數(shù)學5.6 幾何證明舉例教案設計

這是一份數(shù)學5.6 幾何證明舉例教案設計，共12頁。教案主要包含了課時安排，第一課時，教學目標，教學重難點，教學過程，第二課時，作業(yè)布置，第三課時等內容，歡迎下載使用。
【課時安排】
4課時
【第一課時】
【教學目標】
1．證明并掌握“AAS”定理；會用“AAS”定理解決有關的問題。
2．知道全等三角形的性質：對應角平分線相等，對應中線相等，對應高相等；
并會證明這些結論。
3．掌握幾何證明題思路、及命題證明的一般步驟和規(guī)范書寫格式。
4．增強合作意識，提高邏輯思維能力，養(yǎng)成良好的學習習慣。
【教學重難點】
1．證明并掌握“AAS”定理；會用“AAS”定理解決有關的問題。
2．掌握幾何證明題思路、及命題證明的一般步驟和規(guī)范書寫格式。
【教學過程】
（一）前置練習，積累知識。
（1）全等三角形的性質：全等三角形的_____相等，_____相等。
（2）判定兩個三角形全等的方法：_____、_____、_____、_____，其中_____、_____、_____都已作為基本事實。
（3）幾何證明的過程一般包括三個步驟：_____，_____，_____。
知識點1：“AAS”定理：兩角分別相等且其中一組等角的_____也相等的三角形全等。
知識點2：適當?shù)靥砑虞o助線：例1，通過添加輔助線構造兩個_____三角形。
知識點3：全等三角形的性質：對應角平分線_____，對應中線_____，對應高_____。
（二）情境激趣，導入新課。
證明“AAS”定理：
兩角分別________且其中一組等角的________也相等的三角形全等。
問題：
1．這個命題的條件是________________，結論是________________。
2．能根據(jù)題意畫出題目中用到的圖形嗎？
3．能據(jù)圖形和條件，把命題的條件用數(shù)學語言寫成已知嗎？把結論寫成求證嗎？
4．已知一邊相等，再知道條件_____________可以用SSS來說明；或可以知道條件_______可以用ASA來說明全等。題目當中符合這兩種判定方法嗎？能根據(jù)題目已知兩角對應相等，求出另外一個角相等，這樣可以選擇方法____________來證明。能總結證明“命題問題”的題目的一般步驟嗎？_________________________。
（三）自主學習，合作探究。
1．典例精析
閱讀課本例1，然后完成下列問題：
問題：圖中有三角形嗎？有全等三角形嗎？已知什么條件可推全等？
已知：______________________
求證：______________________
證明：______________________
證明全等三角形對應邊上的高相等，其他課下完成。
2．針對性訓練，
（1）兩個三角形只有以下元素對應相等，不能判定兩個三角形全等的是（ ）
A．兩角和一邊 B．兩邊及夾角 C．三個角 D．三條邊
（2）如圖，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，點E、F分別是BD、DC的中點，
則圖中全等三角形共有（ ）
A．3對 B．4對 C．5對 D．6對
（3）已知：如圖：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。
求證：△AED≌△BFC。
（4）已知：如圖，AB=AC，BD?AC，CE?AB，垂足分別為D、E，BD、CE相交于點F。
求證：BE=CD
（四）歸納總結，提升能力。
（五）當堂檢測，檢查效果。
1．如下圖，已知AD＝BC，要證明ΔABC≌ΔBAD，根據(jù)“SSS”，還需要一個條件___________，根據(jù)“SAS”，還需要一個條件________________。
2．如圖，點O是AB的中點，AC∥BD，則ΔAOC≌ΔBOD的理由是___________。
3．如圖，AB＝AD，BE＝DE，∠1＝∠2，則圖中全等三角形共有_____對。
4．已知：如圖，點A．C．B在一條線上，且AC=EC，DC=BC，∠ACE=∠DCB。
求證：（1）△ACD≌△ECB；（2）AD=EB。
5．如圖，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，試猜想線段CE與DE的大小與位置關系，并證明你的結論。
6．如圖6，點D在AB上，點E在AC上，AB=AC，∠B=∠C。
求證：BE=CD。
【第二課時】
【教學目標】
1．證明并掌握線段垂直平分線的性質定理及逆定理。
2．學會上述定理在幾何證明及計算中的應用。
3．進一步熟悉證明題的一般方法，從已知和結論進行分析，嚴格書寫過程。
4．培養(yǎng)學生認真勤奮、獨立思考、合作交流等學習習慣，形成實事求是的科學態(tài)度。
【教學重難點】
進一步熟悉證明題的一般方法，從已知和結論進行分析，嚴格書寫過程。
【教學過程】
（一）前置練習，積累知識。
（1）已知AB是線段CD的垂直平分線， E是AB上的一點，如果EC=7cm，那么ED=______cm；如果∠ECD=60°，那么∠EDC=_______°。
（2）已知A和B兩點在線段EF的垂直平分線上，且∠EAF=100°，∠EBF=70°，則∠AEB=( )
A．95° B．15° C．95°或15° D．170°或30°
（二）情景激趣，導入新課。
我們學了線段垂直平分線的性質和判定，你能證明它們嗎？
（三）自主學習，合作探究。
1．預習檢查
（1）線段是軸對稱圖形，它的對稱軸是____________________。
（2）線段垂直平分線的性質及的逆命題是____________，逆命題是______命題。
2．典例精析
☆探究一：證明線段垂直平分線的性質定理
已知：直線_______是線段AB的垂直平分線，垂足為點_____。
點P是直線______上的任意一點。
求證：______=_______
證明：（1）當點____不與線段的中點M重合時。
∵CD⊥AB（已知）
∴∠_____=∠_____=90°（垂直平分線的定義）
∵PM=PM( ) MA=_____（垂直平分線的定義）
∴△APM≌△________( )
∴PA=PB( )
（2）當點_______與線段的中點M重合時。
∵MA=MB（垂直平分線的定義）
∴PA=PB( )
☆探究二：證明線段垂直平分線的性質定理的逆定理：
到一條線段兩個端點的距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。
學生先組交流后獨立完成證明過程，師適時補充。并找代表展示。
3．針對性練習
（1）如圖，△ABC中，AB=AC，DE是AB的垂直平分線AB=8，BC=4，∠A=36°，則∠DBC=_______，△BDC的周長等于_______。
（2）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=5，BC邊上的垂直平分線DE交BC于點D，交AC于點E，求△ABE的周長。
（四）歸納總結，能力提升。
1．學會了：（知識點、思想方法等）__________________________________；
2．不太懂的地方：__________________________________。
（五）當堂檢測，檢查效果。
2．如果三角形兩邊的垂直平分線的交點恰好落在第三邊上，則這個三角形是（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形
3．已知：如圖，AB=AD，BC=DC，E是AC上一點，求證：BE=DE
4．如圖所示，∠BAC＝105°，若MP和NQ分別垂直平分AB和AC．
求∠PAQ的度數(shù)。
【作業(yè)布置】
1．必做題：第8、9題；
2．選做題：第12題。
預習角平分線的性質定理和判定定理。
【第三課時】
【教學目標】
1．證明并掌握角平分線的性質定理及逆定理。
2．會用上述定理證明有關的命題。
3．知道證明要合乎邏輯，知道證明的過程可以有不同的表達形式，學會綜合法證明的格式。
4．養(yǎng)成認真勤奮、獨立思考、合作交流、反思質疑等學習習慣，形成實事求是的科學態(tài)度。
【教學重難點】
1．證明并掌握角平分線的性質定理及逆定理。
2．會用上述定理證明有關的命題。
3．知道證明要合乎邏輯，知道證明的過程可以有不同的表達形式，學會綜合法證明的格式。
【教學過程】
（一）前置練習，積累知識。
1．相關知識鏈接
（1）角平分線的定義：__________________________________。
（2）∠AOB的平分線上一點M，M到OA的距離為2cm，則M到OB的距離為_________。
（3）判定兩個三角形全等的方法有：______________________________________。
2．知識點1：角平分線的性質定理：角平分線上的點，到這個角的________________________相等。
知識點2：角平分線的性質定理的逆定理：角的內部到角的___________相等的點在這個角的平分線上。
知識點3：證明三角形三條角平分線交于一點（內心）
（二）情境激趣，導入新課。
（三）自主學習，合作探究。
☆探究一：角平分線的性質定理的證明（學生自學課本內容，教師點撥。）
已知：如圖，射線______是∠ABC的平分線，點P在BD上，______⊥A，______⊥BC，垂足分別是點______和______。
求證：______=______
證明：（用“∵、∴”的格式寫出證明過程。）
定理歸納：
☆探究二：證明角平分線的性質定理的逆定理（即角平分線的判定定理）
問題：（1）角平分線的性質定理的逆命題是____________________，
逆命題的條件是____________________結論是____________________。
（2）要證明三角形的三條角平分線交于一點，只要證明兩條角平分線的交點也在____________________上就可以了。
已知：____________________
求證：____________________
證明：____________________
定理歸納：
☆探究三：證明三角形三條角平分線交于一點（內心）
已知：____________________
求證：____________________
證明：____________________
結論：三角形的三條角平分線交于______點，并且這一點到三條邊的距離______。
引申：三角形的三條角平分線交于一點，若設這一點到其中一邊的距離為m，三邊長分別為a、b、c，則三角形的面積S=______。
課堂練習：
1．Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，AB=8cm，則DE+DC=______cm。
2．已知：如圖，已知AD為△ABC的角平分線，∠B=90°，DF⊥AC，垂足為F，DE=DC．
求證：BE=CF
（四）歸納總結，提升能力。
1．學會了：（知識點、思想方法、學習習慣等。）
2．不太懂的地方：______
3．今后努力的方向：______
（五）當堂檢測，檢查效果。
1．已知：△ABC中，BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，且交于P，若P到邊AB的距離為3cm，△ABC的周長為18cm，則△ABC的面積為______。
2．到三角形三邊距離相等的點是（ ）
A．三條中線的交點 B．三條高的交點 C．三條角平分線的交點 D．不能確定
3．已知：OP是∠MON內的一條射線，AC⊥OM，AD⊥ON，BE⊥OM，BF⊥ON，垂足分別為C、D、E、F，且AC=AD．
求證：BE=BF
4．如圖，∠C=900，AC=BC，AD是∠BAC的角平分線。
求證：AC+CD=AB
【第四課時】
【教學目標】
1．進一步熟悉證明題的題型，掌握判定直角三角形全等的斜邊、直角邊判定定理。
2．在已知一直角邊和斜邊的條件下，會用尺規(guī)作圖的方法作直角三角形。
3．能夠運用斜邊、直角邊判定定理及其它三角形全等的判定方法進行證明。
4．增強學生的合作意識，提高學生的邏輯思維能力。
【教學重難點】
1．在已知一直角邊和斜邊的條件下，會用尺規(guī)作圖的方法作直角三角形。
2．能夠運用斜邊、直角邊判定定理及其它三角形全等的判定方法進行證明。
【教學過程】
（一）前置練習，積累知識。
1．若∠A=∠D，AB=DE，則Rt△ABC與Rt△DEF_____（填“全等”或“不全等”）根據(jù)_____（簡寫）。
2．若∠A=∠D，BC=EF，則Rt△ABC與Rt△DEF_____（填“全等”或“不全等”）根據(jù)_____（簡寫）。
3．若AB=DE，BC=EF，則Rt△ABC與Rt△DEF_____（填“全等”或“不全等”）根據(jù)______（簡寫）。
4．若AB=DE，BC=EF，AC=DF，則Rt△ABC與Rt△DEF_____（填“全等”或“不全等”）根據(jù)______（簡寫）。
思考交流：判定兩個直角三角形全等，有哪些方法？
（1）三角形的內角和定理：三角形三個內角的和等于______。
（2）有一個角是______角的三角形叫做直角三角形，它通常用符號______表示。
（3）命題“直角三角形的兩個銳角互余”的條件是______，結論是______；它是______命題（填“真”“假”）。
（二）情境激趣，導入新課。
學生讀課本：交流與發(fā)現(xiàn)（2）后，書寫Rt△ABC與Rt△A′B′C′全等的證明過程。
總結：直角三角形全等的判定定理__________________________________________
這個定理可以簡單地計作“__________________”或“___________________”。
學生交流課本：交流與發(fā)現(xiàn)（3），得出結論___________________
對于創(chuàng)設情境、引入新課中的問題：如果AB=DE，AC=DF，那么兩個直角三角形是否全等？說明理由。
總結：直角三角形兩邊對應相等，如果兩邊都是直角邊，根據(jù)_______證明全等；如果兩邊是一條直角邊和一條斜邊，根據(jù)___________________來說明另一邊也相等，根據(jù)_______證明全等，也可以直接根據(jù)________證明全等。
（三）自主學習，合作探究。
1．如圖CD⊥AD，CB⊥AB，AB=AD．
求證：CD=CB
2．已知：如圖12，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F(xiàn)是垂足，，AE=CF。
求證：（1）；（2）。
（四）總結歸納，提升能力。
回顧本節(jié)課所學內容，教師作補充。
（五）當堂檢測，檢查效果。
1．如圖：Rt△ABC和Rt△DCB中，AB=DC，∠A=∠D=90°，AC與BD交與點O，則有_______≌_______，判定的根據(jù)是_______。還有_______≌_______判斷的根據(jù)是_______。
2．已知：如圖，AB=CD，DE⊥AC于E點，BF⊥AC于F，且AE=CF，∠D=60°。
求：∠A的度數(shù)。
3．已知：如圖，BE，CF為△ABC的高，且BE=CF，BE，CF交于H點。
求證：AB=AC