浙江省2024_2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期11月期中聯(lián)考試題含解析

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一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 若集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)交集的概念可直接得到結(jié)果.
【詳解】因.
故選：D
2. 如果橢圓的方程是，那么它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】因?yàn)闄E圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，
所以橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且，，所以.
所以橢圓的焦點(diǎn)為：.
故選：C
3. 已知點(diǎn)，，若，則（ ）
A. 1B. -5C. 1或-5D. -1或5
【答案】C
【解析】
【分析】應(yīng)用距離公式即可求解.
【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)，，所以，
所以，則.
故選：C.
4. 已知圓和圓，則與的位置關(guān)系是（ ）
A. 外切B. 內(nèi)切C. 相交D. 外離
【答案】A
【解析】
【分析】由圓方程可確定兩圓的圓心和半徑，由兩圓圓心距與兩圓半徑的關(guān)系可判斷出位置關(guān)系.
【詳解】由圓方程知：圓心，半徑；
由，得，
所以圓心，半徑；
圓心距，所以圓與圓外切.
故選：A
5. 在正方體中，以下說法正確的是（ ）
A. 若E為的中點(diǎn)，則 平面
B. 若E為的中點(diǎn)，則 平面
C. 若E為的中點(diǎn)，則
D. 若E為的中點(diǎn)，則
【答案】A
【解析】
【分析】A.利用線面平行的判定定理判斷；B.根據(jù) 平面，平面與平面平面不平行判斷；C.利用余弦定理判斷；D.取 CD的中點(diǎn)F，由，判斷.
【詳解】A.如圖所示：
連接AC，BD交于點(diǎn)O，則O為BD的中點(diǎn)，所以，又 平面， 平面，所以 平面，故正確；
B. 易知 平面，平面與平面平面不平行，所以與平面不垂直，故錯(cuò)誤；
C.如圖所示：
在矩形中，，設(shè)正方體的棱長為1，在中，，則，所以，則不垂直，故錯(cuò)誤；
D.如圖所示：
取 CD的中點(diǎn)F，易知，又，所以不平行，故錯(cuò)誤；
故選：A
6. 已知，則函數(shù)的最小值是（ ）
A. B. C. 3D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】分析函數(shù)在上的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分析函數(shù)的最小值.
【詳解】設(shè)，
則.
因?yàn)?，所以?
所以即.
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.
所以.
故選：B
7. 在平行六面體中，若直線與的交點(diǎn)為．設(shè)，，，則下列向量中與共線的向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把表示出來，根據(jù)向量的數(shù)乘運(yùn)算判斷向量的平行.
【詳解】如圖：
因?yàn)?
所以與平行.
故選：D
8. 如果函數(shù)那么（ ）
A. 2020B. 2021C. 2023D. 2025
【答案】B
【解析】
【分析】記，，根據(jù)的定義可求的周期，根據(jù)周期性求解即可.
【詳解】記，，
根據(jù)可得，
，
而，
，，
，
，
，
所以的周期為5，取值分別為2023，2024，2020，2021，2022，
.
故選：B
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知復(fù)數(shù)，以下說法正確的是（ ）
A. z的實(shí)部是3B.
C. D. 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)實(shí)部的概念判斷A的真假；計(jì)算復(fù)數(shù)的模判斷B的真假；根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念判斷C的真假；根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷D的真假.
【詳解】對(duì)A：復(fù)數(shù)的實(shí)部為3，故A正確；
對(duì)B：因，故B正確；
對(duì)C：根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，，故C正確；
對(duì)D：因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC
10. 拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，記隨機(jī)事件“點(diǎn)數(shù)為i”，其中，則以下說法正確的是（ ）
A. 若隨機(jī)事件“點(diǎn)數(shù)不大于3”，則與互斥
B. 若隨機(jī)事件“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則
C. 若隨機(jī)事件“點(diǎn)數(shù)不大于2”，則與對(duì)立
D. 若隨機(jī)事件“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，則與相互獨(dú)立
【答案】BD
【解析】
【分析】對(duì)于選項(xiàng)中的事件，分別寫出對(duì)應(yīng)的基本事件構(gòu)成的集合，根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件、獨(dú)立事件的定義依次分析，即可
【詳解】，故，所以與不互斥，故A錯(cuò)；
，故B對(duì)；
但，所以與不對(duì)立，故C錯(cuò)；
，故D對(duì)；
故選：BD
11. 棱長為1的正四面體ABCD的內(nèi)切球球心為O，點(diǎn)P是該內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn)，則以下說法正確的是（ ）
A. 記直線AO與直線AB的夾角是α，則
B. 記直線AO與平面ABC的夾角是β，則
C. 記的最小值為n，則
D. 記在上的投影向量為，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)正四面體內(nèi)切球的性質(zhì)結(jié)合正四面體結(jié)構(gòu)特征求解判斷A、C；根據(jù)點(diǎn)到平面的距離求解判斷C；根據(jù)投影定義求解判斷D；
【詳解】如圖，設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，球O與平面BCD的切點(diǎn)為H，
則，
根據(jù)等體積法可得，正四面體ABCD的體積，所以，
可知，故A對(duì)；
由直線AO與平面ABC的夾角是β，設(shè)球O與平面ABC的切點(diǎn)為G，連接OG，
所以平面ABC，所以，，
所以在直角中，，故B錯(cuò)；
令，則Q是平面BCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，
，
即球面上的點(diǎn)到平面BCD上點(diǎn)之間的距離，
最小值n表示球面上的點(diǎn)到平面BCD的距離，
所以，即，故C對(duì)；
點(diǎn)A在線段BC上的投影為線段BC的中點(diǎn)E，點(diǎn)P在線段BC上的投影點(diǎn)位于點(diǎn)的左側(cè)和右側(cè)，且的最大值為，則，
故選：ACD

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 點(diǎn)A（2，1）到直線l：的距離是________．
【答案】
【解析】
【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求得答案．
【詳解】點(diǎn)A（2，1）到直線l：的距離為，
故答案為：
13. 已知圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為2π3，弧長為2π的扇形，則該圓錐的體積是________．
【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)條件確定圓錐的底面半徑和高，根據(jù)錐體的體積公式求圓錐的體積.
【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，母線長為.
則由題意：，
所以.
所以圓錐的體積為：.
故答案為：.
14. 設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn)P關(guān)于O的對(duì)稱點(diǎn)是Q，若，，則該橢圓的離心率是______．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】利用對(duì)角線相互平分判斷四邊形為平行四邊形，利用，中的余弦定理，面積公式列方程，得關(guān)于，，的方程，構(gòu)造出離心率，求解即可.
【詳解】
由題意，點(diǎn)P關(guān)于O的對(duì)稱點(diǎn)是Q，所以點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，
根據(jù)橢圓的對(duì)稱性知，點(diǎn)是線段（為橢圓的右焦點(diǎn)）的中點(diǎn)，
則四邊形為平行四邊形；
由，得，則，
在平行四邊形中，由，得，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以，
由題意，，
又，
所以，則，即，
得，所以離心率.
故答案為：.
四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．
15. 已知圓C：，點(diǎn)P（1，4），且直線l經(jīng)過點(diǎn)P．
（1）若l與C相切，求l的方程；
（2）若l的傾斜角為，求l被圓C截得的弦長．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）對(duì)直線l的斜率不存在和存在兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離等于半徑即可求解.；
（2）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式及垂徑定理即可求解.
【小問1詳解】
由知，圓C的圓心坐標(biāo)為，半徑為5.
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，即直線的方程為：，
圓心C到直線l的距離為，故與圓C不相切，不滿足題意；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線為：，即，
則圓C的圓心到直線l的距離，解得，
故直線l的方程為，
綜上：直線l的方程為
【小問2詳解】
由l的傾斜角為，
所以直線l的方程為，
圓C的圓心到直線l的距離為，
由垂徑定理得，l被圓C截得的弦長為，
16. 在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，記的面積為S，已知．
（1）若，求外接圓的半徑；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和求出，再根據(jù)正弦定理求半徑；
（2）根據(jù)面積公式和余弦定理求解即可
【小問1詳解】
由，得，
由，可得，
所以外接圓的半徑為
【小問2詳解】
，
17. 如圖，在四棱錐P-ABCD中，△PAD是正三角形，四邊形ABCD為等腰梯形，且有，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Q在PF上．

（1）證明：平面平面；
（2）當(dāng)時(shí)，求平面QAB與平面QCD所成角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，由線面垂直的判定定理可證平面，即可證明平面平面；
（2）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及二面角的夾角公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
小問1詳解】
因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪危珽，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，所以，
又因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)?，平面，所以平面?br>而平面，所以平面平面.
【小問2詳解】

假設(shè)，所以，
得到，所以，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，得，
，則，
設(shè)，
則，
所以，
由可得，解得，
所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，
，
則，取得，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，
，
則，取得，
設(shè)平面QAB與平面QCD所成角為，
則，
所以平面QAB與平面QCD所成角的余弦值為.
18. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，直線，相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是．記點(diǎn)的軌跡是曲線，點(diǎn)是曲線上的一點(diǎn)．
（1）求曲線的方程；
（2）若，直線l過點(diǎn)與曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為，求面積的最大值；
（3）過點(diǎn)作直線交曲線于，兩點(diǎn)，且，證明：為定值．
【答案】（1）（）
（2）.
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）設(shè)Mx,y，根據(jù)直線，的斜率之積是，可求的軌跡方程.
（2）設(shè)直線的點(diǎn)斜式，用斜率表示出的面積，結(jié)合基本（均值）不等式求最大值.
（3）設(shè)直線方程為，根據(jù)弦長公式表示出OP，根據(jù)直線垂直得到直線的方程，再根據(jù)在橢圓上，表示出，然后代入化簡(jiǎn)即可.
【小問1詳解】
設(shè)Mx,y，因?yàn)?，所?
整理得：（）.
所以曲線的方程為：（）
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，可得.
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可得，此時(shí).
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線：，
代入橢圓的方程：，得：，
整理得：.
因?yàn)闀r(shí)該方程的一個(gè)解，所以.
所以，所以.
又點(diǎn)到直線的距離為：.
所以.
設(shè)，則（因?yàn)闀r(shí)，，此時(shí)直線經(jīng)過點(diǎn)，則共線）. 那么，所以
所以當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“”）
綜上可知：面積的最大值為：
【小問3詳解】
如圖：
因?yàn)榍€的方程為：（）
所以過的直線可寫為：，代入中，
可得，整理得：.
設(shè)Px1,y1，Qx2,y2，
則，，
所以.
所以.
此時(shí)，直線的方程為：，由且點(diǎn)縱坐標(biāo)大于0，可得：
，所以
.
所以.為定值.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解析幾何中，遇到求最值的問題，通常有以下思路：
（1）轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)值域問題求解.
（2）通過換元，可以轉(zhuǎn)化成基本（均值）不等式求最值的問題解決.
（3）通過換元，轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的值域問題求解.
（4）通過分析函數(shù)的單調(diào)性，求最值.
19. 在平面直角坐標(biāo)系中，我們可以采用公式（其中為常數(shù)），將點(diǎn)Px,y變換成點(diǎn)，我們稱該變換為線性變換，上式為坐標(biāo)變換公式．常見的線性變換有平移變換和旋轉(zhuǎn)變換．
（1）將點(diǎn)Px,y向左平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位，得到點(diǎn)，求該變換的坐標(biāo)變換公式，并求將橢圓向左平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位后，所得新橢圓的方程；
（2）將點(diǎn)Px,y繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到點(diǎn)，求上述變換的坐標(biāo)變換公式，并求將橢圓繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，所得新橢圓的方程；
（3）若點(diǎn)Px,y滿足，證明：點(diǎn)Px,y的軌跡是橢圓．
【答案】（1）；.
（2）；.
（3）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)坐標(biāo)的平移可得坐標(biāo)的變換公式，利用公式可得橢圓平移后的新方程.
（2）借助復(fù)數(shù)三角形式運(yùn)算的幾何意義，求坐標(biāo)變換公式，利用公式可得橢圓平移后的新方程.
（3）利用（2）的結(jié)論，先把點(diǎn)Px,y的軌跡逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再配方，可證點(diǎn)Px,y的軌跡是橢圓.
【小問1詳解】
由題意：，所以該變換的坐標(biāo)變換公式為：.
由，
所以橢圓經(jīng)過變換后，所得新橢圓的方程為：.
【小問2詳解】
設(shè)Px,y對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)，將點(diǎn)Px,y繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到點(diǎn)，
對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)：，則.
所以.
由.
所以橢圓繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，
所得新橢圓的方程為：
.
【小問3詳解】
先將曲線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，所得曲線的方程為：
整理得：
所以，
再將其向右平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位，可得，表示橢圓.
所以點(diǎn)Px,y的軌跡是橢圓.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：處理第三問時(shí)，思路不好找，可先利用第二問的結(jié)論處理一下，就可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)Px,y的軌跡了.