高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊第四章 數(shù)列4.4* 數(shù)學(xué)歸納法測試題

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難點(diǎn)：了解數(shù)學(xué)歸納法的原理。
一、數(shù)學(xué)歸納法的定義和關(guān)鍵點(diǎn)
1、定義：一般地，當(dāng)要證明一個命題對于不小于某個正整數(shù)的所有正整數(shù)都成立時，可以用以下兩個步驟：
（1）（歸納奠基）證明當(dāng)時命題成立；
（2）（歸納遞推）假設(shè)當(dāng)(，≥)時命題成立，證明當(dāng)命題也成立.
在完成這兩個步驟后，就可以斷定命題對于不小于的所有正整數(shù)都成立，這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法。
2、三個關(guān)鍵點(diǎn)
（1）驗(yàn)證是基礎(chǔ)：數(shù)學(xué)歸納法的原理表明：第一個步驟是要找一個數(shù)n0，這個n0，就是我們要證明的命題對象對應(yīng)的最小自然數(shù)，這個自然數(shù)并不一定都是“1”，因此“找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)”是第一個關(guān)鍵點(diǎn)．
（2）遞推是關(guān)鍵：數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)在于遞推，所以從“k”到“k＋1”的過程中，要正確分析式子項(xiàng)數(shù)的變化．關(guān)鍵是弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，弄清由n＝k到n＝k＋1時，等式的兩邊會增加多少項(xiàng)，增加怎樣的項(xiàng)．
（3）利用假設(shè)是核心：在第二步證明n＝k＋1成立時，一定要利用歸納假設(shè)，即必須把歸納假設(shè)“n＝k時命題成立”作為條件來導(dǎo)出“n＝k＋1”，在書寫f(k＋1)時，一定要把包含f(k)的式子寫出來，尤其是f(k)中的最后一項(xiàng)，這是數(shù)學(xué)歸納法的核心．不用歸納假設(shè)的證明就不是數(shù)學(xué)歸納法．
二、歸納——猜想——證明”的一般環(huán)節(jié)：
1、計算：根據(jù)條件，準(zhǔn)確計算出前若干項(xiàng)，這是歸納、猜想的前題；
2、歸納、猜想：通過觀察、分析、比較、綜合、聯(lián)想，猜想出一般的結(jié)論；
3、證明：對一般結(jié)論利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.
三、用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式的步驟及注意事項(xiàng)
1、明確初始值并驗(yàn)證真假（必不可少）；
2、“假設(shè)時命題正確”并寫出命題形式；
3、分析“時”命題是什么，并找出與“”時命題形式的差別，弄清左端應(yīng)增加的項(xiàng)；
4、明確等式左端變形目標(biāo)，掌握恒等變形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆項(xiàng)、配方等，并用上假設(shè)。
題型一 對數(shù)學(xué)歸納法的理解
【例1】（2023·四川成都·高二?？茧A段練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明“對任意的，都有，第一步應(yīng)該驗(yàn)證的等式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在等式中，
當(dāng)時，，
故等式的左邊為，右邊為.
所以第一步應(yīng)該驗(yàn)證的等式是.故選：D
【變式1-1】（2023·北京海淀·高二人大附中?？计谥校┯脭?shù)學(xué)歸納法證明“對任意偶數(shù)，能被整除時，其第二步論證應(yīng)該是（ ）
A．假設(shè)（為正整數(shù)）時命題成立，再證時命題也成立
B．假設(shè)（為正整數(shù)）時命題成立，再證時命題也成立
C．假設(shè)（為正整數(shù)）時命題成立，再證時命題也成立
D．假設(shè)（為正整數(shù)）時命題成立，再證時命題也成立
【答案】D
【解析】因?yàn)闉檎紨?shù)，所以第二步的假設(shè)應(yīng)寫為：
假設(shè)（為正整數(shù)）時命題成立，再證時命題也成立，
即當(dāng)（為正整數(shù)）時，能被整除，
再證時，能被整除.故選：D.
【變式1-2】（2023·全國·高三對口高考）某個與自然數(shù)有關(guān)的命題，如果當(dāng)時該命題成立，可推得時該命題也成立，那么，若已知時該命題不成立，則可推得（ ）
A．當(dāng)時，該命題不成立 B．當(dāng)時，該命題成立
C．當(dāng)時，該命題不成立 D．當(dāng)時，該命題成立
【答案】C
【解析】可得題干等價于其逆否命題：當(dāng)時該命題不成立，
則可推得時該命題也不成立．
所以，當(dāng)時該命題不成立，則當(dāng)時，該命題也不成立，
當(dāng)時，該命題不成立，則當(dāng)時，該命題也不成立.故選：C.
【變式1-3】（2023·高二課時練習(xí)）（多選）已知一個命題p(k)，k＝2n(n∈N*)，若當(dāng)n＝1，2，…，1000時，p(k)成立，且當(dāng)n＝1001時也成立，則下列判斷中正確的是（ ）
A．p(k)對k＝528成立 B．p(k)對每一個自然數(shù)k都成立
C．p(k)對每一個正偶數(shù)k都成立 D．p(k)對某些偶數(shù)可能不成立
【答案】AD
【解析】由題意知p(k)對k＝2，4，6，…，2002成立，
當(dāng)k取其他值時不能確定p(k)是否成立，故選AD.故選：AD
題型二 數(shù)學(xué)歸納法的增項(xiàng)問題
【例2】（2023·上海·高二期末）用數(shù)學(xué)歸納法證明，從到，左邊需要增乘的代數(shù)式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】當(dāng)時，左端＝，
當(dāng)時，左端＝，
故左邊要增乘的代數(shù)式為.故選：B．
【變式2-1】（2023·北京豐臺·高二統(tǒng)考期中）用數(shù)學(xué)歸納法證明“對任意的，”，由到時，等式左邊應(yīng)當(dāng)增加的項(xiàng)為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由題意可得，當(dāng)時，等式左邊等于，共項(xiàng)求和；
當(dāng)時，等式左邊等于，共項(xiàng)求和；
所以由的假設(shè)到證明時,等式左邊應(yīng)添加的式子是.
故選：B.
【變式2-2】（2023·四川成都·高二五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明（，為正整數(shù)）的過程中，從遞推到時，不等式左邊需添加的項(xiàng)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依題意當(dāng)時左邊，
當(dāng)時左邊，
所以，
故從遞推到時，不等式左邊需添加的項(xiàng)為.故選：C
【變式2-3】（2023·遼寧大連·高二校聯(lián)考期中）用數(shù)學(xué)歸納法證明“”的過程中，從到時，左邊增加的項(xiàng)數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】時，可得：
時，可得：，
故增加了項(xiàng).故選：A
題型三 用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式
【例3】（2023·高二課時練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明（為正整數(shù)）．
【答案】證明見解析
【解析】當(dāng)時，左側(cè)，右側(cè)，顯然成立，
假設(shè)時，
當(dāng)時，，
即當(dāng)時，等式也成立，
綜上可得，．
【變式3-1】（2023·高二課時練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明（為正整數(shù)）．
【答案】證明見解析
【解析】設(shè)．
①當(dāng)時，左邊，右邊，等式成立；
②設(shè)當(dāng)時等式成立，即，
則當(dāng)時，
．
由①②可知當(dāng)時等式都成立．
【變式3-2】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：．
【答案】證明見解析
【解析】當(dāng)時，等式左邊，等式中間，等式右邊，
即等式左邊=等式中間=等式右邊，等式成立；
假設(shè)時等式成立，
即有成立，
我們分兩步來證明當(dāng)時，等式成立，
即分別證明此時等式左邊=等式中間，等式中間=等式右邊即可，
第一步：由假設(shè)可知，當(dāng)時，
有
成立，
即當(dāng)時，等式左邊=等式中間成立；
第二步：由假設(shè)，
所以此時有成立，
從而可知，當(dāng)時，有
成立，
即當(dāng)時，等式中間=等式右邊成立；
結(jié)合以上兩步有：若當(dāng)時等式成立，則當(dāng)時等式成立；
綜上所述：由數(shù)學(xué)歸納法可得.
【變式3-3】（2023·高二課時練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明以下恒等式：
（1）；
（2）.
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【解析】（1）①當(dāng)時，左邊，右邊，左邊與右邊相等，即時等式成立；
②假設(shè)當(dāng)時，等式成立，
即，
則當(dāng)時，左邊
右邊，
即當(dāng)時，等式也成立；
綜上所述，由①②可知，對于任意正整數(shù)，成立.
（2）①當(dāng)時，左邊，右邊，左邊與右邊相等，即時等式成立；
②假設(shè)當(dāng)時，等式成立，
即，
則當(dāng)時，左邊
右邊，
即當(dāng)時，等式也成立；
綜上所述，由①②可知，對于任意正整數(shù)，成立.
題型四 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式
【例4】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：．
【答案】證明見解析.
【解析】當(dāng)，則成立，
若且時，成立，
令，則，
所以時不等式也成立，
綜上，恒成立.
【變式4-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）證明∶不等式成立.
【答案】證明見解析
【解析】①當(dāng)時，左邊右邊，∴不等式成立.
②假設(shè)當(dāng)時不等式成立，即.
③當(dāng)時，
左邊
，
∴當(dāng)時，不等式也成立.
綜上可得，原不等式恒成立.
【變式4-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：
【答案】證明見解析
【解析】（1）當(dāng)時，，命題成立.
（2）假設(shè)當(dāng)時，成立，
當(dāng)時，
，
?，
?，
當(dāng)時命題成立.
所以對于任意都成立.
【變式4-3】（2022·全國·高二專題練習(xí)）求證：.
【答案】證明見解析.
【解析】（1）當(dāng)n=2時，左邊=，右邊=，顯然左邊>右邊，即原不等式成立，
（2）假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2，k∈N*)時，原不等式成立，
即，
則當(dāng)n=k+1時，
左邊=
=右邊，
因此，當(dāng)n=k+1時，原不等式成立，
綜合（1）和（2）知，對一切n≥2，n∈N*，原不等式都成立.
題型五 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題
【例5】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：能被整除（）
【答案】答案見解析
【解析】當(dāng)時，，故能被整除，
假設(shè)當(dāng)時，結(jié)論成立，即能被整除，
則當(dāng)時，，
由于和均能被整除，
故能被整除，
綜上：能被整除（）.
【變式5-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）求證：對任何正整數(shù)n，數(shù)都能被8整除
【答案】證明見解析
【解析】1°當(dāng)n=1時，，命題成立．
2°假設(shè)n=k時，能被8整除，
則當(dāng)n=k+1時，,
因?yàn)槭?的倍數(shù)，而也是8的倍數(shù)，
所以Ak+1也是8的倍數(shù)，即n=k+1時，命題也成立
由以上1°、2°可知，對一切正整數(shù)n，能被8整除．
【變式5-2】（2022·高二課時練習(xí)）先猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想：能被哪些自然數(shù)整除？
【答案】能被自然數(shù)6，1，2，3整除;證明見解析
【解析】時，原式，時，原式，時，原式，時，原式，
這些數(shù)都可以被6整除，所以猜想：可以被6整除，那么也可被1，2,3整除；
證明：（1）當(dāng)時，，命題顯然成立；
（2）假設(shè)當(dāng)時，能被6整除．
當(dāng)時，，
其中兩個連續(xù)自然數(shù)之積是偶數(shù)，它的3倍能被6整除，
由假設(shè)知能被6整除，故，，6分別能被6整除，
所以當(dāng)時，命題也成立．
據(jù)（1）（2），可知可以被6整除．
故能被自然數(shù)6,，1，2，3整除.
【變式5-3】（2023·全國·高三對口高考）是否存在正整數(shù)使得對任意正整數(shù)都能被整除，若存在，求出最大的的值，并證明你的結(jié)論．若不存在說明理由．
【答案】存在，且的最大值為
【解析】，，
所以，、的最大公約數(shù)為，
猜想：對任意的，能被整除，
當(dāng)時，猜想顯然成立；
假設(shè)當(dāng)，猜想成立，即能別整除，
即存在，使得，
則當(dāng)時，
，
因?yàn)闉槠鏀?shù)，則為偶數(shù)，則能被整除，
所以，能被整除，
這說明當(dāng)時，猜想也成立，
故對任意的，對任意正整數(shù)都能被整除，且.
故的最大值為.
題型六 用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題
【例6】（2023·浙江杭州·高二杭州第二中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列滿足，.
（1）求，，；
（2）試猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
【答案】（1）；（2），證明見解析
【解析】（1）由可知，
當(dāng)時，代入，解得；
當(dāng)時，代入，解得；
當(dāng)時，代入，解得；
（2）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
當(dāng)時，左邊，右邊，成立.
（2）假設(shè)當(dāng)時，成立.
則當(dāng)時，有，
即當(dāng)時，也成立.
所以對任何都成立.
【變式6-1】（2023·陜西西安·高二校考期中）設(shè)數(shù)列滿足，.
（1）計算，，猜想的通項(xiàng)公式并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；
（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.
【答案】（1），證明詳見解析；（2）證明詳見解析
【解析】（1）依題意，，，則，
所以，
猜想.
當(dāng)時，成立，
假設(shè)當(dāng)時，猜想成立，即，
則當(dāng)時，，
猜想成立，所以.
（2），
所以.
【變式6-2】（2023·四川宜賓·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，.
（1）計算,，猜想的通項(xiàng)公式并加以證明；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1）,,,證明見解析；（2）.
【解析】（1）當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
猜想.
證明如下：當(dāng)時，成立；
假設(shè)時，成立；
那么時，,
即時，，
則對任意的，都有成立.
（2）由題意得，
.
【變式6-3】（2023·高二課時練習(xí)）設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且．記．如果對于所有的正整數(shù)均有．
（1）求，，，，；
（2）猜想的通項(xiàng)公式，并加以證明．
【答案】（1），，，，；（2），證明見解析
【解析】（1）因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，
所以數(shù)列是遞增數(shù)列，
因?yàn)?，?br>所以舍去，
同理可得：舍去，舍去，舍去，
所以，，，，；
（2）猜想：，證明過程如下：
當(dāng)時，顯然成立，
假設(shè)當(dāng)時成立，即，
當(dāng)時，
解得：，或，
因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，
顯然，
所以，舍去，
所以當(dāng)時，成立，
綜上所述：