山東省泰安市2025屆高三下學(xué)期4月二輪復(fù)習(xí)檢測（二模）數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）

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數(shù)學(xué)試題
2025.04
注意事項：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，則集合為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)集合的補集運算求解.
【詳解】因為，
所以，
故選：B
2. 已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)的幾何意義求解.
【詳解】因為，
所以，，
所以，
所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第三象限.
故選：C
3. 已知平面向量，若與夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)向量夾角為鈍角可得向量數(shù)量積為負(fù)數(shù)且不共線得解.
【詳解】因為與的夾角為鈍角，
所以，且，
解得且，
故選：D
4. 在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖像可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通過分析冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的特征可得解.
【詳解】函數(shù)，與，
答案A沒有冪函數(shù)圖像，
答案B.中，中，不符合，
答案C中，中，不符合，
答案D中，中，符合，故選D.
【點睛】本題主要考查了冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖像特征，屬于基礎(chǔ)題.
5. 已知等差數(shù)列的前n項和為，若，則（ ）
A. 44B. 33C. 66D. 77
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求解.
【詳解】因為,
所以，.
故選：D
6. 某學(xué)校為提高學(xué)生學(xué)習(xí)英語的積極性，舉辦了英語知識競賽，把2000名學(xué)生的競賽成績（滿分100分，成績?nèi)≌麛?shù)）按，，，分成四組，并整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法正確的為（ ）
A. a的值為0.015B. 估計成績低于80分的有50人
C. 估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為80D. 估計這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為87
【答案】D
【解析】
【分析】利用頻率分布直方圖的性質(zhì)可判定A，根據(jù)頻率分布直方圖計算可估計總體判定可判定B，利用眾數(shù)、百分位數(shù)的求法C，D.
【詳解】易知，解得，所以A錯誤；
成績低于80分的頻率為，所以估計總體有人，所以B錯誤；
由頻率分布直方圖可知眾數(shù)落在區(qū)間，用區(qū)間中點表示眾數(shù)即85，所以C錯誤；
由頻率分布直方圖可知前兩組頻率之和為，
前三組頻率之和為，故第60百分位數(shù)落在區(qū)間，設(shè)第60百分位數(shù)為，則，解得，故D正確.
故選：D.
7. 過直線上任一點P向圓作兩條切線，切點為A，B．則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)點，求出設(shè)點，由點到直線的距離求出圓心到直線的距離，再由結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.
【詳解】設(shè)點，則直線的方程為，
（注：由圓外一點向該圓引兩條切線，切點分別為，則直線的方程是），
化簡可得：，
所以圓心到直線的距離為：
所以
，
當(dāng)時，的最小值為.
故選：C.
8. 已知是定義域為單調(diào)遞增函數(shù)，且存在函數(shù)，使，若分別為方程和的根，則（ ）
A. 8B. 4C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)所給條件可得，當(dāng)時可推出，由函數(shù)單調(diào)性可得，即可得解.
【詳解】由題意，，
又，
所以，
若，
則，
所以
由是定義域為的單調(diào)遞增函數(shù)，可知有且只有成立，
所以，
故選：B
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 下列選項中正確的是（ ）
A. “”的否定是“”
B. 若回歸方程為，則變量與負(fù)相關(guān)
C. 若，則
D. 五個人并排站在一起，若不相鄰，則共有72種不同的排法
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)命題的否定判斷A，根據(jù)回歸方程判斷B，根據(jù)二倍角的余弦公式及弦化切判斷C，根據(jù)插空法求解判斷D.
【詳解】根據(jù)存在性命題的否定知，“”的否定是“”，故A正確；
由回歸方程為知，，所以變量與負(fù)相關(guān)，故B正確；
因為，故C錯誤；
先排除去外的3人，由種不同的排法，再把插空放入，有種放法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可知共有種不同的排法，故D正確.
故選：ABD
10. 已知雙曲線的左，右焦點分別為，則下列選項正確的是（ ）
A. 若，則雙曲線的任一焦點到漸近線的距離為
B. 若點在雙曲線上，則直線與的斜率之積為
C. 以線段為直徑的圓與雙曲線在第一象限交于點，且，則雙曲線的離心率
D. 若過的直線與軸垂直且與漸近線交于兩點，，則雙曲線的漸近線方程為
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用雙曲線焦點到漸近線距離為b判斷A，取特殊位置判斷B，由題意求出點坐標(biāo)代入雙曲線方程化簡即可得出離心率判斷C，利用向量的夾角公式化簡即可得出判斷D.
【詳解】由雙曲線的性質(zhì)知，焦點到漸近線的距離為，故A正確；
在雙曲線上取頂點時，直線與的斜率之積為0，故B錯誤；
由題意點在圓上，又，所以，代入圓的方程，可得，將點代入雙曲線方程可得，，即，
所以，故C正確；
直線方程為，與漸近線相交于，
所以，即，
化簡可得，解得，所以雙曲線漸近線方程為，故D正確.
故選 ：ACD
11. 在平面直角坐標(biāo)系中，定義兩點之間的折線距離為如圖，某地有一矩形古文化街區(qū)，其內(nèi)部道路間距均為1，則下列選項正確的是（ ）
A.
B. 若為平面內(nèi)任意一點，則
C. 當(dāng)?shù)卣當(dāng)M沿滿足的點的軌跡修建一條街區(qū)環(huán)線公路，則公路形狀為六邊形
D. 外賣員從點送餐到點，在保證路程與相等的前提下，左轉(zhuǎn)次數(shù)的期望為
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)新定義判斷A，根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)判斷B，根據(jù)新定義、排列、直線方程判斷C，求出期望判斷D.
詳解】由定義知，，故A正確；
平面內(nèi)任意一點，則
，故B正確；
設(shè)，則由可得，
因為去掉絕對值分別有3段取值，共可得到個方程，最多對應(yīng)9條線段，
但當(dāng)時，方程為，無解，
其余分類中得到的方程含有或，且方程對應(yīng)的線段相異，
故總的線段條數(shù)為，點軌跡圖形為八邊形，如圖所示，
故C錯誤；
由題意，左轉(zhuǎn)次數(shù)可能為，總的走法有，
其中，，所以，
，故D正確.
故選：ABD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 的展開式的第4項的系數(shù)是_______.
【答案】
【解析】
【分析】利用展開式的通項公式求解即可.
【詳解】，
當(dāng)時，，
故答案為：
13. 函數(shù)的最小值為_______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及最值.
【詳解】設(shè)，定義域為，則.
令，解得，
當(dāng)時，，則，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，則，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，則，單調(diào)遞增.
所以，函數(shù)在處取得最小值.
故答案為：.
14. 如圖，在母線長為，高為的倒置圓錐形容器（不計厚度）內(nèi)放置一個底面半徑為1的圓柱體.現(xiàn)向圓柱側(cè)面與圓錐側(cè)面所夾空間內(nèi)放入若干小球，所有小球均與圓柱側(cè)面，圓錐側(cè)面及圓錐底面所在平面相切，則這樣的小球最多能放入_______個.
【答案】6
【解析】
【分析】求出滿足條件的小球的半徑，再由俯視圖可求出兩個小球球心與底面圓圓心投影連線的夾角，即可得解.
【詳解】如圖，
則，解得，
由題意，小球與圓柱、圓錐側(cè)面、圓錐底面相切，作軸截面如圖所示，
因為，所以，即，
則，設(shè)圓的半徑為，則，
解得，即小球的半徑為1,
作俯視圖，
因為為等邊三角形，所以，
由可知，這樣的小球最多能放入6個.
故答案為：6
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 在鈍角三角形中，內(nèi)角所對的邊分別為，，，．
（1）若，求的值；
（2）若的面積，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由向量垂直可得數(shù)量積為0，化簡后利用正弦定理可得，再由余弦定理求解；
（2）由三角形面積公式求出，再由余弦定理化簡得解.
【小問1詳解】
，
，
即，
鈍角三角形中，，
，
由正弦定理知，，
，
，
【小問2詳解】
，，
，或，
當(dāng)時，，
；
當(dāng)時，，
此時，，不合題意.
綜上，.
16. 如圖，斜四棱柱的底面為菱形，平面平面分別為的中點．
（1）證明：平面平面；
（2）若都是邊長為2等邊三角形，求直線與平面所成角的正弦值，
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直性質(zhì)可得平面，再由
可得平面，據(jù)此即可得出面面垂直；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量及，利用向量法求線面角的正弦值即可.
【小問1詳解】
連接，交于點，
四邊形為菱形，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
在四棱柱中，分別為的中點，
，
四邊形為平行四邊形，，
平面，平面，
平面平面
【小問2詳解】
由題意，為中點，
都是正三角形，且，
，
平面平面，平面∩平面，平面，平面，
以為原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
，
，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，即，令，則，
又，
直線與平面所成角的正弦值為.
17. 已知函數(shù)的最小正周期為．
（1）求在點處的切線方程；
（2）若，函數(shù)在上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化簡函數(shù)解析式后由周期求出，再求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，得出切線斜率即可得解；
（2）原問題轉(zhuǎn)化為，先利用特殊值求出的范圍，再證明即可得解.
【小問1詳解】
,
的最小正周期為，
，
，
切線的斜率，
，切點為，
切線方程為.
【小問2詳解】
在上單調(diào)遞減，
在上恒成立，
即
其必要條件為，即，下面證明這條件是充分的.
由，可得，于是，
設(shè)，下面證明恒成立.
求導(dǎo)得，
時，單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，，
時，單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，
，
存在唯一，使得，
結(jié)合的單調(diào)性，可得
當(dāng)時，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，單調(diào)遞增.
又，，
，.
綜上，.
18. 拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子次，，記為第次拋擲得到的點數(shù)，．
（1）求的概率；
（2）若前次點數(shù)之和為7的概率為，且，與互質(zhì)，設(shè)
（?。┣蟮闹?；
（ⅱ）已知正項數(shù)列的前項和為，證明：．
【答案】（1）
（2）（?。?（ⅱ）證明見解析
【解析】
【分析】（1）寫出樣本事件空間，根據(jù)古典概型求概率即可；
（2）（?。┣蟪?，再由二項展開式化簡，求出即可得解；
（ⅱ）由所給條件可得，據(jù)此利用裂項相消法求出即可得證.
【小問1詳解】
即“前兩次點數(shù)之和為7”，設(shè)為事件，
樣本空間，
，
，
，
，
，
即的概率為.
【小問2詳解】
（ⅰ）當(dāng)時，由（1），，
當(dāng)時，，，
當(dāng)時，，，
當(dāng)時，，，
當(dāng)時，,,
當(dāng)時，，
，
互質(zhì)，互質(zhì)，
，
；
（ⅱ）證明：
，
，
當(dāng)時，，
，
，
，
，
，
.
19. 設(shè)兩點的坐標(biāo)分別為，直線相交于點，且它們的斜率之積為，設(shè)點的軌跡為曲線．
（1）求的方程；
（2）若直線過點，與交于兩點，在軸上方，直線交于點，直線交于點．
（ⅰ）求的最小值；
（ⅱ）設(shè)直線與直線相交于點中點為交于點，證明：直線與定圓相切．
【答案】（1）
（2）（?。?；（ⅱ）證明見解析
【解析】
【分析】（1）設(shè),根據(jù)直線的斜率之積為，列方程,整理即可得出曲線的軌跡方程.
（2）（ⅰ）設(shè)出直線的方程與曲線E聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得，與，聯(lián)立得，即得的表達(dá)式，然后利用基本不等式求出最值即可；（ⅱ）利用斜率公式和三角函數(shù)和差角公式可得，得，進(jìn)而得到圓的方程，利用可得直線與定圓相切．
【小問1詳解】
設(shè)，則，
所以，
所以，
所以，
即，
所以的方程；
【小問2詳解】
（ⅰ）設(shè)，
依題意知，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，
，
所以，
所以，
設(shè)，
由題意知，，
，
由題意知
，即
所以，
所以，即N在直線上，
由題意知，
所以，即
所以，
所以，即M在直線上，
因為直線AC的方程為，直線AD的方程為，
由，得，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以的最小值為6；
（ⅱ）因為直線AC與直線相交于點G，又BG的中點為H，
所以，
設(shè)，
當(dāng)時，
由題意得，
所以，
當(dāng)時，也滿足，
故QH平分，所以QT為BT的中垂線，
，即T在圓上，
又，所以，
所以TH與定圓相切；