_廣東省廣州市越秀區(qū)2021-2022學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（word版 含答案）

這是一份_廣東省廣州市越秀區(qū)2021-2022學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（word版 含答案），共25頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1．方程4x2﹣3x﹣2＝0的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（ ）
A．4，3，2B．4，﹣3，2C．4，﹣3，﹣2D．4，3，﹣2
2．對(duì)于二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2+4，下列說法不正確的是（ ）
A．當(dāng)x＝1時(shí)，y有最大值3
B．當(dāng)x≥1時(shí)，y隨x的增大而減小
C．開口向下
D．函數(shù)圖象與x軸交于點(diǎn)（1，0）和（3，0）
3．把拋物線y＝﹣x2向左平移1個(gè)單位，然后向上平移3個(gè)單位，則平移后拋物線的解析式為（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣3B．y＝﹣（x+1）2﹣3
C．y＝﹣（x﹣1）2+3D．y＝﹣（x+1）2+3
4．下列結(jié)論中，正確的是（ ）
A．長度相等的兩條弧是等弧
B．相等的圓心角所對(duì)的弧相等
C．平分弦的直徑垂直于弦
D．圓是中心對(duì)稱圖形
5．若關(guān)于x的方程x2+mx﹣6＝0有一個(gè)根為2．則另一個(gè)根為（ ）
A．﹣2B．2C．4D．﹣3
6．⊙O的半徑為5，同一平面內(nèi)有一點(diǎn)P，且OP＝7，則P與⊙O的位置關(guān)系是（ ）
A．P在圓內(nèi)B．P在圓上C．P在圓外D．無法確定
7．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，若∠A＝40°，則∠B的度數(shù)為（ ）
A．80°B．60°C．50°D．40°
8．關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．k＞﹣1B．k＜﹣1C．k＞﹣1且k≠0D．k≥﹣1且k≠0
9．如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點(diǎn)，PO與AB相交于點(diǎn)C，PA＝6，∠APB＝60°，則OC的長等于（ ）
A．B．3C．3﹣D．6﹣3
10．拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸是直線x＝﹣1，且過點(diǎn)（1，0），頂點(diǎn)位于第二象限，其部分圖象如圖所示，給出以下判斷：①ab＞0且c＜0；②4a﹣2b+c＞0；③8a+c＞0；④c＝3a﹣3b；⑤直線y＝2x+2與拋物線y＝ax2+bx+c兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1、x2，則x1+x2+x1?x2＝﹣5．其中正確的選項(xiàng)是（ ）
A．①③B．①②④C．②④⑤D．②③④⑤
二、填空題（每小題3分，共18分，把答案填在答卷對(duì)應(yīng)的橫線上）
11．若y＝（m﹣2）是關(guān)于x的二次函數(shù)，則常數(shù)m的值為 ．
12．正六邊形的半徑為3，它的邊長是 ，它的中心角是 ，它的面積是 ．
13．若圓錐的底面半徑是2，側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為120°的扇形，則該圓錐的母線長是 ．
14．飛機(jī)著陸后滑行的距離s（單位：m）關(guān)于滑行的時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)解析式是s＝60t﹣1.5t2，飛機(jī)著陸后滑行 米才能停下來．
15．設(shè)m，n分別為一元二次方程x2+2x﹣2020＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m2+3m+n＝ ．
16．如圖，MN是⊙O的直徑，MN＝4，∠AMN＝30°，點(diǎn)B為弧AN的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直徑MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小值為 ．
三、解答題（共72分）
17．用適當(dāng)方法解方程．
（1）x2﹣49＝0．
（2）x2+3x﹣4＝0．
18．如圖所示，破殘的圓形輪片上，弦AB的垂直平分線交弧AB于點(diǎn)C，交弦AB于點(diǎn)D．已知：AB＝24cm，CD＝8cm．
（1）求作此殘片所在的圓（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）求（1）中所作圓的半徑．
19．如圖，某隧道橫截面上的上下輪廓線分別由拋物線對(duì)稱的一部分和矩形的一部分構(gòu)成．最大高度為6米，底部寬度為12m，AO＝3m．現(xiàn)以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，OM所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系．
（1）直接寫出點(diǎn)A及拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）求出這條拋物線的函數(shù)解析式．
20．某商場銷售一批商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件商品每降價(jià)2元，商場平均每天可多售出5件．
（1）若降價(jià)x元，可多賣y件，求y與x的函數(shù)關(guān)系．
（2）降價(jià)多少元時(shí)，達(dá)到最大利潤，每天能獲得最大盈利是多少？
21．如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上．
（1）尺規(guī)作圖：作∠BAC的平分線，與⊙O交于點(diǎn)D；連接OD，交BC于點(diǎn)E（不寫作法，只保留作圖痕跡，且用黑色墨水筆將作圖痕跡加黑）；
（2）探究OE與AC的位置及數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
22．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)0＜x＜3時(shí)，直接寫出y的取值范圍；
（3）點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，若S△PAB＝10，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
23．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，O為AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AC相切于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)D，連接BE、OE，連接DE并延長交BC的延長線于點(diǎn)H．
（1）求∠ABE的度數(shù)；
（2）求證：OA＝BH；
（3）已知⊙O的半徑為2，請(qǐng)直接寫出陰影部分的面積．
24．如圖，直線y＝x+2與拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，6），點(diǎn)P是線段AB上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)C為拋物線頂點(diǎn)的時(shí)候，求△BCE的面積；
（3）是否存在這樣的點(diǎn)P，使△BCE的面積有最大值，若存在，求出這個(gè)最大值，若不存在，請(qǐng)說明理由．
25．已知：如圖1，∠ACG＝90°，AC＝2，點(diǎn)B為CG邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AB，將△ACB沿AB邊所在的直線翻折得到△ADB，過點(diǎn)D作DF⊥CG于點(diǎn)F．
（1）若∠BAC＝30°，
①求AB的長；
②判斷直線FD與以AB為直徑的⊙O的位置關(guān)系，并加以證明．
（2）如圖2，點(diǎn)B在CG上向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，直線FD與以AB為直徑的⊙O交于D、H兩點(diǎn)，連接AH，當(dāng)∠CAB＝∠BAD＝∠DAH時(shí)，求BC的長．
參考答案
一、選擇題（每小題3分，共30分，把答案填在答題卡上）
1．方程4x2﹣3x﹣2＝0的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（ ）
A．4，3，2B．4，﹣3，2C．4，﹣3，﹣2D．4，3，﹣2
【分析】根據(jù)方程找出二次項(xiàng)的系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)即可．
解：方程4x2﹣3x﹣2＝0中二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是4，﹣3，﹣2，
故選：C．
2．對(duì)于二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2+4，下列說法不正確的是（ ）
A．當(dāng)x＝1時(shí)，y有最大值3
B．當(dāng)x≥1時(shí)，y隨x的增大而減小
C．開口向下
D．函數(shù)圖象與x軸交于點(diǎn)（1，0）和（3，0）
【分析】由拋物線解析式可直接得出拋物線的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸，可判斷A、B、C，令y＝0，解關(guān)于x的一元二次方程則可求得答案．
解：∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴對(duì)稱軸為x＝1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），
∵a＝﹣1＜0，
∴開口向下，
故C正確；
∴當(dāng)x＝1時(shí)，y有最大值，最大值為4，
故A不正確；
當(dāng)x≥1時(shí)，y隨x的增大而減小，
故B正確；
令y＝0可得﹣（x﹣1）2+4＝x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）和（3，0），
故D正確．
故選：A．
3．把拋物線y＝﹣x2向左平移1個(gè)單位，然后向上平移3個(gè)單位，則平移后拋物線的解析式為（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣3B．y＝﹣（x+1）2﹣3
C．y＝﹣（x﹣1）2+3D．y＝﹣（x+1）2+3
【分析】利用二次函數(shù)平移的性質(zhì)．
解：當(dāng)y＝﹣x2向左平移1個(gè)單位時(shí)，頂點(diǎn)由原來的（0，0）變?yōu)椋ī?，0），
當(dāng)向上平移3個(gè)單位時(shí)，頂點(diǎn)變?yōu)椋ī?，3），
則平移后拋物線的解析式為y＝﹣（x+1）2+3．
故選：D．
4．下列結(jié)論中，正確的是（ ）
A．長度相等的兩條弧是等弧
B．相等的圓心角所對(duì)的弧相等
C．平分弦的直徑垂直于弦
D．圓是中心對(duì)稱圖形
【分析】利用等弧的定義、確定圓的條件、圓周角定理及垂徑定理的知識(shí)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．
解：A、長度相等的弧不一定是等弧，故錯(cuò)誤；
B、同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，故錯(cuò)誤；
C、此弦不能是直徑，命題錯(cuò)誤；
D、圓是中心對(duì)稱圖形，正確，
故選：D．
5．若關(guān)于x的方程x2+mx﹣6＝0有一個(gè)根為2．則另一個(gè)根為（ ）
A．﹣2B．2C．4D．﹣3
【分析】先設(shè)出方程的另一個(gè)根，根據(jù)兩根的積與系數(shù)的關(guān)系，得方程求解即可．
解：設(shè)方程的另一個(gè)根為α，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，
2α＝﹣6，
∴α＝﹣3．
故選：D．
6．⊙O的半徑為5，同一平面內(nèi)有一點(diǎn)P，且OP＝7，則P與⊙O的位置關(guān)系是（ ）
A．P在圓內(nèi)B．P在圓上C．P在圓外D．無法確定
【分析】根據(jù)點(diǎn)在圓上，則d＝r；點(diǎn)在圓外，d＞r；點(diǎn)在圓內(nèi)，d＜r（d即點(diǎn)到圓心的距離，r即圓的半徑）即可得到結(jié)論．
解：∵OP＝7＞5，
∴點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是點(diǎn)在圓外．
故選：C．
7．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，若∠A＝40°，則∠B的度數(shù)為（ ）
A．80°B．60°C．50°D．40°
【分析】由AB是⊙O的直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，即可求得∠C＝90°，又由直角三角形中兩銳角互余，即可求得答案．
解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠C＝90°，
∵∠A＝40°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝50°．
故選：C．
8．關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．k＞﹣1B．k＜﹣1C．k＞﹣1且k≠0D．k≥﹣1且k≠0
【分析】利用一元二次方程的定義和判別式的意義得到k≠0且Δ＝（2k﹣1）2﹣4k?（k﹣2）＞0，然后求出兩個(gè)不等式的公共部分即可．
解：根據(jù)題意得k≠0且Δ＝22﹣4?k×（﹣1）＞0，
解得k＞﹣1且k≠0．
故選：C．
9．如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點(diǎn)，PO與AB相交于點(diǎn)C，PA＝6，∠APB＝60°，則OC的長等于（ ）
A．B．3C．3﹣D．6﹣3
【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)和切線長定理可得OA⊥PA，∠APO＝30°＝∠PBO，PA＝PB，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得OA＝2CO，根據(jù)銳角三角函數(shù)可求AO的長，即可求OC的長．
解：如圖，連接OA，
∵PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點(diǎn)，PA＝6，∠APB＝60°，
∴OA⊥PA，∠APO＝30°＝∠PBO，PA＝PB，
∴∠AOC＝60°，AB⊥PO
∴∠CAO＝30°
∴AO＝2CO，
∵tan∠APO＝
∴AO＝×6＝2
∴CO＝
故選：A．
10．拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸是直線x＝﹣1，且過點(diǎn)（1，0），頂點(diǎn)位于第二象限，其部分圖象如圖所示，給出以下判斷：①ab＞0且c＜0；②4a﹣2b+c＞0；③8a+c＞0；④c＝3a﹣3b；⑤直線y＝2x+2與拋物線y＝ax2+bx+c兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1、x2，則x1+x2+x1?x2＝﹣5．其中正確的選項(xiàng)是（ ）
A．①③B．①②④C．②④⑤D．②③④⑤
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)一一判斷即可．
解：∵拋物線對(duì)稱軸x＝﹣1，經(jīng)過（1，0），
∴﹣＝﹣1，a+b+c＝0，
∴b＝2a，c＝﹣3a，
∵a＜0，
∴b＜0，c＞0，
∴ab＞0且c＞0，故①錯(cuò)誤，
∵拋物線對(duì)稱軸x＝﹣1，經(jīng)過（1，0），
∴（﹣2，0）和（0，0）關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴x＝﹣2時(shí)，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，故②正確，
∵拋物線與x軸交于（﹣3，0），
∴x＝﹣4時(shí)，y＜0，
∴16a﹣4b+c＜0，
∵b＝2a，
∴16a﹣8a+c＜0，即8a+c＜0，故③錯(cuò)誤，
∵c＝﹣3a＝3a﹣6a，b＝2a，
∴c＝3a﹣3b，故④正確，
∵直線y＝2x+2與拋物線y＝ax2+bx+c兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，
∴方程ax2+（b﹣2）x+c﹣2＝0的兩個(gè)根分別為x1，x2，
∴x1+x2＝﹣，x1?x2＝，
∴x1+x2+x1x2＝﹣+＝﹣+＝﹣5，故⑤正確，
故選：C．
二、填空題（每小題3分，共18分，把答案填在答卷對(duì)應(yīng)的橫線上）
11．若y＝（m﹣2）是關(guān)于x的二次函數(shù)，則常數(shù)m的值為 ﹣2 ．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義即可得出關(guān)于m的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．
解：∵y＝（m﹣2）是關(guān)于x的二次函數(shù)，
∴，
解得：m＝﹣2．
故答案為：﹣2．
12．正六邊形的半徑為3，它的邊長是 3 ，它的中心角是 60° ，它的面積是 ．
【分析】首先根據(jù)題意作出圖形，然后可得△OBC是等邊三角形，然后由三角函數(shù)的性質(zhì)，求得OH的長，繼而求得正六邊形的面積．
解：如圖，連接OB，OC，過點(diǎn)O作OH⊥BC于H，
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠BOC＝×360°＝60°，
∴中心角是：60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等邊三角形，
∴BC＝OB＝OC＝3，
∴它的邊長是3；
在Rt△OBH中，OH＝OB?sin60°＝3×＝，
∴S正六邊形ABCDEF＝6S△OBC＝6××3×＝．
故答案為：3，60°，．
13．若圓錐的底面半徑是2，側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為120°的扇形，則該圓錐的母線長是 6 ．
【分析】易得圓錐的底面周長，也就是側(cè)面展開圖的弧長，進(jìn)而利用弧長公式即可求得圓錐的母線長．
解：圓錐的底面周長＝2π×2＝4πcm，
則：＝4π，
解得l＝6．
故答案為：6．
14．飛機(jī)著陸后滑行的距離s（單位：m）關(guān)于滑行的時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)解析式是s＝60t﹣1.5t2，飛機(jī)著陸后滑行 600 米才能停下來．
【分析】將函數(shù)解析式配方成頂點(diǎn)式求出s的最大值即可得．
解：∵s＝﹣t2+60t＝﹣（t﹣20）2+600，
∴當(dāng)t＝20時(shí)，s取得最大值600，即飛機(jī)著陸后滑行600米才能停下來，
故答案為：600．
15．設(shè)m，n分別為一元二次方程x2+2x﹣2020＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m2+3m+n＝ 2018 ．
【分析】根據(jù)一元二次方程的解及根與系數(shù)的關(guān)系即可得出m2+2m＝2020，m+n＝﹣2，將其代入m2+3m+n＝m2+2m+m+n中即可求出結(jié)論．
解：∵設(shè)m，n分別為一元二次方程x2+2x﹣2020＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴m2+2m﹣2020＝0，即m2+2m＝2020，m+n＝﹣2，
則m2+3m+n
＝m2+2m+m+n
＝2020﹣2
＝2018，
故答案為：2018．
16．如圖，MN是⊙O的直徑，MN＝4，∠AMN＝30°，點(diǎn)B為弧AN的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直徑MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小值為 2 ．
【分析】過A作關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知A′B即為PA+PB的最小值，由對(duì)稱的性質(zhì)可知＝，再由圓周角定理可求出∠A′ON的度數(shù)，再由勾股定理即可求解．
解：過A作關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知A′B即為PA+PB的最小值，
連接OB，OA′，AA′，
∵AA′關(guān)于直線MN對(duì)稱，
∴＝，
∵∠AMN＝30°，
∴∠A′ON＝60°，∠BON＝30°，
∴∠A′OB＝90°，
過O作OQ⊥A′B于Q，
在Rt△A′OQ中，OA′＝2，
∴A′B＝2A′Q＝2，
即PA+PB的最小值2．
故答案為：2．
三、解答題（共72分）
17．用適當(dāng)方法解方程．
（1）x2﹣49＝0．
（2）x2+3x﹣4＝0．
【分析】（1）利用直接開平方法求解即可；
（2）利用十字相乘法將方程的左邊因式分解后求解可得．
解：（1）∵x2﹣49＝0，
∴x2＝49，
∴x1＝7，x2＝﹣7；
（2）∵x2+3x﹣4＝0，
∴（x+4）（x﹣1）＝0，
則x+4＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣4，x2＝1．
18．如圖所示，破殘的圓形輪片上，弦AB的垂直平分線交弧AB于點(diǎn)C，交弦AB于點(diǎn)D．已知：AB＝24cm，CD＝8cm．
（1）求作此殘片所在的圓（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）求（1）中所作圓的半徑．
【分析】（1）由垂徑定理知，垂直于弦的直徑是弦的中垂線，故作AC，BC的中垂線交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O是弧ACB所在圓的圓心；
（2）在Rt△OAD中，由勾股定理可求得半徑OA的長．
解：（1）作弦AC的垂直平分線與弦AB的垂直平分線交于O點(diǎn)，以O(shè)為圓心OA長為半徑作圓O就是此殘片所在的圓，如圖．
（2）連接OA，設(shè)OA＝x，AD＝12cm，OD＝（x﹣8）cm，
則根據(jù)勾股定理列方程：
x2＝122+（x﹣8）2，
解得：x＝13．
答：圓的半徑為13cm．
19．如圖，某隧道橫截面上的上下輪廓線分別由拋物線對(duì)稱的一部分和矩形的一部分構(gòu)成．最大高度為6米，底部寬度為12m，AO＝3m．現(xiàn)以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，OM所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系．
（1）直接寫出點(diǎn)A及拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）求出這條拋物線的函數(shù)解析式．
【分析】（1）根據(jù)所建坐標(biāo)系易求A、P的坐標(biāo)；
（2）可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式，把A點(diǎn)（或B點(diǎn)）坐標(biāo)代入求待定系數(shù)求出解析式．
解：（1）由題意得：A（0，3），P（6，6）；
（2）設(shè)拋物線解析式為：y＝a（x﹣6）2+6，
∵拋物線y＝a（x﹣6）2+6經(jīng)過點(diǎn)（0，3），
∴3＝a（0﹣6）2+6，即a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣6）2+6，即y＝﹣x2+x+3
∴拋物線解析式為y＝﹣x2+x+3．
20．某商場銷售一批商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件商品每降價(jià)2元，商場平均每天可多售出5件．
（1）若降價(jià)x元，可多賣y件，求y與x的函數(shù)關(guān)系．
（2）降價(jià)多少元時(shí)，達(dá)到最大利潤，每天能獲得最大盈利是多少？
【分析】（1）根據(jù)每件商品每降價(jià)2元，商場平均每天可多售出5件，得出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）利用商場降價(jià)后每天盈利＝每件的利潤×賣出的件數(shù)＝（40﹣降低的價(jià)格）×（20+增加的件數(shù)）寫出函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)最值求法得出即可．
解：（1）由題意得：y＝20+x，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝x+20；
（2）設(shè)商場平均每天盈利w元，
則 w＝（20+x）（40﹣x），
＝﹣x2+80x+800，
＝﹣（x﹣16）2+1440，
∵﹣2＜0，
∴當(dāng)x＝16時(shí)，w取最大值，最大值為1440．
答：每件襯衫降價(jià)16元時(shí)，商場平均每天盈利最多，最大利潤為1440元．
21．如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上．
（1）尺規(guī)作圖：作∠BAC的平分線，與⊙O交于點(diǎn)D；連接OD，交BC于點(diǎn)E（不寫作法，只保留作圖痕跡，且用黑色墨水筆將作圖痕跡加黑）；
（2）探究OE與AC的位置及數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
【分析】（1）利用基本作圖作AD平分∠BAC，然后連接OD得到點(diǎn)E；
（2）由AD平分∠BAC得到∠BAD＝∠BAC，由圓周角定理得到∠BAD＝∠BOD，則∠BOD＝∠BAC，再證明OE為△ABC的中位線，從而得到OE∥AC，OE＝AC．
解：（1）如圖所示；
（2）OE∥AC，OE＝AC．
理由如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC，
∵∠BAD＝∠BOD，
∴∠BOD＝∠BAC，
∴OE∥AC，
∵OA＝OB，
∴OE為△ABC的中位線，
∴OE∥AC，OE＝AC．
22．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)0＜x＜3時(shí)，直接寫出y的取值范圍；
（3）點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，若S△PAB＝10，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【分析】（1）將A與B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可求出b與c的值．
（2）根據(jù)圖象即可求出y的取值范圍．
（3）設(shè)P（x，y），△PAB的高為|y|，AB＝4，由S△PAB＝10列出方程即可求出y的值，從而可求出P的坐標(biāo)．
解：（1）將A（﹣1，0）和B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c
∴
解得：
∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+2x+3
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，4）
（2）由于拋物線的對(duì)稱軸為：x＝1，
∴0＜x＜3時(shí)，
∴0＜y≤4
（3）設(shè)P（x，y）
∴△PAB的高為|y|，
∵A（﹣1，0）、B（3，0）
∴AB＝4
∵S△PAB＝10，
∴×4×|y|＝10
∴y＝±5，
當(dāng)y＝5時(shí)，
∴5＝﹣x2+2x+3
此時(shí)方程無解，
當(dāng)y＝﹣5時(shí)，
∴﹣5＝﹣x2+2x+3，
解得：x＝4或x＝﹣2，
∴P（4，﹣5）或（﹣2，﹣5）
23．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，O為AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AC相切于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)D，連接BE、OE，連接DE并延長交BC的延長線于點(diǎn)H．
（1）求∠ABE的度數(shù)；
（2）求證：OA＝BH；
（3）已知⊙O的半徑為2，請(qǐng)直接寫出陰影部分的面積．
【分析】（1）AC與圓相切，故OE⊥AC，在Rt△AOE中，∠AOE＝90°﹣∠A＝60°，而OB＝OE，即可求解；
（2）在Rt△AOE中，∠A＝30°，則AO＝2OE，而OE是△DBH的中位線，故OE＝BH，即可求解；
（3）由陰影部分的面積＝S△AOE﹣S扇形ODE，即可求解．
解：（1）∵AC與圓相切，故OE⊥AC，
在Rt△AOE中，∠AOE＝90°﹣∠A＝60°，
∵OB＝OE，
∴∠ABE＝∠OEB＝∠AOE＝30°；
（2）在Rt△AOE中，∠A＝30°，則AO＝2OE，
在△DBH中，點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，OE∥BH，
故OE是△DBH的中位線，
故OE＝BH，
即OA＝BH；
（3）在△AOE中，OE＝2＝AO，
則AE＝OE?tan∠AOE＝2，
則陰影部分的面積＝S△AOE﹣S扇形ODE＝×2×2﹣?π?22＝2﹣．
24．如圖，直線y＝x+2與拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，6），點(diǎn)P是線段AB上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)C為拋物線頂點(diǎn)的時(shí)候，求△BCE的面積；
（3）是否存在這樣的點(diǎn)P，使△BCE的面積有最大值，若存在，求出這個(gè)最大值，若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）將點(diǎn)A、B的代入拋物線表達(dá)式，即可求解；
（2）△BCE的面積＝PC（xB﹣xE）＝6×6＝18；
（3）S△BCE＝PC（xB﹣xE）＝×（x+2﹣2x2+8x﹣6）＝﹣6x2+27x﹣12，即可求解．
解：（1）將點(diǎn)A、B的代入拋物線表達(dá)式得：，解得：，
故拋物線的表達(dá)式為：y＝2x2﹣8x+6；
（2）函數(shù)的對(duì)稱軸為：x＝2，則點(diǎn)C（2，﹣2），
當(dāng)x＝2時(shí)，y＝x+2＝4，點(diǎn)E（﹣2，0），
則PC＝6，
△BCE的面積＝PC（xB﹣xE）＝6×6＝18；
（3）存在，理由：
設(shè)點(diǎn)P（x，x+2），點(diǎn)C（x，2x2﹣8x+6）
S△BCE＝PC（xB﹣xE）＝×（x+2﹣2x2+8x﹣6）×6＝﹣6x2+27x﹣12，
∵﹣6＜0，故S△BCE有最大值，當(dāng)x＝時(shí)，S△BCE最大值為：．
25．已知：如圖1，∠ACG＝90°，AC＝2，點(diǎn)B為CG邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AB，將△ACB沿AB邊所在的直線翻折得到△ADB，過點(diǎn)D作DF⊥CG于點(diǎn)F．
（1）若∠BAC＝30°，
①求AB的長；
②判斷直線FD與以AB為直徑的⊙O的位置關(guān)系，并加以證明．
（2）如圖2，點(diǎn)B在CG上向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，直線FD與以AB為直徑的⊙O交于D、H兩點(diǎn)，連接AH，當(dāng)∠CAB＝∠BAD＝∠DAH時(shí)，求BC的長．
【分析】（1）①由∠BAC＝30°可得BC＝AB，而AC＝2，結(jié)合勾股定理即可得到答案；
②連接OD，根據(jù)∠ACG＝90°，∠BAC＝30°及將△ACB沿AB邊所在的直線翻折得到△ADB，可得∠DBF＝180°﹣∠ABD﹣∠ABC＝60°，證明△BOD是等邊三角形，即得∠ODB＝60°＝∠DBF，從而OD∥CG，可證明直線FD與以AB為直徑的⊙O相切；
（2）延長AD交CG于點(diǎn)E，可證點(diǎn)C在⊙O上，即有四邊形ADBC是圓內(nèi)接四邊形，由∠CAB＝∠BAD＝∠DAH可得∠FBD＝∠FDB＝45°，從而EC＝AC＝2，設(shè)BC＝x，則BD＝BC＝x，EB＝x，即有x+x＝2，解得BC＝2﹣2．
解：（1）①∵∠ACG＝90°，∠BAC＝30°，
∴BC＝AB，AC2+BC2＝AB2，
∵AC＝2，
∴22+（AB）2＝AB2，
∴AB＝；
②直線FD與以AB為直徑的⊙O相切，證明如下：
連接OD，如圖：
∵∠ACG＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵將△ACB沿AB邊所在的直線翻折得到△ADB，
∴∠ABD＝∠ABC＝60°，
∴∠DBF＝180°﹣∠ABD﹣∠ABC＝60°，
∵∠ADB＝∠C＝90°，OA＝OB，
∴OD＝OB＝OA，即D在以AB為直徑的⊙O上，
而∠ABD＝60°，
∴△BOD是等邊三角形，
∴∠ODB＝60°＝∠DBF，
∴OD∥CG，
∵DF⊥CG，
∴OD⊥DF，
∴直線FD與以AB為直徑的⊙O相切；
（2）延長AD交CG于點(diǎn)E，如右圖：
同（1）中的方法，可證點(diǎn)C在⊙O上；
∴四邊形ADBC是圓內(nèi)接四邊形．
∴∠FBD＝∠1+∠2．
同理∠FDB＝∠2+∠3．
∵∠1＝∠2＝∠3，
∴∠FBD＝∠FDB，
又∠DFB＝90°，
∴∠FBD＝∠FDB＝45°，
∴∠1+∠2＝45°，
∴EC＝AC＝2，
設(shè)BC＝x，則BD＝BC＝x，
∵∠EDB＝90°，
∴EB＝x．
∵EB+BC＝EC，
∴x+x＝2，
解得x＝2﹣2，
∴BC＝2﹣2．