數(shù)學(xué)魯教版 (五四制)5 角平分線學(xué)案

這是一份數(shù)學(xué)魯教版 (五四制)5 角平分線學(xué)案，共7頁。
第十章    三角形的有關(guān)證明10.5    角平分線知 識(shí) 梳 理知識(shí)點(diǎn)1  角平分線的性質(zhì)建理角平分線上的點(diǎn)到_______________________________。符號(hào)語言：如圖所示，∵點(diǎn)P在∠AOB的平分線OC上，_____________________。    ∴PD = PE。知識(shí)點(diǎn)2  角平分線性質(zhì)定理的逆定理逆定理：在一個(gè)角的內(nèi)部，并目_____________________，在這個(gè)角的平分線上。符號(hào)語言，如上圖所示，    ∵PD＝PE，    ∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線OC上。注意  （1）角平分線性質(zhì)定理中的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長(zhǎng)（2）定理中的條件是指在角的內(nèi)部有點(diǎn)滿足到角的兩邊的距離相等，那么過南的頂點(diǎn)和該點(diǎn)的射線必平分這個(gè)角。知識(shí)點(diǎn)3  三角形三內(nèi)角平分線的性質(zhì)定理：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到_____________________________。注意  三角形三條角平分線的交點(diǎn)稱為三角形的內(nèi)心，無論是銳角三角形、鈍角三角形還是直角三角形，其內(nèi)心一定在其內(nèi)部。考 點(diǎn) 突 破考點(diǎn)1:  角平分線的性質(zhì)典例1  如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，DF⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AC上，BE＝CF。求證:BD＝DF。 思路導(dǎo)析:  要證BD＝DF，可考慮證明△BDE≌△FDC。由已知BE＝CF，∠BED＝∠C＝90o，若能證明DE＝CD或證明另一銳角對(duì)應(yīng)相等即可。由AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，∠C＝90°，易證得DE＝CD，故可從證DE＝CD入手。證明:∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DE＝CD。在△BDE和△FDC中，∵DE＝CD，∠BED＝∠C＝90°，BE＝FC，∴△BDE≌△FDC。∴BD＝DF。友情提示  角平分線的性質(zhì)定理和其他知識(shí)聯(lián)系比較緊密，如果圖中不滿足角平分線的基本圖形，應(yīng)考慮添加輔助線。變式1  如圖所示，點(diǎn)P是∠AOB平分線OC上一點(diǎn)，PD⊥OB，垂足為D。若PD＝2，則點(diǎn)P到邊OA的距離是（     ）A.1      B.2       C.      D.4    變式2  如圖所示，BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB，垂足為E，S△ABC＝36 cm2，AB＝18 cm，BC＝12 cm，則DE＝_________ cm。考點(diǎn)2:  角平分線的性質(zhì)定理的逆定理典例2  如圖所示，BM，CN是△ABC的兩條角平分線，相交于點(diǎn)P。求證:點(diǎn)P在∠BAC的平分線上。   思路導(dǎo)析:  要證點(diǎn)P在∠BAC的平分線上，即證點(diǎn)P到AB，AC的距離相等，從已知可知點(diǎn)P在BM上，所以點(diǎn)P到AB，BC兩邊的距離相等，點(diǎn)P又在CN上，所以點(diǎn)P到AC，BC兩邊的距離相等，從而由等量代換可得證。證明:過點(diǎn)P分別作PD，PE，PF垂直于AB，BC，CA，垂足分別為點(diǎn)D，E，F。∵點(diǎn)P在∠ABC的平分線BM上，PD⊥AB，PE⊥BC，∴PD＝PE。同理可證PE＝PF∴PD＝PF。又∵PD⊥AB，PF⊥AC，∴點(diǎn)P在∠BAC的平分線上。友情提示  證明點(diǎn)在角的平分線上，關(guān)鍵是要證明這個(gè)點(diǎn)到角兩邊的距離相等，即證明線段相等常用的方法有:利用全等三角形、角平分線的性質(zhì)和利用l面吹相等，但要特別注意的是點(diǎn)到角兩邊的距離。變式3  如圖所示，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F。求證:DE＝DF。   考點(diǎn)3:尺規(guī)作圖典例3  如圖所示，求作點(diǎn)P，使PA＝PB，并使點(diǎn)P到∠MON的兩邊距離相等。   思路導(dǎo)析:  由于PA＝PB，故點(diǎn)P必在AB的垂直平分線上；又點(diǎn)P到∠MON的兩邊距離相等，故點(diǎn)P應(yīng)在∠MON的平分線上，所以點(diǎn)P應(yīng)是線段AB的垂直平分線與∠MON的平分線的交點(diǎn)。解:如圖所示:   變式4  如圖所示是一塊三角形草坪，現(xiàn)在要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（    ）A.△ABC的三條中線的交點(diǎn)          B.△ABC三邊的中垂線的交點(diǎn)C.△ABC三條角平分線的交點(diǎn)        D.△ABC三條高所在直線的交點(diǎn)鞏 固 提 高1.如圖所示，OP為∠AOB的角平分線，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C，D，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（     ）A.PC＝PD      B.∠CPO＝∠DOP     C.∠CPO＝∠DPO      D.OC＝OD2.如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是點(diǎn)E，F。下列給出四個(gè)結(jié)論:①DA平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的點(diǎn)到B，C兩點(diǎn)距離相等；④到AE，AF距離相等的點(diǎn)，到DE，DF的距離也相等。其中正確的結(jié)論有（    ）A.1個(gè)      B.2個(gè)       C.3個(gè)       D.4個(gè)   3.如圖所示，在△ABC中，∠A＝40°，D點(diǎn)是∠ABC和∠ACB的角平分線的交點(diǎn)，則∠BDC的度數(shù)是（    ）A.80°      B.140°      C.110°      D.120°4.如圖所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，則線段MN的長(zhǎng)為（     ）A.6       B.7      C.8      D.9    5.如圖所示，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中點(diǎn)，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，則∠MAB的度數(shù)是（    ）A.30°      B.35°      C.45°      D.60°6.如圖所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，沿AD折疊，使點(diǎn)B落在斜邊AC上。若AB＝3，BC＝4，則BD＝__________。    7.如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠CAB的平分線，DE⊥AB，垂足是點(diǎn)E，若AB＝7，則△DEB的周長(zhǎng)是___________。8.如圖所示，∠AOB＝40°，OP平分∠AOB，點(diǎn)C為射線OP上一點(diǎn)，作CD⊥OA于點(diǎn)D，在∠POB的內(nèi)部作CE∥OB，則∠DCE＝________度。    9.如圖所示，四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD＝∠ABC＝90°，E，F分別為AC，CD的中點(diǎn)，∠D＝a，則∠BEF的度數(shù)為_________________。（用含a的式子表示）10.有公路l2同側(cè)2異側(cè)的兩個(gè)城鎮(zhèn)A，B，如圖所示電信部門要修建一座信號(hào)發(fā)射塔，按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A，B的距離必須相等，到兩條公路l1，l2的距離也必須相等，發(fā)射塔C應(yīng)建在什么位置？請(qǐng)用尺規(guī)作圖找出所有符合條件的點(diǎn)，注明點(diǎn)C的位置（保留作圖痕跡，不要求寫出畫法）。     11.如圖所示，點(diǎn)P是∠BAC內(nèi)的一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F，AE＝AF。求證:（1）PE＝PF；（2）點(diǎn)P在∠BAC的平分線上。    真 題 訓(xùn) 練1（2018·宜昌）尺規(guī)作圖經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線，下列作圖中正確的是（   ）   2、（2018·州）如圖所示，∠AOB＝60°，以點(diǎn)O為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧交OA，OB于C，D兩點(diǎn)；分別以C，D為圓心，以大于CD的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P；以O為端點(diǎn)作射線OP，在射線OP中截取OM＝6，則M點(diǎn)到OB的距離為（     ）A.6      B.2      C.3       D.3   3.（2018·常德）如圖所示，已知BD是△ABC的角平分線，ED是BC的垂直平分線，∠BAC＝90°，AD＝3，則CE的長(zhǎng)為（     ）A.6      B.5       C.4      D.34.（2018·東營(yíng)）如圖所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以頂點(diǎn)C為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AC，BC于點(diǎn)E，F，再分別以點(diǎn)E，F為圓心，大于EF的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線CP交AB于點(diǎn)D。若BD＝3，AC＝10，則△ACD的面積是________________。     參考答案及解析知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)1:  這個(gè)角的兩邊的距離相等     PD⊥OA，PE⊥OB知識(shí)點(diǎn)2:  到角的兩邊距離相等的點(diǎn)     PD⊥OA，PE⊥OB知識(shí)點(diǎn)3:  三條邊的距離相等考點(diǎn)突破1.B     2.3.提示:連接AD，證明△AED≌△AFD4.C鞏固提高1.B     2.D     3.C     4.D     5.B      6.     7. 7       8.  1309.270°－3a10.解:根據(jù)題意知，點(diǎn)C應(yīng)滿足兩個(gè)條件，一是在線段AB的垂直平分線上；二是在兩條公路夾角的平分線上，所以點(diǎn)C應(yīng)是它們的交點(diǎn)。（1）作兩條公路夾角的平分線OD或OE；（2）作線段AB的垂直平分線FG；則射線OD，OE與直線FG的交點(diǎn)C1，C2就是所求的位置。 11.證明:（1）如圖所示，連接AP。   ∵∠AEP＝∠AFP＝90°，AE＝AF， AP＝AP，∴Rt△AEP≌Rt△AFP.∴PE＝PF。（2）∵Rt△AEP≌Rt△AFP，∴∠EAP＝∠FAP。∴AP是∠BAC的平分線。故點(diǎn)P在∠BAC的平分線上。真題訓(xùn)練1.B    2.C     3.D     4. 15