專題2.1 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)【七大題型】-2025年（初升高銜接）新高一暑假預(yù)習(xí)講義（含答案解析）

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\l "_Tc23132" 【題型1 不等關(guān)系的建立】 PAGEREF _Tc23132 \h 1
\l "_Tc17094" 【題型2 利用作差法比較大小】 PAGEREF _Tc17094 \h 3
\l "_Tc17959" 【題型3 利用作商法比較大小】 PAGEREF _Tc17959 \h 4
\l "_Tc23636" 【題型4 利用作差法比較大小的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc23636 \h 5
\l "_Tc30284" 【題型5 利用不等式的性質(zhì)判斷正誤】 PAGEREF _Tc30284 \h 8
\l "_Tc6810" 【題型6 利用不等式的性質(zhì)證明不等式】 PAGEREF _Tc6810 \h 10
\l "_Tc32767" 【題型7 利用不等式的性質(zhì)求取值范圍】 PAGEREF _Tc32767 \h 12
【知識點1 不等關(guān)系】
1．不等關(guān)系的建立
在用不等式(組)表示實際問題中的不等關(guān)系時，先通過審題，設(shè)出未知量，找出其中的不等關(guān)系，再將不等關(guān)系用不等式表示出來，即得不等式或不等式組．
【題型1 不等關(guān)系的建立】
【例1】（2022秋·西藏林芝·高一?？计谥校┫铝姓f法正確的是（ ）
A．某人月收入x不高于2 000元可表示為“xa”
D．小明的身高x cm，小華的身高y cm，則小明比小華矮表示為“x>y”
【解題思路】根據(jù)數(shù)量的大小關(guān)系，判斷不等式使用是否正確，選出正確答案.
【解答過程】對于A，某人收入x不高于2000元可表示為x≤2000，A錯誤；
對于B，變量y不超過a可表示為y≤a，B正確；
對于C，變量x至少為a可表示為x≥a，C錯誤；
對于D，小明身高xcm，小華身高ycm，小明比小華矮表示為x800B．n>5000C．n0，a＝b?a－b＝0，a0，M＝a+b，N＝a+b，則M與N的大小關(guān)系為（ ）
A．M>NB．Mx>x2
【解題思路】利用作差法判斷即可.
【解答過程】因為00，所以1x>x，
又x?x2=x1?x>0，所以x>x2，
所以1x>x>x2.
故選：D.
【變式2-3】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知a，b，c為不全相等的實數(shù)，P=a2+b2+c2+3，Q=2(a+b+c)，那么P與Q的大小關(guān)系是（ ）
A．P>QB．P≥Q
C．P0，
∴P>Q．
故選：A.
【題型3 利用作商法比較大小】
【例3】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知c＞1，且x＝c+1－c，y＝c－c?1，則x，y之間的大小關(guān)系是（ ）
A．x＞yB．x＝y(tǒng)
C．x＜yD．x，y的關(guān)系隨c而定
【解題思路】應(yīng)用作商法比較xy,1的大小關(guān)系即可.
【解答過程】由題設(shè)，易知x，y＞0，又xy=c+1?cc?c?1=c+c?1c+1+cqB．p0，
q=a2?a+1=a?122+34>0，
則qp=a2?a+1a2+a+1?1=a2?a+1a2+a+1
=a2+12?a2=a22+a2+1≥1.
故p≤q，當(dāng)且僅當(dāng)a=0時，取等號，
故選：D.
【變式3-2】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）若00，即a+mb+m>ab.
（2）設(shè)原糖水b克，含糖a克，糖水濃度為ab；另一份糖水d克，含糖c克，糖水濃度為cd，且abc>0).
證明：∵abc，那么a>c.即a>b，b>c?a>c.
(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.
(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，cd，那么a＋c>b＋d.
(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．
【題型5 利用不等式的性質(zhì)判斷正誤】
【例5】（2023春·福建·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知a0時，a|a|?b|b|=a2?b2=a?ba+b>0；
當(dāng)a>0>b時，a|a|?b|b|=a2+b2>0，
當(dāng)0>a>b時，a|a|?b|b|=?a2+b2=b?aa+b>0，
綜上a|a|>b|b|，故C正確；
D選項，ba?b?ca?c=ab?ca?ba?c>0，故D錯誤.
故選：C.
【變式5-3】（2023秋·河南省直轄縣級單位·高二?？茧A段練習(xí)）下列命題中正確的是（ ）
A．若a>b，則ac2>bc2B．若a>b，cbd
C．若a>b，c>d，則a?c>b?dD．若ab>0，a>b，則1ab，則1a?1b=b?aabf，c>0，求證f?acb>0,cbc，∴?acf，即f