2025高考數(shù)學真題匯總

這是一份2025高考數(shù)學真題匯總，共32頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2025 年高考
目錄
\l "bkmark2" 1 2025 年全國卷 I 2
\l "bkmark4" 2 2025 年全國卷 II 6
\l "bkmark6" 3 2025 年北京卷 9
\l "bkmark8" 4 2025 年天津卷 12
\l "bkmark10" 5 2025 年上海卷 16
～
3
2
1
1 2025 年全國卷 I
一、選擇題: 本題共 8 小題, 每小題 5 分, 共 40 分. 在每小題給出的四個選項中, 只有一個 是符合題目要求的.
1 、 (1 + 5i)i 的虛部為 ( )
A. ?1 B. 0 C. 1 D. 6
2 、 設(shè)全集 U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} , 集合 A = {1,3,5} , 則 CUA 中元素個數(shù)為 ( )
A. 0 B. 3 C. 5 D. 8
3 、 若雙曲線 C 的虛軸長為實軸長的 7 倍, 則 C 的離心率為 ( )
A. √2 B. 2 C. √7 D. 2 √2
4 、 若點 (a,0)(a > 0) 是函數(shù) y = 2tan 的圖象的一個對稱中心, 則 a 的最小值為 ( )
A. 30? B. 60? C. 90? D. 135?
5 、 設(shè) f (x) 是定義在 R 上且周期為 2 的偶函數(shù), 當 2 ≤ x ≤ 3 時, f = 5 ? 2x , 則 f )
1 1 1 1
A. ? 2 B. C. 4 D. 2
6 、 帆船比賽中, 運動員可借助風力計測定風速的大小和方向, 測出的結(jié)果在航海學中稱為視風風速, 視風風速對應的向量, 是真風風速對應的向量與船行風速對應的向量之和, 其中船行風速對應的向 量與船速對應的向量大小相等, 方向相反. 圖 1 給出了部分風力等級、名稱與風速大小的對應關(guān)系. 已知某帆船運動員在某時刻測得的視風風速對應的向量與船速對應的向量如圖 2(風速的大小和向 量的大小相同, 單位 m/s), 則真風為 ( )
圖一
▲ y
風速
船速
1 2 3 x
圖二
等級
風速大小 m/s
名稱
2
1.1 ～ 3.3
輕風
3
3.4 ～ 5.4
微風
4
5.5 ～ 7.9
和風
5
8.0 10.1
勁風
A. 輕風 B. 微風 C. 和風 D. 勁風
7 、 若圓 x2 + (y + 2)2 = r2 (r > 0) 上到直線 y = √3x + 2 的距離為 1 的點有且僅有 2 個, 則 r 的取值 范圍是 ( )
A. (0,1) B. (1,3) C. (3, +∞) D. (0, +∞)
8 、 若實數(shù) x 、y 、z 滿足 2 + lg2 x = 3 + lg3y = 5 + lg5z , 則 x 、y 、z 的大小關(guān)系不可能是 ( )
A. x > y > z B. x > z > y C. y > x > z D. y > z > x
二、選擇題: 本大題共 3 小題, 每小題 6 分, 共計 18 分. 每小題給出的四個選項中, 有多項 符合題目要求. 全部選對得 6 分, 選對但不全的得部分分, 有選錯的得 0 分.
9 、 在正三棱柱 ABC ? A1 B1 C1 中, D 為 BC 中點, 則 ( )
A. AD⊥A1 C B. BC⊥ 平面 AA1D
C. CC1 Ⅱ 平面 AA1D D. AD Ⅱ A1 B1
10 、 設(shè)拋物線 C : y2 = 6x 的焦點為 F , 過 F 的直線交 C 于 A 、B , 過 F 且垂直于 AB 的直線交
A. |AD| = |AF| B. |AE| = |AB| C. |AB| ≥ 6 D. |AE| |BE| ≥ 18
l : y = ? x 于 E , 則 · ( )
11 、 已知 △ABC 的面積為 , 若 cs2A + cs2B + cs2C = 2 、csA cs BsinC = , 則
A. sinC = sin2A + sin2 B B. AC2 + BC2 = 3
C. AB = √ D. sin A + sin B =
三、填空題: 本題共 3 小題, 每小題 5 分, 共 15 分.
12 、 若直線 y = 2x + 5 是曲線 y = ex + x +a 的切線, 則 a = .
13 、 若一個等比數(shù)列的前 4 項和為 4, 前 8 項和為 68, 則該等比數(shù)列的公比為 .
14 、 一個箱子里有 5 個球, 分別以 1 ～ 5 標號, 若有放回取三次, 記至少取出一次的球的個數(shù) X, 則 E(X) = .
四、解答題: 本題共 5 小題, 共 77 分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15 、 為研究某疾病與超聲波檢查結(jié)果的關(guān)系, 從做過超聲波檢查的人群中隨機調(diào)查了 1000 人, 得到如 下列聯(lián)表:
(1) 記超聲波檢查結(jié)果不正常者惠該疾病的概率為 p , 求 p 的估計值;
(2) 根據(jù)小概率值 α = 0.001 的獨立性檢驗, 分析超聲波檢查結(jié)果是否與患該疾病有.
超聲波檢查結(jié)果
組別
正常
不正常
合計
患該疾病
20
180
200
未患該疾病
780
20
800
合計
800
200
1000
16 、 設(shè)數(shù)列 滿足
(1) 證明: {nan } 為等差數(shù)列;
(2) 設(shè) f (x) = a1 x + a2 x2 + · · · + amxm , 求 f′(2).
17 、 如圖所示的四棱錐 P ? ABCD 中,PA⊥ 平面 ABCD 、BC Ⅱ AD 、AB⊥AD.
(1) 證明: 平面 PAB⊥ 平面 PAD;
(2) 若 PA = AB = √2、AD = √3 + 1、BC = 2,P、B、C、D 在同一個球面上, 設(shè)該球面的球心為 O .
i) 證明:O 在平面 ABCD 上;
ii) 求直線 AC 與直線 PO 所成角的余弦值.
P
A
D
B C
18、 為橢圓下端點, B 為右端點, |AB| = √ , 且橢圓 C 的離
3
(1) 求橢圓的標準方程;
(2) 設(shè)點 P(m, n) .
i) 若 P 不在 y 軸上, 設(shè) R 是射線 AP 上一點, |AR| · |AP| = 3 , 用 m, n 表示點 R 的坐標;
ii) 設(shè)直線 OQ 的斜率為 k1 , 直線 OP 的斜率為 k2 , 若 k1 = 3k2 ,M 為橢圓上一點, 求 |PM| 的 最大值.
19 、 設(shè)函數(shù) f (x) = 5cs x ? cs5x.
(1) 求 f (x) 在 [0, ] 的最大值;
(2) 給定 θ ∈ (0,π) , a 為給定實數(shù), 證明: 存在 y ∈ [a ? θ, a + θ] , 使得 csy ≤ cs θ ;
(3) 若存在 φ , 使得對任意 x , 都有 5cs x ? cs(5x + φ) ≤ b , 求 b 的最小值.
2 2025 年全國卷 II
一、選擇題: 本題共 8 小題, 每小題 5 分, 共 40 分. 在每小題給出的四個選項中, 只有一個 是符合題目要求的.
1 、 2 、8 、14 、16 、20 平均數(shù)為 ( )
A. 8 B. 9 C. 12 D. 18
2 、 若 z = 1 + i, ( )
A. ?i B. i C. ?1 D. 1
3 、 已知 A = {?4,0,1,2,8}、B = {x|x3 = x},A∩B = ( )
A. {0,1,2} B. {1,2,8} C. {2,8} D. {0,1}
4 、 等{x式|的解集 {x | x ≤ ?2} C. {x | ?2 ≤ x < 1} D. {x | x > 1} ( )
5 、 在 △ABC 中,BC = 2 、AC = 1 + √3 、AB = √6, 則 A = ( )
A. 45? B. 60? C. 120? D. 135?
6 、 拋物線 C : y2 = 2px(p > 0) 焦點為 F ,A ∈ C , 過 A 作 C 準線的垂線, 垂足為 B. 若 lBF : y = ?2x + 2, 則 |AF| = ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7 、 Sn 為等差數(shù)列 {an } 的前 n 項和.S 3 = 6 、S 5 = ?5, 則 S 6 = ( )
A. ?20 B. ?15 C. ?10 D. ?5
8 、 已知 0 < α < π 、cs = , 則 sin(α ? ) = ( )
A. B. C.
二、選擇題: 本大題共 3 小題, 每小題 6 分, 共計 18 分. 每小題給出的四個選項中, 有多項 符合題目要求. 全部選對得 6 分, 選對但不全的得部分分, 有選錯的得 0 分.
9 、 Sn 為等比數(shù)列 {an } 前 n 項和.q 為 {an } 的公比, 且 q > 0.S 3 = 7 、a3 = 1, 則 ( )
A. q = B. a5 = C. S 5 = 8 D. an + Sn = 8
10 、 f (x) 定義在 R 上奇函數(shù),x > 0 時,f(x) = (x2 ? 3)ex + 2, 則 ( )
A. f (0) = 0 B. 當 x < 0 時.f(x) = ?(x2 ? 3)e?x ? 2
C. f (x) ≥ 2 當且僅當 x ≥ √3 D. x = ?1 是 f (x) 極大值點
11 、 雙曲線 C : ? = 1(a > 0 、b > 0) 左、右焦點為 F1 、F2 , 左、右頂點為 A1 、A2 . 以 F1 F2 為直
徑的圓與 C 的一條漸近線交于 M 、N, 且 LNA1 M = 則 ( )
C. C 離心率為 √13
D. 當 a = √2 時, 四邊形 NA1 MA2 面積為 8 √3
三、填空題: 本題共 3 小題, 每小題 5 分, 共 15 分.
12 、 a = (x,1) 、b = (x ? 1,2x) 、a⊥(a ? b) , 則 |a| = .
13 、 x = 2 是 f (x) = (x ? 1)(x ? 2)(x ? a) 極值點, 則 f (0) = .
14 、 一個底面半徑為 4cm, 高為 9cm 的封閉圓柱形容器內(nèi)有兩個半徑相等的鐵球. 則鐵球半徑的最大 值為 cm.
四、解答題: 本題共 5 小題, 共 77 分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
(1) 求 φ;
(2) 值域和單調(diào)區(qū)間.
16 、 橢圓 C : 的離心率為 長軸長為 4.
(1) 求 C 的方程.
(2) 過點 (0,?2) 的直線 l 與 C 交于 A 、B,O 為坐標原點. 若 S △OAB = √2, 求 |AB|.
17 、 如圖, 四邊形 ABCD 中,AB Ⅱ CD 、7DAB = 90? ,F 為 CD 中點,F 在 AB 上,EF 從 AD, AB = 3AD、 CD = 2AD. 將四邊形 FDAE 沿 EF 翻折至四邊形 FD′A′ E , 使得面 EFD′A′ 與面 FCBE 所成的 二面角為 60? .
(1) 證明:A′ B Ⅱ 平面 CD′ F;
(2) 求面 BCD′ 與面 FD′A′ E 所成二面角的正弦值.
D′
A′
D F C
A E B
(1) 證明:f(x) 在 (0, +∞) 存在唯一極值點和唯一零點;
(2) 設(shè) x1 、x2 為 f (x) 在 (0, +∞) 的極值點和零點:
i) g (t) = f (x1 + t) ? f (x1 ? t). 證明:g(t) 在 (0, x1 ) 上單調(diào)遞減;
ii) 比較 2x1 與 x2 的大小, 并證明.
19 、 甲、乙進行乒乓球練習, 每個球勝者得 1 分, 負者得 0 分. 設(shè)每個球甲勝概率為 乙勝
概率為 q,p + q = 1, 且各球勝負獨立. 對正整數(shù) k ≥ 2, 記 pk 為打完 k 個球后甲比乙至少多得 2 分 的概率,qk 為打完 k 個球后乙比甲至少多得 2 分的概率.
(1) 求 p3 、p4 (用 p 表示).
若 = 4, 求 p.
(3) 證明: 對任意正整數(shù) m,p2m+1 ? q2m+1 < p2m ? q2m < p2m+2 ? q2m+2 .
3 2025 年北京卷
一、選擇題: 本大題共 10 小題, 每小題 5 分, 共 50 分. 在每小題給出的四個選項中, 選出符 合題目要求的一項.
1 、 ( )
A. B. C. D.
2 、 ( )
A. B. C. D.
3 、 ( )
A. B. C. D.
4 、 ( )
A. B. C. D.
5 、 ( )
A. B. C. D.
6 、 ( )
A. B. C. D.
7 、 ( )
A. B. C. D.
8 、 ( )
A. B. C. D.
9 、 ( )
A. B. C. D.
10 、 ( )
A. B. C. D.
二、填空題: 本大題共 6 小題, 每小題 5 分, 共 30 分.
11 、 .
12 、 .
13 、 .
14 、 .
15 、 .
16 、 .
三、解答題: 共 5 小題, 共 70 分, 解答應寫出文字說明, 演算步驟或證明過程.
17 、 在 △ABC 中, csA = ? 、asinC = 4 √
(1) 求 c ;
(2) 再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知, 使得 △ABC 存在, 求 BC 邊上的 高.
① a = 6 ; ② bsinC = ; ③ ?ABC 面積為 10 √2.
18 、 四棱錐 P ? ABCD 中, △ACD 與 △ABC 為等腰直角三角形, LADC = 90? , LBAC = 90? , E 為 BC 的 中點.
(1) F 為 PA 的中點, G 為 PE 的中點, 證明: FG Ⅱ 平面 PCD;
(2) 若 PA⊥ 平面 ABCD,PA = AC , 求 AB 與平面 PCD 所成角的正弦值. P
F
D
A
B E C
19 、 已知橢圓 的離心率為 , 橢圓上的點到兩個焦點的距離之和為 4 .
(1) 求橢圓方程;
(2) 設(shè) O 為原點, M(x0, y0 )(x0 ≠ 0) 為橢圓上一點, 直線 x0 x + 2y0y ? 4 = 0 與 y = 2 和 y = ?2 分
別交于 A 、B 兩點. 設(shè) △OMA 和 △OMB 的面積分別為 S 1 和 S 2 , 比較 與 的大小.
20 、 函數(shù) f (x) 的定義域為 = 0,f ′ 在 A 處的切線為 l1 .
(1) 求 f′(x) 的最大值;
(2) 求證: 當 ?1 < a < 0 時, 除切點 A 外, y = f (x) 均在 l1 上方;
(3) 當 a > 0 時, 直線 l2 過 A 點且與 l1 垂直,l1、l2 與 x 軸的交點橫坐標分別為 x1、x2 , 求
的取值范圍.
21 、 已知 A = {1,2,3,4,5,6,7,8},M = {(xi, yi ) | xi ∈ A, yi ∈ A} , 從 M 中選出 n 個元素構(gòu)成一列: (x1, y1 )、
. . .、(xn, yn ) . 相鄰兩項 滿足: 或 , 稱為 k 列.
(1) 若 k 列的第一項為 (3,3), 求第二項.
(2) 若 τ 為 k 列, 且滿足 i 為奇數(shù)時, xi ∈ {1,2,7,8} ; i 為偶數(shù)時, xi ∈ {3,4,5,6}; 判斷:(3,2) 與 (4,4) 能否同時在 τ 中, 并說明理由;
(3) 證明: M 中所有元素都不構(gòu)成 k 列.
4 2025 年天津卷
一、選擇題: 共 9 小題, 每小題 5 分, 共 45 分, 在每小題列出的四個選項中, 選出符合題目 要求的一項.
1 、 集合 U = {1,2,3,4,5}、A = {1,3}、B = {2,3,5}, 則 CU (A U B) = ( )
A. {1,2,3,4} B. {2,3,4} C. {2,4} D. {1}
2 、 “x = 0”是“sin2x = 0”的 ( )
A. 允分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不允分也不必要條件
3 、 已知函數(shù) y = f (x) 的圖像如下, 則 f (x) 的解析式可能為 ( )
▲ y
-1 1 x
C. D.
4 、 若 m 、n 為直線,α、β 為兩個平面, 則下列結(jié)論中正確的是 ( )
A. 若 m Ⅱ α ,n C α , 則 m Ⅱ n B. 若 m 丄 α ,m 丄 β , 則 α 丄 β
C. 若 m Ⅱ α ,m 丄 β , 則 α 丄 β D. 若 m C α ,α 丄 β , 則 m 丄 β
5 、 下列說法錯誤的是 ( )
A. X ~ N(μ, σ2 ), 若 P(X ≤ μ - σ) = P(X ≥ μ + σ)
B. X ~ N(1,22 ),Y ~ N(2,22 ), 則 P(X < 1) < P(Y < 2) C. |r| 越接近于 1, 線性相關(guān)程度越強
D. |r| 越接近于 0, 線性相關(guān)程度越弱
6 、 Sn = -n2 + 8n. 則 |an | 前 12 項和 ( )
A. 112 B. 48 C. 80 D. 64
7 、 f (x) = 0.3x - √x 的零點在 ( )
A. (0,0.3) B. (0.3,0.5) C. (0.5,1) D. (1,2)
8 、 f (x) = sin(ωx + φ)(ω > 0 、-π < φ < π), 在 [- , ] 上單調(diào)遞增, 且 x = 為它的一條對稱軸,
( ,0) 是它的一個對稱中心, 當 x ∈ [0, ] 時, f (x) 的最小值為 ( )
B. - C. 1 D. 0
9 、 雙曲線 的左、右焦點分別為 F1 、F2 , 以右焦點 F2 為焦點的拋物線
y2 = 2px(p > 0) 與雙曲線在第一象限的交點為 P, 若 |PF1 | + |PF2 | = 3|F1 F2 |, 則雙曲線的離心率 e = ( )
A. 2 B. 5 C.
二、填空題:6 小題, 每小題 5 分, 共 30 分.
10 、 已知 i 是虛數(shù)單位 .
11 、 在 (x ? 1)6 的展開式中,x3 項的系數(shù)為 .
12 、 l1 : x ? y + 6 = 0 與 x 軸交于點 A, 與 y 軸交于點 B, 與圓 (x + 1)2 + (y ? 3)2 = r2 交于 C 、D 兩
點,|AB| = 3|CD|, 則 r = .
13 、 小桐操場跑圈, 一周 2 次, 一次 5 圈或 6 圈. 第一次跑 5 圈或 6 圈的概率均為 0.5, 若第一次跑 \l "bkmark12" 5
圈, 則第二次跑 5 圈的概率為 0.4,6 圈的概率為 0.6 ; 若第一次跑 6 圈, 則第二次跑 5 圈的概率為
0.6,4 圈子的概率為 0.4 . 小桐一周跑 11 圈的概率為 ; 若一周至少跑 11 圈為動量達標,
則連結(jié)跑 4 財, 記合格周數(shù)為 X, 則期望 E(X) = .
14 、 △ABC 中, D 為 AB 邊中點 = b, 則 | = 5,AE⊥CB,
??→ ??→
則 AE · CD = .
15 、 若 a 、b ∈ R , 對 ?x ∈ [?2,2], 均有 (2a + b)x2 + bx ? a ? 1 ≤ 0 恒成立, 則 2a + b 的最小值 為 .
三、解答題:：本題共 5 小題, 共 75 分, 解答應寫出文字說明, 證明過程或演算步驟.
16 、 △ABC 的內(nèi)角 A 、B、C 的對邊分別為 a 、b 、c, 已知 asin B = √3b csA 、c ? 2b = 1 、a = √7 .
(1) 求角 A;
(2) 求邊 c;
(3) 求 sin(A + 2B).
17 、 正方體 ABCD ? A1 B1 C1D1 的棱長為 4,E 、F 分別為 A1D1 、C1 B1 中點,CG = 3C1 G.
(1) 求證:GF⊥ 平面 EBF ;
(2) 求平面 EBF 與平面 EBG 夾角的余弦值;
(3) 求三棱錐 D ? BEF 的體積.
A1 E D1
B1
D
F
A
C1 G
B C
18 、 已知橢圓 的左焦點為 F , 右頂點為 A,P 為 x = a 上一點, 且直線 PF 的斜
率為 ,△PFA 的面積為 , 離心率為 .
(1) 求橢圓的方程;
(2) 過點 P 的直線與橢圓有唯一交點 B(異于點 A), 求證:PF 平分 LAFB.
19 、 {an } 是等差數(shù)列,{bn } 是等比數(shù)列,a1 = b1 = 2 、a2 = b2 + 1 、a3 = b3 .
(1) 求 {an }、{bn } 的通項公式;
(2) ?n ∈ N? 有 Tn = {p1a1b1 + p2a2b2 + · · · + pnanbn | p1, p2 , · · · , pn ∈ I},I = {0,1} .
i) 求證:?t ∈ Tn , 均有 t < an+1bn+1;
ii) 求 Tn 所有元素之和.
20 、 己知函數(shù) f(x) = ax ? (ln x)2 .
(1) a = 1 時, 求 f (x) 在點 (1, f (1)) 處的切線方程;
(2) f (x) 有 3 個零點 x1 、x2 、x3 , 且 (x1 < x2 < x3 ) .
i) 求 a 的取值范圍;
ii) 證明: · ln x3 <
5 2025 年上海卷
一、填空題 (本大題共 12 題, 第 1～6 題每題 4 分, 第 7～12 題每題 5 分, 共 54 分. 考生應 在答題紙的相應位置直接填寫結(jié)果).
1 、 已知全集 U = {x | 2 ≤ x ≤ 5, x ∈ R} , 集合 A = {x | 2 ≤ x < 4, x ∈ R} , 則 A- = .
x ? 3 .
2 、 不等式 x ? 1 < 0 的解集為
3 、 已知等差數(shù)列 {an } 的首項 a1 = ?3 , 公差 d = 2 , 則該數(shù)列的前 6 項和為 .
4 、 在二項式 (2x ? 1)5 的展開式中,x3 的系數(shù)為 .
5 、 函數(shù) y = cs x 在 [ ? , ] 到的值域為 .
6 、 已知隨機變量 X 的分布為 則期望 E(X) = .
7 、 如圖, 在正四棱柱 ABCD? A1 B1 C1D1 中,BD = 4 √2 ,DB1 = 9 , 則該正四棱柱的體積為 .
8 、 設(shè) a 、b > 0,a + = 1 , 則 b + 的最小值為 .
9 、 4 個家長和 2 個兒童去爬山. 6 個人需要排成一條隊列, 要求隊列的頭和尾均是家長, 則不同的排列 個數(shù)有 種.
10 、 已知復數(shù) z 滿足 z2 = (z-)2 ,|z| ≤ 1 , 則 |z ? 2 ? 3i| 的最小值是 .
11 、 小申同學觀察發(fā)現(xiàn), 生活中有些時候影子可以完全投射在斜面上. 某斜面上有兩根長為 1 米的垂直 于水平面放置的桿子, 與斜面的接觸點分別為 A、B , 它們在陽光的照射下呈現(xiàn)出影子, 陽光可視為 平行光: 其中一根桿子的影子在水平面上, 長度為 0.4 米; 另一根桿子的影子完全在斜面上, 長度為 0.45 米. 則斜面的底角 θ = (結(jié)果用角弧度制表示, 精確到 0.01? ).
f (c a) = 0 , 則 |a + b + c| 的取值范圍是 .
12、 已知函數(shù) .a、b、c 是平面內(nèi)三個不同的單位向量. 若 f (a · b) + f (b · c) +
二、選擇題 (本大題共 4 題, 第 13 、14 題每題 4 分, 第 15 、16 題每題 5 分, 共 18 分。每 題有且僅有一個正確選項).
13 、 已知事件 A 、B 相互獨立, 事件 A 發(fā)生的概率為 , 事件 B 發(fā)生的概率為 , 則
事件 A∩ B 發(fā)生的概率 P(A∩ B) 為 ( )
A. B. C. D. 0
14 、 設(shè) a > 0,s ∈ R . 下列各項中, 能推出 as > a 的一項是 ( )
A. a > 1 , 且 s > 0 B. a > 1 , 且 s < 0
C. 0 < a < 1 , 且 s > 0 D. 0 < a < 1 , 且 s < 0
15 、 已知 A(0,1) 、B(1,2),C 在 Γ : x2 ? y2 = 1(x ≥ 1 、y ≥ 0) 上, 則 △ABC 的面積 ( )
A. 有最大值, 但沒有最小值 B. 沒有最大值, 但有最小值
C. 既有最大值, 也有最小值 D. 既沒有最大值, 也沒有最小值
16 、 數(shù)列 an = 10n ? 9 , 數(shù)列 bn = 2n . 設(shè) cn = λan + (1 ? λ)bn . 若對任意 λ ∈ [0,1] , 長為 an 、bn 、cn 的線段均能構(gòu)成三角形, 則滿足條件的 n 有 ( )
A. 1 個 B. 3 個 C. 4 個 D. 無窮個
三、解答題 (本大題共 5 題, 第 17～19 題每題 14 分, 第 20～21 題每題 18 分, 共 78 分).
17 、 2024 年東京奧運會, 中國獲得了男子 4 × 100 米混合泳接力金牌. 以下是歷屆奧運會男子 4 × 100 米混合泳接力項目冠軍成績記錄 (單位: 秒), 數(shù)據(jù)按照升序排列:206.78 、207.46 、207.95 、209.34、 209.35 、210.68 、213.73 、214.84 、216.93 、216.93.
(1) 求這組數(shù)據(jù)的極差與中位數(shù)；
(2) 從這 10 個數(shù)據(jù)中任選 3 個, 求恰有 2 個數(shù)據(jù)在 211 以上的概率；
(3) 若比賽成績 y 關(guān)于年份 x 的回歸方程為 = ?0.311x + , 年份 x 的平均數(shù)為 2006, 預測 2028
年冠軍隊的成績 (精確到 0.01 秒).
18 、 如圖,P 是圓錐的頂點,O 是底面圓心,AB 是底面直徑, 且 AB = 2 .
(1) 若直線 PA 與圓錐底面的所成角為 , 求圓錐的側(cè)面積；
(2) 已知 Q 是母線 PA 的中點, 點 C 、D 在底面圓周上, 且弧的長為 ,CD Ⅱ AB . 設(shè)點 M 在線
段 OC 上, 證明: 直線 QM Ⅱ 平面 PBD. P
A
B
O `
19 、 已知 f(x) = x2 ? (m + 2)x + mlnx,m ∈ R.
(1) 若 f (1) = 0 , 求不等式 f (x) ? x2 ? 1 的解集；
(2) 若函數(shù) y = f (x) 滿足在 (0, +∞) 上存在極大值, 求 m 的取值范圍.
20 、 已知橢圓 = 1(a > √5),M(0,m)(m > 0),A 是 Γ 的右頂點.
(1) 若 Γ 的焦點是 (2,0), 求離心率 e;
(2) 若 a = 4 , 且 Γ 上存在一點 P , 滿足 = 2 , 求 m;
(3) 若 AM 中垂線 l 的斜率為 2,l 與 Γ 交于 C 、D 兩點,7CMD 為鈍角, 求 a 的取值范圍.
21 、 已知函數(shù) y = f (x) 的定義域為 R . 對于正實數(shù) a , 定義集合 Ma = {x | f (x + a) = f (x)}.
(1) 若 f (x) = sin x , 判斷 是否是 Mπ 中的元素, 并說明理由；
若 f , . Ma ≠ 。, 求 a 的取值范圍；
(3) 設(shè) y = f (x) 是偶函數(shù), 當 x ∈ (0,1] 時,f (x) = 1 ? x , 且對任意 a ∈ (0,2) , 均有 Ma ? M2 . 寫 出 y = f (x),x ∈ (1,2) 的解析式, 并證明: 對任意實數(shù) c , 函數(shù) y = f (x) ? c 在 [?3,3] 上至多有
9 個零點.