黑龍江省龍東地區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期階段測試（期中）（三）數(shù)學(xué)試卷（解析版）

這是一份黑龍江省龍東地區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期階段測試（期中）（三）數(shù)學(xué)試卷（解析版），共12頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 拋物線的準(zhǔn)線方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由拋物線方程可知，
故準(zhǔn)線方程為：.
故選：B.
2. 若橢圓焦點(diǎn)在軸上且經(jīng)過點(diǎn)，焦距為6，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由題意得橢圓焦點(diǎn)在軸上且經(jīng)過點(diǎn)，焦距為6，
所以，則，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：B.
3. 在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到x軸的距離為（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】D
【解析】在空間直角坐標(biāo)系中，
過作平面，垂足為，
則軸，
在坐標(biāo)平面內(nèi)，過作軸，與軸交于，
由，則，，
由，平面，平面，
則軸平面，平面，
則軸，故即點(diǎn)到x軸的距離，
則.
故選：D.
4. 若直線與曲線有兩個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由題意，直線的方程可化為，所以直線恒過定點(diǎn)，，可化為其表示以為圓心，半徑為2的圓的一部分，如圖.
當(dāng)與該曲線相切時，點(diǎn)到直線的距離，解得.
設(shè)，則.由圖可得，若要使直線與曲線有兩個交點(diǎn)，則.
故選：C.
5. 已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，虛軸長為，離心率為，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由雙曲線，可得，
所以，
所以雙曲線的左頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)，故AB錯誤；
虛軸長，故C錯誤；
離心率，故D正確.
故選：D.
6. 分別是拋物線 和 軸上的動點(diǎn)， ，則 的最小值為（ ）
A. 5B. C. D. 2
【答案】D
【解析】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，無論在何處，PQ的最小值都是到軸的距離，
所以的最小值和到軸的距離之和的最小值和到準(zhǔn)線的距離之和減去最小，
根據(jù)拋物線的定義問題轉(zhuǎn)化為最小，顯然當(dāng)三點(diǎn)共線時最小，最小值為.
故選：D.
7. 黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為，把稱為黃金分割數(shù)．已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的焦距與長軸長的比值恰好是黃金分割數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】焦點(diǎn)在軸上的橢圓中，，，
所以．
由題意得，即，即，
解得．
故選：A．
8. 雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)為，，直線l過點(diǎn)且平行于C的一條漸近線，l交C于點(diǎn)P，若，則C的離心率為（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】C
【解析】設(shè)Px,y，由對稱性可知P點(diǎn)在x軸上方或者下方不影響結(jié)果，不妨令P點(diǎn)在x軸下方，如圖：
設(shè)F1-c,0、，，雙曲線其中一條漸近線為，
直線的方程為，①
由，得，
即直線的斜率為，直線方程為，②
由點(diǎn)Px,y在雙曲線上，得，③
聯(lián)立①③，得，聯(lián)立①②，得，
則，即，因此，
所以離心率．
故選：C.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知圓的方程為，圓的方程為，其中a，．那么這兩個圓的位置關(guān)系可能為（ ）
A. 外離B. 外切C. 內(nèi)含D. 內(nèi)切
【答案】ABD
【解析】由題意可得圓心，半徑，圓心，半徑，
則，所以兩圓不可能內(nèi)含．
故選：ABD．
10. 已知曲線的方程為，則（ ）
A. 當(dāng)時，曲線表示一個圓
B. 當(dāng)時，曲線表示橢圓
C. 當(dāng)時，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線
D. 當(dāng)時，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線
【答案】ACD
【解析】當(dāng)時，曲線是，故A正確；
當(dāng)時，曲線表示一個圓，故B錯誤；
當(dāng)時，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，故C正確；
當(dāng)時，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，故D正確.
故選：ACD.
11. 已知橢圓，且兩個焦點(diǎn)分別為，，是橢圓上任意一點(diǎn)，以下結(jié)論正確是（ ）
A. 橢圓的離心率為B. 的周長為12
C. 的最小值為3D. 的最大值為16
【答案】BD
【解析】橢圓，則
對于A：，故A錯誤；
對于B：的周長為，故B正確；
對于C：的最小值為，故C錯誤；
對于D：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故D正確．
故選：BD．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，則的最小值是__________．
【答案】
【解析】
.
當(dāng)時，等號成立.
所以的最小值是.
13. 設(shè)、為雙曲線Γ：左、右焦點(diǎn)，且Γ的離心率為，若點(diǎn)M在Γ的右支上，直線與Γ的左支相交于點(diǎn)N，且，則______.
【答案】3
【解析】如圖，畫出草圖．
由的離心率為，且，可得，解得.
因?yàn)椋?br>所以由雙曲線的定義，可得.
14. 已知分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，則的離心率為__________，內(nèi)切圓的半徑為__________.
【答案】
【解析】第一空，將代入中，，
即，，則橢圓方程為，
離心率為：.
第二空，如圖所示，

易得，
則，，，
因?yàn)?為三角形周長，為內(nèi)切圓半徑).
又，代入得，解得.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知圓經(jīng)過點(diǎn)，且被直線平分.
（1）求圓的一般方程；
（2）設(shè)是圓上的動點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.
解：（1）直線恒過點(diǎn).
因?yàn)閳A恒被直線平分，所以恒過圓心，
所以圓心坐標(biāo)為，又圓經(jīng)過點(diǎn)，所以圓的半徑，
所以圓的方程為，即.
（2）設(shè).因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)辄c(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，所以，
即，所以的軌跡方程為.
16. 已知動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與動點(diǎn)到定直線的距離相等，若動點(diǎn)的軌跡記為曲線．
（1）求的方程；
（2）不過點(diǎn)的直線與交于橫坐標(biāo)不相等的A，B兩點(diǎn)，且，若的垂直平分線交軸于點(diǎn)，證明：為定點(diǎn)．
（1）解：因?yàn)閯狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離與動點(diǎn)到定直線的距離相等，
所以動點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在軸，開口朝右的拋物線，此時，
則曲線的方程為；
（2）證明：設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立，消去并整理得，
此時，
解得，
由韋達(dá)定理得，，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以，解得?br>設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，此時，
所以直線方程為，
令，解得．
故點(diǎn)為定點(diǎn)，坐標(biāo)為．
17. 如圖，在棱長為1的正方體中，為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)．
（1）求直線到直線的距離；
（2）求直線到平面的距離．
解：（1）建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
，，
因?yàn)椋?，即?br>所以點(diǎn)到直線的距離即為直線到直線的距離，
，，，，
所以直線到直線的距離為；
（2）因?yàn)?，平面，平面，所以平面?br>所以直線到平面的距離等于到平面的距離，
,，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，即，取，可得，
所以到平面的距離為，
所以直線到平面的距離為.
18. 已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，短軸長為，點(diǎn)在上.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，求周長的最大值；
（3）過的左焦點(diǎn)，且斜率不為零的直線交于兩點(diǎn)，求面積的最大值.
解：（1）依題意，，且，解得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由（1）知，，而，則，
周長，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是線段的延長線與橢圓的交點(diǎn)時取等號，
所以周長的最大值為.
（2）設(shè)直線的方程為，，
由消去得：，顯然，，
，
因此面積，
令，，
顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則當(dāng)，即時，取得最小值，
所以當(dāng)時，面積取得最大值3.
19. 過雙曲線（常數(shù)）上任意一點(diǎn)A作軸，交y軸于點(diǎn)E，作軸，交x軸于點(diǎn)F，得到矩形AEOF，則它的面積S＝k，k是與點(diǎn)A位置無關(guān)的常數(shù)，試把這個結(jié)論推廣到一般雙曲線，并證明你的推廣．
解：推廣結(jié)論：設(shè)A是雙曲線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A分別作漸近線的平行線AE、AF，并分別交漸近線于E、F，得到平行四邊形AEOF，則平行四邊形AEOF的面積S是與點(diǎn)A位置無關(guān)的常數(shù)．
證明：設(shè)，直線AE的方程為，
聯(lián)立方程組，解得交點(diǎn)，
則，
點(diǎn)A到OE的距離，
平行四邊形AEOF的面積，
又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，即，
所以，是與點(diǎn)A位置無關(guān)的常數(shù)．