數(shù)學(xué)八年級上冊第2章 圖形的軸對稱綜合與測試一課一練

這是一份數(shù)學(xué)八年級上冊第2章 圖形的軸對稱綜合與測試一課一練，共18頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1．（4分）如圖，下列圖案是我國幾家銀行的標志，其中不是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）如下書寫的四個漢字，其中為軸對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）如圖，有A、B、C三個居民小區(qū)的位置成三角形，現(xiàn)決定在三個小區(qū)之間修建一個購物超市，使超市到三個小區(qū)的距離相等，則超市應(yīng)建在（ ）
A．在AC，BC兩邊高線的交點處
B．在AC，BC兩邊中線的交點處
C．在AC，BC兩邊垂直平分線的交點處
D．在∠A，∠B兩內(nèi)角平分線的交點處
4．（4分）如圖，直線l1、l2、l3分別表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建立一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可選擇的地址有（ ）
A．一處B．二處C．三處D．四處
5．（4分）等腰三角形的對稱軸是（ ）
A．頂角的平分線B．底邊上的高
C．底邊上的中線D．底邊上的高所在的直線
6．（4分）如圖，AB＝AC，BD＝BC，若∠A＝40°，則∠ABD的度數(shù)是（ ）
A．20°B．30°C．35°D．40°
7．（4分）下列說法不成立的是（ ）
A．若兩圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是對應(yīng)點連線的中垂線
B．兩圖形若關(guān)于某直線對稱，則兩圖形能重合
C．等腰三角形是軸對稱圖形
D．線段的對稱軸只有一條
8．（4分）如圖，在四邊形ABCD中，邊AB與AD關(guān)于AC對稱，則下面結(jié)論正確的是（ ）
①CA平分∠BCD；②AC平分∠BAD；③DB⊥AC；④BE＝DE．
A．②B．①②C．②③④D．①②③④
9．（4分）哪一面鏡子里是他的像（ ）
A．B．C．D．
10．（4分）一個等腰三角形但不是等邊三角形，它的角平分線、高線、中線總數(shù)共（ ）條．
A．9B．7C．6D．3
二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分）
11．（3分）等腰三角形的兩個內(nèi)角的比是1：2，則這個等腰三角形的頂角的度數(shù)是 ．
12．（3分）小明在穿衣鏡里看到身后墻上電子鐘顯示，則此時實際時刻為 ．
13．（3分）如圖所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分線，DE∥BC交AC于E，若DE＝7cm，AE＝5cm，則AC＝ cm．
14．（3分）如圖，已知AB垂直平分CD，AC＝6cm，BD＝4cm，則四邊形ADBC的周長為 ．
15．（3分）如圖所示，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝3，點A和點B關(guān)于直線l對稱，AC與l相交于點D，則△BDC的周長為 ．
16．（3分）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB，垂足為D，如果AC＝3cm，那么AE+DE的值為 ．
三、解答題（共5小題，滿分42分）
17．（4分）“西氣東輸”是造福子孫后代的創(chuàng)世工程，現(xiàn)有兩條高速公路l1、l2和兩個城鎮(zhèn)A、B（如圖），準備建一個燃氣控制中心站P，使中心站到兩條公路距離相等，并且到兩個城鎮(zhèn)的距離也相等，請你利用直尺和圓規(guī)作出中心站P的位置．（作出滿足題意的一處位置即可）
18．（8分）如圖，如果AE平分∠DAC，AE∥BC，那么你能得出AB＝AC嗎？請簡要說明理由．
19．（10分）在一次數(shù)學(xué)課上，王老師在黑板上畫出圖，如圖，并寫下了四個等式：①AB＝DC，②BE＝CE，③∠B＝∠C，④∠BAE＝∠CDE．要求同學(xué)從這四個等式中選出兩個作為條件，推出△AED是等腰三角形．請你試著完成王老師提出的要求，并說明理由．（寫出一種即可）
20．（10分）已知：點D是△ABC的邊BC的中點，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，且BF＝CE．求證：△ABC是等腰三角形．
21．（10分）等邊△ABC中，點P在△ABC內(nèi)，點Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，問△APQ是什么形狀的三角形？試說明你的結(jié)論．
答案
一、選擇題（共10小題，每小題4分，滿分40分）
1．（4分）如圖，下列圖案是我國幾家銀行的標志，其中不是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【考點】P3：軸對稱圖形．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解．
【解答】解：A、B、D都是軸對稱圖形；
C、不是軸對稱圖形．
故選：C．
【點評】軸對稱圖形的判斷方法：如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形．
2．（4分）如下書寫的四個漢字，其中為軸對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【考點】P3：軸對稱圖形．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
【解答】解：觀察書寫的四個漢字，只有“善”字是軸對稱圖形．
故選：B．
【點評】掌握好軸對稱的概念．
軸對稱的關(guān)鍵是尋找對稱軸，兩邊圖象折疊后可重合．
3．（4分）如圖，有A、B、C三個居民小區(qū)的位置成三角形，現(xiàn)決定在三個小區(qū)之間修建一個購物超市，使超市到三個小區(qū)的距離相等，則超市應(yīng)建在（ ）
A．在AC，BC兩邊高線的交點處
B．在AC，BC兩邊中線的交點處
C．在AC，BC兩邊垂直平分線的交點處
D．在∠A，∠B兩內(nèi)角平分線的交點處
【考點】KG：線段垂直平分線的性質(zhì)．
【專題】12：應(yīng)用題．
【分析】要求到三小區(qū)的距離相等，首先思考到A小區(qū)、B小區(qū)距離相等，根據(jù)線段垂直平分線定理的逆定理知滿足條件的點在線段AB的垂直平分線上，同理到B小區(qū)、C小區(qū)的距離相等的點在線段BC的垂直平分線上，于是到三個小區(qū)的距離相等的點應(yīng)是其交點，答案可得．
【解答】解：根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．
則超市應(yīng)建在AC，BC兩邊垂直平分線的交點處．
故選：C．
【點評】本題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等；此題是一道實際應(yīng)用題，做題時，可分別考慮，先滿足到兩個小區(qū)的距離相等，再滿足到另兩個小區(qū)的距離相等，交點即可得到．
4．（4分）如圖，直線l1、l2、l3分別表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建立一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可選擇的地址有（ ）
A．一處B．二處C．三處D．四處
【考點】KF：角平分線的性質(zhì)．
【專題】12：應(yīng)用題．
【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，分點P在三條公路相交的三角形地帶和地帶之外作出圖形即可得解．
【解答】解：如圖，可選擇的地址有四處．
故選D．
【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．（4分）等腰三角形的對稱軸是（ ）
A．頂角的平分線B．底邊上的高
C．底邊上的中線D．底邊上的高所在的直線
【考點】KH：等腰三角形的性質(zhì)；P2：軸對稱的性質(zhì)．
【分析】本題除了要根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)進行求解外，還要注意圖形的對稱軸是直線，而不是線段．
【解答】解：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知：頂角平分線、底邊的中、底邊的高所在的直線是等腰三角形的對稱軸．
故選：D．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和軸對稱的性質(zhì)；要注意的是圖形的對稱軸是直線，而等腰三角形的頂角平分線，底邊上的高，底邊上的中線都是線段．
6．（4分）如圖，AB＝AC，BD＝BC，若∠A＝40°，則∠ABD的度數(shù)是（ ）
A．20°B．30°C．35°D．40°
【考點】K7：三角形內(nèi)角和定理；K8：三角形的外角性質(zhì)；KH：等腰三角形的性質(zhì)．
【專題】11：計算題．
【分析】利用三角形的內(nèi)角和、外角性質(zhì)與等腰三角形的“等邊對等角”定理計算．
【解答】解：由AB＝AC、BD＝BC得∠ABC＝∠ACB、∠C＝∠BDC，
在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝∠ABC，
∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣40°）＝70°；
在△ABD中，由∠BDC＝∠A+∠ABD得
∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝70°﹣40°＝30度．
故選：B．
【點評】本綜合考查了三角形的內(nèi)角和、外角性質(zhì)與等腰三角形的“等邊對等角”定理．
7．（4分）下列說法不成立的是（ ）
A．若兩圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是對應(yīng)點連線的中垂線
B．兩圖形若關(guān)于某直線對稱，則兩圖形能重合
C．等腰三角形是軸對稱圖形
D．線段的對稱軸只有一條
【考點】P2：軸對稱的性質(zhì)．
【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)分別進行判斷即可．
【解答】解：A、若兩圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是對應(yīng)點連線的中垂線，正確，故本選項錯誤；
B、兩圖形若關(guān)于某直線對稱，則兩圖形是全等形，即能夠完全重合，正確，故本選項錯誤；
C、等腰三角形是軸對稱圖形，正確，故本選項錯誤；
D、線段有兩條對稱軸，是線段的垂直平分線和線段本身所在的直線，錯誤，故本選項正確；
故選：D．
【點評】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生理解能力和辨析能力，注意：如果兩個圖形關(guān)于某一直線對稱，那么這兩個圖形是全等形．
8．（4分）如圖，在四邊形ABCD中，邊AB與AD關(guān)于AC對稱，則下面結(jié)論正確的是（ ）
①CA平分∠BCD；②AC平分∠BAD；③DB⊥AC；④BE＝DE．
A．②B．①②C．②③④D．①②③④
【考點】P2：軸對稱的性質(zhì)．
【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出∠BAC＝∠DAC，AC⊥BD，BE＝DE，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出BC＝DC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出∠BCA＝∠DCA即可．
【解答】解：∵在四邊形ABCD中，邊AB與AD關(guān)于AC對稱，
∴∠BAC＝∠DAC，AC⊥BD，BE＝DE，
∴BC＝DC，
∴∠BCA＝∠DCA，
∴①②③④都正確；
故選：D．
【點評】本題考查了軸對稱的性質(zhì)線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生推理能力，注意：如果兩個圖形關(guān)于某一直線對稱，那么這兩個圖形是全等形，對稱軸是對應(yīng)點連線的垂直平分線．
9．（4分）哪一面鏡子里是他的像（ ）
A．B．C．D．
【考點】P4：鏡面對稱．
【分析】物體鏡子里的像，與物體成軸對稱，結(jié)合選項即可作出判斷．
【解答】解：只有選項B的圖形與原圖形成軸對稱．
故選：B．
【點評】本題考查了鏡面對稱的知識，鏡面實質(zhì)上是無數(shù)對對應(yīng)點的對稱，連接對應(yīng)點的線段與鏡面垂直并且被鏡面平分，即鏡面上有每一對對應(yīng)點的對稱軸．
10．（4分）一個等腰三角形但不是等邊三角形，它的角平分線、高線、中線總數(shù)共（ ）條．
A．9B．7C．6D．3
【考點】KH：等腰三角形的性質(zhì)．
【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合，再結(jié)合三角形的角平分線、高線、中線的定義即可求解．
【解答】解：由于任意一個三角形都有三條角平分線、三條高線、三條中線，而等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合，
所以一個等腰三角形但不是等邊三角形，它的角平分線、高線、中線總數(shù)共7條．
故選：B．
【點評】本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合，也考查了三角形的角平分線、高線、中線的定義．
二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分）
11．（3分）等腰三角形的兩個內(nèi)角的比是1：2，則這個等腰三角形的頂角的度數(shù)是 90°或36° ．
【考點】KH：等腰三角形的性質(zhì)．
【分析】根據(jù)已知條件，根據(jù)比先設(shè)出三角形的兩個角，然后進行討論，即可得出頂角的度數(shù)．
【解答】解：在△ABC中，設(shè)∠A＝x，∠B＝2x，分情況討論：
當∠A＝∠C為底角時，x+x+2x＝180°解得，x＝45°，頂角∠B＝2x＝90°；
當∠B＝∠C為底角時，2x+x+2x＝180°解得，x＝36°，頂角∠A＝x＝36°．
故這個等腰三角形的頂角度數(shù)為90°或36°．
故答案為：36°或90°．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；若題目中沒有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時要注意分情況進行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關(guān)鍵．
12．（3分）小明在穿衣鏡里看到身后墻上電子鐘顯示，則此時實際時刻為 15：51 ．
【考點】P4：鏡面對稱．
【分析】利用鏡面對稱的性質(zhì)求解．鏡面對稱的性質(zhì)：在平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰好順序顛倒，且關(guān)于鏡面對稱．
【解答】解：根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，分析可得題中所顯示的時刻與15：51成軸對稱，所以此時實際時刻為15：51．
故答案為：15：51．
【點評】本題考查鏡面反射的原理與性質(zhì)．解決此類題應(yīng)認真觀察，注意技巧．
13．（3分）如圖所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分線，DE∥BC交AC于E，若DE＝7cm，AE＝5cm，則AC＝ 12 cm．
【考點】JA：平行線的性質(zhì)；KH：等腰三角形的性質(zhì)．
【專題】11：計算題．
【分析】由CD是角平分線，可得∠ACD＝∠BCD，而DE∥BC，則∠BCD＝∠EDC，于是∠ACD＝∠EDC，再利用等角對等邊可求出DE＝CE，從而求出AC的長．
【解答】解：∵CD是∠ACB的平分線，
∴∠ACD＝∠BCD，
又∵DE∥BC，
∴∠BCD＝∠EDC．
∴∠ACD＝∠EDC．
∴DE＝CE．
∴AC＝AE+CE＝5+7＝12．
故填12．
【點評】本題利用了角平分線性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)．對線段的等量代換是正確解答本題的關(guān)鍵．
14．（3分）如圖，已知AB垂直平分CD，AC＝6cm，BD＝4cm，則四邊形ADBC的周長為 20cm ．
【考點】KG：線段垂直平分線的性質(zhì)．
【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出BC＝BD，AC＝AD，由此可得出結(jié)論．
【解答】解：∵AB垂直平分CD，
∴BC＝BD，AC＝AD．
∵AC＝6cm，BD＝4cm，
∴四邊形ADBC的周長＝AC+AD+BC+BD＝2×6+2×4＝12+8＝20（cm）．
故答案為：20cm．
【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．
15．（3分）如圖所示，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝3，點A和點B關(guān)于直線l對稱，AC與l相交于點D，則△BDC的周長為 8 ．
【考點】KH：等腰三角形的性質(zhì)；P2：軸對稱的性質(zhì)．
【分析】先根據(jù)點A和點B關(guān)于直線l對稱得出直線l是線段AB的垂直平分線，故AD＝BD，由此可得出結(jié)論．
【解答】解：∵點A和點B關(guān)于直線l對稱，
∴直線l是線段AB的垂直平分線，
∴AD＝BD．
∵AB＝AC＝5，BC＝3，
∴△BDC的周長＝BC+（BD+CD）＝BC+（AD+CD）＝BC+AC＝3+5＝8．
故答案為：8．
【點評】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，熟知如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線是解答此題的關(guān)鍵．
16．（3分）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB，垂足為D，如果AC＝3cm，那么AE+DE的值為 3cm ．
【考點】KF：角平分線的性質(zhì)．
【專題】11：計算題．
【分析】由BE為角平分線，且DE垂直于BA，EC垂直于BC，利用角平分線性質(zhì)得到DE＝CE，則AE+DE＝AE+CE＝AC，由AC的長即可得出所求式子的值．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴EC⊥BC，又BE平分∠ABC，DE⊥AB，
∴DE＝CE，又AC＝3cm，
∴AE+DE＝AE+CE＝AC＝3cm．
故答案為：3cm．
【點評】此題考查了角平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)為：角平分線上的點到角兩邊的距離相等，熟練掌握此性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
三、解答題（共5小題，滿分42分）
17．（4分）“西氣東輸”是造福子孫后代的創(chuàng)世工程，現(xiàn)有兩條高速公路l1、l2和兩個城鎮(zhèn)A、B（如圖），準備建一個燃氣控制中心站P，使中心站到兩條公路距離相等，并且到兩個城鎮(zhèn)的距離也相等，請你利用直尺和圓規(guī)作出中心站P的位置．（作出滿足題意的一處位置即可）
【考點】N4：作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖．
【分析】作出角平分線、線段AB的垂直平分線，交點就是所求．
【解答】解：
作出角平分線、線段AB的垂直平分線各（2分），標出點P得（1分）
【點評】此題考查了角平分線和線段垂直平分線的性質(zhì)以及作法，應(yīng)該掌握，考試經(jīng)常出現(xiàn)．
18．（8分）如圖，如果AE平分∠DAC，AE∥BC，那么你能得出AB＝AC嗎？請簡要說明理由．
【考點】IJ：角平分線的定義；JA：平行線的性質(zhì)．
【專題】2B：探究型．
【分析】只要得出∠B＝∠C，就可以證明AB＝AC；由AE平分∠DAC得出∠DAE＝∠CAE，由兩直線平行，內(nèi)錯角、同位角分別相等可以得出∠CAE＝∠C，∠DAE＝∠B，即可證∠C＝∠B，所以AB＝AC．
【解答】解：能得出AB＝AC，
∵AE平分∠ADC，
∴∠DAE＝∠CAE；
又∵AE∥BC，
∴∠CAE＝∠C，∠DAE＝∠B，
即∠DAE＝∠CAE＝∠C＝∠B；
∴AB＝AC．
【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，利用平行線的性質(zhì)證出內(nèi)錯角和同位角分別相等，再利用等價替換的原則求出∠C＝∠B，進而證出AB＝AC．
19．（10分）在一次數(shù)學(xué)課上，王老師在黑板上畫出圖，如圖，并寫下了四個等式：①AB＝DC，②BE＝CE，③∠B＝∠C，④∠BAE＝∠CDE．要求同學(xué)從這四個等式中選出兩個作為條件，推出△AED是等腰三角形．請你試著完成王老師提出的要求，并說明理由．（寫出一種即可）
【考點】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；KI：等腰三角形的判定．
【專題】26：開放型．
【分析】要證明△AED是等腰三角形，既可證明AE＝AD，也可證明∠EAD＝∠ADE，所以根據(jù)這兩種途徑就可以找到所需要的條件，當然要利用這些首先證明三角形全等，利用對應(yīng)邊相等或?qū)?yīng)角相等就可以得到AE＝AD或∠EAD＝∠ADE．
【解答】解：已知：①③（或①④，或②③，或②④）
證明：在△ABE和△DCE中，
∵，
∴△ABE≌△DCE，
∴AE＝DE，
即△AED是等腰三角形．
【點評】本題考查了等腰三角形的判定及全等三角形的判定及性質(zhì)；此題既要求熟練掌握全等三角形的判定，也要求熟練掌握等腰三角形的判定，三角形全等的證明是正確解答本題的關(guān)鍵．
20．（10分）已知：點D是△ABC的邊BC的中點，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，且BF＝CE．求證：△ABC是等腰三角形．
【考點】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；KI：等腰三角形的判定．
【分析】欲證△ABC是等腰三角形，又已知DE⊥AC，DF⊥AB，BF＝CE，可利用三角形中兩內(nèi)角相等來證等腰．
【解答】證明：∵D是BC的中點，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴△BDF與△CDE為直角三角形，
在Rt△BDF和Rt△CDE中，
，
∴Rt△BFD≌Rt△CED（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
【點評】考查等腰三角形的判定方法及全等三角形的判定及性質(zhì)；充分利用條件證明三角形全等是正確解答本題的關(guān)鍵．
21．（10分）等邊△ABC中，點P在△ABC內(nèi)，點Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，問△APQ是什么形狀的三角形？試說明你的結(jié)論．
【考點】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；KL：等邊三角形的判定．
【專題】2B：探究型．
【分析】先證△ABP≌△ACQ得AP＝AQ，再證∠PAQ＝60°，從而得出△APQ是等邊三角形．
【解答】解：△APQ為等邊三角形．
證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB＝AC．
在△ABP與△ACQ中，
∵，
∴△ABP≌△ACQ（SAS）．
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ．
∵∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ+∠PAC＝60°，
∴△APQ是等邊三角形．
【點評】考查了等邊三角形的判定及全等三角形的判定方法．