（暑期班）高二數(shù)學(xué)(人教A版選擇性必修第一冊(cè))暑假講義第08講 直線(xiàn)的方程（二）（2份，原卷版+解析版）

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·模塊一 求直線(xiàn)方程的一般方法
·模塊二 兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系
·模塊三 直線(xiàn)方程的實(shí)際應(yīng)用
·模塊四 課后作業(yè)
模塊一
求直線(xiàn)方程的一般方法
1．求直線(xiàn)方程的一般方法
(1)直接法
直線(xiàn)方程形式的選擇方法：
①已知一點(diǎn)常選擇點(diǎn)斜式；
②已知斜率選擇斜截式或點(diǎn)斜式；
③已知在兩坐標(biāo)軸上的截距用截距式；
④已知兩點(diǎn)用兩點(diǎn)式，應(yīng)注意兩點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)相等的情況.
(2)待定系數(shù)法
先設(shè)出直線(xiàn)的方程，再根據(jù)已知條件求出未知系數(shù)，最后代入直線(xiàn)方程.
利用待定系數(shù)法求直線(xiàn)方程的步驟：①設(shè)方程；②求系數(shù)；③代入方程得直線(xiàn)方程.
若已知直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，則可以利用直線(xiàn)的點(diǎn)斜式求方程，也可以利用斜截式、截距式等求解(利用點(diǎn)斜式或斜截式時(shí)要注意斜率不存在的情況).
【考點(diǎn)1 求直線(xiàn)方程】
【例1.1】（2023春·貴州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且傾斜角為的直線(xiàn)的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【解題思路】根據(jù)傾斜角求得斜率，再利用點(diǎn)斜式后化為一般式即可.
【解答過(guò)程】因?yàn)閮A斜角為，所以斜率為，由點(diǎn)斜式可得直線(xiàn)的方程為：，化簡(jiǎn)得.
故選：C.
【例1.2】（2023秋·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期末）在軸上截距為，傾斜角為的直線(xiàn)方程為（ ）
A．B．
C．D．
【解題思路】根據(jù)斜截式直接整理可得.
【解答過(guò)程】因?yàn)閮A斜角為，所以斜率.
由斜截式可得直線(xiàn)方程為：，即.
故選：A.
【變式1.1】（2023春·上海浦東新·高二統(tǒng)考期中）若直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，則以下不是直線(xiàn)l的方程的為（ ）
A．B．
C．D．
【解題思路】先求直線(xiàn)l的一般方程，逐項(xiàng)分析判斷.
【解答過(guò)程】直線(xiàn)l的方程為，整理得，故C正確；
對(duì)于A(yíng)：由整理得，故A正確；
對(duì)于B：由整理得，故B正確；
對(duì)于D：由整理得，故D錯(cuò)誤；
故選：D.
【變式1.2】（2023秋·吉林·高二校聯(lián)考期末）過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線(xiàn)的方程是（ ）
A．B．
C．D．或
【解題思路】由題意，分截距為或不為兩種情況，分別設(shè)對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)方程，代入已知點(diǎn)，可得答案.
【解答過(guò)程】顯然，所求直線(xiàn)的斜率存在．
當(dāng)兩截距均為時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為，將點(diǎn)代入得，此時(shí)直線(xiàn)方程為；
當(dāng)兩截距均不為時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為，將點(diǎn)代入得，此時(shí)直線(xiàn)方程為．
故選：D．
【考點(diǎn)2 直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題】
【例2.1】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）直線(xiàn)，當(dāng)變動(dòng)時(shí)，所有直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】整理所得直線(xiàn)方程為，根據(jù)題意，即可求得結(jié)果.
【解答過(guò)程】把直線(xiàn)方程整理為，
令，故，所以直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)為.
故選：C.
【例2.2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）直線(xiàn)l：經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A，則A的縱坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．1D．2
【解題思路】轉(zhuǎn)化直線(xiàn)方程為，令，即得解
【解答過(guò)程】由，得，
令，得.
故選：A.
【變式2.1】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）．
A．B．C．D．
【解題思路】由恒成立得可得定點(diǎn).
【解答過(guò)程】由得，
因?yàn)楹愠闪ⅲ?br>所以 解得 所以恒過(guò)定點(diǎn)
故選：D.
【變式2.2】（2023·吉林通化·?？寄M預(yù)測(cè)）若直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)A也在直線(xiàn)上，其中均為正數(shù)，則的最大值為（ ）
A．B．C．1D．2
【解題思路】根據(jù)直線(xiàn)的定點(diǎn)可得，進(jìn)而可得，結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.
【解答過(guò)程】因?yàn)?，則，
令，解得，
即直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn).
又因?yàn)辄c(diǎn)A也在直線(xiàn)上，則，
可得，且，
則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立
所以的最大值為.
故選：B.
模塊二
兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系
1．兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系
【考點(diǎn)1 求與已知直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)方程】
【例1.1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)方程為（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】根據(jù)給定條件，設(shè)出所求的直線(xiàn)方程，利用待定系數(shù)法求解作答.
【解答過(guò)程】設(shè)與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)方程為，于是，解得，
所以所求的直線(xiàn)方程為.
故選：A.
【例1.2】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知，，，則過(guò)點(diǎn)且與線(xiàn)段垂直的直線(xiàn)方程為（ ）．
A．B．
C．D．
【解題思路】求出直線(xiàn)的斜率，可得其垂線(xiàn)的斜率，再利用點(diǎn)斜式可求出答案
【解答過(guò)程】解：因?yàn)椋?br>所以與垂直的直線(xiàn)的斜率為，
所以過(guò)點(diǎn)且與線(xiàn)段垂直的直線(xiàn)方程為
，即，
故選：D.
【變式1.1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在過(guò)點(diǎn)的所有直線(xiàn)中，與原點(diǎn)距離最遠(yuǎn)的直線(xiàn)方程是（ ）
A．B．
C．D．
【解題思路】根據(jù)與原點(diǎn)距離最遠(yuǎn)的直線(xiàn)是與原點(diǎn)與連線(xiàn)垂直的直線(xiàn)，根據(jù)垂直關(guān)系求解斜率，進(jìn)而由點(diǎn)斜式即可求解直線(xiàn)方程.
【解答過(guò)程】在過(guò)點(diǎn)的所有直線(xiàn)中，與原點(diǎn)距離最遠(yuǎn)的直線(xiàn)是與原點(diǎn)與連線(xiàn)垂直的直線(xiàn)，過(guò)和的直線(xiàn)斜率為，所以所求直線(xiàn)斜率為，由點(diǎn)斜式可得直線(xiàn)方程為，即，
故選：B.
【變式1.2】（2023·吉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）中，，，，則邊上的高所在的直線(xiàn)方程是（ ）
A．B．
C．D．
【解題思路】設(shè)邊上的高所在的直線(xiàn)為，求出直線(xiàn)l的斜率，代入點(diǎn)斜式方程，整理即可得出答案.
【解答過(guò)程】設(shè)邊上的高所在的直線(xiàn)為，
由已知可得，，所以直線(xiàn)l的斜率.
又過(guò)，所以的方程為，
整理可得，.
故選：A.
【考點(diǎn)2 求與已知直線(xiàn)平行的直線(xiàn)方程】
【例2.1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且平行于直線(xiàn)的直線(xiàn)方程為（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】先設(shè)出平行于直線(xiàn)的直線(xiàn)系方程，再將點(diǎn)代入方程，進(jìn)而求得所求直線(xiàn)的方程.
【解答過(guò)程】平行于直線(xiàn)的直線(xiàn)方程可設(shè)為，
又所求直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，
則，解之得，
則所求直線(xiàn)為.
故選：A.
【例2.2】（2023秋·安徽阜陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）若直線(xiàn)：與互相平行，且過(guò)點(diǎn)，則直線(xiàn)的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【解題思路】由兩條直線(xiàn)平行得到斜率，進(jìn)而通過(guò)點(diǎn)斜式求出直線(xiàn)方程.
【解答過(guò)程】由題意，的斜率為，則的斜率為，又過(guò)點(diǎn)，所以的方程為：.
故選：C.
【變式2.1】（2023秋·陜西西安·高二校考期末）與直線(xiàn)平行，且與直線(xiàn)交于軸上的同一點(diǎn)的直線(xiàn)方程是（ ）
A．B．
C．D．
【解題思路】先求出直線(xiàn)交于軸交點(diǎn)，再設(shè)與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)得解.
【解答過(guò)程】設(shè)直線(xiàn)交于軸于點(diǎn)，令，則，
所求直線(xiàn)與平行，設(shè)，把
代入得
所求直線(xiàn)方程為：
故選：C.
【變式2.2】（2022秋·新疆伊犁·高二?？计谥校┻^(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)，若點(diǎn)、到它的距離相等，則直線(xiàn)的方程為（ ）
A．或B．
C．或D．或
【解題思路】分兩種情況討論：①；②直線(xiàn)過(guò)線(xiàn)段的中點(diǎn).求出兩種情況下直線(xiàn)的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出直線(xiàn)的方程.
【解答過(guò)程】分以下兩種情況討論：
①若，則直線(xiàn)的斜率為，
此時(shí)，直線(xiàn)的方程為，即；
②若直線(xiàn)過(guò)線(xiàn)段的中點(diǎn)，則直線(xiàn)的斜率為，
此時(shí)，直線(xiàn)的方程為，即.
綜上所述，直線(xiàn)的方程為或.
故選：C.
【考點(diǎn)3 根據(jù)兩直線(xiàn)平行或垂直求參數(shù)】
【例3.1】（2023秋·廣東廣州·高二校考期末）若直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則（ ）
A．B．6C．D．
【解題思路】由兩條直線(xiàn)垂直的條件即可得解.
【解答過(guò)程】因?yàn)橹本€(xiàn)與直線(xiàn)垂直，
所以，得，
所以.
故選：B.
【例3.2】（2023秋·吉林·高二?？计谀┮阎本€(xiàn)，直線(xiàn)，且，則的值為（ ）
A．B．C．-2或-1D．
【解題思路】若兩直線(xiàn)，平行，則且或，求解的值.
【解答過(guò)程】因?yàn)?，所以且，解得：或，且，綜上：的值為或.
故選：C.
【變式3.1】（2023秋·青海西寧·高二統(tǒng)考期末）已知直線(xiàn)，若且，則的值為（ ）
A．B．5C．D．7
【解題思路】利用直線(xiàn)一般式下平行與垂直的性質(zhì)求解即可.
【解答過(guò)程】因?yàn)椋?br>所以由，得，解得，
由，得，解得，
所以．
故選：B．
【變式3.2】（2022·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知，，直線(xiàn)：，：，且，則的最小值為（ ）
A．2B．4C．D．
【解題思路】根據(jù)得到，再將化為積為定值的形式后，利用基本不等式可求得結(jié)果.
【解答過(guò)程】因?yàn)?，所以，即?br>因?yàn)?，所以?br>所以 ，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
故選：D.
模塊三
直線(xiàn)方程的實(shí)際應(yīng)用
1．直線(xiàn)方程的實(shí)際應(yīng)用
利用直線(xiàn)方程解決實(shí)際問(wèn)題，一般先根據(jù)實(shí)際情況建立直角坐標(biāo)系，然后分析直線(xiàn)斜率是否存在，從
而能夠?yàn)榻鉀Q問(wèn)題指明方向，避免解決問(wèn)題出現(xiàn)盲目性.
【考點(diǎn)1 直線(xiàn)方程的實(shí)際應(yīng)用】
【例1.1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）有一根蠟燭點(diǎn)燃6min后，蠟燭長(zhǎng)為17.4cm；點(diǎn)燃21min后，蠟燭長(zhǎng)為8.4cm.已知蠟燭長(zhǎng)度(cm)與燃燒時(shí)間t(min)可以用直線(xiàn)方程表示，則這根蠟燭從點(diǎn)燃到燃盡共耗時(shí)（ ）
A．25minB．35minC．40minD．45min
【解題思路】根據(jù)已知條件可知直線(xiàn)方程的斜率及所過(guò)的點(diǎn)，進(jìn)而得到直線(xiàn)方程，再求蠟燭從點(diǎn)燃到燃盡所耗時(shí)間即可.
【解答過(guò)程】由題意知：蠟燭長(zhǎng)度(cm)與燃燒時(shí)間t(min)可以用直線(xiàn)方程，過(guò)兩點(diǎn)，故其斜率，
∴直線(xiàn)方程為，
∴當(dāng)蠟燭燃盡時(shí)，有，即，
故選：B.
【例1.2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）一根鐵棒在40℃時(shí)長(zhǎng)12.506m，在80℃時(shí)長(zhǎng)12.512m．已知長(zhǎng)度l（單位：m）和溫度t（單位：℃）之間的關(guān)系可以用直線(xiàn)方程來(lái)表示，試求出這個(gè)方程，并根據(jù)這個(gè)方程求出這根鐵棒在100℃時(shí)的長(zhǎng)度．
【解題思路】用直線(xiàn)的斜截式方程寫(xiě)出l與t的關(guān)系，再利用待定系數(shù)法求出方程并求解作答.
【解答過(guò)程】依題意，設(shè)l與t的關(guān)系式為：，是常數(shù)，
于是得，解得，
則l與t的關(guān)系式為，當(dāng)時(shí)，，
所以所求直線(xiàn)的方程為，鐵棒在100℃時(shí)的長(zhǎng)度是m.
【變式1.1】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的長(zhǎng)為2，寬為1，邊AB、CD分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合.現(xiàn)將矩形ABCD沿某一條直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)A落在線(xiàn)段CD上，設(shè)此點(diǎn)為.
(1)若折痕的斜率為，求折痕所在的直線(xiàn)方程；
(2)若折痕所在的直線(xiàn)的斜率為k（k為常數(shù)），試用k表示點(diǎn)的坐標(biāo)，并求折痕所在的直線(xiàn)方程.
【解題思路】（1）求得的坐標(biāo)，進(jìn)而求得折痕所在直線(xiàn)方程.
（2）根據(jù)是否為進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合中點(diǎn)和斜率求得折痕所在直線(xiàn)方程.
【解答過(guò)程】（1）設(shè)，由于折痕的斜率為，
所以直線(xiàn)的斜率為，所以直線(xiàn)的方程為，
由解得，所以，
所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以折痕所在的直線(xiàn)方程為，即.
（2）當(dāng)時(shí)，，折痕所在直線(xiàn)方程為.
當(dāng)時(shí)，所以直線(xiàn)的斜率為，
所以直線(xiàn)的方程為，
由解得，所以，
所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以折痕所在的直線(xiàn)方程為，
時(shí)，折痕也符合上式，
綜上所述，折痕所在的直線(xiàn)方程為.
【變式1.2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）為了綠化城市，準(zhǔn)備在如圖所示的區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)矩形的草坪，其中；點(diǎn)在上，且，，經(jīng)測(cè)量，，，.問(wèn)應(yīng)如何設(shè)計(jì)才能使草坪的占地面積最大？并求出最大面積（精確到）.
【解題思路】如圖，先以邊所在直線(xiàn)為軸，以邊所在直線(xiàn)為軸建立平面直角坐標(biāo)系，求得直線(xiàn)的方程，再設(shè)出坐標(biāo)，由矩形面積公式建立模型，然后利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求其最值．
【解答過(guò)程】如圖，以邊所在直線(xiàn)為軸，以邊所在直線(xiàn)為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則，.
所以直線(xiàn)的方程為：，即，設(shè)，
則矩形的面積為，
化簡(jiǎn)，得，
配方，，
易得當(dāng)，時(shí)，最大，其最大值為.
模塊四
課后作業(yè)
1．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）不論m取何值，直線(xiàn)都過(guò)定點(diǎn)（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】根據(jù)題意整理得，令，求解即可得定點(diǎn).
【解答過(guò)程】因?yàn)?，整理得?br>令，解得，
所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).
故選：B.
2．（2022秋·高二校考課時(shí)練習(xí)）若直線(xiàn)l的傾斜角是直線(xiàn)的傾斜角的兩倍，且直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn),則直線(xiàn)l的方程為( )
A．B．C．D．
【解題思路】根據(jù)的傾斜角求出直線(xiàn)l的傾斜角即可得到直線(xiàn)l的方程
【解答過(guò)程】因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率為1,所以其傾斜角等于45°,于是直線(xiàn)l的傾斜角等于90°,則其斜率不存在.又直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)(2,4),所以直線(xiàn)l的方程為.
故選：C.
3．（2023春·安徽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)方程為（ ）
A．B．
C．D．
【解題思路】與直線(xiàn)平行，計(jì)算出斜率，用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)方程即可.
【解答過(guò)程】直線(xiàn)的斜率為-2，所以所求直線(xiàn)的方程為，
即.
故選：A.
4．（2023·廣東深圳·校考模擬預(yù)測(cè)）“”是“直線(xiàn)與直線(xiàn)平行”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【解題思路】由兩直線(xiàn)平行得出的值，再結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷即可.
【解答過(guò)程】若直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則有解得或，所以當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，當(dāng)直線(xiàn)與直線(xiàn)平行時(shí)，或.
故選：A.
5．（2022秋·河南鄭州·高二?？茧A段練習(xí)）已知直線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為A，把直線(xiàn)l繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得直線(xiàn)，則直線(xiàn)的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【解題思路】由題可得，設(shè)出直線(xiàn)方程，代入點(diǎn)A即可求出.
【解答過(guò)程】解析：易知，根據(jù)題意，，可設(shè)直線(xiàn)的方程為，
把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得，所以直線(xiàn)的方程為.
故選：C.
6．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線(xiàn)與直線(xiàn)互相垂直，垂足為.則等于（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】由兩直線(xiàn)垂直得，進(jìn)而根據(jù)垂足是兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)代入計(jì)算即可得答案.
【解答過(guò)程】由兩直線(xiàn)垂直得，解得，
所以原直線(xiàn)直線(xiàn)可寫(xiě)為，
又因?yàn)榇棺銥橥瑫r(shí)滿(mǎn)足兩直線(xiàn)方程，
所以代入得，
解得，
所以，
故選:D.
7．（2022秋·湖南郴州·高二校考階段練習(xí)）若點(diǎn)是直線(xiàn)：外一點(diǎn)，則方程 表示（ ）
A．過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線(xiàn)B．過(guò)點(diǎn)且與平行的直線(xiàn)
C．不過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線(xiàn)D．不過(guò)點(diǎn)且與平行的直線(xiàn)
【解題思路】由題意可推出，由此可判斷直線(xiàn)與平行，將代入方程，看是否成立，判斷直線(xiàn)是否過(guò)點(diǎn)P，可得答案.
【解答過(guò)程】由題意可知點(diǎn)是直線(xiàn)：外一點(diǎn)，
故且為常數(shù)，
所以方程中，且為常數(shù)，
則直線(xiàn)與平行，
將代入中，
即，即點(diǎn)P在該方程表示的直線(xiàn)上，
故方程表示過(guò)點(diǎn)且與平行的直線(xiàn)，
故選：B.
8．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線(xiàn)上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．這條直線(xiàn)被后人稱(chēng)為三角形的歐拉線(xiàn)．已知△ABC的頂點(diǎn)A(1，0)，B(0，2)，且AC＝BC，則△ABC的歐拉線(xiàn)的方程為（ ）
A．4x＋2y＋3＝0B．2x－4y＋3＝0
C．x－2y＋3＝0D．2x－y＋3＝0
【解題思路】等腰三角形的歐拉線(xiàn)即為底面上高線(xiàn)．求出中點(diǎn)和的斜率后可得．
【解答過(guò)程】因?yàn)锳C＝BC，所以歐拉線(xiàn)為AB的中垂線(xiàn)，
又A(1，0)，B(0，2)，故AB的中點(diǎn)為，kAB＝－2，
故AB的中垂線(xiàn)方程為y－1＝，即2x－4y＋3＝0.
故選：B．
9．（2022秋·河北石家莊·高二統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)，，若直線(xiàn)與線(xiàn)段有交點(diǎn)，則直線(xiàn)斜率的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】先求出直線(xiàn)的定點(diǎn)，再結(jié)合圖象利用斜率公式計(jì)算求解即可.
【解答過(guò)程】由直線(xiàn)，
變形可得，
由，解得，
可得直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，
則，，
若直線(xiàn)與線(xiàn)段有交點(diǎn)，則直線(xiàn)斜率的取值范圍為.
故選：A.
10．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)相交于點(diǎn)不重合），則面積的最大值是（ ）
A．B．5C．D．
【解題思路】由題意結(jié)合直線(xiàn)位置關(guān)系的判斷可得兩直線(xiàn)互相垂直，由直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)可得定點(diǎn)與定點(diǎn)，進(jìn)而可得，再利用基本不等式及三角形面積公式即得．
【解答過(guò)程】由題意直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，
直線(xiàn)可變?yōu)椋栽撝本€(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，
所以，
又，
所以直線(xiàn)與直線(xiàn)互相垂直，
所以，
所以即，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),
所以，，即面積的最大值是.
故選：D.
11．（2023春·甘肅武威·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知在第一象限的中，，，，，求：
(1)AB邊所在直線(xiàn)的方程；
(2)AC邊與BC邊所在直線(xiàn)的方程．
【解題思路】（1）根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)求得直線(xiàn)的方程.
（2）結(jié)合直線(xiàn)、的傾斜角和斜率，求得直線(xiàn)和直線(xiàn)的方程.
【解答過(guò)程】（1）因?yàn)?，，所以軸，所以AB邊所在直線(xiàn)的方程為．
（2）因?yàn)?，所以?br>所以直線(xiàn)AC的方程為，即
因?yàn)?，所以?br>所以直線(xiàn)BC的方程為，即.
12．（2023秋·安徽蚌埠·高二統(tǒng)考期末）已知直線(xiàn)和直線(xiàn).
(1)若，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若，求實(shí)數(shù)的值.
【解題思路】（1）根據(jù)兩直線(xiàn)垂直的公式，即可求解；
（2）根據(jù)兩直線(xiàn)平行，，求解，再代回直線(xiàn)驗(yàn)證.
【解答過(guò)程】（1）若，則
，解得或2；
（2）若，則
，解得或1.
時(shí)，，滿(mǎn)足，
時(shí)，，此時(shí)與重合，
所以.
13．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）求滿(mǎn)足下列條件的直線(xiàn)的方程.
（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線(xiàn)平行；
（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且平行于過(guò)和兩點(diǎn)的直線(xiàn)；
（3）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線(xiàn)垂直．
【解題思路】（1）兩直線(xiàn)平行，斜率相等，從而求得直線(xiàn)方程；
（2）求過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)斜率，然后根據(jù)兩直線(xiàn)平行，斜率相等，從而求得直線(xiàn)方程；
（3）兩直線(xiàn)垂直，斜率乘積等于-1，求得斜率，從而寫(xiě)出方程；
【解答過(guò)程】（1）與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)斜率為-4，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)
則直線(xiàn)為；
（2）過(guò)和兩點(diǎn)的直線(xiàn)斜率為，
則與MN平行且過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)方程為：；
（3）直線(xiàn)的斜率為-2，與之垂直的直線(xiàn)斜率為，
則經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)方程為.
14．（2023春·湖南常德·高二?？计谥校┮阎本€(xiàn)的方程為．
(1)求直線(xiàn)過(guò)的定點(diǎn)P 的坐標(biāo)；
(2)直線(xiàn)與x 軸正半軸和y 軸正半軸分別交于點(diǎn)A，B ，當(dāng)面積最小時(shí)，求直線(xiàn)的方程；
【解題思路】（1）將直線(xiàn)的方程變形，列出方程組即可求解；
（2）利用直線(xiàn)的截距式方程設(shè)出直線(xiàn)的方程，根據(jù)（1）的結(jié)論及基本不等式，結(jié)合三角形的面積公式即可求解.
【解答過(guò)程】（1）由題意，直線(xiàn)的方程可化為，
聯(lián)立方程組解得，
所以直線(xiàn)過(guò)的定點(diǎn)．
（2）設(shè)直線(xiàn) ，則，
由 （1） 知，直線(xiàn) 過(guò)的定點(diǎn)，可得，
因?yàn)椋?br>所以，解得，
當(dāng)且僅當(dāng)且即時(shí)，等號(hào)成立，
所以面積為 ，
此時(shí)對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)方程為，即．
15．（2022秋·海南?？凇じ叨？计谥校┤鐖D，在道路邊安裝路燈，路面OD寬12m，燈柱OB高14m，燈桿AB與地面所成角為30°．路燈采用錐形燈罩，燈罩軸線(xiàn)AC與燈桿AB垂直，軸線(xiàn)AC，燈桿AB都在燈柱OB和路面寬線(xiàn)OD確定的平面內(nèi)．
（1）當(dāng)燈桿AB長(zhǎng)度為多少時(shí)，燈罩軸線(xiàn)AC正好通過(guò)路面OD的中線(xiàn)？
（2）如果燈罩軸線(xiàn)AC正好通過(guò)路面OD的中線(xiàn)，此時(shí)有一高2.5m的警示牌直立在C處，求警示牌在該路燈燈光下的影子長(zhǎng)度．
【解題思路】（1）分別以圖中OD、OB所在直線(xiàn)為x、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求出直線(xiàn)和方程后可得點(diǎn)坐標(biāo)，從而得；
（2）設(shè)警示牌為CM，由的大小得點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得直線(xiàn)方程，求得它與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，得影子長(zhǎng)．
【解答過(guò)程】解：（1）分別以圖中OD、OB所在直線(xiàn)為x、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，
燈桿AB與地面所成角為30°，B（0，14），AB方程為：y＝x+14，…①
因?yàn)闊粽志€(xiàn)AC與燈桿AB垂直，
可設(shè)的斜率為，則＝，
又C（6，0），
所以直線(xiàn)AC的方程為：y＝（x﹣6），…②
由①②組成方程組，求得點(diǎn)A（，15）；
所以|AB|＝＝2，
即當(dāng)燈桿AB長(zhǎng)度為2m時(shí)，燈罩軸線(xiàn)AC正好通過(guò)路面OD的中線(xiàn)；
（2）設(shè)警示牌為CM，且CM⊥OD，
則M（6，），A（，15），
所以直線(xiàn)AM的方程為：y﹣15＝（x﹣），
令yN＝0，解得xN＝7，
所以CN＝7﹣6＝.
所以警示牌在該路燈燈光下的影子長(zhǎng)度為m．斜截式
一般式
方程
l1:y=k1x+b1
l2 :y=k2x+b2
相交
k1≠k2
（當(dāng)時(shí)，記為）
垂直
k1·k2=-1
（當(dāng)時(shí)，記為）
平行
k1=k2且b1≠b2
或
（當(dāng)時(shí)，記為）
重合
k1=k2且b1=b2
A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0)
（當(dāng)時(shí)，記為）