（暑假班）(人教A版)新高一數(shù)學(xué)暑假自主學(xué)習(xí)講義第19講 函數(shù)模型的應(yīng)用（2份，原卷版+解析版）

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2．養(yǎng)成畫(huà)圖、識(shí)圖和用圖的習(xí)慣，從圖中觀察出函數(shù)模型；
3．了解數(shù)學(xué)模型的概念，直到數(shù)學(xué)建模的意義，能利用給定的函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題，能選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型擬合實(shí)際問(wèn)題。
一、幾種常見(jiàn)的函數(shù)模型
1、一次函數(shù)模型（也稱線性函數(shù)模型）：（，為常數(shù)，）
2、二次函數(shù)模型：（為常數(shù)，）
3、指數(shù)函數(shù)模型：（為常數(shù)，，且）
4、對(duì)數(shù)函數(shù)模型：（為常數(shù)，，且）
5、冪函數(shù)模型：（為常數(shù)，）
6、分段函數(shù)模型：
二、用函數(shù)模型解應(yīng)用問(wèn)題的四個(gè)步驟
1、審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型；
2、建模：將自然語(yǔ)言化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；
3、求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)模型；
4、還原：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問(wèn)題。
三、函數(shù)擬合與預(yù)測(cè)的一般步驟
1、通過(guò)原始數(shù)據(jù)、表格，繪出散點(diǎn)圖；
2、通過(guò)觀察散點(diǎn)圖，畫(huà)出擬合直線或擬合曲線；
3、求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)關(guān)系式；
4、根據(jù)擬合誤差要求判斷，選擇最佳的擬合函數(shù)；
5、利用選取的擬合函數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)；
6、利用函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)條件所給問(wèn)題進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制，為決策和管理提供依據(jù)。
考點(diǎn)一：一次函數(shù)模型
例1．（多選）某單位準(zhǔn)備印制一批證書(shū)，現(xiàn)有兩個(gè)印刷廠可供選擇，甲廠費(fèi)用分為制版費(fèi)和印刷費(fèi)兩部分，先收取固定的制版費(fèi)，再按印刷數(shù)量收取印刷費(fèi)，乙廠直接按印刷數(shù)量收取印刷費(fèi)，甲廠的總費(fèi)用（千元）乙廠的總費(fèi)用（千元）與印制證書(shū)數(shù)量x（千個(gè)）的函數(shù)關(guān)系圖分別如圖中甲、乙所示，則（ ）
A．甲廠的制版費(fèi)為1千元，印刷費(fèi)平均每個(gè)為0.5元
B．甲廠的費(fèi)用與證書(shū)數(shù)量x之間的函數(shù)關(guān)系式為
C．若該單位需印制證書(shū)數(shù)量為8千個(gè)，則該單位選擇甲廠更節(jié)省費(fèi)用
D．當(dāng)印制證書(shū)數(shù)量超過(guò)2千個(gè)時(shí)，乙廠的總費(fèi)用與證書(shū)數(shù)量x之間的函數(shù)關(guān)系式為
【答案】ABD
【解析】過(guò)點(diǎn)，設(shè)，則，所以，B選項(xiàng)正確，
當(dāng)時(shí)，，所以甲廠的制版費(fèi)為1千元；根據(jù)可知：甲廠印刷費(fèi)平均每個(gè)為0.5元，A選項(xiàng)正確.
根據(jù)圖象可知：該單位需印制證書(shū)數(shù)量為8千個(gè)，則該單位選擇乙廠更節(jié)省費(fèi)用，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.
當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)，
設(shè)，則，所以，D選項(xiàng)正確.故選：ABD
【變式訓(xùn)練】某商場(chǎng)準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)A，兩種型號(hào)電腦，每臺(tái)A型號(hào)電腦進(jìn)價(jià)比每臺(tái)型號(hào)電腦多500元，用40000元購(gòu)進(jìn)A型號(hào)電腦的數(shù)量與用30000元購(gòu)進(jìn)型號(hào)電腦的數(shù)量相同，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
（1）A，型號(hào)電腦每臺(tái)進(jìn)價(jià)各是多少元？
（2）若每臺(tái)A型號(hào)電腦售價(jià)為2500元，每臺(tái)型號(hào)電腦售價(jià)為1800元，商場(chǎng)決定用不超過(guò)35000元同時(shí)購(gòu)進(jìn)A，兩種型號(hào)電腦20臺(tái)，且全部售出，請(qǐng)寫(xiě)出所獲的利潤(rùn)（單位：元）與A型號(hào)電腦（單位：臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式并求此時(shí)的最大利潤(rùn)．
【答案】（1）每臺(tái)A型號(hào)電腦進(jìn)價(jià)為2000元，每臺(tái)型號(hào)電腦進(jìn)價(jià)為1500元
（2）與的函數(shù)解析式為，此時(shí)最大利潤(rùn)為8000元
【解析】（1）設(shè)每臺(tái)A型號(hào)電腦進(jìn)價(jià)為元，則型號(hào)電腦進(jìn)價(jià)為元
由題意，得，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，且符合題意，
∴型號(hào)電腦進(jìn)價(jià)（元），
∴每臺(tái)A型號(hào)電腦進(jìn)價(jià)為2000元，每臺(tái)型號(hào)電腦進(jìn)價(jià)為1500元；
（2）根據(jù)題意，得，
∵，解得：，
∵，∴隨的增大而增大，∴時(shí)，所獲利潤(rùn)最大為元.
∴與的函數(shù)解析式為，此時(shí)最大利潤(rùn)為8000元．
，
∵，解得：，∵，∴隨的增大而增大，
∴時(shí)，所獲利潤(rùn)最大為元.
∴與的函數(shù)解析式為，此時(shí)最大利潤(rùn)為8000元．
考點(diǎn)二：二次函數(shù)模型
例2．某文具店購(gòu)進(jìn)一批新型臺(tái)燈，若按每盞臺(tái)燈15元的價(jià)格銷售，每天能賣(mài)出30盞；若售價(jià)每提高1元，日銷售量將減少2盞，現(xiàn)決定提價(jià)銷售，為了使這批臺(tái)燈每天獲得400元以上(不含400元)的銷售收入．則這批臺(tái)燈的銷售單價(jià)x(單位：元)的取值范圍是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)這批臺(tái)燈的銷售單價(jià)為x元，由題意得，，即，解得，又因?yàn)?，所以，這批臺(tái)燈的銷售單價(jià)的取值范圍是.故選：C
【變式訓(xùn)練】隨著新冠病毒的暴發(fā)，感染人數(shù)越來(lái)越多，醫(yī)療資料受到極大的挑戰(zhàn)，某地政府開(kāi)始建立方艙醫(yī)院，建筑公司為某方艙醫(yī)院一病區(qū)預(yù)備的建筑材料總長(zhǎng)為158米，計(jì)劃建立24間病房，分為兩排，過(guò)道的寬為1米，病房的長(zhǎng)為x米，如圖所示，如何設(shè)計(jì)病房的長(zhǎng)、寬才能使單間病房面積最大？
【答案】病房的長(zhǎng)為3米、寬為米，才能使單間病房面積最大
【解析】由題可得病房的寬為米，
所以單間病房面積為，
所以當(dāng)米時(shí)，單間病房面積最大，此時(shí)病房的寬為米，
即病房的長(zhǎng)為3米、寬為米，才能使單間病房面積最大.
考點(diǎn)三：分式函數(shù)模型
例3．某鄉(xiāng)鎮(zhèn)衛(wèi)生院為響應(yīng)政府號(hào)召，決定在院內(nèi)投資96000元建一個(gè)長(zhǎng)方體的新冠疫苗接種點(diǎn)，其高度3米，它的后墻利用舊墻不花錢(qián)，正面用塑鋼每平方400元，兩側(cè)墻砌磚，每平方造價(jià)450元，頂部每平米造價(jià)600元，設(shè)正面長(zhǎng)為x米，每側(cè)磚墻長(zhǎng)均為y米.
（1）用x表示y，并寫(xiě)出x的范圍；
（2）求出新冠疫苗接種點(diǎn)占地面積S的最大允許值是多少？此時(shí)正面長(zhǎng)應(yīng)設(shè)計(jì)為多少米？
【答案】（1）
（2）占地面積S的最大允許值是100平方米，此時(shí)正面長(zhǎng)應(yīng)設(shè)計(jì)為15米．
【解析】（1）由題意，，
化簡(jiǎn)得，得.
（2）（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”），
代入，得，得，
則，即面積S的最大允許值是100平方米．
當(dāng)時(shí)，S取最大值，又，∴，，∴此時(shí)正面長(zhǎng)應(yīng)設(shè)計(jì)為15米．
【變式訓(xùn)練】某地上年度電的價(jià)格為元/度，年用電量為億度.本年度計(jì)劃將電的價(jià)格調(diào)至元/度~元/度（包含元/度和元/度），經(jīng)測(cè)算，若電的價(jià)格調(diào)至元/度，則本年度新增用電量（億度）與（元/度）成反比，且當(dāng)時(shí)，.
（1）與之間的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)___；
（2）若電的成本價(jià)為元/度，則電的價(jià)格調(diào)至____元/度時(shí)，電力部門(mén)本年度的收益將比上一年增加.（收益用電量（實(shí)際電的價(jià)格成本價(jià)））
【答案】（1）；（2）/
【解析】（1）設(shè)，
當(dāng)時(shí)，，解得，所以，；
（2）根據(jù)題意，得，
整理得，解得（舍去）或，
所以當(dāng)電的價(jià)格調(diào)至元/度時(shí)，電力部門(mén)本年度的收益將比上一年增加.
故答案為：（1）；（2）.
考點(diǎn)四：冪數(shù)函數(shù)模型
例4．2020年底，國(guó)務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽，脫貧攻堅(jiān)取得重大勝利！為進(jìn)一步鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，持續(xù)實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應(yīng)政府號(hào)召，積極參與幫扶活動(dòng)．該企業(yè)2021年初有資金150萬(wàn)元，資金的年平均增長(zhǎng)率固定，每三年政府將補(bǔ)貼10萬(wàn)元．若要實(shí)現(xiàn)2024年初的資金達(dá)到270萬(wàn)元的目標(biāo)，資金的年平均增長(zhǎng)率應(yīng)為（參考值：）（ ）
A．10% B．20% C．22% D．32%
【答案】B
【解析】由題意，設(shè)年平均增長(zhǎng)率為，則，
所以，故年平均增長(zhǎng)率為20%.故選：B
【變式訓(xùn)練1】異速生長(zhǎng)規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關(guān)系通常以冪函數(shù)形式表示．比如，某類動(dòng)物的新陳代謝率與其體重滿足，其中和為正常數(shù)，該類動(dòng)物某一個(gè)體在生長(zhǎng)發(fā)育過(guò)程中，其體重增長(zhǎng)到初始狀態(tài)的16倍時(shí)，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)初始狀態(tài)為，則，，又，，即，
，，，，．故選：D．
【變式訓(xùn)練】黨的二十大大報(bào)告明確要求：我們要構(gòu)建高水平社會(huì)主義市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)體制，堅(jiān)持和完善社會(huì)主義基本經(jīng)濟(jì)制度，毫不動(dòng)搖鞏固和發(fā)展公有制經(jīng)濟(jì)，毫不動(dòng)搖鼓勵(lì)、支持、引導(dǎo)非公有制經(jīng)濟(jì)發(fā)展，充分發(fā)揮市場(chǎng)在資源配置中的決定性作用，更好發(fā)揮政府作用.這為我們深入推進(jìn)非公有制企業(yè)改革發(fā)展指明了方向，提供了根本遵循.某非公有制企業(yè)抓住機(jī)遇推進(jìn)生產(chǎn)改革，從單一產(chǎn)品轉(zhuǎn)為生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與市場(chǎng)預(yù)測(cè)，A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資成正比，其關(guān)系如圖（1）；B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖（2）（注：所示圖中的橫坐標(biāo)表示投資金額，單位為萬(wàn)元）
（1）分別求出A、B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；
（2）該企業(yè)已籌集到10萬(wàn)元資金，并全部投入A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問(wèn)：怎樣分配這10萬(wàn)元資金，才能使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？
【答案】（1），
（2）當(dāng)A產(chǎn)品投入6萬(wàn)元，B產(chǎn)品投入萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)獲得最大利潤(rùn)為7萬(wàn)元
【解析】（1）設(shè)投資為萬(wàn)元，A產(chǎn)品的利潤(rùn)為萬(wàn)元，B產(chǎn)品的利潤(rùn)為萬(wàn)元，
由題意知， 。由圖可知，
從 ，
（2）設(shè)A產(chǎn)品投入萬(wàn)元，則B產(chǎn)品投入萬(wàn)元，設(shè)企業(yè)利潤(rùn)為萬(wàn)元。
則 ，
令 則當(dāng)，
所以當(dāng)A產(chǎn)品投入6萬(wàn)元，B產(chǎn)品投入萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)獲得最大利潤(rùn)為7萬(wàn)元.
考點(diǎn)五：指數(shù)函數(shù)模型
例5．基本再生數(shù)與世代間隔是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)．基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間．在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計(jì)感染病例數(shù)隨時(shí)間（單位：天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率與，近似滿足．有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出，．據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加2倍需要的時(shí)間約為（，）（ ）
A．天 B．天 C．天 D．天
【答案】B
【解析】把，代入，可得，，當(dāng)時(shí)，，則，
兩邊取對(duì)數(shù)得，解得（天）．故選：B
【變式訓(xùn)練】某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)濾后排放，過(guò)濾過(guò)程中廢氣的污染物數(shù)量與時(shí)間間的關(guān)系為（其中是正常數(shù)）.已知在前5個(gè)小時(shí)消除了10%的污染物.
（1）求的值（精稱到0.01）；
（2）求污染物減少需要花的時(shí)間（精確到）？
參考數(shù)據(jù)：.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
即，所以，即；
（2）當(dāng)時(shí)，，即，則.
故污染物減少需要花的時(shí)間約為.
考點(diǎn)六：對(duì)數(shù)函數(shù)模型
例6．大西洋鮭魚(yú)每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域產(chǎn)卵．記鮭魚(yú)的游速為v（單位：），鮭魚(yú)的耗氧量的單位數(shù)為Q，研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，鮭魚(yú)的耗氧量的單位數(shù)為51200，則當(dāng)時(shí)，鮭魚(yú)的耗氧量的單位數(shù)為（ ）
A．400 B．800 C．1600 D．3200
【答案】B
【解析】因?yàn)闀r(shí)，鮭魚(yú)的耗氧量的單位數(shù)為，所以，
當(dāng)時(shí)，可得，兩式相除，可得，即，
可得，解得.故選：B.
【變式訓(xùn)練】在不考慮空氣阻力的條件下，某飛行器的最大速度為v（單位：）和所攜帶的燃料的質(zhì)量M（單位kg）與飛行器（除燃料外）的質(zhì)量m（單位kg）的函數(shù)關(guān)系式近似滿足．當(dāng)攜帶的燃料的質(zhì)量和飛行器（除橪料外）的質(zhì)量相等時(shí)，v約等于，當(dāng)攜帶的燃料的質(zhì)量是飛行器（除燃料外）的質(zhì)量3倍時(shí)，v約等于．
（1）求a，b的值；
（2）問(wèn)攜帶的燃料的質(zhì)量M（單位kg）與飛行器（除燃料外）的質(zhì)量m（單位kg）之比滿足什么條件時(shí)，該飛行器最大速度超過(guò)第二宇宙速度．（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
解得，即，解得或（舍去），則；
（2）由，即，即，故，
即攜帶的燃料的質(zhì)量與飛行器（除燃料外）的質(zhì)量之比超過(guò)63時(shí)，該飛行器最大速度不小于第二宇宙速度．
考點(diǎn)七：分段函數(shù)模型
例7．某廠生產(chǎn)某種零件，每個(gè)零件的成本為4元，出廠單價(jià)6元，該廠為鼓勵(lì)銷售商訂購(gòu)，決定當(dāng)一次訂購(gòu)超過(guò)100個(gè)時(shí)，每多訂購(gòu)一個(gè)，零件的出廠單價(jià)就降低0.01元，但實(shí)際出廠價(jià)不低于5元．
（1）當(dāng)一次訂購(gòu)量為多少時(shí)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)降為5元？
（2）設(shè)一次訂購(gòu)量為x個(gè)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)為元，求函數(shù)的表達(dá)式；
（3）銷售商一次訂購(gòu)150個(gè)零件時(shí)，該廠獲得的利潤(rùn)是多少元？若訂購(gòu)500個(gè)呢？
【答案】（1）200；（2），；（3）225元；500元
【解析】（1）設(shè)一次訂購(gòu)量為個(gè)時(shí)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)降為5元，
則，解得，所以當(dāng)一次訂購(gòu)量為200個(gè)時(shí)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)降為5元．
（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，故，．
（3）當(dāng)一次訂購(gòu)150個(gè)零件時(shí)，出廠單價(jià)為元，該廠獲得的利潤(rùn)是：元；當(dāng)一次訂購(gòu)500個(gè)零件時(shí)，出廠單價(jià)為5元，該廠獲得的利潤(rùn)是：元，故銷售商一次訂購(gòu)150個(gè)零件時(shí)，該廠獲得的利潤(rùn)是225元；若訂購(gòu)500個(gè)，該廠獲得的利潤(rùn)是500元．
【變式訓(xùn)練】某醫(yī)藥公司研發(fā)的一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，由監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)可知，服用后6小時(shí)內(nèi)每毫升血液中含藥量（單位：微克）與時(shí)間（單位：小時(shí)）之間的關(guān)系滿足如圖所示的曲線，當(dāng)時(shí)，曲線是二次函數(shù)圖象的一部分，當(dāng)時(shí)，曲線是函數(shù)圖象的一部分，根據(jù)進(jìn)一步測(cè)定，每毫升血液中含藥量不少于2微克時(shí)，治療有效.

（1）試求服藥后6小時(shí)內(nèi)每毫升血液中含藥量與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）問(wèn)服藥多久后開(kāi)始有治療效果？治療效果能持續(xù)多少小時(shí)？（精確到0.1）（參考數(shù)據(jù)）
【答案】（1）；（2）0.3小時(shí)后，5.2小時(shí)
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，由圖象可設(shè)，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，解得，即當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)，
得，解得，所以，故.
（2）當(dāng)時(shí)，，
令，即，解得，即，
又，∴，故服藥0.3小時(shí)之后開(kāi)始有治療效果，
當(dāng)時(shí)，，令，即，解得，
又，∴，
綜上，，所以服藥后的治療效果能持續(xù)5.2小時(shí).
1．某產(chǎn)品的總成本y萬(wàn)元與產(chǎn)量x（臺(tái)）之間的關(guān)系是， ，若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為9萬(wàn)元，則生產(chǎn)者不虧本（銷售收入不小于總成本）時(shí)的最低產(chǎn)量是（ ）
A．3臺(tái) B．5臺(tái) C．6臺(tái) D．10臺(tái)
【答案】A
【解析】依題意， ，即，解得或 （舍去），∵，∴.∴生產(chǎn)者不虧本（銷售收入不小于總成本）時(shí)的最低產(chǎn)量是3（臺(tái)）．故選：A．
2．甲、乙兩人沿著同一方向從地去地，甲前一半的路程使用速度，后一半的路程使用速度；乙前一半的時(shí)間使用速度，后一半的時(shí)間使用速度，關(guān)于甲，乙兩人從地到達(dá)地的路程與時(shí)間的函數(shù)圖象及關(guān)系（其中橫軸表示時(shí)間，縱軸表示路程）可能正確的圖示分析為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意可知，開(kāi)始時(shí)，甲、乙速度均為v1，所以圖象是重合的線段，由此排除C，D，再根據(jù)v1＜v2可知兩人的運(yùn)動(dòng)情況均是先慢后快，圖象是折線且前“緩”后“陡”，故圖示A正確．故選：A
3．某工廠近期要生產(chǎn)一批化工試劑，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查得知，生產(chǎn)這批試劑的成本分為以下三個(gè)部分：①生產(chǎn)1單位試劑需要原料費(fèi)50元；②支付所有職工的工資總額由7500元的基本工資和每生產(chǎn)1單位試劑補(bǔ)貼20元組成；③后續(xù)保養(yǎng)的費(fèi)用是每單位元（試劑的總產(chǎn)量為單位，），則要使生產(chǎn)每單位試劑的成本最低，試劑總產(chǎn)量應(yīng)為（ ）
A．60單位 B．70單位 C．80單位 D．90單位
【答案】D
【解析】設(shè)每生產(chǎn)單位試劑的成本為，因?yàn)樵噭┛偖a(chǎn)量為單位，則由題意可知，原料總費(fèi)用為元，
職工的工資總額為元，后續(xù)保養(yǎng)總費(fèi)用為元，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，滿足，
所以要使生產(chǎn)每單位試劑的成本最低，試劑總產(chǎn)量應(yīng)為90單位．故選：D．
4．牛頓冷卻定律描述一個(gè)事物在常溫環(huán)境下的溫度變化：如果物體的初始溫度為，則經(jīng)過(guò)一定時(shí)間后的溫度滿足，其中是環(huán)境溫度，稱為半衰期，現(xiàn)有一杯80℃的熱水用來(lái)泡茶，研究表明，此茶的最佳飲用口感會(huì)出現(xiàn)在55℃．經(jīng)測(cè)量室溫為25℃，茶水降至75℃大約用時(shí)1分鐘，那么為了獲得最佳飲用口感，從泡茶開(kāi)始大約需要等待（ ）（參考數(shù)據(jù)：，，）
A．4分鐘 B．5分鐘 C．6分鐘 D．7分鐘
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，，即設(shè)茶水從降至大約用時(shí)t分鐘，則，即，即兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)：
解得，所以從泡茶開(kāi)始大約需要等待分鐘故選：C
5．（多選）幾名大學(xué)生創(chuàng)業(yè)時(shí)經(jīng)過(guò)調(diào)研選擇了一種技術(shù)產(chǎn)品，生產(chǎn)此產(chǎn)品獲得的月利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）與每月投入的研發(fā)經(jīng)費(fèi)（單位：萬(wàn)元）有關(guān).已知每月投入的研發(fā)經(jīng)費(fèi)不高于16萬(wàn)元，且，利潤(rùn)率.現(xiàn)在已投入研發(fā)經(jīng)費(fèi)9萬(wàn)元，則下列判斷正確的是（ ）
A．此時(shí)獲得最大利潤(rùn)率 B．再投入6萬(wàn)元研發(fā)經(jīng)費(fèi)才能獲得最大利潤(rùn)
C．再投入1萬(wàn)元研發(fā)經(jīng)費(fèi)可獲得最大利潤(rùn)率 D．再投入1萬(wàn)元研發(fā)經(jīng)費(fèi)才能獲得最大利潤(rùn)
【答案】BC
【解析】當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，獲得最大利潤(rùn)，為，故B正確，D錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)研發(fā)利潤(rùn)率取得最大值2，故C正確，A錯(cuò)誤.故選：BC.
6．（多選）如圖所示為某池塘中野生水葫蘆的面積與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系的圖象，假設(shè)其函數(shù)關(guān)系為指數(shù)函數(shù)，現(xiàn)給出下列說(shuō)法，其中正確的說(shuō)法有（ ）
A．野生水葫蘆的面積每月增長(zhǎng)量相等
B．野生水葫蘆從蔓延到歷時(shí)超過(guò)1個(gè)月
C．設(shè)野生水葫蘆蔓延到，，所需的時(shí)間分別為，，，則有
D．野生水葫蘆在第1個(gè)月到第3個(gè)月之間蔓延的平均速度等于在第2個(gè)月到第4個(gè)月之間蔓延的平均速度
【答案】BC
【解析】由圖可知野生水葫蘆第一個(gè)月增長(zhǎng)面積為，第二個(gè)月增長(zhǎng)面積為，A錯(cuò)誤；
由圖可知野生水葫蘆從蔓延到歷時(shí)超過(guò)1個(gè)月，B正確；
野生水葫蘆的面積與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為，，
，
，，所以，C正確；
野生水葫蘆在第1個(gè)月到第3個(gè)月之間蔓延的平均速度為
野生水葫蘆在第2個(gè)月到第4個(gè)月之間蔓延的平均速度為，D錯(cuò)誤.故選：BC
7．有A，B兩種理財(cái)產(chǎn)品，投資這兩種理財(cái)產(chǎn)品所能獲得的年利潤(rùn)分別是W和T（萬(wàn)元），它們與投入資金x（萬(wàn)元）的關(guān)系有經(jīng)驗(yàn)方程式：，，今有5萬(wàn)元資金投資到A，B兩種理財(cái)產(chǎn)品，可獲得的最大年利潤(rùn)是___________萬(wàn)元.
【答案】/1.45
【解析】設(shè)對(duì)，兩種商品投入的資金分別為萬(wàn)元和萬(wàn)元，利潤(rùn)為萬(wàn)元，
則，令，則，，
所以，故當(dāng)時(shí)，（萬(wàn)元），
故可獲得的最大年利潤(rùn)是1.45萬(wàn)元．故答案為：．
8．探空氣球是將探空儀器帶到高空進(jìn)行溫度、大氣壓力、濕度、風(fēng)速、風(fēng)向等氣象要素測(cè)量的氣球，利用探空儀將實(shí)時(shí)探測(cè)到的大氣垂直方向上的氣象數(shù)據(jù)反饋給地面雷達(dá)，通過(guò)數(shù)據(jù)處理，成為全球預(yù)報(bào)員制作天氣預(yù)報(bào)的重要依據(jù).大氣壓強(qiáng)對(duì)氣球能達(dá)到的最大高度和停留時(shí)間有非常大的影響.已知大氣壓強(qiáng)隨海拔高度的變化規(guī)律是，其中是海平面大氣壓強(qiáng).若探空氣球在兩處測(cè)得的大氣壓強(qiáng)分別為，，且，那么兩處的海拔高度的差約為_(kāi)_____m.（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】5500
【解析】設(shè)兩處的海拔高度分別為，由題意可得：，且，
即，且，可得，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得：
，即，整理得，
即兩處的海拔高度的差約為5500 m.故答案為：5500.
9．每年紅嘴鷗都從西伯利亞飛越數(shù)千公里來(lái)到美麗的昆明過(guò)冬，科學(xué)家經(jīng)過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn)候鳥(niǎo)的飛行速度可以用函數(shù)表示，v的單位是km/min，其中x表示候鳥(niǎo)每分鐘耗氧量的單位數(shù)，常數(shù)x0表示測(cè)量過(guò)程中候鳥(niǎo)每分鐘的耗氧偏差.
（1）若，候鳥(niǎo)停下休息時(shí)，它每分鐘的耗氧量為多少個(gè)單位？（結(jié)果保留到整數(shù)位，參考數(shù)據(jù)：，）
（2）若雄鳥(niǎo)的飛行速度為1.3km/min，雌鳥(niǎo)的飛行速度為0.8km/min，問(wèn)雄鳥(niǎo)每分鐘的耗氧量是雌鳥(niǎo)每分鐘耗氧量的多少倍？
【答案】（1）374；（2）3
【解析】（1）將，代入，
得，則，即，解得，
所以候鳥(niǎo)停下休息時(shí)，它每分鐘的耗氧量為：374個(gè)單位；
（2）設(shè)雄鳥(niǎo)每分鐘的耗氧量為個(gè)單位，雌鳥(niǎo)每分鐘耗氧量為個(gè)單位，
由題意得：，兩式相減得，解得，
所以雄鳥(niǎo)每分鐘的耗氧量是雌鳥(niǎo)每分鐘耗氧量的3倍.
10．某單位購(gòu)入了一種新型的空氣消毒劑用于環(huán)境消毒，已知在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個(gè)單位的消毒劑，空氣中釋放的濃度（單位：毫米/立方米）隨著時(shí)間（單位：小時(shí)）變化的關(guān)系如下：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．若多次噴灑，則某一時(shí)刻空氣中的消毒劑濃度為每次投放的消毒劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和．由實(shí)驗(yàn)知，當(dāng)空氣中消毒劑的濃度不低于4（毫克/立方米）時(shí)，它才能起到殺滅空氣中的病毒的作用．
（1）若一次噴灑4個(gè)單位的消毒劑，則有效殺滅時(shí)間可達(dá)幾小時(shí)？
（2）若第一次噴灑2個(gè)單位的消毒劑，6小時(shí)后再噴灑個(gè)單位的消毒劑，要使接下來(lái)的4小時(shí)中能夠持續(xù)有效消毒，試求的最小值（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：取1.4）
【答案】（1）8小時(shí)；（2）1.6
【解析】（1）因?yàn)橐淮螄姙?個(gè)單位的消毒劑，所以其濃度為
當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)，
所以若一次噴灑4個(gè)單位的消毒劑，則有效殺滅時(shí)間可達(dá)8小時(shí)．
（2）設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)小時(shí)后，
其濃度，
因?yàn)?，，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；所以其最小值為，由，解得，所以a的最小值為．
1．某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣，日銷售量（件）與單價(jià)（元）之間的關(guān)系為，生產(chǎn)件所需成本為（元），其中元，若要求每天獲利不少于1300元，則日銷售量的取值范圍是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)該廠每天獲得的利潤(rùn)為元，則，，，
依題意，，解得，所以當(dāng)，且時(shí)，每天獲得的利潤(rùn)不少于1300元.故選：B
2．某車(chē)間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為900元，若每批生產(chǎn)件，則平均倉(cāng)儲(chǔ)時(shí)間為天，且每件產(chǎn)品每天的倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用為1元，為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品（ ）
A．30件 B．60件 C．80件 D．100件
【答案】B
【解析】根據(jù)題意，該生產(chǎn)件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和是
這樣平均每件的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和為 （為正整數(shù)）
由基本不等式，得當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，
時(shí)，每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，故選：B
3．若一根蠟燭長(zhǎng)20 cm，點(diǎn)燃后每小時(shí)燃燒5 cm，則燃燒剩下的高度h(cm)與燃燒時(shí)間t(小時(shí))的函數(shù)關(guān)系用圖象表示為( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依題設(shè)可知，蠟燭高度h與燃燒時(shí)間t之間構(gòu)成一次函數(shù)關(guān)系，
又∵函數(shù)圖象必過(guò)點(diǎn)(0,20)、(4,0)兩點(diǎn)，且該圖象應(yīng)為一條線段．∴選B.
4．某食品的保鮮時(shí)間y（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)藏溫度x（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù)）．若該食品在0的保鮮時(shí)間是192小時(shí)，在22的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，則該食品在33的保鮮時(shí)間是（ ）
A．16小時(shí) B．20小時(shí) C．24小時(shí) D．28小時(shí)
【答案】C
【解析】由已知得①，②，將①代入②得，則．當(dāng)時(shí)，，所以該食品在33℃的保鮮時(shí)間是24小時(shí)，故選：C．
5．（多選）甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一座公園，甲同學(xué)家到公園的距離與乙同學(xué)家到公園的距離都是2km．如圖所示表示甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家經(jīng)過(guò)的路程y（km）與時(shí)間x（min）的關(guān)系，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家走了60min
B．甲從家到公園的時(shí)間是30min
C．當(dāng)0≤x≤30時(shí)，y與x的關(guān)系式為
D．當(dāng)30≤x≤60時(shí)，y與x的關(guān)系式為
【答案】BCD
【解析】由圖象可知，甲在公園休息的時(shí)間是10min，所以只走了50min，故A錯(cuò)誤，
由題中圖象可知，甲從家到公園的時(shí)間是30min，故B正確，
當(dāng)0≤x≤30時(shí)，設(shè)y＝kx（k≠0），則2＝30k，解得k，故C正確，
當(dāng)30≤x≤60時(shí)，設(shè)y＝kx+b，直線過(guò)點(diǎn)（40，2），（50，3），
則，故y與x的關(guān)系式為，故D正確．故選：BCD
6．（多選）如圖，某池塘里浮萍的面積（單位：）與時(shí)間（單位：月）的關(guān)系為，關(guān)于下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．浮萍每月的增長(zhǎng)率為3
B．浮萍每月增加的面積都相等
C．第4個(gè)月時(shí)，浮萍面積超過(guò)
D．若浮萍蔓延到所經(jīng)過(guò)的時(shí)間分別是，則
【答案】CD
【解析】由圖可知，函數(shù)過(guò)點(diǎn)，將其代入解析式，，故，A選項(xiàng)，取前3個(gè)月的浮萍面積，分別為3，9，27，故增長(zhǎng)率逐月增大，A錯(cuò)誤；
從前3個(gè)月浮萍面積可看出，每月增加的面積不相等，B錯(cuò)誤；
第4個(gè)月的浮萍面積為81，超過(guò)了80，C正確；
令，，，解得：，，D正確.故選：CD
7．“喊泉”是一種地下水的毛細(xì)現(xiàn)象，人們?cè)谌诤鸾谢虬l(fā)出其他聲響時(shí)，聲波傳入泉洞內(nèi)的儲(chǔ)水池，進(jìn)而產(chǎn)生“共鳴”等物理聲學(xué)作用，激起水波，形成涌泉．聲音越大，涌起的泉水越高．已知聽(tīng)到的聲強(qiáng)與參考聲強(qiáng)（約為，單位：）之比的常用對(duì)數(shù)稱作聲強(qiáng)的聲強(qiáng)級(jí)，記作（單位：貝爾），即，取貝爾的10倍作為響度的常用單位，簡(jiǎn)稱為分貝．已知某處“喊泉”的聲音響度（單位：分貝）與噴出的泉水高度滿足關(guān)系式，現(xiàn)知同學(xué)大喝一聲激起的涌泉最高高度為，若同學(xué)大喝一聲的聲強(qiáng)大約相當(dāng)于10個(gè)同學(xué)同時(shí)大喝一聲的聲強(qiáng)，則同學(xué)大喝一聲激起的涌泉最高高度約為_(kāi)_____dm．
【答案】45
【解析】設(shè)同學(xué)的聲強(qiáng)為，噴出泉水高度為，則同學(xué)的聲強(qiáng)為，噴出泉水高度為50 dm，由，得 ①，
∵，∴ ②，①－②得，解得，
∴同學(xué)大喝一聲激起的涌泉最高高度約為45 dm．
故答案為：45.
8．民宿旅游逐漸成為一種熱潮，山野鄉(xiāng)村的民宿也深受廣大旅游愛(ài)好者的喜愛(ài).對(duì)于民宿的改造，窗戶面積與地板面積之比越大，采光效果越好.現(xiàn)有一所地板面積為240平方米的民宿需要同時(shí)增加窗戶和地板的面積，已知地板增加的面積是窗戶增加的面積的3倍，且民宿改造后的采光效果不遜于改造前，則改造前的窗戶面積最大為_(kāi)_________平方米.
【答案】80
【解析】設(shè)改造前的民宿窗戶面積為平方米，改造后的民宿窗戶增加的面積為平方米，
則地板增加的面積為平方米，.
依題意得，即，解得：，
故改造前的窗戶面積最大為80平方米，故答案為：80
9．現(xiàn)在網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物方便快捷，得益于快遞行業(yè)的快速發(fā)展，根據(jù)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，某條快遞線路運(yùn)行時(shí)，發(fā)車(chē)時(shí)間間隔t（單位：分鐘）滿足：，平均每趟快遞車(chē)輛的載件個(gè)數(shù)（單位：個(gè)）與發(fā)車(chē)時(shí)間間隔t近似地滿足，其中．
（1）若平均每趟快遞車(chē)輛的載件個(gè)數(shù)不超過(guò)1500個(gè)，試求發(fā)車(chē)時(shí)間間隔t的值；
（2）若平均每趟快遞車(chē)輛每分鐘的凈收益（單位：元），問(wèn)當(dāng)發(fā)車(chē)時(shí)間間隔t為多少時(shí)，平均每趟快遞車(chē)輛每分鐘的凈收益最大？并求出最大凈收益．
【答案】（1）4；（2）7分鐘時(shí)，280（元）
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，不滿足題意，舍去，
當(dāng)時(shí)，，即．解得（舍）或．
且，．所以發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為4分鐘．
（2）由題意可得
當(dāng)時(shí)，（元）當(dāng)時(shí)，（元）
所以發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為7分鐘時(shí)，凈收益最大為280（元）．
10．學(xué)校鼓勵(lì)學(xué)生課余時(shí)間積極參加體育鍛煉，每天能用于鍛煉的課余時(shí)間有90分鐘，現(xiàn)需要制定一個(gè)課余鍛煉考核評(píng)分制度，建立一個(gè)每天得分與當(dāng)天鍛煉時(shí)間（單位：分）的函數(shù)關(guān)系，要求及圖示如下：（1）函數(shù)是區(qū)間上的增函數(shù)；（2）每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間為0分鐘時(shí)，當(dāng)天得分為0分；（3）每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間為30分鐘時(shí)，當(dāng)天得分為3分；（4）每天最多得分不超過(guò)6分.現(xiàn)有三個(gè)函數(shù)模型①，
②，③供選擇.
（1）請(qǐng)你從中選擇一個(gè)合適的函數(shù)模型并說(shuō)明理由，再根據(jù)所給信息求出函數(shù)的解析式；
（2）求每天得分不少于4.5分，至少需要鍛煉多少分鐘.（注：，結(jié)果保留整數(shù)）
【答案】（1）模型③，理由見(jiàn)解析，；（2）55分鐘
【解析】（1）第一步：分析題中每個(gè)模型的特點(diǎn)
對(duì)于模型一，當(dāng)時(shí)，勻速增長(zhǎng)；
對(duì)于模型二，當(dāng)時(shí)，先慢后快增長(zhǎng)；
對(duì)于模型三，當(dāng)時(shí)，先快后慢增長(zhǎng).
第二步：根據(jù)題中材料和題圖選擇合適的函數(shù)模型
從題圖看應(yīng)選擇先快后慢增長(zhǎng)的函數(shù)模型，故選.
第三步：把題圖中的兩點(diǎn)代入選好的模型中，得到函數(shù)解析式
將（0，0），（30，3）代入解析式得到，即，
解得，即.
第四步：驗(yàn)證模型是否合適
當(dāng)時(shí)，，滿足每天得分最高不超過(guò)6分的條件.
所以函數(shù)的解析式為.
（2）由，得，
得，得，
所以每天得分不少于4.5分，至少需要運(yùn)動(dòng)55分鐘.