否相等，即判斷雙方取勝的概率是否相等，或轉(zhuǎn)化為在總情況明確的情況下，判斷雙方取勝所包含的情況數(shù)目是否相等．
【解答】解：所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下表所示：

正
反
正
（正，正）
（正，反）
反
（反，正）
（反，反）
因?yàn)閽亙擅队矌?，所有機(jī)會均等的結(jié)果為：正正，正反，反正，反反，
所以出現(xiàn)兩個正面的概率為，一正一反的概率為＝，
因?yàn)槎吒怕什坏?，所以游戲不公平?br /> 故答案為：不公平．
16．在聯(lián)歡會上，有A、B、C三名選手站在一個三角形的三個頂點(diǎn)的位置上，他們在玩搶凳子游戲，要求在他們中間放一個木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平，則凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢檬窃凇鰽BC的（　　）
A．三邊中線的交點(diǎn) B．三邊垂直平分線的交點(diǎn)
C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三邊上高的交點(diǎn)
【分析】為使游戲公平，要使凳子到三個人的距離相等，于是利用線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等可知，要放在三邊中垂線的交點(diǎn)上．
【解答】解：∵三角形的三條垂直平分線的交點(diǎn)到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等，
∴凳子應(yīng)放在△ABC的三條垂直平分線的交點(diǎn)最適當(dāng)．
故選：B．
17．如圖，一個均勻的轉(zhuǎn)盤被平均分成8等份，分別標(biāo)有“我”“驕”“傲”“我”“是”“中”“國”“人”這8個漢字，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，指針指向的漢字即為轉(zhuǎn)出的漢字．
（1）轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，指針指向“我”的概率是 　 　，指針指向漢字的筆畫數(shù)是偶數(shù)的概率是 　 　；
（2）小明和小華利用該轉(zhuǎn)盤做游戲，當(dāng)轉(zhuǎn)出的漢字筆畫不小于8畫時(shí)小明獲勝，否則小華獲勝．請你判斷這個游戲是否公平？并說明理由．

【分析】（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；
（2）分別計(jì)算出小明、小華獲勝的概率，判斷大小關(guān)系即可得出答案．
【解答】解：（1）轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，指針指向“我”的概率是，指針指向漢字的筆畫數(shù)是偶數(shù)的概率是＝，
故答案為：，；
（2）游戲公平，理由如下：
8個漢字中筆畫不小于8畫的有：驕、傲、是、國，
8個漢字中筆畫小于8畫的有：我、我、中、人，
所以小明獲勝的概率為＝，
小華獲勝的概率為＝，
∴小明獲勝的概率＝小華獲勝的概率，
所以游戲公平．
18．一個小球在如圖所示的方格地板上自由地滾動，并隨機(jī)停留在某塊地板上，每塊地板大小、質(zhì)地完全相同．
（1）該小球停留在黑色區(qū)域的概率是多少？
（2）甲，乙兩人比賽，小球落到白色區(qū)域甲贏，落在黑色區(qū)域乙贏，你認(rèn)為這個游戲公平嗎？

【分析】（1）根據(jù)黑色區(qū)域的面積所占比例求出概率即可；
（2）根據(jù)小球落到白色區(qū)域和落在黑色區(qū)域的概率是否相同來判斷游戲的公平性即可．
【解答】解：（1）由題意知，黑色區(qū)域占總面積的＝，
故小球停留在黑色區(qū)域的概率是；
（2）由（1）知，小球停留在黑色區(qū)域的概率是，則小球停留在白色區(qū)域的概率是，
＞，
∴這個游戲不公平．
19．小亮和小芳都想?yún)⒓訉W(xué)校杜團(tuán)組織的暑假實(shí)踐活動，但只有一個名額，小亮提議用如下的辦法決定誰去參加活動；將一個轉(zhuǎn)盤9等分，分別標(biāo)上1至9九個號碼，隨意轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，若轉(zhuǎn)到2的倍數(shù)，小亮去參加活動；轉(zhuǎn)到3的倍數(shù)，小芳去參加活動；轉(zhuǎn)到其它號碼則重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤．
（1）轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)到2的倍數(shù)的概率是多少？
（2）你認(rèn)為這個游戲公平嗎？請說明理由．

【分析】（1）直接根據(jù)概率公式計(jì)算可得；
（2）利用概率公式計(jì)算出兩人獲勝的概率即可判斷．
【解答】解：（1）∵共有1，2，3，4，5，6，7，8，9這9種等可能的結(jié)果，其中2的倍數(shù)有3個，
∴P（轉(zhuǎn)到2的倍數(shù)）＝＝；

（2）游戲不公平，
共有8種等可能的結(jié)果，其中3的倍數(shù)有3、9共2種可能，2的倍數(shù)有2，4，8共3種可能，由于轉(zhuǎn)到6時(shí)需要重新轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤，故6舍去，
∴小亮去參加活動的概率為，
小芳去參加活動的概率為：＝，
∵≠，
∴游戲不公平．
20．麗麗和小明兩位同學(xué)一起玩飛鏢游戲，飛鏢的靶子設(shè)計(jì)如圖所示，已知從里到外的三個圓的半徑分別為1，2，4，圓形靶子被分為A，B，C三個區(qū)域．如果飛鏢投出后沒有落在靶子上，或是停留在圓周上，那么可以重新投鏢．
（1）分別求出飛鏢落在三個區(qū)域的概率；
（2）麗麗和小明約定，如果飛鏢停落在A，B區(qū)域，則麗麗得三分，如果飛鏢落在C區(qū)域，則小明得一分，你認(rèn)為這個游戲公平嗎？說明理由．如果不公平，請你修改得分規(guī)則，使這個游戲公平．

【分析】（1）根據(jù)圓的面積個數(shù)求出A、B、C的面積，再根據(jù)概率個數(shù)進(jìn)行求解即可；
（2）先求出麗麗和小明的得分，再進(jìn)行比較，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵三個圓的半徑分別為1，2，4，
∴SA＝π?12＝π，SB＝π?22﹣π?12＝3π，SC＝π?42﹣π?22＝12π，
∴飛鏢落在A個區(qū)域的概率是＝；
飛鏢落在B個區(qū)域的概率是＝；
飛鏢落在C個區(qū)域的概率是＝；

（2）∵P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝，
∴P（麗麗得分）＝×3+×3＝，P（小明得分）＝×1＝，
∵P（麗麗得分）＝P（小明得分），
∴這個游戲公平．

知識點(diǎn)一：利用頻率估算概率：
1. 頻率與概率的關(guān)系：
對于一般的隨機(jī)事件，在做大量的重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，一個事件出現(xiàn)
的頻率在一個固定數(shù)值附近擺動，顯示出一定的 穩(wěn)定性 ，因此可以通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，用一個隨機(jī)事件發(fā)生的 頻率 去估算它的概率。
頻率是一個具體值，但概率是一個估算值。
2. 用頻率估算概率：
一般地，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率趨近某一個常數(shù)，那么事件A
發(fā)生的概率為：P（A）＝ 。
試驗(yàn)次數(shù)越多，頻率月接近概率。估算的概率月精確。

【類型一：用頻率估算概率】
21．大數(shù)據(jù)分析技術(shù)為打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)發(fā)揮了重要作用．如圖是小明同學(xué)的健康碼（綠碼）示意圖，用黑白打印機(jī)打印于邊長為3cm的正方形區(qū)域內(nèi)，為了估計(jì)圖中黑色部分的總面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)擲點(diǎn)，經(jīng)過大量反復(fù)實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右，據(jù)此可以估計(jì)黑色部分的總面積約為（　?。?br />
A．0.6cm2 B．1.8cm2 C．5.4cm2 D．3.6cm2
【分析】先根據(jù)經(jīng)過大量重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右，可估計(jì)點(diǎn)落入黑色部分的概率為0.6，再乘以正方形的面積即可得出答案．
【解答】解：∵經(jīng)過大量重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右，
∴估計(jì)點(diǎn)落入黑色部分的概率為0.6，
∴估計(jì)黑色部分的總面積約為3×3×0.6＝5.4（cm2），
故選：C．
22．在一個不透明的口袋中，放置3個黃球，1個紅球和n個藍(lán)球，這些小球除顏色外其余均相同，課外興趣小組每次摸出一個球記錄下顏色后再放回，并且統(tǒng)計(jì)了藍(lán)球出現(xiàn)的頻率（如圖所示），則n的值最可能是（　?。?br />
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】利用頻率估計(jì)概率，由概率列方程求解即可．
【解答】解：由頻率分布圖可知，當(dāng)實(shí)驗(yàn)的次數(shù)逐漸增大時(shí)，摸到藍(lán)球的頻率越穩(wěn)定在0.6附近，
因此摸到藍(lán)球的概率為0.6，
所以有＝0.6，
解得n＝6，
經(jīng)檢驗(yàn)，n＝6是原方程的解，
因此藍(lán)球有6個，
故選：C．
23．某射擊運(yùn)動員在同一條件下的射擊，結(jié)果如下表：
射擊總次數(shù)n
10
20
50
100
200
500
1000
擊中靶心的次數(shù)m
9
16
41
88
168
429
861
擊中靶心的頻率
0.90
0.8
0.82
0.88
0.84
0.858
0.861
根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計(jì)這名運(yùn)動員射擊一次時(shí)擊中靶心的概率約是（　?。?br /> A．0.90 B．0.82 C．0.84 D．0.861
【分析】利用頻率估計(jì)概率求解即可．
【解答】解：根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計(jì)這名運(yùn)動員射擊一次時(shí)擊中靶心的概率約是0.861，
故選：D．
24．在大力發(fā)展現(xiàn)代化農(nóng)業(yè)的形勢下，現(xiàn)有一種新玉米種子，為了了解它的出芽情況，在推廣前做了五次出芽試驗(yàn)，每次隨機(jī)抽取一定數(shù)量的種子，在相同的培育環(huán)境中分別試驗(yàn)，結(jié)果記錄如表：
培育的種子數(shù)量/a
100
300
500
1000
3000
5000
出芽的種子數(shù)量/b
99
288
470
960
2850
4750
出芽率
0.99
0.96
m
n
0.95
0.95
（1）填空：表中m＝ 　，n＝　 ?。?br /> （2）任取一粒這種新玉米種子，估計(jì)它能發(fā)芽的概率．（結(jié)果保留兩位小數(shù)）
【分析】（1）用發(fā)芽的種子數(shù)量除以實(shí)驗(yàn)種子的數(shù)量即可求得m、n的值；
（2）用頻率估計(jì)概率即可．
【解答】解：（1）m＝470÷500＝0.94；n＝960÷1000＝0.96；
故答案為：0.94，0.96．
（2）任取一粒這種新玉米種子，估計(jì)它能發(fā)芽的概率為0.95．
25．某班在義賣活動中設(shè)立了一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，規(guī)定：顧客購物20元以上就能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機(jī)會，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，指針落在哪一區(qū)域就可以獲得相應(yīng)的獎品，下表是此次活動中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：
轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的次數(shù)n
100
200
300
400
500
1000
落在“書畫”區(qū)域的次數(shù)m
60
122
180
298
a
604
落在“書畫”區(qū)域的頻率
0.6
0.61
0.6
b
0.59
0.604
（1）完成上述表格：a＝　 ??；b＝　 ??；
（2）請估計(jì)當(dāng)n很大時(shí)，頻率將會接近 　 　，（精確到0.1）假如你去轉(zhuǎn)動該轉(zhuǎn)盤一次，你獲得“書畫”獎品的概率約是 　 ??；（精確到0.1）
（3）在該轉(zhuǎn)盤中，標(biāo)有“手工”區(qū)域的扇形的圓心角大約是多少度？

【分析】（1）根據(jù)頻率＝頻數(shù)÷總數(shù)求解即可；
（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可以估計(jì)頻率是多少以及轉(zhuǎn)動該轉(zhuǎn)盤一次，獲得“書畫作品”的概率；
（3）用360°乘以獲得“手工”獎品的概率即可．
【解答】解：（1）a＝500×0.29＝295，b＝298÷400＝0.745，
故答案為：295、0.745；
（2）估計(jì)當(dāng)n很大時(shí)，頻率將會接近0.6，假如轉(zhuǎn)動該轉(zhuǎn)盤一次，獲得“書畫”獎品的概率約是0.6，
故答案為：0.6、0.6；
（3）360°×（1﹣0.6）＝144°，
在該轉(zhuǎn)盤中，標(biāo)有“手工”區(qū)域的扇形的圓心角大約是144度．