第03講 兩條直線的平行與垂直（2知識(shí)點(diǎn)+6考點(diǎn)+過關(guān)檢測(cè)）-【暑假自學(xué)課】2025年新高二數(shù)學(xué)暑假提升精品講義（蘇教版2019）

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第一步：導(dǎo)
串知識(shí) 識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)明確內(nèi)容掌握
第二步：學(xué)
析教材 學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)
練考點(diǎn) 強(qiáng)知識(shí)：7大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練
第三步：測(cè)
過關(guān)測(cè) 穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升
知識(shí)導(dǎo)圖梳理
學(xué)習(xí)目標(biāo)明確
1．能根據(jù)斜率判斷兩條直線平行或垂直；
2．能應(yīng)用兩條直線平行或垂直解決有關(guān)問題．
知識(shí)點(diǎn)1 兩條直線平行的判定
1、通過斜率判斷直線平行
對(duì)于兩條不重合的直線，其斜率分別為，當(dāng)，具體關(guān)系如下表所示
2、通過一般式方程判斷直線平行
已知直線的方程分別是（不同時(shí)為0），（不同時(shí)為0），若
（24-25高二上·廣西南寧·期中）在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線與的位置關(guān)系是（ ）
A．平行B．相交C．重合D．垂直
【答案】A
【解析】兩直線的斜率都是2，但在軸上的截距分別為：3，-5，
故兩直線平行，故選：A
知識(shí)點(diǎn)2 兩條直線垂直的判定
1、通過斜率判斷直線垂直
2、通過一般式判斷直線垂直
已知直線的方程分別是（不同時(shí)為0），（不同時(shí)為0），若
（24-25高二上·湖北宜昌·期中）直線和直線的位置關(guān)系為（ ）
A．垂直B．平行C．重合D．相交但不垂直
【答案】A
【解析】直線和直線的斜率分別為，，
因?yàn)?，所?故選：A
考點(diǎn)一：兩條直線平行的判斷
例1．（24-25高二上·河北承德·月考）已知直線的傾斜角為，直線經(jīng)過點(diǎn)，則直線的位置關(guān)系是（ ）
A．平行或重合B．平行C．垂直D．重合
【答案】A
【解析】依題意，直線的斜率，直線的斜率，
即，所以或重合.故選：A
【變式1-1】已知，則直線與的位置關(guān)系是（ ）
A．垂直B．平行C．重合D．相交但不垂直
【答案】B
【解析】，
由圖可知不共線，所以．故選：B
【變式1-2】若直線的傾斜角為135°，直線經(jīng)過點(diǎn)，，則直線與的位置關(guān)系是 ．
【答案】平行或重合
【解析】直線的傾斜角為135°，故斜率．
由經(jīng)過點(diǎn)，，得，
所以，所以直線與平行或重合．
【變式1-3】（23-24高二上·陜西西安·期末）（多選）若直線，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】設(shè)的斜率分別為，
結(jié)合題意易得：，
因?yàn)?，所?br>因?yàn)榍?，所?故選：BD.
考點(diǎn)二：已知直線平行求參數(shù)
例2.（24-25高二下·安徽銅陵·月考）已知直線與直線互相平行，則m為（ ）
A．B．-2C．-2或2D．2
【答案】D
【解析】因?yàn)橹本€與直線互相平行，
所以，解得或，
又因?yàn)闀r(shí)，兩直線重合，不符合題意，舍去.
所以，.故選：D.
【變式2-1】（23-24高二上·云南昭通·期中）已知直線與平行，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)橹本€與平行，
所以，得.故選：D
【變式2-2】（24-25高二上·江蘇南京·月考）設(shè)為實(shí)數(shù)，已知直線，，若，則（ ）
A．6B．C．6或D．或3
【答案】A
【解析】因?yàn)?，所以，解得或?br>當(dāng)時(shí)，，滿足與平行；
當(dāng)時(shí)，，可判斷此時(shí)與重合，舍去；
所以.故選：A．
【變式2-3】（24-25高二上·廣東清遠(yuǎn)·月考）已知兩條直線，且，則m的值為（ ）
A．B．1C．或1D．2或
【答案】B
【解析】斜率不可能同時(shí)不存在，
和斜率相等，
則或，
時(shí)，，和重合，
當(dāng)時(shí)，，和不重合，
故．
另解：，故．故選：B．
考點(diǎn)三：兩條直線垂直的判斷
例3.（24-25高二上·河南開封·期中）直線和直線的位置關(guān)系為（ ）
A．垂直B．平行C．重合D．相交但不垂直
【答案】A
【解析】直線和直線的斜率分別為，
因?yàn)椋裕蔬x：A．
【變式3-1】（24-25高二上·廣東東莞·月考）已知直線經(jīng)過，兩點(diǎn)，直線的傾斜角為，那么與（ ）
A．垂直B．平行C．重合D．相交但不垂直
【答案】A
【解析】由題意，
所以，所以.故選：A.
【變式3-2】（24-25高二上·江蘇南通·期末）以為頂點(diǎn)的三角形是（ ）
A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等邊三角形
【答案】B
【解析】因?yàn)?，
所以 ,故
因此該三角形為直角三角形.故選：B.
【變式3-3】（24-25高二上·江蘇淮安·期中）下列哪條直線與直線垂直（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】直線的斜率為2,
若直線m與直線垂直，則，，
對(duì)于A,的斜率為2,不與直線垂直;
對(duì)于B,的斜率為2,不與直線垂直;
對(duì)于C,的斜率為-1，不與直線垂直；
對(duì)于D,的斜率為 ,與直線垂直.故選:D.
考點(diǎn)四：已知直線垂直求參數(shù)
例4.（24-25高二下·河南新鄉(xiāng)·期中）若直線與互相垂直，則（ ）
A．0B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意可知直線的斜率，
當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，不滿足；
當(dāng)時(shí)，直線的斜率，
由，得，即，解得．故選：B
【變式4-1】（24-25高二下·北京·月考）若直線 與直線 垂直，則實(shí)數(shù)為（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，可得，解得.故選：C.
【變式4-2】（24-25高二上·河北邢臺(tái)·月考）直線與直線垂直，則（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)橹本€與直線垂直，
所以，解得，故D正確.故選：D
【變式4-3】（24-25高二上·廣東汕頭·月考）已知點(diǎn)，直線AB與直線CD垂直，則
【答案】0或5
【解析】直線AB與直線CD垂直，故，
其中，
故，
解得或5.
考點(diǎn)五：根據(jù)平行垂直求直線方程
例5. （24-25高二上·云南曲靖·期末）經(jīng)過點(diǎn)且與直線平行的直線是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)與直線平行的直線為：，
因?yàn)檫^點(diǎn)，所以，解得：.
故經(jīng)過點(diǎn)且與直線平行的直線是，
即.故選：A.
【變式5-1】（24-25高二上·湖南長沙·月考）與直線平行，且在軸上的截距為的直線方程是 ．
【答案】
【解析】根據(jù)題意，設(shè)所求的直線方程為，
令，得，
因?yàn)樗笾本€在軸上截距是，
所以，即，
所以所求的直線方程為．
【變式5-2】（24-25高二下·貴州貴陽·月考）經(jīng)過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】直線的斜率為，兩直線垂直，
故所求直線方程為，則.故選：B.
【變式5-3】（24-25高二上·廣東廣州·月考）已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)，，則過點(diǎn)且與直線垂直的直線的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意知，，則直線的斜率,
因?yàn)橹本€與直線垂直，根據(jù)兩直線垂直，若存在斜率，則兩斜率乘積為，
所以直線的斜率，再由直線經(jīng)過點(diǎn)，
則由點(diǎn)斜式方程可得直線的方程為，
即，故選：A.
考點(diǎn)六：平行垂直在多邊形中的應(yīng)用
例6.（24-25高二上·陜西西安·月考）已知的三個(gè)頂點(diǎn)為.
(1)求邊上的高所在直線的一般式方程；
(2)求邊上的中線所在直線的一般式方程.
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）因?yàn)榈娜齻€(gè)頂點(diǎn)為，
所以直線的斜率為，
所以邊上的高所在直線的斜率為，
所以直線的方程為，
化為一般式方程為；
（2）因?yàn)?，所以的中點(diǎn)為，
又因?yàn)?，所以直線的斜率為，
所以直線的點(diǎn)斜式方程為，
化為一般式為.
【變式6-1】（23-24高二上·福建廈門·期中）如圖，已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，，.
(1)求平行四邊形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)在中，求邊上的高線所在直線方程.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）設(shè)線段中點(diǎn)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由平行四邊形性質(zhì)得為線段中點(diǎn)，
有，解得，所以；
（2）因?yàn)橹本€的斜率為，
所以邊上的高線所在直線的斜率為，
又，故邊上的高線所在直線的方程為，
即為.
【變式6-2】（24-25高二上·浙江紹興·月考）菱形的頂點(diǎn)A，的坐標(biāo)分別為，，邊所在直線過點(diǎn).
(1)求，邊所在直線的一般式方程；
(2)求對(duì)角線所在直線的一般式方程.
【答案】(1)；；(2).
【解析】（1）由菱形的性質(zhì)可知，則.
所以邊所在直線的方程為，即；
邊所在直線的方程為，即.
（2）線段的中點(diǎn)為，，
由菱形的幾何性質(zhì)可知，且為的中點(diǎn)，則，
所以對(duì)角線所在直線的方程為，即.
【變式6-3】（24-25高二上·福建福州·期中）在中，已知，邊上的中線所在直線方程是，邊的高線所在直線方程是.
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)判斷的形狀.
【答案】(1)；(2)直角三角形
【解析】（1）設(shè)，
因?yàn)檫叺母呔€所在直線方程是，所以，
又，所以①，
又點(diǎn)在直線上，所以②，
由①②解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（2）設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，
因?yàn)檫吷系闹芯€所在直線方程是，
所以，解得，所以，
所以，，
所以，所以，
又，，
所以是直角三角形.
一、單選題
1．（24-25高二上·廣東深圳·期末）直線與直線一定（ ）
A．平行B．垂直C．重合D．相交但不垂直
【答案】D
【解析】由直線得，,
由直線得，,
因?yàn)?，故兩直線相交但不垂直.故選：D.
2．（24-25高二下·河南周口·月考）已知直線與直線垂直，則直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意，直線的斜率為，因?yàn)橹本€與直線垂直，所以直線的斜率為.
結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系，得直線的傾斜角為.故選：D.
3．（24-25高二上·吉林四平·期末）已知點(diǎn)，，且直線與直線平行，則（ ）
A．B．C．2D．-2
【答案】A
【解析】點(diǎn)，，所以，
又直線的斜率為，
因?yàn)橹本€與直線平行，所以，即，故，故選：A
4．（24-25高二上·吉林通化·月考）“”是“直線和直線不重合而平行”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】當(dāng)時(shí)，直線和直線是不重合而平行關(guān)系，即滿足充分性，
當(dāng)直線和直線不重合而平行時(shí)，
有，解得，故滿足必要性，故選：C.
5．（24-25高二上·四川南充·月考）若直線與直線互相垂直，且、均為正實(shí)數(shù)，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)?、均為正?shí)數(shù)，且直線與直線互相垂直，
則，可得，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
因此，的最小值為.故選：C.
二、多選題
6．（24-25高二上·云南玉溪·期中）設(shè)平面內(nèi)四點(diǎn)，，，，則下面四個(gè)結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】由題意可得：，，
，，，
因?yàn)椋芍?，故A正確；
因?yàn)椋芍?，故B正確；
因?yàn)?，可知PS與QS不平行，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)?，可知，故D正確；故選：ABD.
7．（24-25高二上·廣東陽江·月考）直線，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則或B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】AD
【解析】已知直線，
若，則，求得或，
經(jīng)檢驗(yàn)或都滿足條件，故A正確，B不正確.
若，則，得，故C不正確，D正確.故選：AD
8．（24-25高二上·吉林長春·月考）已知直線，下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．過點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為
B．直線過定點(diǎn)
C．當(dāng)時(shí)，
D．當(dāng)時(shí)，
【答案】AD
【解析】對(duì)于A，設(shè)垂直于直線的直線方程為，
將點(diǎn)代入得，因此所求直線方程為，A正確；
對(duì)于B，直線的方程化為：，
由，得，因此直線過定點(diǎn)，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，直線的斜率為，而直線的斜率為，，與不垂直，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，直線的斜率為，等于直線的斜率，
又直線在上的截距分別為，因此，D正確.故選：AD
三、填空題
9．（24-25高二上·甘肅嘉峪關(guān)·月考）已知直線，若且，則的值為
【答案】5
【解析】因?yàn)?，，所以?br>因?yàn)椋?，解得?br>所以.
10．（24-25高二上·吉林白山·開學(xué)考試）已知，則直線：和直線：的位置關(guān)系為 ．
【答案】垂直或重合
【解析】由，得或，
當(dāng)時(shí)，：，：，，，
顯然，所以直線與垂直；
當(dāng)時(shí)，：，：，所以直線與重合．
11．（24-25高二上·北京順義·期中）已知直線過點(diǎn)，且和直線平行.設(shè)直線與軸相交于點(diǎn)，求直線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得直線的方程 .
【答案】
【解析】由題意可設(shè)：，
又直線過點(diǎn)，，解得：，
故直線：，
令，解得：，故，
設(shè)直線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得直線為，則易知，
故設(shè)直線：，
將代入，即，解得：，
故直線：．
四、解答題
12．（24-25高二上·湖北孝感·期中）求滿足下列條件的直線方程；
(1)過點(diǎn)，且與直線平行的直線方程；
(2)過點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程；
(3)過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程．
【答案】(1)；(2)；(3)或
【解析】（1）設(shè)與直線平行的直線方程為，
由于過點(diǎn)，代入，解得，可得，
所以所求的方程為；
（2）設(shè)與直線垂直的直線方程為；
由于過點(diǎn)，代入，解得，可得，
所以所求的直線方程為；
（3）當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，
代入點(diǎn)，，可得，
當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，
代入點(diǎn)，，可得，
綜上，所求直線方程為或.
13．（24-25高二上·廣東廣州·月考）已知平面內(nèi)兩點(diǎn)．
(1)求過點(diǎn)且與直線垂直的直線的方程．
(2)若是以為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求直線的方程．
(3)已知直線經(jīng)過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，求直線的方程．
【答案】(1)；(2)或；(3)，或
【解析】（1）因?yàn)?，所以直線的斜率為，
則直線：，即.
（2）的中點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)椋?br>因?yàn)槭且詾轫旤c(diǎn)的等腰直角三角形，所以線段垂線的斜率為，
且線段AB的中垂線過點(diǎn)，所以線段AB垂直平分線的方程為，
即，所以點(diǎn)在直線上，
設(shè)點(diǎn)，由可得：，
解得或，所以點(diǎn)坐標(biāo)為或，
當(dāng)坐標(biāo)為時(shí)，，直線：，即.
當(dāng)坐標(biāo)為時(shí)，，直線：，
即.
（3）①當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，直線在兩坐標(biāo)軸上截距均等于，設(shè)直線為，
因?yàn)檫^，得到，解得，所求直線方程為，即．
②當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)其方程，
又經(jīng)過點(diǎn)，有，解得，則方程為，即．
故所求直線的方程為，或．類型
斜率存在
斜率不存在
條件
對(duì)應(yīng)關(guān)系
兩直線斜率都不存在
圖示
對(duì)應(yīng)關(guān)系
與的斜率都存在，分別為，則
與中的一條斜率不存在，另一條斜率為零，則與的位置關(guān)系是
圖示