專題6.8.余角和補角-七年級上冊數(shù)學(xué)講義（浙教版（2024））

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專題6.8.余角和補角學(xué)習(xí)目標(biāo) 1、掌握互為余角和互為補角的概念及性質(zhì)； 2、會用余角、補角性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計算； 3、掌握方位角的相關(guān)概念及計算。 目錄導(dǎo)航  TOC \o "1-4" \h \z \u  HYPERLINK \l "_Toc11081" 模塊1：知識梳理  PAGEREF _Toc11081 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc3629" 模塊2：核心考點  PAGEREF _Toc3629 \h 3  TOC \o "1-4" \h \z \u  HYPERLINK \l "_Toc32165" 考點1.求一個角的余角  PAGEREF _Toc32165 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc5663" 考點2.求一個角的補角  PAGEREF _Toc5663 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc13052" 考點3.與余角、補角有關(guān)的計算  PAGEREF _Toc13052 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc1466" 考點4.同（等）角的余（補）角相等的應(yīng)用  PAGEREF _Toc1466 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc15603" 考點5.鄰補角的定義理解  PAGEREF _Toc15603 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc18076" 考點6.利用鄰補角互補求角度  PAGEREF _Toc18076 \h 8  HYPERLINK \l "_Toc8851" 考點7.方位角的表示  PAGEREF _Toc8851 \h 9  HYPERLINK \l "_Toc20234" 考點8.方位角中的角度計算  PAGEREF _Toc20234 \h 11  HYPERLINK \l "_Toc18560" 模塊3：能力培優(yōu) 13  知識梳理 1.余角、補角 （1）余角：如果兩個銳角的和為直角，我們就說這兩個角互為余角，簡稱互余。 即∠1+∠2＝90°， 則∠1與∠2互為余角。也可以說一個角是另一個角的余角。 （2）補角：如果兩個角的和為平角，則這兩個角互為補角，簡稱互補。 若∠1+∠2＝180°，則∠1與∠2互為補角。也可以說一個角是另一個角的補角。 （3）性質(zhì)：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的補角相等。 注意：①余角(或補角)是兩個角的關(guān)系，是成對出現(xiàn)的，單獨一個角不能稱其為余角（或補角）。 ②一個角的余角（或補角）可以不止一個，但是它們的度數(shù)是相同的. ③只考慮數(shù)量關(guān)系，與位置無關(guān)． ④“等角是相等的幾個角”，而“同角是同一個角”． 2.方位角：以正北、正南方向為基準(zhǔn)，描述物體運動的方向，這種表示方向的角叫做方位角. （1）方位角還可以看成是將正北或正南的射線旋轉(zhuǎn)一定角度而形成的。所以在應(yīng)用中一要確定其始邊是正北還是正南。二要確定其旋轉(zhuǎn)方向是向東還是向西。三要確定旋轉(zhuǎn)角度的大小。 （2）北偏東45 °通常叫做東北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏東45 °通常叫做東南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向. （3）方位角在航行、測繪等實際生活中的應(yīng)用十分廣泛. 核心考點 考點1.求一個角的余角 1．（24-25七年級上·河北石家莊·期中）已知，與互余，則 ． 2．（23-24七年級下·陜西渭南·期末）若，則的余角等于 °． 3．（23-24七年級下·河南鄭州·期末）已知，則的余角的度數(shù)為 ． 考點2.求一個角的補角 1．（24-25九年級上·云南文山·期中）如圖，，則的大小是（???） A． B． C． D． 2．（23-24七年級·廣東清遠(yuǎn)·期中）圖中，的補角是（????） A． B． C． D． 3．（2024·廣東中山·模擬預(yù)測）已知，則的補角為（???） A． B． C．30° D． 考點3.與余角、補角有關(guān)的計算 1．（24-25七年級上·黑龍江大慶·階段練習(xí)）如圖，已知直線與相交于點O，、分別是、的平分線．(1)的補角是_____；(2)若，求和的度數(shù)； 2．（23-24七年級下·河南鄭州·期中）與互余，與互補，，那么 ． 3．（23-24七年級上·山東濟寧·期末）已知點O為直線上一點，，在內(nèi)部作射線，且恰好平分．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，求的度數(shù)． 考點4.同（等）角的余（補）角相等的應(yīng)用 1．（23-24七年級上·甘肅平?jīng)觥て谀┤?，，則與的關(guān)系是（??） A．互補 B．互余 C．相等 D．無法確定 2．（23-24七年級·云南昭通·期末）將一副三角板分別按圖中位置擺放，下列說法正確的是（????） ?? A． B． C． D． 3．（2023·福建廈門·七年級統(tǒng)考期末）下列推理錯誤的是（????） A．因為，所以 B．因為，所以 C．因為，所以 D．因為，所以 考點5.鄰補角的定義理解 1．（2023·黑龍江綏化·七年級統(tǒng)考期末）如圖，圖中鄰補角有幾對（????） ?? A．4對 B．5對 C．6對 D．8對 2．（2023春·河北承德·七年級統(tǒng)考期末）下列四個選項中，與互為鄰補角的是（????） A．??B．??C．?D．?? 3.（2023秋·福建福州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線AB、MN相交于一點O，，則∠COM的鄰補角是（????） A．∠AON B．∠AOC C．∠NOC D．∠MOB 考點6.利用鄰補角互補求角度 1．（23-24七年級上·江西贛州·期末）如圖，已知點M，O，N在同一條直線上，，則 ． 2．（2023·上海嘉定·七年級?？计谀┤鐖D，已知直線、相交于點O，平分，，那么的度數(shù)是（????） A． B． C． D． 3.（2023·福建龍巖·七年級校考階段練習(xí)）如圖，直線和交于點O，．，則的度數(shù)為 ． ?? 考點7.方位角的表示 1．（2023秋·黑龍江綏化·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，山東省在北京市的（????）. ?? A．西偏南方向 B．東偏南方向 C．西偏北方向 D．北偏西方向 2．（2023秋·浙江寧波·七年級統(tǒng)考開學(xué)考試）在一次臺球比賽中，運動員需要把臺球A向 （填方向） 撞擊B球，使B被擊進(jìn)袋中． ???? 3．（2023秋·廣東肇慶·七年級?？奸_學(xué)考試）如圖是小紅家附近的平面示意圖． ?? (1)火車站位于體育場的________面________m處，百貨大樓位于少年宮的________偏________，________方向________m處． (2)從汽車站去百貨大樓，要先往________方向走_(dá)_______m到少年宮，再往________偏________，________°方向走_(dá)_______m到百貨大樓． (3)小兵家位于火車站的西偏北方向600m處，請在圖中標(biāo)出來． 考點8.方位角中的角度計算 1．（2023秋·黑龍江哈爾濱·七年級?？茧A段練習(xí)）甲從點出發(fā)，沿北偏西走了米到達(dá)點，乙從點出發(fā)，沿南偏東方向走了米到達(dá)點，則為（????） A． B． C． D． 2．（2024·山西臨汾·七年級統(tǒng)考期末）如圖，甲從點出發(fā)向北偏東方向走至點，乙從點出發(fā)向南偏西方向走至，則的度數(shù)是(????) ?? A． B． C． D． 3．（2024上海楊浦·七年級校考期末）從世博地圖可知，亞洲聯(lián)合館（A 點）在中國國家館（O 點）的北偏東，太平洋聯(lián)合館（B點）在中國國家館的北偏西，則等于（ ） A． B． C． D． 能力培優(yōu) 全卷共25題 測試時間：70分鐘 試卷滿分：120分 一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．（23-24七年級上·浙江·課后作業(yè)）如圖，為直角，是的平分線，且，則的度數(shù)是（???） A． B． C． D． 2．（23-24七年級上·山東濟寧·期中）如圖，用量角器度量幾個角的度數(shù)，下列結(jié)論正確的有（???） ①；②與互補；③；④是的余角；⑤平分． A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 3．（24-25七年級上·浙江·課后作業(yè)）已知，，若，則與的關(guān)系是（???） A． B． C． D．無法確定 4．（23-24七年級上·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，一副三角尺的直角頂點O重合在一起，若，則的度數(shù)為（????） A． B． C． D． 5．（2023春·福建泉州·七年級?？计谥校┫铝袌D形中，與是鄰補角的是（????） A．?? B．?? C．?? D．?? 6．（23-24七年級下·四川達(dá)州·階段練習(xí)）若和互補，與互補，若，則（????） A．28° B．68° ??? C．118° D．90° 7．（23-24六年級下·山東威?！て谀⒁桓比前迦鐖D擺放，則與互為補角的是(???) A．??B．??C．?? D．?? 8．（22-23七年級·山西呂梁·期中）如圖，已知，，，則的度數(shù)為（??） A． B． C． D． 9．（23-24七年級上·福建廈門·期末）下列推理正確的是（????） A． B． C．， D．與互余，與互余與互余 10．（23-24七年級·河北保定·期中）如圖，在同一平面內(nèi)，，，點為反向延長線上一點（題中所有角均指小于的角）．給出下列結(jié)論：①；②；③．其中結(jié)論一定正確的是（????） ?? A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 11．（24-25七年級上·浙江·期末）如圖，將三個大小不同的正方形的一個頂點重合放置，則三個角的數(shù)量關(guān)系為（　　） A． B． C． D． 12．（2023秋·山東菏澤·七年級?？计谀┤鐖D，小明從A處沿南偏西方向行走至點B處，又從點B處沿北偏西方向行走至點E處，則∠ABE＝（　?。? A． B． C． D． 二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上） 13．（24-25七年級上·河北石家莊·期中）若的余角為，則的補角的大小是 ． 14．（24-25七年級上·浙江·課后作業(yè)）若，則與的關(guān)系是 ． 15．（24-25七年級上·河北邢臺·期中）一位同學(xué)利用如圖所示的量角器、采用如圖1所示的方法測量銳角的度數(shù)，其中量角器有兩條刻度線分別在射線、上、則的度數(shù)為 ，另外一位同學(xué)用同樣的方法，測量的余角的度數(shù)，如圖2所示，已知射線所指示的度數(shù)為，則射線所指示的度數(shù)為 ． 16．（23-24七年級下·河北石家莊·開學(xué)考試）如圖所示，已知，并給出下列說法：；與互補；的余角只有；⑤若則，其中一定正確的是 ．（填序號） 17．（22-23七年級上·廣東梅州·階段練習(xí)）如圖，把一個三角板繞點旋轉(zhuǎn)一定的角度，若，則 ，你的理由是 ． 18．（24-25七年級上·浙江·課后作業(yè)）如圖，，則圖中三個角的數(shù)量關(guān)系是 ． 三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 19．（24-25七年級上·浙江·課后作業(yè)）如圖，直線與相交于點O，射線分別是的平分線．(1)請寫出的所有余角；(2)請寫出的所有補角． 20．（23-24七年級上·四川成都·期末）如圖1，和都是直角． ?? (1)如果，求的度數(shù)； (2)當(dāng)變小時，則的度數(shù)______（填“變大”、“不變”或“變小”）； (3)在圖2中利用能夠畫直角的工具畫一個與相等的角． 21．（2024七年級上·浙江·專題練習(xí)）如圖，直角三角板的直角頂點O在直線上，平分． (1)比較和的大小，并說明理由；(2)若平分，求的度數(shù)． 22．（24-25七年級上·河北邢臺·期中）如圖，平分，平分，如果與互余，那么與有什么數(shù)量關(guān)系？請判斷并說明理由． 小剛的解答過程如下： 與的數(shù)量關(guān)系是①_____． 理由：因為平分，平分， 所以，②_____， 所以．…… (1)小剛解答過程中的①應(yīng)填的內(nèi)容是_____；②應(yīng)填的內(nèi)容是_____．(2)將小剛后續(xù)的解題過程補充完整． 23．（23-24七年級上·遼寧撫順·階段練習(xí)）如圖，已知，與互余，平分．(1)在圖1中，若，則_________，_________； (2)在圖2中，設(shè)，請?zhí)骄喀僚cβ之間的數(shù)量關(guān)系． 24．（2024七年級上·浙江·專題練習(xí)）已知O為直線上的一點，． (1)如圖①，以O(shè)為觀察中心，射線表示正北方向，表示正東方向． ①若，則射線的方向是_________； ②與的關(guān)系為_________； ③與的關(guān)系為_________． (2)若將射線、射線繞點O旋轉(zhuǎn)至如圖②所示的位置，另一條射線恰好平分．若，求的度數(shù)； (3)若將射線、射線繞點O旋轉(zhuǎn)至如圖③所示的位置，射線仍然平分與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由． 25．（23-24七年級上·廣東汕頭·期末）已知正方形的每個角都等于，請解決下列問題： (1)如圖1所示，將兩個正方形的一個頂點重合放置，若，則_______度． (2)如圖2所示，將三個正方形的一個頂點重合放置，若，，求的度數(shù)． (3)如圖3所示，將三個正方形的一個頂點重合放置，若平分，則平分嗎？為什么？