（暑期班）高二數(shù)學(xué)(人教A版選擇性必修第一冊)暑假講義第01講 空間向量及其線性運(yùn)算（2份，原卷版+解析版）

這是一份（暑期班）高二數(shù)學(xué)(人教A版選擇性必修第一冊)暑假講義第01講 空間向量及其線性運(yùn)算（2份，原卷版+解析版），共31頁。

·模塊一 空間向量的概念
·模塊二 空間向量的線性運(yùn)算
·模塊三 共線向量與共面向量
·模塊四 課后作業(yè)
模塊一
空間向量的概念
1．空間向量的概念
(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．
(2)長度或模：向量的大?。?br>(3)表示方法：
①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，也可記作eq \(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|eq \(AB,\s\up6(→))|.
(4)幾類特殊的空間向量
【注】(1)空間中點(diǎn)的一個平移就是一個向量；
(2)數(shù)學(xué)中討論的向量與向量的起點(diǎn)無關(guān)，只與大小和方向有關(guān)，只要不改變大小和方向，空間向量可在空間內(nèi)任意平移，故我們稱之為自由向量.
【考點(diǎn)1 空間向量概念的理解】
【例1.1】（2023春·高二課時練習(xí)）下列命題中為真命題的是（ ）
A．空間向量與的長度相等
B．將空間中所有的單位向量移到同一個起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個圓
C．空間向量就是空間中的一條有向線段
D．不相等的兩個空間向量的模必不相等
【解題思路】由于向量的長度與向量的方向無關(guān)，相反向量的長度相，由此可判斷AD，將空間所有的單位向量平移到一個起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個球面，由此可判斷B，由向量與有向線段的關(guān)系判斷C.
【解答過程】對于A，因為空間向量與互為相反向量，所以空間向量與的長度相等，所以A正確，
對于B，將空間所有的單位向量平移到一個起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個球面，所以B錯誤，
對于C，空間向量可以用空間中的一條有向線段表示，但空間向量不是有向線段，所以C錯誤，
對于D，兩個空間向量不相等，它們的?？赡芟嗟?，也可能不相等，如向量與的模相等，所以D錯誤，
故選：A.
【例1.2】（2023春·高二課時練習(xí)）給出下列命題：
①將空間中所有的單位向量平移到同一個點(diǎn)為起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個圓；
②若空間向量滿足，則；
③在正方體中，必有 ；
④若空間向量 滿足，，則；
⑤空間中任意兩個單位向量必相等；其中假命題的個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解題思路】根據(jù)空間向量的定義，逐個命題進(jìn)行判斷即可.
【解答過程】對于①，根據(jù)空間向量的定義，空間中所有的單位向量平移到同一個點(diǎn)為起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個球面，故①為假命題；
對于②，向量相等即模相等和方向相同，故②為假命題；
對于③，根據(jù)正方體的定義，上下底面的對角線必定相等，結(jié)合向量的方向，所以，，故③為真命題；
對于④，根據(jù)向量相等的定義，明顯成立，故④為真命題.
對于⑤，向量相等即模相等和方向相同，故空間中任意兩個單位向量必相等是假命題，故⑤為假命題
故選：C.
【變式1.1】（2023春·高二課時練習(xí)）給出下列命題：①兩個空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；②若空間向量滿足，則；③在正方體中，必有；④若空間向量滿足，，則．其中正確的個數(shù)為（ ）．
A．B．C．D．
【解題思路】由相等向量的定義依次判斷各個選項即可得到結(jié)果.
【解答過程】對于①，當(dāng)兩個空間向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同時，這兩個向量必相等；但兩個向量相等，它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)都不一定相同，①錯誤；
對于②，根據(jù)向量相等的定義，要保證兩個向量相等，不僅模要相等，而且方向還要相同，但②中向量與的方向不一定相同，②錯誤；
對于③，根據(jù)正方體的性質(zhì)，在正方體中，向量與向量的方向相同，模也相等，則，③正確；
對于④，由向量相等關(guān)系可知，④正確．
故選：C.
【變式1.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）下列命題為真命題的是（ ）
A．若兩個空間向量所在的直線是異面直線，則這兩個向量不是共面向量
B．若，則?的長度相等且方向相同
C．若向量?滿足，且與同向，則
D．若兩個非零向量與滿足，則.
【解題思路】由空間向量的模長、共線、共面等相關(guān)概念依次判斷4個選項即可.
【解答過程】空間中任意兩個向量必然共面，A錯誤；
若，則?的長度相等但方向不確定，B錯誤；
向量不能比較大小，C錯誤；
由可得向量與長度相等，方向相反，故，D正確.
故選：D.
模塊二
空間向量的線性運(yùn)算
1．空間向量的線性運(yùn)算
【注】(1)空間向量的運(yùn)算是平面向量運(yùn)算的延展，空間向量的加法運(yùn)算仍然滿足平行四邊形法則和三角形法則，而且滿足交換律、結(jié)合律，這樣就可以自由結(jié)合運(yùn)算，可以將向量合并.
(2)向量的減法運(yùn)算是向量加法運(yùn)算的逆運(yùn)算，滿足三角形法則.
(3)空間向量加法的運(yùn)算的小技巧：
①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，因此，求空間若干向量之和時，可通過平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量；
②首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為零向量.
【考點(diǎn)1 空間向量的加減運(yùn)算】
【例1.1】（2023春·江蘇連云港·高二校聯(lián)考期中）正方體中，化簡（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求解即可.
【解答過程】.
故選：C.
【例1.2】（2023春·安徽亳州·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）在長方體中，為線段的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】利用空間向量的加法法則進(jìn)行求解.
【解答過程】因為為線段的中點(diǎn)，所以,
所以，
因為長方體中，，
所以，即.
故選：C.
【變式1.1】（2023秋·江西吉安·高二?？计谀┮阎陂L方體中，，則（ ）
A．3B．2C．1D．
【解題思路】利用空間向量的運(yùn)算法則即可求解.
【解答過程】依題知， ，
∴，
∴．
故選：C.
【變式1.2】（2023春·高二課時練習(xí)）在空間四邊形中下列表達(dá)式化簡結(jié)果與相等的是（ ）
A．B．
C．D．
【解題思路】根據(jù)空間向量運(yùn)算求得正確答案.
【解答過程】，A選項錯誤.
，B選項正確.
，C選項錯誤.
，D選項錯誤.
故選：B.
【考點(diǎn)2 空間向量的線性運(yùn)算】
【例2.1】（2023·全國·高三對口高考）（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】根據(jù)向量的線性運(yùn)算求解即可.
【解答過程】.
故選：C.
【例2.2】（2023秋·北京·高二校考期末）如圖，在空間四邊形中，設(shè)，分別是，的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】利用空間向量的線性運(yùn)算求得正確結(jié)論.
【解答過程】因為，，
所以．
故選：C.
【變式2.1】（2023秋·安徽黃山·高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱中，E、F分別是BC、的中點(diǎn)，為的重心，則（ ）
A．B．
C．D．
【解題思路】根據(jù)向量的數(shù)乘及加、減運(yùn)算求解即可.
【解答過程】解：由題意可得：
.
故選：A.
【變式2.2】（2023秋·廣東廣州·高二?？计谀┤鐖D，在平行六面體中，AC與BD的交點(diǎn)為O，點(diǎn)M在上，且，則下列向量中與相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)平行六面體的幾何特點(diǎn)，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算，即可求得結(jié)果.
【解答過程】因為平行六面體中，點(diǎn)M在上，且
故可得

故選：D.
【考點(diǎn)3 由空間向量的線性運(yùn)算求參數(shù)】
【例3.1】（2023秋·遼寧營口·高二統(tǒng)考期末）平行六面體中，，則（ ）
A．1B．2C．3D．－1
【解題思路】根據(jù)平行六面體的性質(zhì)結(jié)合向量的運(yùn)算即可得出答案.
【解答過程】因為平行六面體的六個面均為平行四邊形，
則，，，
則，
而，，則，
則，
即，
故選：B.
【例3.2】（2023秋·山東泰安·高二?？计谀┤鐖D所示，在平行六面體中，點(diǎn)E為上底面對角線的中點(diǎn)，若，則（ ）
A．B．
C．D．
【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解.
【解答過程】根據(jù)題意，得；
故選：A.
【變式3.1】（2023春·湖南長沙·高二?？奸_學(xué)考試）如圖所示，空間四邊形中，，點(diǎn)在上，且為的中點(diǎn)，，則的值分別為（ ）
A．B．
C．D．
【解題思路】利用空間向量的線性運(yùn)算求解即可.
【解答過程】，
所以，
故選：.
【變式3.2】（2023春·高二課時練習(xí)）如圖所示，平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.若，則x+y+z等于（ ）
A．﹣1B．0C．D．1
【解題思路】根據(jù)空間向量的加法、減法和數(shù)乘的運(yùn)算法則即可得解．
【解答過程】解：

，
，
∴x＝﹣1，y＝1，z＝，
∴x+y+z＝
故選：C．
模塊三
共線向量與共面向量
1．共線向量
(1)空間兩個向量共線的充要條件
對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb.
(2)直線的方向向量
在直線l上取非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線 l 的方向向量．
規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對任意向量a，都有0//a.
(3)共線向量定理的用途：
①判定兩條直線平行；
②證明三點(diǎn)共線.
【注】：證明平行時，先從兩直線上取有向線段表示兩個向量，然后利用向量的線性運(yùn)算證明向量共線，進(jìn)而可以得到線線平行，這是證明平行問題的一種重要方法；證明三點(diǎn)共線問題，通常不用圖形，直接利用向量的線性運(yùn)算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個公共點(diǎn).
2．共面向量
(1)共面向量
如圖，如果表示向量a的有向線段eq \(OA,\s\up6(→))所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱向量a平行于直線l.如果直線OA平行于平面α或在平面α內(nèi)，那么稱向量a平行于平面α.平行于同一個平面的向量，叫做共面向量．
(2)向量共面的充要條件
如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)共面向量定理的用途：
①證明四點(diǎn)共面；
②證明線面平行.
【考點(diǎn)1 向量共線的判定及應(yīng)用】
【例1.1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖所示，在正方體中，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)在體對角線上，且．求證：，，三點(diǎn)共線．
【解題思路】把用基底表示后證明它們共線，再由共頂點(diǎn)可得三點(diǎn)共線．
【解答過程】證明： 連接，．
∵
，
，
∴，∴．
又，∴，，三點(diǎn)共線．
【例1.2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知、、、、、、、、為空間的個點(diǎn)（如圖所示），并且，，，，．求證：．
【解題思路】根據(jù)題意，由向量的線性運(yùn)算可得，即可得到證明.
【解答過程】，，，
，
，
因為、無公共點(diǎn)，故.
【變式1.1】（2023春·高二課時練習(xí)）設(shè)是空間兩個不共線的非零向量，已知，，，且A， B， D三點(diǎn)共線，求實數(shù)k的值．
【解題思路】利用空間向量的線性運(yùn)算，結(jié)合共線向量定理，列式計算作答.
【解答過程】因為，，則有，
又A， B， D三點(diǎn)共線，于是，即，而不共線，
因此，解得，
所以實數(shù)k的值是.
【變式1.2】（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，已知為空間的9個點(diǎn)，且，，，，，.
求證：（1）；
（2）.
【解題思路】（1）由題意，，轉(zhuǎn)化，代入結(jié)合題干條件運(yùn)算即得證；
（2）由題意，，又，運(yùn)算即得證
【解答過程】證明：（1）
∴.
（2）.
【考點(diǎn)2 向量共面的判定及應(yīng)用】
【例2.1】（2023春·高一課時練習(xí)）如圖所示，在正方體中，M、N、P、Q分別為、、、的中點(diǎn)，用共面向量定理證明M、N、P、Q四點(diǎn)共面．
【解題思路】通過證明向量、、共面來證得四點(diǎn)共面.
【解答過程】令，，，
所以，，
，
設(shè)，
，
則，解得，
則．所以向量、、共面，
所以M、N、P、Q四點(diǎn)共面．
【例2.2】（2023春·高一課時練習(xí)）已知三點(diǎn)不共線，對于平面外的任意一點(diǎn)，判斷在下列各條件下的點(diǎn)與點(diǎn)是否共面．
(1)；
(2)．
【解題思路】（1）根據(jù)空間向量的共面定理及推論，即可求解；
（2）根據(jù)空間向量的共面定理及推論，即可求解；
【解答過程】（1）解：因為三點(diǎn)不共線，可得三點(diǎn)共面，
對于平面外的任意一點(diǎn)，若，
即，
又因為，根據(jù)空間向量的共面定理，可得點(diǎn)與共面.
（2）解：因為三點(diǎn)不共線，可得三點(diǎn)共面，
對于平面外的任意一點(diǎn)，若，此時，
根據(jù)空間向量的共面定理，可得點(diǎn)與不共面．
【變式2.1】（2023春·高二課時練習(xí)）已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，求證：
(1)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；
(2)BD∥平面EFGH.
【解題思路】（1）要證E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面，只需證明向量，，共面，結(jié)合向量的線性運(yùn)算及共面向量定理證明即可；
（2）由向量共線結(jié)合線面平行的判定定理證明．
【解答過程】（1）如圖，連接EG，BG．
因為＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，
由向量共面的充要條件可知，向量，，共面，
又，，過同一點(diǎn)E，從而E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．
（2）因為＝－＝－＝(－)＝，
又E，H，B，D四點(diǎn)不共線，所以EH∥BD，
又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH．
【變式2.2】（2023春·高二課時練習(xí)）已知A，B，C三點(diǎn)不共線，對平面ABC外的任一點(diǎn)O，若點(diǎn)M滿足.
(1)判斷三個向量是否共面；
(2)判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi).
【解題思路】（1）根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，結(jié)合平面向量基本定理證明即可；
（2）根據(jù)（1）結(jié)合平面向量的基本定理判斷即可.
【解答過程】（1）由題知，
∴，
即，
∴共面.
（2）由（1）知，共面且基線過同一點(diǎn)M，
∴M，A，B，C四點(diǎn)共面，從而點(diǎn)M在平面ABC內(nèi).
模塊四
課后作業(yè)
1．（2023春·高二課時練習(xí)）在平行六面體中，與向量相等的向量共有（ ）
A．1個B．2個
C．3個D．4個
【解題思路】由圖形及相等空間向量定義可得答案.
【解答過程】由圖，與向量大小相等，方向相同的向量有共3個.
故選：C.
2．（2023春·高二課時練習(xí)）下列命題中，正確的是（ ）.
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【解題思路】根據(jù)向量模長的定義以及向量的定義即可逐一判斷.
【解答過程】對于A;比如,不相等，但，故A錯誤；
對于B;向量的模長可以有大小之分，但是向量不可以比較大小，所以B錯誤；
對于C;向量相等，則其模長相等，方向相同，故C正確；
對于D；若，，但不相等，故D錯誤；
故選：C.
3．（2023春·甘肅金昌·高二?？计谥校┫铝兴膫€命題中為真命題的是（ ）
A．已知，，，，是空間任意五點(diǎn)，則
B．若兩個非零向量與滿足，則四邊形是菱形
C．若分別表示兩個空間向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個向量可以是共面向量
D．對于空間的任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，，，若 ，則，，，四點(diǎn)共面
【解題思路】根據(jù)空間向量的運(yùn)算，即可判斷A項；根據(jù)已知可推得，且，即可判斷B項；根據(jù)空間向量可以平移，即可得出C項；當(dāng)且僅當(dāng)時，，，，四點(diǎn)共面，可知D項錯誤.
【解答過程】對于A，因為，故A項錯誤；
對于B，因為，所以，且，
所以四邊形是平行四邊形，不一定是菱形，故B項錯誤；
對于C，因為空間向量可以平移，將空間任意兩個向量平移到同一起點(diǎn)時，則這兩個向量可以是共面向量，故C項正確；
對于D，對于空間的任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，，，若 ，當(dāng)且僅當(dāng)時，，，，四點(diǎn)共面，故D項錯誤.
故選：C.
4．（2023秋·河北石家莊·高二?？计谀┤鐖D，已知空間四邊形ABCD的對角線為AC，BD，設(shè)G是CD的中點(diǎn)，則等于（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可.
【解答過程】G是CD的中點(diǎn),所以
故選：A.
5．（2023·上海·?？寄M預(yù)測）設(shè)A、B、C、D為空間中的四個點(diǎn)，則“”是“A、B、C、D四點(diǎn)共圓”的（ ）
A．充分非必要條件B．必要非充分條件
C．充要條件D．既非充分也非必要條件
【解題思路】根據(jù)共面的性質(zhì)，結(jié)合空間向量的加法和減法的幾何意義、充分性、必要性的定義進(jìn)行判斷即可.
【解答過程】由 ，
當(dāng)“A、B、C、D四點(diǎn)在同一條直線上時， A, B, C, D四點(diǎn)不共圓，
若A、B、C、D四點(diǎn)共圓，當(dāng)ABCD 是矩形時，此時AC，BD為圓的直徑,滿足，而當(dāng)ABCD 不是矩形時，顯然AC，BD不是圓的直徑，此時.
故選: D.
6．（2023春·江蘇無錫·高一?？计谥校┮阎臻g向量，，且，，，則一定共線的三點(diǎn)是（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】根據(jù)向量共線判斷三點(diǎn)共線即可．
【解答過程】解：
，
又與過同一點(diǎn)B，
∴ A、B、D三點(diǎn)共線．
故選：C．
7．（2023秋·廣西防城港·高二統(tǒng)考期末）如圖，設(shè)為平行四邊形所在平面外任意一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則的值是（ ）
A．B．0C．D．
【解題思路】根據(jù)向量的線性運(yùn)算的幾何表示，得出，結(jié)合條件即可得出答案.
【解答過程】為的中點(diǎn)，
，
四邊形為平行四邊形，，
.
，
，，
，
故選：B.
8．（2023春·高一課時練習(xí)）下面關(guān)于空間向量的說法正確的是（ ）
A．若向量平行，則所在直線平行
B．若向量所在直線是異面直線，則不共面
C．若A，B，C，D四點(diǎn)不共面，則向量，不共面
D．若A，B，C，D四點(diǎn)不共面，則向量，，不共面
【解題思路】利用平行向量的意義判斷A；利用空間共面向量的意義判斷BCD作答.
【解答過程】向量平行，所在直線可以重合，也可以平行，A錯誤；
可以通過平移將空間中任意兩個向量平移到一個平面內(nèi)，因此空間任意兩個向量都是共面的，BC錯誤；
顯然AB，AC，AD是空間中有公共端點(diǎn)A，但不共面的三條線段，所以向量，，不共面，D正確.
故選：D.
9．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若空間中任意四點(diǎn)O，A，B，P滿足，其中m＋n＝1，則（ ）
A．P∈ABB．P?AB
C．點(diǎn)P可能在直線AB上D．以上都不對
【解題思路】由已知化簡可得，即可判斷.
【解答過程】因為m＋n＝1，所以m＝1－n，
所以，即，
即，所以與共線．
又，有公共起點(diǎn)A，
所以P，A，B三點(diǎn)在同一直線上，即P∈AB.
故選：A.
10．（2023春·江蘇宿遷·高二?？茧A段練習(xí)）已知向量，不共線，，，，則（ ）
A．與共線B．與共線
C．，，，四點(diǎn)不共面D．，，，四點(diǎn)共面
【解題思路】根據(jù)平面向量共線定理及推論依次判斷各個選項即可.
【解答過程】對于A，，不存在實數(shù)，使得成立， 與不共線，A錯誤；
對于B， ，， ，
又，不存在實數(shù)，使得成立， 與不共線，B錯誤；
對于C、D，若，，，四點(diǎn)共面，
則有，
，即，故，
故，，，四點(diǎn)共面，C錯誤，D正確.
故選：D.
11．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖所示，已知為平行六面體，若以此平行六面體的頂點(diǎn)為向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)，求：
（1）與相等的向量；
（2）與相反的向量；
（3）與平行的向量．
【解題思路】根據(jù)相等向量、相反向量和平行向量的概念求解，
（1）根據(jù)平行六面體的側(cè)棱都平行且相等和向量相等的定義寫出；
（2）連接，因為，所以是平行四邊形，所以，這樣就可以寫出與相反的向量；
（3）連接，用類似（2）的方法可寫出與平行的向量．
【解答過程】（1）∵平行六面體是棱柱，∴側(cè)棱都平行且相等，
∴與相等的向量為；
（2）連接，由平行六面體的性質(zhì)可得，
∴是平行四邊形，
∴，與相反的向量為．
（3）連接，由平行六面體的性質(zhì)可得，
∴是平行四邊形，
∴，與平行的向量為．
12．（2023春·高二課時練習(xí)）如圖所示，在三棱柱中，是的中點(diǎn)，化簡下列各式，并在圖中標(biāo)出化簡得到的向量.
(1)；
(2)；
(3).
【解題思路】（1）（2）（3）利用空間向量的加減法的運(yùn)算法則和幾何意義化簡．
【解答過程】（1）解：.
（2）解：因為是的中點(diǎn)，所以，又，
所以.
（3）解：
13．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是上底面和側(cè)面的中心，分別求滿足下列各式的x，y，z的值．
(1)；
(2)；
(3)．
【解題思路】（1）由向量加法的三角形法則和四邊形法則得和，由此即可求出結(jié)果；
（2）由向量加法的三角形法則和四邊形法則得和，由此即可求出結(jié)果；
（3）因為，由（1），（2）可知，，由此即可求出結(jié)果.
【解答過程】（1）解：由向量加法的三角形法則得，，
由平行四邊形法則和向量相等得，；
所以，
所以；
（2）解：由向量加法的三角形法則得，，
由四邊形法則和向量相等得，；
所以，
所以．
（3）解： 由（1），（2）可知，
，
所以.
14．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，在正方體中，E在上，且，F(xiàn)在對角線A1C上，且若.
（1）用表示.
（2）求證：E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線.
【解題思路】（1）由已知得，由此可得答案；
（2）由已知得 ，由此可得證.
【解答過程】解：（1）因為， ，
所以，
所以；
（2）
，
又與相交于B，所以E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線.
15．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知為空間9個點(diǎn)(如圖)，并且，，．，求證：
(1)四點(diǎn)共面；
(2)；
(3)．
【解題思路】（1）根據(jù)向量的共面定理，即可求解；
（2）根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解；
（3）根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.
【解答過程】（1）解：因為，
由共面向量的基本定理，可得是共面向量
又因為有公共點(diǎn)，所以四點(diǎn)共面.
（2）解：因為，
則
，
所以.
（3）解：由（1）及，
可得，
所以，即.
名稱
定義及表示
零向量
長度為0的向量叫做零向量，記為0
單位向量
模為1的向量稱為單位向量
相反向量
與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為 －a
共線向量(平行向量)
如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規(guī)定：對于任意向量a，都有0∥a
相等向量
方向相同且模相等的向量稱為相等向量
空間向量的線性運(yùn)算
加法
a＋b＝eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→)) ＝eq \(OB,\s\up6(→))
減法
a－b＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))
數(shù)乘
當(dāng)λ>0時，λa＝λeq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(PQ,\s\up6(→))；
當(dāng)λ