初中數(shù)學(xué)5 平方差公式教案

這是一份初中數(shù)學(xué)5 平方差公式教案，共16頁。教案主要包含了教學(xué)建議，知識導(dǎo)圖等內(nèi)容，歡迎下載使用。









第5講


講














平方差公式


























概述





【教學(xué)建議】


本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是使學(xué)生能掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，讓學(xué)生能夠理解在整式乘法運(yùn)算過程中如何使用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，并要對公式進(jìn)行靈活運(yùn)用，從而解決相關(guān)的規(guī)律探究問題等。


學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)時可能會在以下三個方面感到困難：


1.平方差公式的結(jié)構(gòu)特征；


2.如何應(yīng)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算；


3.與平方差公式相關(guān)的規(guī)律探索問題。





【知識導(dǎo)圖】














一、導(dǎo)入





【教學(xué)建議】


在學(xué)習(xí)平方差公式前，先要引導(dǎo)學(xué)生回顧復(fù)習(xí)整式乘法運(yùn)算的法則，讓學(xué)生充分理解多項(xiàng)式與多項(xiàng)式乘法的運(yùn)算方法，然后通過具體的練習(xí)題讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)平方差公式的運(yùn)算規(guī)律，從而加深學(xué)生對公式的理解，避免機(jī)械地記憶公式。





二、知識講解








平方差公式：兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于它們的平方差。





2.運(yùn)用平方差公式的逆應(yīng)用。


3.平方差公式的圖形驗(yàn)證（利用圖形的面積關(guān)系）。








知識點(diǎn)2 平方差公式的應(yīng)用知識點(diǎn)1 平方差公式





1.簡便計(jì)算；


2.規(guī)律探究





三、例題精析








例題1





【題干】利用平方差公式計(jì)算：


2m+3n2m-3n=___________；②-3+2x-3-2x=____________。


【答案】①4m2-9n2; ② 9-4x2


【解析】解：① 2m+3n2m-3n=2m2-3n2=4m2-9n2；


② -3+2x-3-2x=-32-2x2=9-4x2。





例題2





【題干】已知x2-y2=14，x-y=7，則x+y=___________。


【答案】2


【解析】解：x2-y2=x-y（x+y）


∴x+y=14÷7=2





例題3





【題干】先化簡，再求值：，其中．


【答案】見解析。


【解析】解：原式=22-a2+a2-4a


=4-4a


將a=-12代入得：原式=4-4×-12


=4+2


=6





例題4





【題干】計(jì)算：103×97


【答案】9991


【解析】解：103×97


=100+3100-3


=1002-32


=10000-9


=9991





例題5





【題干】觀察下列各式：；；


；……


根據(jù)前面各式的規(guī)律可得到 ．


【答案】xn+1-1


【解析】觀察整式乘法的運(yùn)算規(guī)律可得：


x-1xn+xn-1+xn-2+?+x+1=xn+1-1





四 、課堂運(yùn)用





【教學(xué)建議】


在講解過程中，教師可以區(qū)分不同難度的問題，由易到難逐步讓學(xué)生進(jìn)行理解應(yīng)用，在學(xué)生能夠基本掌握平方差公式的計(jì)算問題之后，再延伸至整式乘法的混合運(yùn)算（如整式的化簡求值問題）及規(guī)律探究問題，要著重培養(yǎng)學(xué)生的觀察總結(jié)能力。





1. 計(jì)算：①；②。


【答案】① 16b2-9a2；②c4-d4


【解析】解：① 3a+4b4b-3a=4b2-3a2=16b2-9a2


②c2-d2c2+d2=c22-d22=c4-d4


2. 已知 , 那么 a = 。


【答案】3或-3


【解析】解：x+ax-a=x2-a2=x2-9


∴a2=9


∴a=3或-3


3. 已知，求代數(shù)式的值。


【答案】0


【解析】解：原式=x2-2xy-x2-y2


=x2-2xy-x2+y2


=-2xy+y2


=-y（2x-y）


∵2x-y=0


∴原式=-y×0=0


4.利用乘法公式計(jì)算：2011×2013－20122


【答案】-1


【解析】解：2011×2013-20122


=2012-12012+1-20122


=20122-1-20122


=-1


5. 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義-種運(yùn)算“*”，其規(guī)則是a*b=a2－b2，根據(jù)這個規(guī)則，方程（x+3）*4=0的解是 。


【答案】1或-7


【解析】解：（x+3）*4=0


（x+3）2-42=0


∴ x+3=4或-4


∴x=1或-7





鞏固基礎(chǔ)





1.計(jì)算：


【答案】a2-2ac+c2-b2。


【解析】解：a+b-ca-b-c


=a-c+ba-c+b


=a-c2-b2


=a2-2ac+c2-b2


-b-c PAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXX


2. 的運(yùn)算結(jié)果是（ ）


A、 B、1 C、 D、


【答案】B


【解析】解：原式=a4+1-a21+a2


=a4+1-a4


=1


故選B。





3.計(jì)算：2+122+124+128+1


【答案】見解析。


【解析】解: 2+122+124+128+1


=2-12+122+124+128+1


=(22-1)22+124+128+1


=(24-1)24+128+1


=(28-1)28+1


=216-1


4. 符號“”稱為二階行列式，規(guī)定它的運(yùn)算法則為：.


（1）計(jì)算： ＝ ；（直接寫出答案）


（2）化簡二階行列式： .


【答案】見解析。


【解析】解：（1）2435=2×5-3×4=10-12=-2；


（2）a+2b0.5a-b4ba-2b=a+2ba-2b-4b0.5a-b


=a2-4b2-2ab+4b2


=a2-2ab





拔高





已知，則a2-b2+4b= 。


【答案】4


【解析】解：a2-b2+4b


=a+ba-b+4b


=2a-b+4b


=2a-2b+4b


=2a+2b


=2（a+b）


=4


2.從邊長為a的大正方形紙板中挖去一個邊長為b的小正方形紙板后，將其裁成四個相同的等腰梯形（如圖甲），然后拼成一個平行四邊形（如圖乙）．那么通過計(jì)算兩個圖形陰影部分的面積，可以驗(yàn)證成立的公式為（ ）





A．a(chǎn)2﹣b2=（a﹣b）2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2


C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 D．a(chǎn)2﹣b2=（a+b）（a﹣b）


【答案】D


【解析】圖甲中陰影部分面積為：a2﹣b2


圖乙的面積為：a+ba-b


∴a2﹣b2=a+ba-b


3. 如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”．如， ，，因此4，12，20都是“神秘?cái)?shù)”


（1）28和2012這兩個數(shù)是“神秘?cái)?shù)”嗎？為什么？


（2）設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k（其中k取非負(fù)整數(shù)），由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘?cái)?shù)是4的倍數(shù)嗎？為什么？


（3）兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差（取正數(shù)）是神秘?cái)?shù)嗎？為什么？


【答案】（1）是，理由見解析；（2）是，理由見解析；（3）不是，理由見解析．


【解析】解：（1）28=4×7=82-62


2012=4×503=5042-5022


∴這兩個數(shù)都是神秘?cái)?shù)


（2）（2k+2）2-（2k）2


=（2k+2-2k）（2k+2+2k）


=2×[2（k+1+k）]


=4（2k+1）


∴由2k+2和2k構(gòu)造的神秘?cái)?shù)是4的倍數(shù)


（3）設(shè)兩個連續(xù)奇數(shù)為2k+1和2k-1，


則（2k+1）2-（2k-1）2


=（2k+1+2k-1）（2k+1-2k+1）


=4k×2


=8k，


∴兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差不是神秘?cái)?shù)








課堂小結(jié)





1．平方差公式：


2.平方差公式的圖形驗(yàn)證。


3.靈活應(yīng)用平方差公式。











擴(kuò)展延伸








基礎(chǔ)





1. 下列計(jì)算結(jié)果正確的是 ( )


A. B.


C. D.


【答案】A


【解析】分析判斷各式是否符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特征再進(jìn)行計(jì)算。


2. 計(jì)算：1102－109×111=_______。


【答案】1


【解析】解：1102－109×111


=1102-110-1110+1


=1102-（ 1102-1）


=1102- 1102+1


=1


3. 先化簡，再求值：（x+y）（x－y）－x（x+y）+2xy，其中x=3-p0，y=2.


【答案】見解析。


【解析】解：原式=x2-y2-x2-xy+2xy


=-y2+xy


∵ x=3-p0=1，y=2


∴ 原式=-y2+xy=-4+1×2=-2


4. 對于數(shù)a，b，c，d，規(guī)定一種運(yùn)算=ad－bc，如=1×（－2）－0×2=－2，那么當(dāng)=27時，則x= 。


【答案】22


【解析】解：（x+1）（x+2）（x-3）（x-1）=x+1x-1-（x-3）（x+2）


=x2-1-（x2-x-6）


=x2-1-x2+x+6


=x+5


∴ x+5=27


∴ x=22





鞏固





已知2a2＋3a－6＝0，求代數(shù)式3a（2a＋1）－（2a＋1）（2a－1）的值。


【答案】見解析


【解析】解：原式 ＝3a（2a＋l）－（2a＋1）（2a－1）


＝6a2＋3a－4a2＋1


＝2a2＋3a＋1


∵ 2a2＋3a－6＝0


∴ 2a2＋3a＝6


∴原式＝7


2. 同學(xué)們已經(jīng)體會到靈活運(yùn)用乘法公式給整式乘法帶來的方便，快捷．相信通過下面材料的學(xué)習(xí)探究，會使你大開眼界并獲得成功的喜悅．


例：用簡便方法計(jì)算195×205．


解：195×205


=（200-5）（200+5） ①


= ②


=39975


（1）例題求解過程中，第②步變形是利用 （填乘法公式的名稱）；


（2）用簡便方法計(jì)算：9×11×101×10001。


【答案】（1）平方差公式；（2）108-1


【解析】解：（2）9×11×101×10001


=10-110+1100+110000+1


=100-1100+110000+1


=10000-110000+1


=108-1


3. 解方程 xx+5+2xx-4=3x+1（x-1）


【答案】見解析


【解析】解：xx+5+2xx-4=3x+1（x-1）


x2+5x+2x2-8x=3x2-3


-3x=-3


x=1





拔高





對于任意自然數(shù) n,n+72-n-52是否能被24整除？為什么


【答案】能，原因見解析


【解析】解：n+72-n-52


=n+7+n-5n+7-n+5


=2n+2×12


=24n+1


∵n為自然數(shù)


∴24n+1能被24整除，即原式能夠被24整除。


2.計(jì)算：3+132+134+138+1316+1332+1364+1


【答案】見解析


【解析】解：3+132+134+138+1316+1332+1364+1


=123-13+132+134+138+1316+1332+1364+1


=12(32-1)32+134+138+1316+1332+1364+1


=12(34-1)34+138+1316+1332+1364+1


=12(3128-1)


3. 觀察下列各式：32－12=4×2，102－82=4×9，172－152=4×16…你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？


（1）試用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：352－332=4× ，642－622=4× ．


（2）請你用含一個字母n(n≥1)的等式將上面各式呈現(xiàn)的規(guī)律表示出來，并用所學(xué)數(shù)學(xué)知識說明你所寫式子的正確性．


【答案】（1）32，64；（2），說明見解析


【解析】解： （1）.


（2）可以得出規(guī)律：，說明如下：


∵左邊=，右邊=4n+4，


∴.


4. 你能化簡（）()嗎？我們不妨先從簡單情況入手，現(xiàn)規(guī)律，歸納結(jié)論.


（1）先填空：（）()= ；()()= ； ()()= ；……


由此猜想（）()= .


（2）利用這個結(jié)論，你能解決下面兩個問題嗎？


①2199＋2198＋2197＋……＋22＋2＋1 ；


，則等于多少？


【答案】1a2-1；a3-1；a4-1；a100-1；（2）①2200-1；②1.


【解析】解：（1）觀察得到規(guī)律即可。


（2）①利用所得規(guī)律可知：2-12199＋2198＋2197＋……＋22＋2＋1=2200-1；


∴2199＋2198＋2197＋……＋22＋2＋1=2200-1


② a-1a5+a4+a3+a2+a=a6-1


∵a5+a4+a3+a2+a=0


∴a6-1=0


∴a6=1











教學(xué)反思教學(xué)過程





適用學(xué)科
初中數(shù)學(xué)
適用年級
初中一年級
適用區(qū)域
北師版區(qū)域
課時時長（分鐘）
120
知識點(diǎn)
1.平方差公式；


2.計(jì)算題；


3.規(guī)律探究。
教學(xué)目標(biāo)
1.能夠推導(dǎo)平方差公式，理解剖腹產(chǎn)公式的結(jié)構(gòu)特征；


2.能夠運(yùn)用平方差公式進(jìn)行整式乘法的運(yùn)算。
教學(xué)重點(diǎn)
理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，會運(yùn)用公式進(jìn)行運(yùn)算。
教學(xué)難點(diǎn)
平方差公式的靈活運(yùn)用。