廣東省肇慶市第六中學2024-2025學年高二下學期期中檢測 數(shù)學試題（含解析）

這是一份廣東省肇慶市第六中學2024-2025學年高二下學期期中檢測 數(shù)學試題（含解析），共11頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，，則（ ）
A．B．C．10D．20
2．5位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組，則不同報名方法有（ ）
A．10種B．20種C．25種D．32種
3．已知函數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
4．已知函數(shù)，則（ ）
A．B．C．1D．2
5．用0～5這6個數(shù)字，可以組成的沒有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為（ ）．
A．100B．150C．200D．225
6．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值為（ ）
A．4B．8C．12D．16
7．已知函數(shù)與的圖象如圖所示，則函數(shù)（ ）
A．在區(qū)間上是減函數(shù)B．在區(qū)間上是減函數(shù)
C．在區(qū)間上是減函數(shù)D．在區(qū)間上是減函數(shù)
8．已知函數(shù)，函數(shù)恰有兩個不同的零點，則的最大值和最小值的差是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．在遞增的等比數(shù)列中，，是數(shù)列的前項和，是數(shù)列的前項積，則下列說法正確的是（ ）
A．數(shù)列是等比數(shù)列B．數(shù)列是等差數(shù)列
C．D．
10．已知等差數(shù)列的首項，公差，在中每相鄰兩項之間都插入3個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列，是數(shù)列的前項和.以下說法正確的是（ ）
A．B．是數(shù)列的第8項
C．當時，最大D．是公差為的等差數(shù)列
11．已知函數(shù)，是的導函數(shù)，且，其中，則下列說法正確的是（ ）
A．的所有極值點之和為0
B．的極大值點之積為2
C．
D．的取值范圍是
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知函數(shù)，則 .
13．在一個玩數(shù)米粒的游戲中，甲?乙?丙?丁四人每人各有一個罐子，每輪游戲都從米缸中分若干次數(shù)米粒放入自己的罐子中．第一輪：甲數(shù)了1粒，接著乙數(shù)了2?3粒，接著丙數(shù)了4?5?6粒，接著丁數(shù)了7?8?9?10粒；第二輪甲接著數(shù)了11?12?13?14?15粒，依次循環(huán)，直到某人某次數(shù)了1000粒，游戲結(jié)束．在第二輪游戲完成時，丁的罐子里一共有 粒米粒；游戲結(jié)束時，是進行到第 輪游戲．
14．已知函數(shù)的兩個零點分別為和，且，則的最小值為 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．在公差不為0的等差數(shù)列中，且，數(shù)列的前項和為且
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和．
16．已知函數(shù).
(1)當時，求的極值；
(2)討論的單調(diào)性.
17．設函數(shù)．
（1）若時，函數(shù)取得極值，求函數(shù)的圖像在處的切線方程；
（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍．
18．已知是公差不為零的等差數(shù)列，其中，，成等比數(shù)列，且，數(shù)列的前n項和為．
(1)求數(shù)列的通項公式及其前n項和；
(2)設求數(shù)列的前n項和；
(3)設集合，求集合M中所有元素的和．
19．已知函數(shù)．
(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若不等式恒成立，證明：．
參考答案
1．【答案】D
【詳解】因，即，，
解得或（舍），
設公比為，則，故
故選D.
2．【答案】D
【詳解】由題意，每個同學有2種選擇，故不同報名方式為.
故選D.
3．【答案】B
【詳解】，
令可得解得，
所以，所以，
故選B.
4．【答案】A
【詳解】由題，
，
故選A.
5．【答案】A
【詳解】依題意，從6個數(shù)字中任取3個的排列數(shù)為，其中數(shù)字0在百位的有個，
所以組成的沒有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為.
故選A.
6．【答案】D
【詳解】因為，所以，
由于在上單調(diào)遞增，
所以在上恒成立，
在上恒成立，在上單調(diào)遞增，
所以在上的最小值為，
所以，故的最大值為，
故選D.
7．【答案】B
【詳解】由得，
由題中圖象可知，當時，，所以，則函數(shù)單調(diào)遞增；
當時，，所以，則函數(shù)單調(diào)遞減；
當時，，所以，則函數(shù)單調(diào)遞增；
當時，，所以，則函數(shù)單調(diào)遞減；
故ACD都錯，B正確，
故選B.
8．【答案】A
【詳解】作出的圖象如下，

由圖象可知，當，即時，函數(shù)有2個交點，
即函數(shù)恰有兩個不同的零點，
因為，所以，可得，
則，
構(gòu)造函數(shù)，，
令解得，，令解得，，
所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
所以，
所以函數(shù)的最大值和最小值之差為，
所以的最大值和最小值的差是，
故選A.
9．【答案】BCD
【詳解】因為，，又數(shù)列是遞增的，
所以，所以公比，，所以，所以，
得，，，，故A錯誤；
由于，所以數(shù)列是等差數(shù)列，故B正確；
，故C正確；
因為，
所以，故D正確．
故選BCD．
10．【答案】ABC
【詳解】由等差數(shù)列的首項，公差，可得，
對于A中，根據(jù)題意，可得，，所以公差為，
所以數(shù)列的通項公式為，所以A正確；
對于B中，由，令，解得，所以B正確；
對于C中，令，解得，
所以或時，取得最大值，所以C正確；
對于D中，由，可得，
則，
所以是公差為的等差數(shù)列，所以D錯誤.
故選ABC.
11．【答案】AC
【詳解】，
令，則或；令，則或；
故的極大值點為，它們的乘積為，故B錯誤.
而的極小值點為，故的所有極值點之和為0，故A正確.
設，
則有三個不同的實數(shù)解，且.
設，則有3個不同的零點，
又，
令，則；
令，則或，
故在為增函數(shù)，在、上為增函數(shù)，
因為有三個不同的實數(shù)解，故，
整理得到：，解得.
又因為有三個不同的實數(shù)解，
故
，
故恒成立，
故且，故C正確，
而，故D錯誤.
故選AC.
12．【答案】0
【詳解】因為，所以，
所以.
13．【答案】 294 12
【詳解】將自然數(shù)按照以下規(guī)律排成數(shù)陣：
第一行：1
第二行：2,3
第三行：4,5,6
第四行：7,8,9,10
第五行：12,13,14,15,16
……
設數(shù)列：.
則數(shù)陣第行的最后一個數(shù)為：.
由，且.
所以是第45行的第10個數(shù).
在第二輪游戲完成時，丁的罐子里的米粒數(shù)為：.
因為，所以游戲完成時，是進行到第12輪.
14．【答案】
【詳解】當時，，當，時，
由題意，，，
所以，，
故
設，，
則，
當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
故，
故的最小值為.
15．【答案】(1)；
(2)
【詳解】（1）解：設等差數(shù)列的公差為，
由，可得，
因為，解得，所以，
又由數(shù)列的前項和為，滿足
當時，可得，即，可得；
當時，，
兩式相減得，整理得，即，
所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以.
（2）解：由（1）知：，，可得，
所以，
則，
兩式相減，可得
，
所以，即數(shù)列的前項和為.
16．【答案】(1)有極小值，無極大值
(2)答案見解析
【詳解】（1）當時，，，且函數(shù)的定義域為，
當時，，在單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增，
所以有極小值，無極大值.
（2）函數(shù)定義域為，，
當時，恒成立，的增區(qū)間為，無減區(qū)間；
當時，的解為，的解為，
此時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
綜上所述，當時，的增區(qū)間為，無減區(qū)間；
當時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
17．【答案】（1）；（2）．
【詳解】（1）由題意，函數(shù)，可得，
因為時，函數(shù)取得極值，所以，解得，
所以，且，
令，可得，且，
所以函數(shù)的圖像在處的切線方程，即.
（2）因為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，即在有解，
即方程在有解，即在有解，
令，可得，
當時，，單調(diào)遞減；
當時，，單調(diào)遞增，
又由，
所以，即，即，
解得，即實數(shù)的取值范圍是.
18．【答案】(1)，；
(2)；
(3)900.
【詳解】（1）因為是公差不為零的等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，
所以，即，又，
所以，，，；
（2），
則數(shù)列的前n項和；
（3）集合，
故，故集合M中所有元素的和即求數(shù)列的前30項和，
則．
19．【答案】(1)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間
(2)證明見解析
【詳解】（1）當時，．
所以，
故的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由恒成立，
可知恒成立，即，
令，
不妨設，則，
，
由，得，由，得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
故，
所以．