初中數(shù)學(xué)人教版（2024）七年級(jí)下冊(cè)5.2.2 平行線的判定精練

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平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，平行用符號(hào)“∥”表示，
如：直線a與直線互相平行，記作a∥，讀作a平行于b。
判斷同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系時(shí)，可以根據(jù)它們的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)確定：
①有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，兩直線相交；
②無(wú)公共點(diǎn)，則兩直線平行；
③兩個(gè)或兩個(gè)以上公共點(diǎn)，則兩直線重合
平行公理（唯一性）：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。
平行公理的推論（傳遞性）：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行
a
幾何描述 ：∵∥a，∥a
∴∥
平行線的判定
判定方法1 ：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行
簡(jiǎn)稱：同位角相等，兩直線平行
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
幾何符號(hào)語(yǔ)言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）
判定方法2 ：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行
簡(jiǎn)稱：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行
幾何符號(hào)語(yǔ)言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）
判定方法3： 兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行
簡(jiǎn)稱：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行
幾何符號(hào)語(yǔ)言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）

【題型一】平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系
【典題1】（2022秋·河南三門(mén)峽·七年級(jí)期中）在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系可能是（ ）
A．相交或平行B．相交或垂直C．平行或垂直D．不能確定
【詳解】解：在同一平面內(nèi)，兩條直線只有兩種位置關(guān)系：相交或平行，
故選：A．
鞏固練習(xí)
1．（?）（2022秋·河北秦皇島·七年級(jí)期末）在同一平面內(nèi)，不重合的兩直線的位置關(guān)系必是（ ）
A．垂直B．平行C．垂直或平行D．相交或平行
【詳解】解：在同一個(gè)平面內(nèi)，兩條直線只有兩種位置關(guān)系，即平行或相交．
故選：D．
2．（?）（2022秋·山東煙臺(tái)·七年級(jí)期末）若P，Q是直線AB外不重合的兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法不正確的是( )
A．直線PQ可能與直線AB垂直
B．直線PQ可能與直線AB平行
C．過(guò)點(diǎn)P的直線一定能與直線AB相交
D．過(guò)點(diǎn)Q只能畫(huà)出一條直線與AB平行
【詳解】PQ與直線AB可能平行，也可能垂直，過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故A、B、D均正確，故C錯(cuò)誤；故選C．
3．（?）（2022秋·江西吉安·七年級(jí)期中）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．在同一平面內(nèi)，兩條直線不垂直就平行
B．在同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條射線是平行線
C．在同一平面內(nèi)，兩條線段不相交就重合
D．在同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條線段也可能互相垂直
【詳解】解：A、在同一平面內(nèi)，兩條直線不相交就平行，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B、在同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線是平行線，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C、在同一平面內(nèi)，兩條線段不相交，也有可能不重合，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
D、在同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條線段也可能互相垂直，則此項(xiàng)正確，符合題意；
故選：D．
【題型二】用尺規(guī)畫(huà)平行線
【典題1】（2022秋·江西贛州·七年級(jí)期中）如圖所示，在∠AOB內(nèi)有一點(diǎn)P，
（1）過(guò)P畫(huà)L1∥OA；（2）過(guò)P畫(huà)L2∥OB；
（3）用量角器量一量L1與L2相交的角與∠O的大小有怎樣關(guān)系？
【詳解】解：(1)(2)如圖所示；
(3)l1與l2的夾角有兩個(gè)：∠1，∠2.因?yàn)椤?=∠O，∠2+∠O=180°，所以l1與l2的夾角與∠O相等或互補(bǔ).
鞏固練習(xí)
1．（?）（2022秋·山東濟(jì)寧·七年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)P是∠AOB的邊OB上的一點(diǎn)．
(1)過(guò)點(diǎn)P畫(huà)OB的垂線，交OA于點(diǎn)E；
(2)過(guò)點(diǎn)P畫(huà)OA的垂線，垂足為H；
(3)過(guò)點(diǎn)P畫(huà)OA的平行線PC.
【解析】
（1）解：如圖所示：
（2）解：如圖所示：
（3）解：如圖所示：
2．（??）（2022秋·山東聊城·七年級(jí)期中）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是1，點(diǎn)M、N、P、Q均為格點(diǎn)（格點(diǎn)是指每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)），線段MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)P．
(1)過(guò)點(diǎn)P畫(huà)MN的垂線；
(2)過(guò)點(diǎn)Q畫(huà)MN的平行線；
(3)若格點(diǎn)F使△PFM的面積等于4，則這樣的點(diǎn)F共有______個(gè)．
【詳解】（1）解：如圖
（2）如圖
（3）滿足條件的點(diǎn)F有6個(gè)．
3（?）．（2022春·江蘇常州·七年級(jí)期末）如圖，方格紙中小正方形的邊長(zhǎng)均為1cm，三角形ABC的頂點(diǎn)均為格點(diǎn)．
（1）過(guò)點(diǎn)C畫(huà)AB的平行線l1；
（2）過(guò)點(diǎn)C畫(huà)AB的垂線l2；
（3）三角形ABC的面積＝ cm2．
【詳解】解：（1）如圖，直線l1即為所求作．
（2）如圖，直線l2即為所求作．
（3）△ABC的面積＝3×3﹣×2×3﹣×1×2﹣×1×3＝．
故答案為：．
【題型三】平行公理的推論及應(yīng)用
【典題1】5．（2022秋·云南曲靖·七年級(jí)期末）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且a//b，b//c，則a//c
B．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且a⊥b，b⊥c，則a⊥c
C．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且a//b，b⊥c，則a∥c
D．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，則a//b，b∥c，則a⊥c
【詳解】解：先根據(jù)要求畫(huà)出圖形，圖形如下圖所示：
根據(jù)所畫(huà)圖形可知：A正確．
鞏固練習(xí)
1．（?）（2022秋·河北石家莊·七年級(jí)期末）如圖，在平面內(nèi)經(jīng)過(guò)一點(diǎn)作已知直線的平行線，可作平行線的條數(shù)有（ ）
A．0條B．1條C．0條或1條D．無(wú)數(shù)條
【詳解】解：在同一平面內(nèi)，當(dāng)這個(gè)點(diǎn)在直線上時(shí)，此時(shí)可作0條與已知直線平行的線，，
當(dāng)這個(gè)點(diǎn)在直線外時(shí)，可以作一條直線于已知直線m的平行．故選C．
2．（?）（2022秋·河北唐山·七年級(jí)期中）在同一平面內(nèi)，經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線（ ）
A．垂直B．相交C．平行D．垂直或平行
【詳解】解：在同一平面內(nèi)，經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線垂直或平行；故選：D．
【題型四】利用同位角判定兩直線平行
【典題1】（2022秋·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，過(guò)直線外一點(diǎn)畫(huà)已知直線的平行線的方法，其依據(jù)是（ ）
A．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行 B．兩直線平行，同位角相等
C．同位角相等，兩直線平行 D．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行
【詳解】如圖：
∵∠1＝∠2，
∴a∥b（同位角相等，兩直線平行）．
故選：C．
鞏固練習(xí)
1．（?）（2022秋·山東泰安·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，直線被直線所截，下列條件能判定的是（ ）
A．B．
C．D．
【詳解】A、當(dāng)∠1=∠3時(shí)，c∥d，不能判定a∥b，故此選項(xiàng)不合題意；
B、當(dāng)∠2+∠4=180°時(shí)，c∥d，不能判定a∥b，故此選項(xiàng)不合題意；
C、當(dāng)∠4=∠5時(shí)，c∥d，不能判定a∥b，故此選項(xiàng)不合題意；
D、當(dāng)∠1=∠2時(shí)，a∥b，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D
2（?）（（2022秋·黑龍江大慶·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知，為保證兩條鐵軌平行，添加的下列條件中，正確的是（ ）
A．B．C．D．
【詳解】解：A.∠1與∠2是鄰補(bǔ)角，無(wú)法判斷兩條鐵軌平行，故此選項(xiàng)不符合題意；
B. ∠1與∠3與兩條鐵軌平行沒(méi)有關(guān)系，故此選項(xiàng)不符合題意；
C. ∠1與∠4是同位角，且∠1=∠4=90°，故兩條鐵軌平行，所以該選項(xiàng)正確；
D. ∠1與∠5與兩條鐵軌平行沒(méi)有關(guān)系，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：C．
3．（?）（（2022秋·河南商丘·七年級(jí)期末）如圖，已知直線AB，CD被直線EF所截，如果要添加條件，使得MQ∥NP，那么下列條件中能判定MQ∥NP的是( )
A．∠1＝∠2B．∠BMF＝∠DNF
C．∠AMQ＝∠CNPD．∠1＝∠2，∠BMF＝∠DNF
【詳解】A.∠1與∠2不是同位角，不能判定MQ∥NP，故該選項(xiàng)不符合題意，
B.∠BMF＝∠DNF，只能判定AB//CD，不能∠BMF＝∠DNF，故該選項(xiàng)不符合題意，
C.∠AMQ與∠CNP不是同位角，不能判定MQ∥NP，故該選項(xiàng)不符合題意，
D. ∵∠BMF＝∠DNF，∴AB//CD，∠EMB=∠MND，
∵∠1=∠2，∴∠EMQ=∠MNP，∴MQ∥NP，故該選項(xiàng)符合題意，故選D.
【題型五】利用內(nèi)錯(cuò)角判定兩直線平行
【典題1】（2022春·福建福州期末）如圖，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，能判定的是（ ）
A．B．
C．D．
【詳解】A. ，，故該選項(xiàng)不符合題意；
B. ，，故該選項(xiàng)符合題意；
C. ，，故該選項(xiàng)不符合題意；
D. ，，故該選項(xiàng)不符合題意；
故選B
鞏固練習(xí)
1．（?）（2022秋·安徽滁州·七年級(jí)校考期末）如圖，∠1＝∠2，由此推出的正確結(jié)論是（ ）
A．∠3＝∠4B．∠1＋∠3＝∠2＋∠4
C．AB∥CDD．AD∥BC
【詳解】解：∵∠1＝∠2，∴故選C
2．（?）（2022秋·浙江紹興·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，下列條件能判斷a//b的有（ ）
A．∠2＝∠4B．∠1+∠2＝180°
C．∠1＝∠3D．∠2+∠3＝180°
【詳解】解：A．根據(jù)∠2=∠4能推出a∥b，故本選項(xiàng)符合題意；
B．根據(jù)∠1+∠2=180°不能推出a∥b，故本選項(xiàng)不符合題意；
C．根據(jù)∠1=∠3不能推出a∥b，故本選項(xiàng)不符合題意；
D．根據(jù)∠2+∠3=180°不能推出a∥b，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：A．
3．（?）（2022秋·遼寧沈陽(yáng)·七年級(jí)校聯(lián)考期中）下列圖形中，由能得到的是（ ）
A．B．C．D．
【詳解】A.∠1＝∠2，不能判斷，故A不符合題意；
B.∵∠1＝∠2，∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），故B符合題意；
C.，，故C不符合題意；
D.∠1＝∠2，不能判斷，故D不符合題意．故選：B．
【題型六】利用同旁內(nèi)角判定兩直線平行
【典題1】（2022秋·湖北武漢·七年級(jí)期中）如圖，能判斷直線AB∥CD的條件是（ ）
A．B．C．D．
【詳解】A選項(xiàng)中∠3和∠4的對(duì)頂角是一組同旁內(nèi)角，所以當(dāng)∠3+∠4=180°時(shí)AB∥CD；
B選項(xiàng)中∠3和∠4的對(duì)頂角是一組同旁內(nèi)角，所以當(dāng)∠3=∠4時(shí)AB與CD不一定平行；
C選項(xiàng)中∠1和∠3的對(duì)頂角是一組同旁內(nèi)角，所以當(dāng)∠1+∠3=180°時(shí)，AB與CD不一定平行；
D選項(xiàng)中∠1和∠2的對(duì)頂角是一組同旁內(nèi)角，所以當(dāng)∠1=∠2時(shí)AB與CD不一定平行．
故選：A．
鞏固練習(xí)
1．（?）（2022秋·重慶江津·七年級(jí)期末）如圖，下列條件中能判定的是（ ）
A．B．
C．D．
【詳解】解：A. ∵不是直線形成的內(nèi)錯(cuò)角與同位角，
∴故不能判斷；
B. ∵是直線形成的內(nèi)錯(cuò)角，
∴可判斷，故不能判斷；
C. ∵直線形成的同旁內(nèi)角，
∴，
∴，
故可判定；
D. ∵是直線形成的同位角，
∴可判斷，故不能判斷；
故選擇C．
2．（?）（2022秋·山東德州·七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)E在CD的延長(zhǎng)線上，BE與AD交于點(diǎn)F，下列條件能判斷BC∥AD的是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠A＋∠CDA＝180°
C．∠4＝∠AD．∠2＋∠5＝180°
【詳解】解：∵∠1＝∠3，∴AB∥CD，故A不符合題意；
∵∠A+∠CDA＝180°，∴AB∥CD，故B不符合題意；
∵∠4＝∠A，∴AB∥CD，故C不符合題意；
∵∠2+∠5＝180°，∠DFE+∠5＝180°，∴∠DFE＝∠2，∴BC∥AD，故D符合題意；
故選：D．
【題型七】求滿足判定平行線條件的個(gè)數(shù)
【典題1】（2022秋·山東德州·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，下列能判定ABCD的條件有（）個(gè)．
（1）；（2）；（3）；（4）．
A．1B．2C．3D．4
【詳解】解：當(dāng)∠B+∠BCD=180°，ABCD，符合題意；
當(dāng)∠1=∠2時(shí)，ADBC，不符合題意；
當(dāng)∠3=∠4時(shí)，ABCD，符合題意；
當(dāng)∠B=∠5時(shí)，ABCD，符合題意．
綜上，符合題意的有3個(gè)，故選：C．
鞏固練習(xí)
1．（?）（2022秋·江蘇連云港·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，下列條件：中能判斷直線的有( )
A．5個(gè)B．4個(gè)C．3個(gè)D．2個(gè)
【詳解】解：①∵∠1=∠3，∴l(xiāng)1∥l2，故本小題正確；
②∵∠2+∠4=180°，∴l(xiāng)1∥l2，故本小題正確；
③∵∠4=∠5，∴l(xiāng)1∥l2，故本小題正確；
④∠2=∠3不能判定l1∥l2，故本小題錯(cuò)誤；
⑤∵∠6=∠2+∠3，∴l(xiāng)1∥l2，故本小題正確．
故選B．
2．（?）（2022秋·廣西來(lái)賓·七年級(jí)期末）如圖，①，②，③，④可以判定的條件有（ ）．
A．①②④B．①②③C．②③④D．①②③④
【詳解】解：①由于∠1和∠3是同位角，則①可判定；
②由于∠2和∠3是內(nèi)錯(cuò)角，則②可判定；
③①由于∠1和∠4既不是同位角、也不是內(nèi)錯(cuò)角，則③不能判定；
④①由于∠2和∠5是同旁內(nèi)角，則④可判定；
即①②④可判定．
故選A．
3．（?）（2022秋·湖北省直轄縣級(jí)單位·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，對(duì)于給出的四個(gè)條件：
①；②；③；④，其中能判斷的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
【詳解】解：①∵∠1=∠3，∴AD∥BC；
②∵∠2+∠5=180°，∠5=∠AGC，∴∠2+∠AGC=180°，∴AB∥CD；
③∵∠4=∠B，∴AB∥CD；
④∵∠D+∠BCD=180°，∴AD∥BC．
故選：B．
4．（?）（2022秋·河北滄州·七年級(jí)期末）如圖，下列不正確的是__________（填序號(hào)）
①如果，那么；②如果，那么；
③如果，那么；④如果，那么；
⑤如果，那么．
【詳解】解：①∵，
∴（同位角相等，兩直線平行），故正確；
②∵，
∴（同位角相等，兩直線平行），故正確；
③和不屬于三線八角中的其中一類，故無(wú)法判斷，故錯(cuò)誤；
④∵，∴（同位角相等，兩直線平行），故正確；
⑤和不屬于三線八角中的其中一類，故無(wú)法判斷，故錯(cuò)誤．
故答案為：③⑤
【題型八】與平行線判定有關(guān)的證明問(wèn)題
【典題1】（2022秋·北京·七年級(jí)?？计谥校┩瓿上旅娴淖C明．
已知：如圖，∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°．
求證：AB∥EF．
證明：∵∠1+∠2＝180°，
∴AB∥ （ ）．
∵∠3+∠4＝180°，
∴ ∥ ．
∴AB∥EF（ ）．
【詳解】證明：如圖所示：
∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），
∵∠3+∠4＝180°（已知），
∴CD∥EF（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），
∴AB∥EF（若兩直線同時(shí)平行于第三直線，則這兩直線也相互平行），
故答案為：CD；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；CD；EF；若兩直線同時(shí)平行于第三條直線，則這兩條直線也相互平行．
【典題2】 （2022秋·福建莆田·七年級(jí)校考期中）如圖，已知，求證：．
【詳解】證明：，，
，，又∵，．
鞏固練習(xí)
1．（?）（2022秋·內(nèi)蒙古通遼·七年級(jí)期末）看圖填空：
已知：如圖，為上的點(diǎn)，為上的點(diǎn)，，求證：．
證明：
______
，______
______
____________
______
又______
______
______
【詳解】解：已知，
，對(duì)頂角相等，
等量代換，
內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，
兩直線平行，同位角相等，
已知，
等量代換，
內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．
2（?）（2022秋·山東濟(jì)寧·七年級(jí)期中）如圖，GM∥HN，EF分別交AB、CD于點(diǎn)G、H，∠BGH、∠DHF的平分線分別為GM、HN，求證：AB∥CD．
【詳解】證明：∵GM∥HN，
∴∠MGH＝∠NHF，
∵∠BGH、∠DHF的平分線分別為GM、HN，
∴∠BGH＝2∠MGH，∠DHF＝2∠NHF，
∴∠BGH＝∠DHF，
∴AB∥CD．
3. （??）（2022秋·陜西西安·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，直線、交于點(diǎn)O，，分別平分和，已知，且．
(1)求的度數(shù)；
(2)試說(shuō)明的理由．
【詳解】（1）解：∵，分別平分和，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，，
∴，
∴．
4（??）．（2022秋·河北保定·七年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)在直線上，射線、分別平分、．
(1)試判斷、的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(2)若，且，求證：．
【解析】
(1)解：，
理由如下：
∵平分，平分，
∴，，
，
∴，
∴；
(2)證明：∵（已證），（已知），
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴．