2021-2022學(xué)年甘肅省平?jīng)鍪嗅轻紖^(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版）

這是一份2021-2022學(xué)年甘肅省平?jīng)鍪嗅轻紖^(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版），共25頁。試卷主要包含了解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?2017-2018學(xué)年甘肅省平?jīng)鍪嗅轻紖^(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷
　
一、選一選，本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題只有一個正確選項．
1．（3分）﹣2的絕對值是（　?。?br /> A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
2．（3分）將6.18×10﹣3化為小數(shù)是（　　）
A．0.000618 B．0.00618 C．0.0618 D．0.618
3．（3分）有理數(shù)a，b，c，d在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，則正確的結(jié)論是（　?。?br />
A．a(chǎn)＞﹣4 B．bd＞0 C．|a|＞|b| D．b+c＞0
4．（3分）下列運算正確的是（　?。?br /> A．a(chǎn)0=0 B．a(chǎn)3+a2=a5 C．a(chǎn)2?a﹣1=a D． +=
5．（3分）若多邊形的邊數(shù)由3增加到n（n為大于3的整數(shù)）則其外角和的度數(shù)（　　）
A．增加 B．減少 C．不變 D．不能確定
6．（3分）已知k1＞0＞k2，則函數(shù)y=k1x和y=的圖象在同一平面直角坐標(biāo)系中大致是（　?。?br /> A． B． C． D．
7．（3分）函數(shù)y=中，自變量x的取值范圍是（　　）
A．x≥﹣5 B．x≤﹣5 C．x≥5 D．x≤5
8．（3分）如圖，某小區(qū)計劃在一塊長為32m，寬為20m的矩形空地上修建三條同樣寬的道路，剩余的空地上種植草坪，使草坪的面積為570m2．若設(shè)道路的寬為xm，則下面所列方程正確的是（　?。?br />
A．（32﹣2x）（20﹣x）=570 B．32x+2×20x=32×20﹣570
C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2=570
9．（3分）已知圓錐的底面面積為9πcm2，母線長為6cm，則圓錐的側(cè)面積是（　　）
A．18πcm2 B．27πcm2 C．18cm2 D．27cm2
10．（3分）如圖1，有一正方形廣場ABCD，圖形中的線段均表示直行道路，表示一條以A為圓心，以AB為半徑的圓弧形道路．如圖2，在該廣場的A處有一路燈，O是燈泡，夜晚小齊同學(xué)沿廣場道路散步時，影子長度隨行走路線的變化而變化，設(shè)他步行的路程為x （m）時，相應(yīng)影子的長度為y （m），根據(jù)他步行的路線得到y(tǒng)與x之間關(guān)系的大致圖象如圖3，則他行走的路線是（　　）

A．A→B→E→G B．A→E→D→C C．A→E→B→F D．A→B→D→C
　
二、認(rèn)真填一填，本大題共8小題，每小題4分，共32分．
11．（4分）因式分解：x2y﹣4y=　 　．
12．（4分）購買單價為a元的筆記本3本和單價為b元的鉛筆5支應(yīng)付款　 　元．
13．（4分）一臺空調(diào)標(biāo)價2000元，若按6折銷售仍可獲利20%，則這臺空調(diào)的進(jìn)價是　 　元．
14．（4分）某工廠現(xiàn)在平均每天比原計劃多生產(chǎn)40臺機(jī)器，現(xiàn)在生產(chǎn)600臺機(jī)器所需的時間與原計劃生產(chǎn)480臺機(jī)器所用的時間相同，設(shè)原計劃每天生產(chǎn)x臺機(jī)器，根據(jù)題意，可列方程　 ?。?br /> 15．（4分）一直角三角形的兩邊長分別為5和12，則第三邊的長是　 ?。?br /> 16．（4分）如圖，在△ABC中，兩條中線BE、CD相交于點O，若△ABC的周長為8cm，則△ADE的周長為　 ?。?br />
17．（4分）如圖，是一個圓心人工湖的平面圖，弦AB是湖上的一座橋，已知橋長100m，測得圓周角∠ACB=30°，則這個人工湖的直徑為　 　m．

18．（4分）按一定規(guī)律排列的一列數(shù)依次為：，1，，，，，…，按此規(guī)律，這列數(shù)中的第100個數(shù)是　 ?。?br /> 　
三、解答題（一）：本大題共5小題，共38分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
19．（7分）計算：﹣（）﹣1+（﹣1）﹣20080﹣|﹣2|．
20．（7分）化簡分式：（﹣）÷，并從1，2，3，4這四個數(shù)中取一個合適的數(shù)作為x的值代入求值．
21．（8分）（1）作Rt△ABC的外接圓⊙P（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）Rt△ABC中，若∠C=90°，BC=8，AC=6．求：⊙P的面積．

22．（8分）如圖所示，為了測量出一垂直水平地面的某高大建筑物AB的高度，一測量人員在該建筑物附近C處，測得建筑物頂端A處的仰角大小為45°，隨后沿直線BC向前走了100米后到達(dá)D處，在D處測得A處的仰角大小為30°，求建筑物AB的高度．（注：結(jié)果保留到0.1，≈1.414，≈1.732）

23．（8分）甘肅省省府蘭州，又名金城，在金城，黃河母親河通過自身文化的演繹，衍生和流傳了獨特的“金城八寶”美食，“金城八寶”美食中甜品類有：味甜湯糊“灰豆子”、醇香軟糯“甜胚子”、生津潤肺“熱冬果”、香甜什錦“八寶百合”；其他類有：青白紅綠“牛肉面”、酸辣清涼“釀皮子”、清爽溜滑“漿水面”、香醇肥美“手抓羊肉”，李華和王濤同時去品嘗美食，李華準(zhǔn)備在“甜胚子、牛肉面、釀皮子、手抓羊肉”這四種美食中選擇一種，王濤準(zhǔn)備在“八寶百合、灰豆子、熱冬果、漿水面”這四種美食中選擇一種．（甜胚子、牛肉面、釀皮子、手抓羊肉分別記為A，B，C，D，八寶百合、灰豆子、熱冬果、漿水面分別記為E，F(xiàn)，G，H）
（1）用樹狀圖或表格的方法表示李華和王濤同學(xué)選擇美食的所有可能結(jié)果；
（2）求李華和王濤同時選擇的美食都是甜品類的概率．
　
四、解答題（二）：本大題共5小題，共50分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟
24．（8分）某校開展“我最喜愛的一項體育活動”調(diào)查，要求每名學(xué)生必選且只能選一項，現(xiàn)隨機(jī)抽查了m名學(xué)生，并將其結(jié)果繪制成如下不完整的條形圖和扇形圖．

請結(jié)合以上信息解答下列問題：
（1）m=　 ?。?br /> （2）請補(bǔ)全上面的條形統(tǒng)計圖；
（3）在圖2中，“乒乓球”所對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為　 ?。?br /> （4）已知該校共有1200名學(xué)生，請你估計該校約有　 　名學(xué)生最喜愛足球活動．
25．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=kx+4（k≠0）與y軸交于點A．直線y=﹣2x+1與直線y=kx+4（k≠0）交于點B，與y軸交于點C，點B的橫坐標(biāo)為﹣1．
（1）求點B的坐標(biāo)及k的值；
（2）求直線y=﹣2x+1、直線y=kx+4與y軸所圍成的△ABC的面積．

26．（10分）如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，過對角線BD中點O的直線分別交AB，CD邊于點E，F(xiàn)．
（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；
（2）當(dāng)四邊形BEDF是菱形時，求EF的長．

27．（10分）如圖，AC為⊙O的直徑，B為⊙O上一點，∠ACB=30°，延長CB至點D，使得CB=BD，過點D作DE⊥AC，垂足E在CA的延長線上，連接BE．
（1）求證：BE是⊙O的切線；
（2）當(dāng)BE=3時，求圖中陰影部分的面積．

28．（12分）如圖，對稱軸為直線x=2的拋物線經(jīng)過A（﹣1，0），C（0，5）兩點，與x軸另一交點為B．已知M（0，1），E（a，0），F(xiàn)（a+1，0），點P是第一象限內(nèi)的拋物線上的動點．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）當(dāng)a=1時，求四邊形MEFP的面積的最大值，并求此時點P的坐標(biāo)；
（3）若△PCM是以點P為頂點的等腰三角形，求a為何值時，四邊形PMEF周長最??？請說明理由．

　

2017-2018學(xué)年甘肅省平?jīng)鍪嗅轻紖^(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
　
一、選一選，本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題只有一個正確選項．
1．（3分）﹣2的絕對值是（　?。?br /> A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
【解答】解：|﹣2|=2．
故選：B．
　
2．（3分）將6.18×10﹣3化為小數(shù)是（　?。?br /> A．0.000618 B．0.00618 C．0.0618 D．0.618
【解答】解：∵0.00618=6.18×10﹣3，
∴6.18×10﹣3=0.00618，
故選：B．
　
3．（3分）有理數(shù)a，b，c，d在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，則正確的結(jié)論是（　?。?br />
A．a(chǎn)＞﹣4 B．bd＞0 C．|a|＞|b| D．b+c＞0
【解答】解：由數(shù)軸上點的位置，得
a＜﹣4＜b＜0＜c＜1＜d．
A、a＜﹣4，故A不符合題意；
B、bd＜0，故B不符合題意；
C、∵|a|＞4，|b|＜2，∴|a|＞|b|，故C符合題意；
D、b+c＜0，故D不符合題意；
故選：C．
　
4．（3分）下列運算正確的是（　?。?br /> A．a(chǎn)0=0 B．a(chǎn)3+a2=a5 C．a(chǎn)2?a﹣1=a D． +=
【解答】解：（A）a0=1（a≠0），故A錯誤；
（B）a2與a3不是同類項，故B錯誤；
（D）原式=，故D錯誤；
故選：C．
　
5．（3分）若多邊形的邊數(shù)由3增加到n（n為大于3的整數(shù)）則其外角和的度數(shù)（　?。?br /> A．增加 B．減少 C．不變 D．不能確定
【解答】解：因為多邊形外角和固定為360°，所以外角和的讀數(shù)是不變的．
故選：C．[來源:學(xué).科.網(wǎng)Z.X.X.K]
　
6．（3分）已知k1＞0＞k2，則函數(shù)y=k1x和y=的圖象在同一平面直角坐標(biāo)系中大致是（　?。?br /> A． B． C． D．
【解答】解：∵k1＞0＞k2，
∴函數(shù)y=k1x的結(jié)果第一、三象限，反比例y=的圖象分布在第二、四象限．
故選：C．
　
7．（3分）函數(shù)y=中，自變量x的取值范圍是（　?。?br /> A．x≥﹣5 B．x≤﹣5 C．x≥5 D．x≤5
【解答】解：由題意得，x﹣5≥0，
解得x≥5．
故選：C．
　
8．（3分）如圖，某小區(qū)計劃在一塊長為32m，寬為20m的矩形空地上修建三條同樣寬的道路，剩余的空地上種植草坪，使草坪的面積為570m2．若設(shè)道路的寬為xm，則下面所列方程正確的是（　　）

A．（32﹣2x）（20﹣x）=570 B．32x+2×20x=32×20﹣570
C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2=570
【解答】解：設(shè)道路的寬為xm，根據(jù)題意得：（32﹣2x）（20﹣x）=570，
故選：A．
　
9．（3分）已知圓錐的底面面積為9πcm2，母線長為6cm，則圓錐的側(cè)面積是（　?。?br /> A．18πcm2 B．27πcm2 C．18cm2 D．27cm2
【解答】解：∵圓錐的底面積為9πcm2，
∴圓錐的底面半徑為3，
∵母線長為6cm，
∴側(cè)面積為3×6π=18πcm2，
故選：A．
　
10．（3分）如圖1，有一正方形廣場ABCD，圖形中的線段均表示直行道路，表示一條以A為圓心，以AB為半徑的圓弧形道路．如圖2，在該廣場的A處有一路燈，O是燈泡，夜晚小齊同學(xué)沿廣場道路散步時，影子長度隨行走路線的變化而變化，設(shè)他步行的路程為x （m）時，相應(yīng)影子的長度為y （m），根據(jù)他步行的路線得到y(tǒng)與x之間關(guān)系的大致圖象如圖3，則他行走的路線是（　?。?br />
A．A→B→E→G B．A→E→D→C C．A→E→B→F D．A→B→D→C
【解答】解：根據(jù)圖3可得，函數(shù)圖象的中間一部分為水平方向的線段，
故影子的長度不變，即沿著弧形道路步行，[來源:學(xué)科網(wǎng)]
因為函數(shù)圖象中第一段和第三段圖象對應(yīng)的x的范圍相等，且均小于中間一段圖象對應(yīng)的x的范圍，
故中間一段圖象對應(yīng)的路徑為，
又因為第一段和第三段圖象都從左往右上升，
所以第一段函數(shù)圖象對應(yīng)的路徑為正方形的邊AB或AD，第三段函數(shù)圖象對應(yīng)的路徑為BC或DC，
故行走的路線是A→B→D→C（或A→D→B→C），
故選：D．
　
二、認(rèn)真填一填，本大題共8小題，每小題4分，共32分．
11．（4分）因式分解：x2y﹣4y=　y（x﹣2）（x+2）　．
【解答】解：x2y﹣4y=y（x2﹣4）=y（x﹣2）（x+2）．
故答案為：y（x﹣2）（x+2）．
　
12．（4分）購買單價為a元的筆記本3本和單價為b元的鉛筆5支應(yīng)付款　3a+5b　元．
【解答】解：應(yīng)付款3a+5b元．
故答案為：3a+5b．
　
13．（4分）一臺空調(diào)標(biāo)價2000元，若按6折銷售仍可獲利20%，則這臺空調(diào)的進(jìn)價是　1000　元．
【解答】解：設(shè)這臺空調(diào)的進(jìn)價為x元，根據(jù)題意得：
2000×0.6﹣x=x×20%，
解得：x=1000．
故這臺空調(diào)的進(jìn)價是1000元．
故答案為：1000．
　
14．（4分）某工廠現(xiàn)在平均每天比原計劃多生產(chǎn)40臺機(jī)器，現(xiàn)在生產(chǎn)600臺機(jī)器所需的時間與原計劃生產(chǎn)480臺機(jī)器所用的時間相同，設(shè)原計劃每天生產(chǎn)x臺機(jī)器，根據(jù)題意，可列方程　=?。?br /> 【解答】解：由題意可得，
=，
故答案為： =．
　
15．（4分）一直角三角形的兩邊長分別為5和12，則第三邊的長是　13或?。?br /> 【解答】解：設(shè)第三邊為x，
（1）若12是直角邊，則第三邊x是斜邊，由勾股定理得：
52+122=x2，
∴x=13；
（2）若12是斜邊，則第三邊x為直角邊，由勾股定理得：
52+x2=122，
∴x=；
∴第三邊的長為13或．
故答案為：13或．
　
16．（4分）如圖，在△ABC中，兩條中線BE、CD相交于點O，若△ABC的周長為8cm，則△ADE的周長為　4cm　．

【解答】解：∵在△ABC中，兩條中線BE、CD相交于點O，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ABC的周長：△ADE的周長=，
∵△ABC的周長為8cm，
∴△ADE的周長為4cm，
故答案為：4cm．
　
17．（4分）如圖，是一個圓心人工湖的平面圖，弦AB是湖上的一座橋，已知橋長100m，測得圓周角∠ACB=30°，則這個人工湖的直徑為　200　m．

【解答】解：連結(jié)OA、OB，如圖，
∵∠AOB=2∠ACB=2×30°=60°，
而OA=OB，
∴△OAB為等邊三角形，
∴OA=AB=100m，
∴個人工湖的直徑為200m．
故答案為200m．

　
18．（4分）按一定規(guī)律排列的一列數(shù)依次為：，1，，，，，…，按此規(guī)律，這列數(shù)中的第100個數(shù)是　?。?br /> 【解答】解：按一定規(guī)律排列的一列數(shù)依次為：，，，，，，…，
按此規(guī)律，第n個數(shù)為，
∴當(dāng)n=100時， =，
即這列數(shù)中的第100個數(shù)是，
故答案為：．
　
三、解答題（一）：本大題共5小題，共38分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
19．（7分）計算：﹣（）﹣1+（﹣1）﹣20080﹣|﹣2|．
【解答】解：原式=2﹣+3﹣﹣1﹣（2﹣）
=2﹣2+
=．
　
20．（7分）化簡分式：（﹣）÷，并從1，2，3，4這四個數(shù)中取一個合適的數(shù)作為x的值代入求值．
【解答】解：
（﹣）÷
=[﹣）÷
=（﹣）÷
=×
=x+2，
∵x2﹣4≠0，x﹣3≠0，
∴x≠2且x≠﹣2且x≠3，
∴可取x=1代入，原式=3．
　
21．（8分）（1）作Rt△ABC的外接圓⊙P（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）Rt△ABC中，若∠C=90°，BC=8，AC=6．求：⊙P的面積．

【解答】解：（1）Rt△ABC的外接圓⊙P如圖所示：

（2）在Rt△ACB中，∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB==10，
∴⊙P的面積=25π．
　
22．（8分）如圖所示，為了測量出一垂直水平地面的某高大建筑物AB的高度，一測量人員在該建筑物附近C處，測得建筑物頂端A處的仰角大小為45°，隨后沿直線BC向前走了100米后到達(dá)D處，在D處測得A處的仰角大小為30°，求建筑物AB的高度．（注：結(jié)果保留到0.1，≈1.414，≈1.732）

【解答】解：設(shè)AB=x米，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=45°，
∴BC=AB=x米，
則BD=BC+CD=x+100（米），
在Rt△ABD中，∵∠ADB=30°，
∴tan∠ADB==，即=，
解得：x=50+50≈136.6，
即建筑物AB的高度約為136.6米．
　
23．（8分）甘肅省省府蘭州，又名金城，在金城，黃河母親河通過自身文化的演繹，衍生和流傳了獨特的“金城八寶”美食，“金城八寶”美食中甜品類有：味甜湯糊“灰豆子”、醇香軟糯“甜胚子”、生津潤肺“熱冬果”、香甜什錦“八寶百合”；其他類有：青白紅綠“牛肉面”、酸辣清涼“釀皮子”、清爽溜滑“漿水面”、香醇肥美“手抓羊肉”，李華和王濤同時去品嘗美食，李華準(zhǔn)備在“甜胚子、牛肉面、釀皮子、手抓羊肉”這四種美食中選擇一種，王濤準(zhǔn)備在“八寶百合、灰豆子、熱冬果、漿水面”這四種美食中選擇一種．（甜胚子、牛肉面、釀皮子、手抓羊肉分別記為A，B，C，D，八寶百合、灰豆子、熱冬果、漿水面分別記為E，F(xiàn)，G，H）
（1）用樹狀圖或表格的方法表示李華和王濤同學(xué)選擇美食的所有可能結(jié)果；
（2）求李華和王濤同時選擇的美食都是甜品類的概率．
【解答】解：
（1）列表得：
李華
王濤
E
F
G
H
A
AE
AF
AG
AH
B
BE
BF
BG
BH
C
CE
CF
CG
CH
D
DE
DF
DG[來源:Z+xx+k.Com]
DH
由列表可知共有16種情況；
（2）由（1）可知有16種情況，其中李華和王濤同時選擇的美食都是甜品類的情況有AE，AF，AG三種情況，所以李華和王濤同時選擇的美食都是甜品類的概率=．
　
四、解答題（二）：本大題共5小題，共50分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟
24．（8分）某校開展“我最喜愛的一項體育活動”調(diào)查，要求每名學(xué)生必選且只能選一項，現(xiàn)隨機(jī)抽查了m名學(xué)生，并將其結(jié)果繪制成如下不完整的條形圖和扇形圖．

請結(jié)合以上信息解答下列問題：
（1）m=　150??；
（2）請補(bǔ)全上面的條形統(tǒng)計圖；
（3）在圖2中，“乒乓球”所對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為　36°??；
（4）已知該校共有1200名學(xué)生，請你估計該校約有　240　名學(xué)生最喜愛足球活動．
【解答】解：（1）m=21÷14%=150，
（2）“足球“的人數(shù)=150×20%=30人，
補(bǔ)全上面的條形統(tǒng)計圖如圖所示；
（3）在圖2中，“乒乓球”所對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為360°×=36°；
（4）1200×20%=240人，
答：估計該校約有240名學(xué)生最喜愛足球活動．
故答案為：150，36°，240．

　
25．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=kx+4（k≠0）與y軸交于點A．直線y=﹣2x+1與直線y=kx+4（k≠0）交于點B，與y軸交于點C，點B的橫坐標(biāo)為﹣1．
（1）求點B的坐標(biāo)及k的值；
（2）求直線y=﹣2x+1、直線y=kx+4與y軸所圍成的△ABC的面積．

【解答】解：（1）∵直線y=﹣2x+1過點B，點B的橫坐標(biāo)為﹣1，
∴y=2+1=3，
∴B（﹣1，3），
∵直線y=kx+4過B點，
∴3=﹣k+4，
解得：k=1；[來源:Zxxk.Com]
（2）∵k=1，
∴一次函數(shù)解析式為：y=x+4，
∴A（0，4），
∵y=﹣2x+1，
∴C（0，1），
∴AC=4﹣1=3，
∴△ABC的面積為：×1×3=．
　
26．（10分）如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，過對角線BD中點O的直線分別交AB，CD邊于點E，F(xiàn)．
（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；
（2）當(dāng)四邊形BEDF是菱形時，求EF的長．

【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，O是BD的中點，
∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF，
在△BOE和△DOF中，，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO=FO，
∴四邊形BEDF是平行四邊形；
（2）解：當(dāng)四邊形BEDF是菱形時，BD⊥EF，
設(shè)BE=x，則 DE=x，AE=6﹣x，
在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，
∴x2=42+（6﹣x）2，
解得：x=，
∵BD==2，
∴OB=BD=，
∵BD⊥EF，
∴EO==，
∴EF=2EO=．
　
27．（10分）如圖，AC為⊙O的直徑，B為⊙O上一點，∠ACB=30°，延長CB至點D，使得CB=BD，過點D作DE⊥AC，垂足E在CA的延長線上，連接BE．
（1）求證：BE是⊙O的切線；
（2）當(dāng)BE=3時，求圖中陰影部分的面積．

【解答】解：（1）如圖所示，連接BO，
∵∠ACB=30°，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∵DE⊥AC，CB=BD，
∴Rt△DCE中，BE=CD=BC，
∴∠BEC=∠BCE=30°，
∴△BCE中，∠EBC=180°﹣∠BEC﹣∠BCE=120°，
∴∠EBO=∠EBC﹣∠OBC=120°﹣30°=90°，
∴BE是⊙O的切線；

（2）當(dāng)BE=3時，BC=3，
∵AC為⊙O的直徑，
∴∠ABC=90°，
又∵∠ACB=30°，
∴AB=tan30°×BC=，
∴AC=2AB=2，AO=，
∴陰影部分的面積=半圓的面積﹣Rt△ABC的面積=π×AO2﹣AB×BC=π×3﹣××3=﹣．

　
28．（12分）如圖，對稱軸為直線x=2的拋物線經(jīng)過A（﹣1，0），C（0，5）兩點，與x軸另一交點為B．已知M（0，1），E（a，0），F(xiàn)（a+1，0），點P是第一象限內(nèi)的拋物線上的動點．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）當(dāng)a=1時，求四邊形MEFP的面積的最大值，并求此時點P的坐標(biāo)；[來源:學(xué)科網(wǎng)]
（3）若△PCM是以點P為頂點的等腰三角形，求a為何值時，四邊形PMEF周長最??？請說明理由．

【解答】方法一：
解：（1）∵對稱軸為直線x=2，
∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣2）2+k．
將A（﹣1，0），C（0，5）代入得：
，解得，
∴y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5．

（2）當(dāng)a=1時，E（1，0），F(xiàn)（2，0），OE=1，OF=2．
設(shè)P（x，﹣x2+4x+5），
如答圖2，過點P作PN⊥y軸于點N，則PN=x，ON=﹣x2+4x+5，
∴MN=ON﹣OM=﹣x2+4x+4．

S四邊形MEFP=S梯形OFPN﹣S△PMN﹣S△OME
=（PN+OF）?ON﹣PN?MN﹣OM?OE
=（x+2）（﹣x2+4x+5）﹣x?（﹣x2+4x+4）﹣×1×1
=﹣x2+x+
=﹣（x﹣）2+
∴當(dāng)x=時，四邊形MEFP的面積有最大值為，
把x=時，y=﹣（﹣2）2+9=．
此時點P坐標(biāo)為（，）．

（3）∵M(jìn)（0，1），C（0，5），△PCM是以點P為頂點的等腰三角形，
∴點P的縱坐標(biāo)為3．
令y=﹣x2+4x+5=3，解得x=2±．
∵點P在第一象限，∴P（2+，3）．
四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長度固定，因此只要ME+PF最小，則PMEF的周長將取得最小值．
如答圖3，將點M向右平移1個單位長度（EF的長度），得M1（1，1）；
作點M1關(guān)于x軸的對稱點M2，則M2（1，﹣1）；
連接PM2，與x軸交于F點，此時ME+PF=PM2最小．

設(shè)直線PM2的解析式為y=mx+n，將P（2+，3），M2（1，﹣1）代入得：
，解得：m=，n=﹣，
∴y=x﹣．
當(dāng)y=0時，解得x=．∴F（，0）．
∵a+1=，∴a=．
∴a=時，四邊形PMEF周長最小．
方法二：
（1）略．
（2）連接MF，過點P作x軸垂線，交MF于點H，
顯然當(dāng)S△PMF有最大值時，四邊形MEFP面積最大．
當(dāng)a=1時，E（1，0），F(xiàn)（2，0），
∵M(jìn)（0，1），
∴l(xiāng)MF：y=﹣x+1，
設(shè)P（t，﹣t2+4t+5），H（t，﹣t+1），
∴S△PMF=（PY﹣HY）（FX﹣MX），
∴S△PMF=（﹣t2+4t+5+t﹣1）（2﹣0）=﹣t2+t+4，
∴當(dāng)t=時，S△PMF最大值為，
∵S△MEF=EF×MY=×1×1=，
∴S四邊形MEFP的最大值為+=．

（3）∵M(jìn)（0，1），C（0，5），△PCM是以點P為頂點的等腰三角形，
∴點P的縱坐標(biāo)為3，∴﹣x2+4x+5=0，解得：x=2±，
∵點P在第一象限，∴P（2+，3），PM、EF長度固定，
當(dāng)ME+PF最小時，PMEF的周長取得最小值，
將點M向右平移1個單位長度（EF的長度），得M1（1，1），
∵四邊形MEFM1為平行四邊形，
∴ME=M1F，
作點M1關(guān)于x軸的對稱點M2，則M2（1，﹣1），
∴M2F=M1F=ME，
當(dāng)且僅當(dāng)P，F(xiàn)，M2三點共線時，此時ME+PF=PM2最小，
∵P（2+，3），M2（1，﹣1），F(xiàn)（a+1，0），
∴KPF=KM1F，
∴，
∴a=．